函数的奇偶性练习题

函数的奇偶性1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（ ）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值围是 ( )A.(-¥,2)B. (2,+¥)C. (-¥,-2)È(2,+¥)D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，数k 的取值围． 10下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数；（4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．411下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（ ） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lg a1））D ．（－a ，－f （a ））13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。

函数的奇偶性练习题1. 函数f(x)在定义域上是否是奇函数还是偶函数？解析：要判断函数的奇偶性，需要分析函数在x和-f(x)两点处的取值情况。

2. 函数g(x) = x^3 - x是奇函数还是偶函数？解析：首先，我们分别计算g(x)和g(-x)的值。

当x = 1时，g(1) = 1^3 - 1 = 0；当x = -1时，g(-1) = (-1)^3 - (-1) = -2。

由于g(1) = 0，且g(-1) = -2，即当x = 1时，g(x) = -g(-x)成立。

因此，函数g(x)是奇函数。

3. 函数h(x) = x^4 - x^2是奇函数还是偶函数？解析：同样地，我们分别计算h(x)和h(-x)的值。

当x = 1时，h(1) = 1^4 - 1^2 = 0；当x = -1时，h(-1) = (-1)^4 - (-1)^2 = 0。

由于h(1) = h(-1) = 0，即当x = 1和x = -1时，h(x) = h(-x)成立。

因此，函数h(x)是偶函数。

4. 函数i(x) = sin(x)是奇函数还是偶函数？解析：对于三角函数，我们需要利用其周期性质进行判断。

由于sin(x)的周期是2π，即sin(x + 2πk) = sin(x)（k为整数）。

考虑到奇函数关于原点对称，我们将其分为两种情况进行分析：当x = 0时，sin(0) = 0；当x = π时，sin(π) = 0。

由于sin(0) = sin(π) = 0，即当x = 0和x = π时，sin(x) = sin(-x)成立。

因此，函数i(x)是奇函数。

5. 函数j(x) = x^2 + 1是奇函数还是偶函数？解析：对于函数j(x)，我们分别计算j(x)和j(-x)的值。

当x = 1时，j(1) = 1^2 + 1 = 2；当x = -1时，j(-1) = (-1)^2 + 1 = 2。

由于j(1) = j(-1) = 2，即当x = 1和x = -1时，j(x) = j(-x)成立。

...函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，...可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____． 三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

1.3.2 奇偶性1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝02．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝ －f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)3．若函数f (x )＝ax ＋1x(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．任意a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．任意a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．存在a ∈R ，函数f (x )为奇函数D ．存在a ∈R ，函数f (x )为偶函数 4．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是 增函数，又f (2)＝0，则()()f x f x x--的解集为( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 5.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，f （x ）是增函数，则(2)()(3)f f f -π-，，的大小关系是（ ）A ．f (π)>f (3) >f (2)B ．f (π)>f (2)>f (3)C ．f (π)<f (3)<f (2)D ．f (π)<f (2)<f (3)二、填空题(本大题共4个小题，每小题6分，共24分) 6.若函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，并且0>x 时，12)(3+-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = .7.若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________. 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.三、解答题(本大题共3个小题，共46分) 10.（14分）判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋2|－211．（15分）设函数y ＝f （x ）（x R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证：f （x ）是偶函数.12．（17分）已知函数f (x )＝222,0,0,0,,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围一、选择题1.A 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴ a －1＝2a ，∴ 31=a ．故选A ． 2.D 解析：∵ f (x －4)＝－f (x )，∴ T ＝8.又f (x )是R 上的奇函数，∴ f (0)＝0. ∵ f (x )在[0,2]上是增函数，∴ f (x )在[0,2]上恒大于等于0.又f (x )是奇函数，∴ f (x )在[－2,0]上也是增函数，且f (x )在[2,0]上恒小于等于0.. 易知x ∈[2,4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数． 同理f (x )在[4,6]上为减函数且f (x )≤0.如图．∵ f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0，∴ f (－25)＜f (80)＜f (11)． 3.C 解析：当a ＝1时，函数f (x )在(0,1)上为减函数，A 错；当a ＝1时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，B 错；D 选项中的a 不存在．4.A 解析：因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝0，所以x >2或－2<x <0时，f (x )>0；x <－2或0<x <2时，f (x )<0.<0，即<0，可知－2<x <0或0<x <2.5.A 解析：因为()f x 是偶函数,所以()()()()22,33.f f f f -=-=因为当[0,)x ∈+∞时是增函数,所以()()()()()()23,23f f f f f f <<-<-<所以ππ.二、填空题 6.321x x -- 解析：当<x 时，x ->，()()()()332121f x f x x x x x ⎡⎤=--=----+=--⎣⎦.7. 0 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴ f （－x ）＝f （x ），即(m －1)(－x )2＋2m （－x ）＋3＝（m 1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．8.－1 解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x ). 又f (x )为奇函数，所以当x <0时,f (x )＝x (1－x ). 当<0时,f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2(舍去)． 当0时,即,无解.9.－0.5 解析：由f (x ＋2)＝－，得f (x ＋4)＝－＝f (x )，故f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，得f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)． 而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴ f (1.5)＝－0.5. 故f (6.5)＝－0.5. 三、解答题10.解： (1)函数的定义域为{x |x ≠－1，}，不关于原点对称， ∴ 函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩≥≥得x ＝±1，此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}．∴ f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴ f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2＝4－x 2x .又f (－x )＝－4－x 2x ＝－f (x )，∴ f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2为奇函数．11.证明：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1，则f （1）＝2f （1），∴ f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，则 f ［－1×（－1）］＝2f （）＝0， ∴ （－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴ f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．12.解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]童年时，家是一声呼唤。

函数的奇偶性之高考真题48道一、具体函数的奇偶性1.（2015•福建）下列函数为奇函数的是（D ）A.y =x B.y =e x C.y =cos x D.y =e x -e -x2.（2015•福建）下列函数为奇函数的是（D ）A.y =x B.y =|sin x | C.y =cos xD.y =e x -e -x3.（2014•广东）下列函数为奇函数的是（A ）A.y =2x - 12xB.y =x 3sin xC.y =2cos x +1D.y =x 2+2x4.（2015•北京）下列函数中为偶函数的是（B ）A.y =x 2sin xB.y =x 2cos xC.y =|lnx |D.y =2-x5.（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是（C ）A.y =(x +1)2B.y =2-xC.y =|sin x |D.y =lg (x +1)+lg (x -1)6.（2018•上海）下列函数中，为偶函数的是（A ）A.y =x -2B.y =x13C.y =x -12D.y =x 37.（2012•广东）下列函数为偶函数的是（D ）A.y =sin xB.y =x 3C.y =e xD.y =lnx 2+18.（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（D ）A.y =x +sin2xB.y =x 2-cos xC.y =2x + 12xD.y =x 2+sin x 9.（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（D ）A.y = 1+x 2B.y =x + 1xC.y =2x + 12xD.y =x +e x 二、抽象函数的奇偶性10.（2014•新课标Ⅰ）设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是（C ）A.f (x )∙g (x )是偶函数B.|f (x )|∙g (x )是奇函数C.f (x )∙|g (x )|是奇函数D.|f (x )∙g (x )|是奇函数三、已知奇偶性求参数11.（2020•上海）若函数y =a ∙3x + 13x为偶函数，则a =1．12.（2009•重庆）若f (x )=a + 12x +1是奇函数，则a =- 12．13.（2019•北京）设函数f (x )=e x +ae -x (a 为常数）．若f (x )为奇函数，则a =-1；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是(-∞，0]．14.（2014•湖南）若f (x )=ln (e 3x+1)+ax 是偶函数，则a =- 32．15.（2015•新课标Ⅰ）若函数f (x )=xln (x +a +x 2)为偶函数，则a =1．资料下载来源——高中数学优质资料群群号：114265753916.（2015•上海）已知a 是实数，函数f (x )= x 2+ax +4x是奇函数，求f (x )在(0,+∞)上的最小值及取到最小值时x 的值．四、奇函数性质的应用之中值定理17.（1990•全国）已知f (x )=x 5+ax 3+bx -8，且f (-2)=10，那么f （2）等于（A ）A.-26B.-18C.-10D.1018.（2013•重庆）已知函数f (x )=ax 3+b sin x +4(a ,b ∈R )，f (lg (log 210))=5，则f (lg (lg 2))=（C ）A.-5 B.-1C.3D.419.（2018•新课标Ⅲ）已知函数f (x )=ln (1+x 2-x )+1，f （a ）=4，则f (-a )=-2．20.（2012•上海）已知y =f (x )是奇函数，若g (x )=f (x )+2且g （1）=1，则g (-1)=3．五、奇函数性质的应用之分段函数21.（2019•新课标Ⅱ）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e x -1，则当x <0时，f (x )=（D ）A.e -x -1B.e -x +1C.-e -x -1D.-e -x +122.（2019•新课标Ⅱ）已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )=-e ax ．若f (ln 2)=8，则a =-3．六、偶函数性质应用之比较大小23.（2019•新课标Ⅲ）设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（C ）A.f (log 3 14)>f (2- 32)>f (2- 23)B.f (log 3 14)>f (2- 23)>f (2- 32)C.f (2- 32)>f (2- 23)>f (log 3 14)D.f (2- 23)>f (2- 32)>f (log 3 14)七、函数性质综合24.（2018•新课标Ⅱ）已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )，若f （1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f (50)=（C ）A.-50B.0C.2D.50八、奇偶性与单调性综合判断25.（2020•新课标Ⅱ）设函数f (x )=x 3- 1x 3，则f (x )（A ）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减26.（2020•新课标Ⅱ）设函数f (x )=ln |2x +1|-ln |2x -1|，则f (x )（D ）A.是偶函数，且在( 12，+∞)单调递增B.是奇函数，且在(- 12， 12)单调递减C.是偶函数，且在(-∞,- 12)单调递增D.是奇函数，且在(-∞,- 12)单调递减27.（2015•湖南）设函数f (x )=ln (1+x )-ln (1-x )，则f (x )是（A ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数28.（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是（A ）A.f (x )= 1x2B.f (x )=x 2+1C.f (x )=x 3D.f (x )=2-x 29.（2017•北京）已知函数f (x )=3x -( 13)x ，则f (x )（A ）A.是奇函数，且在R 上是增函数B.是偶函数，且在R 上是增函数C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数30.（2005•山东）下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（D ）A.f (x )=sin xB.f (x )=-|x +1|C.f (x )= 12(a x -a -x )D.f (x )=ln 2-x 2+x31.（2013•北京）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（D ）A.y =1x B.y =e -x C.y =lg |x | D.y =-x 2+132.（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（D ）A.y =x +1B.y =-x 2C.y =1xD.y =x |x |33.（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（B ）A.y =cos2x ，x ∈RB.y =log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C.y = e x -e -x2,x ∈R D.y =x 3+1，x ∈R34.（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（B ）A.y =2x 3B.y =|x |+1C.y =-x 2+4D.y =2-|x |九、奇偶函数图象的对称性35.（2009•黑龙江）函数y =log 2 2-x 2+x的图象（B ）A.关于直线y =-x 对称B.关于原点对称C.关于y 轴对称D.关于直线y =x 对称36.（2010•重庆）函数f (x )= 4x+12x 的图象（D ）A.关于原点对称B.关于直线y =x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称37.（2011•上海）f (x )= 4x-12x的图象关于（A ）A.原点对称B.直线y =x 对称C.直线y =-x 对称D.y 轴对称38.（2008•全国卷Ⅱ）函数f (x )= 1x-x 的图象关于（C ）A.y 轴对称B.直线y =-x 对称C.坐标原点对称D.直线y =x 对称十、奇函数性质应用之解不等式39.（2020•山东）若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减，且f （2）=0，则满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是（D ）A.[-1，1]∪ 3，+∞)B.[-3，-1]∪ 0，1]C.[-1，0]∪ 1，+∞)D.[-1，0]∪ 1，3]40.（2015•山东）若函数f (x )= 2x+12x -a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为（C ）A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)十一、奇函数性质比较大小41.（2017•天津）已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a =-f (log 2 15)，b =f (log 24.1)，c =f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b42.（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x -4)=-f (x )且在区间[0，2]上是增函数，则（A ）A.f (-25)<f (80)<f (11)B.f (80)<f (11)<f (-25)C.f (11)<f (80)<f (-25)D.f (-25)<f (11)<f (80)十二、偶函数性质比较大小43.（2015•天津）已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -m |-1(m 为实数）为偶函数，记a =f (log 0.53)，b =f (log 25)，c =f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（C ）A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a44.（2008•天津）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是增函数．令a=f (sin 2π7)，b =f (cos 5π7)，c =f (tan 5π7)，则（A ）A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 解：b =f (-cos 5π7)=f (cos 2π7)，c =f (-tan 5π7)=f (tan 2π7)因为 π4< 2π7< π2，又由函数在区间[0，+∞)上是增函数，所以0<cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7，所以b <a <c ，故选：A ．十三、奇偶性综合之比较大小45.（2008•安徽）若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )-g (x )=e x ，则有（D ）A.f （2）<f （3）<g (0)B.g (0)<f （3）<f （2）C.f （2）<g (0)<f （3）D.g (0)<f （2）<f （3）十四、偶函数性质应用之解不等式46.（2016•天津）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞,0)上单调递增，若实数a满足f (2|a -1|)>f (- 2)，则a 的取值范围是( 12， 32)．47.（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，+∞)单调递减，f （2）=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是(-1,3)．48.（2015•新课标Ⅱ）设函数f (x )=ln (1+|x |)- 11+x 2，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是（B ）A.(-∞， 13)∪(1，+∞)B.( 13，1)C.(- 13, 13)D.(-∞，- 13)∪( 13，+∞)。

函数的奇偶性一、典型例题例1 判断下列函数的奇偶性（1）1()(1)1x f x x x +=-- （2）2lg(1)()|2|2x f x x -=--（3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ （4）22()11f x x x =--（5）()11f x x x =-+- （6）2211()11x x f x x x ++-=+++例2 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3()(1)f x x x =+，则()f x 的解析式为________________.例 3 ①已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是________________.②已知()f x 是奇函数,满足()()2f x f x += ,当[]0,1x ∈时,()21xf x =- ,则=)2(f _____,21log 24f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_________ .例 4 ()f x 和()g x 的定义域都是非零实数，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且21()()1f xg x x x +=-+，求()()f x g x 的取值范围。

二、课后练习1、判断下列函数的奇偶性（1）x xy a a -=+ （2）x xy a a-=-（3）x x x xa a y a a ---=+ （4）11x x a y a -=+（5）1log 1a x y x-=+ （6）2log (1)a y x x =+-（7）若0,1,()a a F x >≠是一个奇函数，讨论11()()12xG x F x a ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的奇偶性。

2、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=（ ）(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 3、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f4、已知3()sin 4f x a x b x =++（,a b 为实数）且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____5、函数1(1)1y x x =≠±-可以表示成一个偶函数()f x 与一个奇函数()g x 的和，则()f x =____6、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为( ) A.1 B. 21 C. 31 D. 43。

函数奇偶性试题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数， ∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ． 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2） 4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）A ．－26B ．－18C ．－10D ．10解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数， f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ． 既是奇函数又是偶函数解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，()2)(x )(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．7. 设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)=f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5.8. 已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( ) A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0.∴f (a －3)＜f (a 2－9). ∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3).9．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ． 10．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．11．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．12．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．13. 若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3)14. 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ，∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0,∴b =－a (x 1+x 2)＜0.15．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．16．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0， 试证f （x ）是偶函数．16．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0， ∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．17.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式． 解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f18.f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．18．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．19.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）， 求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．函数的奇偶性试题参考答案1A 2A 3D 4A 5B 6C 7B 8A 9奇函数10 0 1111)(2-=x x f12 013 (－3，0）∪(0，3）14 (－∞,0） 15 21<m。

一、选择题1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③[答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎨⎧ x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性[答案] B3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．－15B ．15C ．10D ．－10[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f (－1)<f (－3)B ．f (0)>f (1)C ．f (2)>f (3)D ．f (－3)<f (5)[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( )A ．－1B ．1 C.114D ．－114[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x －3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.6．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为3[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x | [答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 ` D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．不存在[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1.10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (1)<f (2)B ．f (1)＝f (2)C ．f (1)>f (2)D ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________．[答案] 奇函数[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．[答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎨⎧ x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．[解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25， 所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．[解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)，∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1－1<1－a 2<11－a >a 2－1 解得0<a <1.故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎨⎧ －2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．。

函数的奇偶性练习题1、判断以下函数的奇偶性。

〔1〕x xx x f -+-=11)1()(〔非奇非偶〕〔2〕 2|2|)1lg()(2---=x x x f 〔奇〕〔3〕33)(22-+-=x x x f 〔奇偶〕 〔4〕2||)(2+--=a x x x f 〔a=0，偶；a ≠0，非奇非偶〕 〔5〕1212)(-+=x x x f 〔奇〕 〔6〕)1lg(2x x y ++=〔奇〕 〔7〕1cos sin ()1cos sin x xf x x x-+=++ 〔8〕1()x f x +-=(奇)2、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，对于R x ∈∀，都有)23()23(x f x f --=+成立。

〔1〕证明：)(x f 是周期函数，并指出周期。

)()()]23(23[]23)23[()3()()(),23()23(x f x f x f x f x f x f x f x f x f =--=+--=++=+∴=---=+ 所以，)(x f 是周期函数，且3=T 〔2〕假设2)1(=f ，求)3()2(f f +的值。

-23．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=〔 A 〕A ．-3B ．-1C ．１D ．３4．函数)(x f 的定义域为()()+∞⋃∞-,11,，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时， 16122)(2+-=x x x f ，则直线2=y 与函数)(x f 图象的所有交点的横坐标之和是〔 D 〕A ．1B ．2C ．4D ．5解：f(x+1)是奇函数所以 f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且f(0+1)=0f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x)所以 f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0则当 x>1时〔1〕 2x²-12x+16=2x²-6x+7=0x=3±√2 两根都大于1即x>1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2〔2〕 2x²-12x+16=-2x²-6x+9=0x=3所以 x=3时，y=-2(3,-2)关于(1,0)的对称点为〔-1,2〕即 x<1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1所以 ，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是3+√2+3-√2+(-1)=55.下面四个结论中，正确命题的个数是 ( A )①偶函数的图象一定与y 轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f 〔x 〕=0〔x ∈R 〕A.1B.2C.36.设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，)1(log )(21x x f -=，则函数f (x )在(1,2)上( D )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>07．已知函数)(x f y =，R x ∈，有以下4个命题：①假设)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称；②)2(-x f 与)2(x f -的图象关于直线2=x 对称；③假设)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称；④假设)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称.其中正确命题的个数为 〔C 〕.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 分析：①先用换元法将f 〔1+2x 〕=f 〔1-2x 〕转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．②y=f 〔x-2〕与y=f 〔2-x 〕的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f 〔x 〕与y=f 〔-x 〕的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．③用-x 换x ，由题设条件和偶函数的性质得，f 〔2-x 〕=-f 〔-x 〕=-f 〔x 〕=f 〔2+x 〕，故f 〔x 〕的图象关于直线x=2对称． ④用-x 换x ，由题设条件和奇函数的性质得，f 〔-x 〕=f 〔x-2〕，故y=f 〔x 〕的图象关于直线x=-1对称． 解答：解：①令t=1+2x ，可得2x=t-1，代入f 〔1+2x 〕=f 〔1-2x 〕得f 〔t 〕=f 〔2-t 〕由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f 〔x 〕图象关于直线x=1对称即y=f 〔x 〕的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．②由题设知y=f 〔2-x 〕=f[-〔x-2〕]由于函数y=f 〔x 〕与y=f 〔-x 〕的图象关于直线x=0对称，又y=f 〔x-2〕与y=f 〔2-x 〕的图象可由函数y=f 〔x 〕与y=f 〔-x 〕的图象右移动2个单位而得到， ∴y=f 〔x-2〕与y=f 〔2-x 〕的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．③f 〔x 〕为偶函数，且f 〔2+x 〕=-f 〔x 〕，用-x 换x 得，f 〔2-x 〕=-f 〔-x 〕=-f 〔x 〕=f 〔2+x 〕 ∴f 〔x 〕的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．④∵y=f 〔x 〕为奇函数，且f 〔x 〕=f 〔-x-2〕，用-x 换x 得，f 〔-x 〕=f 〔x-2〕，∴y=f 〔x 〕的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题．故选C ．8.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于〔 B 〕A.0.5B.C.D.9．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( C ) A ．－3 B ．3 C ．－8 D ．810.已知函数f (x )满足：f (1)＝2，)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，则f (2011)等于( C ) A ．2 B ．－3 C ．－12 D.13[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为 11.函数y ＝log 22－x 2＋x的图象( A ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称12.已知f 〔x 〕是奇函数，当x ∈〔0，1〕时，f 〔x 〕=lgx +11，那么当x ∈〔－1，0〕时，f 〔x 〕的表达式是__________.解析：当x ∈〔－1，0〕时，－x ∈〔0，1〕，∴f 〔x 〕=－f 〔－x 〕=－lg x-11=lg 〔1－x 〕.答案：lg 〔1－x 〕13.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2008x ＋log 2008x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为 3 .14．假设y ＝〔m －1〕x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．0解析：因为函数y ＝〔m －1〕x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f 〔－x 〕＝f 〔x 〕，即〔m －1〕〔－x 〕2＋2m 〔－x 〕＋3＝〔m —1〕x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．(15.已知函数f(x)定义域为R ，则以下命题：①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y 轴对称；②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；③假设函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称； ④假设f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。

函数的奇偶性练习题（1）1.如图，函数y =f(x)的图象为折线ABC ，设g (x)=f[f(x)]，则函数y =g(x)的图象为（ ）A. B.C.D.2. 设x ，y 为实数，且满足{(x −1)3+2019(x −1)=−5，(y −1)3+2019(y −1)=5，则x +y =( ) A.2B.5C.10D.20193. 已知y =f (x )在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=2x +m ，则f (−2)=( )A.−3B.54C.−54D.34. 下列函数中，是偶函数的为( )A.y =|x|B.y =x 3C.y =(12)xD.y =log 2x<0的解集为5. 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)x（）A.(−1,0)∪(1,+∞)B.(−∞,−1)∪(0,1)C.(−∞,−1)∪(1,+∞)D.(−1,0)∪(0,1)6. 已知f(x)满足对∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，且x≥0时，f(x)=e x+m（m为常数），则f(−ln5)的值为( )A.4B.−4C.6D.−67. 已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)+g(−x)的值为（）A.2B.0C.1D.不能确定8. 已知函数f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，若g(x)＝f(x)sinπx，ℎ(x)＝f(x)cosπx，则下列说法正确的是（）A.函数y＝g(x)是偶函数B.10是函数f(x)的一个周期C.对任意的x∈R，都有g(x+5)＝g(x−5)D.函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称9. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递减的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|C.y＝−x2+1D.y＝10. 已知函数f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，则f(2)＝________．11. 设奇函数f(x)的定义域为[−6, 6]，当x∈[0, 6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．12. 定义在[−2,2]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−2,0]时，f(x)=2x+a⋅3x(a∈R)，则f(x)在[0,2]上的解析式为________．（化成最简形式）13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f(x)＝x2，若对任意的x∈[a−1, a+1]，恒有f(x2+a)>a2f(x)，则实数a的取值范围为________．14. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−x，则不等式f(x)>0的解集用区间表示为________．15. 已知函数f(x)＝lg3−x3+x（1）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（2）当x≥0时函数g(x)与f(x)相同，且g(x)为偶函数，求g(x)＝的定义域及其表达式．16. 已知定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(2−x)=f(x)；（2）f(x+4)=f(x)（3）x1，x2∈[1, 3]时，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0．则f(2018)，f(2019)，f(2020)大小关系（）A.f(2018)>f(2019)>f(2020)B.f(2020)>f(2018)>f(2019)C.f(2020)=f(2018)>f(2019)D.f(2018)>f(2019)=f(2020)17. 定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−4x．（1）设g(x)＝f(x)，x∈[−4, 4]，求函数g(x)的值域；（2）当m>0时，若|f(m)|＝3，求实数m的值．参考答案与试题解析函数的奇偶性练习题（1）一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】A【考点】函数的图象变换函数奇偶性的性质【解析】函数y=f(x)的图象为折线ABC，其为偶函数，所研究x≥0时g(x)的图象即可，首先根据图象求出x≥0时f(x)的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g(x)的解析式再进行判断；【解答】解：函数y=f(x)的图象为折线ABC，函数f(x)为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B(0, 1)，C(1, −1)，则直线BC的方程为：l BC:y=−2x+1，x∈[0, 1]，其中−1≤f(x)≤1；若x<0，可得l AB:y=2x+1，∴f(x)={−2x+1(0≤x≤1),2x+1(−1≤x<0),我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤12，解得0≤f(x)≤1，此时g(x)=f[f(x)]=−2(−2x+1)+1=4x−1；若12<x≤1，解得−1≤f(x)<0，此时g(x)=f[f(x)]=2(−2x+1)+1=−4x+3；∴x∈[0, 1]时，g(x)={4x−1(0≤x≤12),−4x+3(12<x≤1).故选A.2.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】将方程组中的方程，形式化成相同，构造函数f(t)=t3+1997t+1，确定函数f(t)为单调递增函数，即可求得结论．【解答】解：设函数f(m)=(m−1)3+2019(m−1)，则f(1+m)=(1+m−1)3+2019(1+m−1)=m3+2019m，f(1−m)=(1−m −1)3+2019(1−m −1)=−m 3−2019m ，所以f(1+m)+f(1−m)=0，所以函数f(m)关于(1,0)中心对称，又因为{(x −1)3+2019(x −1)=−5，(y −1)3+2019(y −1)=5所以f(x)+f(y)=0，所以x +y =2.故选A .3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，f (x )为定义在R 上的奇函数，可知f (0)=0，即可求出m =−1，即当x ≥0时f (x )=2x −1，可得f (2)=22−1=3，再根据f (x )为奇函数，可得f (−2)=−f (2)=−3．【解答】解：根据题意，f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)=20+m =0，解得：m =−1.∵ 当x ≥0时，f (x )=2x −1，∴ f (−2)=−f (2)=−(22−1)=−3.故选A ．4.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，是偶函数； B ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=(−x)3=−x 3=−f(x)，是奇函数； C ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=(12)−x ≠f(x)， f(−x)=(12)−x ≠−f(x)，该函数是非奇非偶函数；D ．该函数定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数.故选A .5.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合此题暂无解析【解答】∵f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(x)−f(−x)x <0⇔2f(x)x<0．∵f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，∴f(x)在(−∞,0)上为增函数，且f(−1)=0，∴不等式f(x)x<0的解集为(−1,0)∪(0,1)．6.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】首先利用奇偶性，求出m，再利用奇偶性求值即可.【解答】解：∵f(x)满足对∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，故f(−x)=−f(x)，故f(0)=0，∵x≥0时，f(x)=e x+m，∴f(0)=1+m=0，解得m=−1，即x≥0时，f(x)=e x−1，则f(ln5)=4，∴f(−ln5)=−f(ln5)=−4.故选B.7.【答案】A【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】利用奇函数的定义可把已知转化为f(t)+f(2−t)=0，从而可得函数f(x)关于(1, 0)对称，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)关于(0, 1)对称，代入可求．【解答】解：∵函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数∴f(−2x+1)=−f(2x+1)令t=1−2x代入可得f(t)+f(2−t)=0函数f(x)关于(1, 0)对称由函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称函数g(x)关于(0, 1)对称从而有g(x)+g(−x)=2故选A二、多选题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）8.B,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，g(x)＝f(x)sinπx，g(−x)＝f(−x)sinπ(−x)＝−f(−x)sinπx，又由函数f(x)是偶函数，则g(−x)＝−f(x)sinπx，即函数g(x)为奇函数，A错误对于B，由于f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，得f(5−x)＝f(5+x)＝f(x−5)，即f(10+x)＝f(x)，则f(x)是周期为10的周期函数，所以ℎ(x+10)＝f(x+10)cos(πx+10π)＝f(x)cosπx＝ℎ(x)，则y＝ℎ(x)是的最小正周期为10，故B正确；对于C，g(x+5)＝f(x+5)sin（π(x+5)）＝f(5−x)sin(πx+5π)＝f(5−x)(−sinπx)＝−f(x−5)(−sinπx)＝f(x−5)sinπx＝g(x−5)，故C正确；对于D，ℎ(5−x)＝f(5−x)cos(5π−5x)＝f(5+x)cos(5x−5π)＝f(5+x)cos(5x−5π+10π)＝f(5+x)cos(5x+5π)＝ℎ(5+x)，所以函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称，D正确；9.【答案】C,D【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】对于A，y＝x3为奇函数，所以该选项不符合题意；对于B，x>0时，y＝|x|＝x，所以函数y＝|x|的(0, +∞)上为增函数，所以该选项不符合题意；对于C，该函数定义域为R，设y＝f(x)，显然f(−x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0, +∞)上单调递减，所以该选项符合题意；对于D，该函数定义域为{x|x≠0}，设y＝f(x)，显然f(−x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0, +∞)上单调递减，可知该选项符合题意．三、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）10.【答案】−22【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据奇函数的性质建立方程组关系进行求解决即可．∵f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，∴f(−2)＝−25−a⋅23−2b−6＝10，则f(2)＝25+a⋅23−2b−6，两式相加得10+f(2)＝−6−6＝−12，则f(2)＝−10−12＝−22，11.【答案】[−6, −3)∪(0, 3)【考点】函数的图象与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】3−x−2−x【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】由题意设x>0利用已知的解析式求出f(−x)=x2+2x，再由f(x)=−f(−x)，求出x>0时的解析式．【解答】解：∵ f(x)为奇函数，∴ f(0)=20+a⋅30=1+a=0，∴ a=−1，f(x)=2x−3x.∴ 在x∈[0,2]上时，f(x)=−f(−x)=3−x−2−x.故答案为：3−x−2−x.13.【答案】(0, +∞)【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】由当x≥0时，f(x)＝x2，函数是奇函数，可得当x<0时，f(x)＝−x2，从而f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，再根据不等式f(x2+a)>a2f(x)＝f(ax)，在x∈[a−1, a+1]，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．【解答】当x≥0时，f(x)＝x2，∵函数是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝−x2，∴f(x)={x2,x≥0，−x2,x<0∴f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，∵不等式f(x2+a)>a2f(x)＝f(ax)在x∈[a−1, a+1]恒成立，∴x2+a>ax在x∈[a−1, a+1]恒成立，令g(x)＝x2−ax+a，函数的对称轴为x=a2，当a2<a−1，即a>2时，不等式恒成立，可得g(a−1)＝(a−1)2−a(a−1)+a＝1>0，恒成立；当a−1≤a2≤a+1，即−2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g(a2)＝( a2)2−a(a2)+a>0恒成立，解得a∈(0, 2]；当a2>a+1，即a<−2时，不等式恒成立，可得g(a+1)＝(a+1)2−a(a+1)+a＝2a+1>0不恒成立；综上：a>0．14.【答案】(−1, 0)∪(1, +∞)【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据条件可设x<0，从而得出f(−x)＝x2+x＝−f(x)，即得出x<0时，f(x)＝−x2−x，这样即可得出：x>0时，由f(x)>0得出x2−x>0；x<0时，由f(x)> 0得出−x2−x>0，解出x的范围即可．【解答】∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2−x，∴设x<0，−x>0，则f(−x)＝x2+x＝−f(x)，∴f(x)＝−x2−x，∴ ①x>0时，由f(x)>0得，x2−x>0，解得x>1；②x<0时，由f(x)>0得，−x2−x>0，解得−1<x<0，∴原不等式的解集为(−1, 0)∪(1, +∞)．四、解答题（本题共计 3 小题，每题 10 分，共计30分）15.【答案】根据题意，函数f(x)＝lg3−x3+x是奇函数，证明：对于函数f(x)＝lg3−x3+x ，必有3−x3+x>0，解可得：−3<x<3，即函数的定义域为(−3, 3)，关于原点对称，又由f(x)+f(−x)＝lg3−x3+x +lg3+x3−x=lg1＝0，则有f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)为奇函数；根据题意，有（1）的结论，函数f(x)的定义域为(−3, 3)，当0≤x<3时，g(x)＝f(x)＝lg3−x3+x，设−3<x<0，则0<−x<3，则g(−x)＝lg 3+x 3−x ，又由函数g(x)为偶函数，则g(x)＝lg 3+x 3−x ，综合可得：g(x)={lg 3+x 3−x ,−3<x <0lg 3−x 3+x ,0≤x <3． 【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，先求出函数f(x)的定义域，进而分析可得f(x)+f(−x)＝0，由函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：当0≤x <3时，g(x)＝f(x)＝lg3−x 3+x ，当−3<x <0，利用偶函数的性质求出g(x)的解析式，综合即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝lg 3−x 3+x 是奇函数，证明：对于函数f(x)＝lg 3−x 3+x ，必有3−x 3+x >0，解可得：−3<x <3，即函数的定义域为(−3, 3)，关于原点对称，又由f(x)+f(−x)＝lg 3−x 3+x +lg 3+x 3−x =lg 1＝0，则有f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)为奇函数；根据题意，有（1）的结论，函数f(x)的定义域为(−3, 3)，当0≤x <3时，g(x)＝f(x)＝lg 3−x 3+x ，设−3<x <0，则0<−x <3，则g(−x)＝lg 3+x 3−x ，又由函数g(x)为偶函数，则g(x)＝lg3+x 3−x ， 综合可得：g(x)={lg 3+x 3−x ,−3<x <0lg 3−x 3+x ,0≤x <3． 16.【答案】，f(2019)=f，f(2020)=f(0)=f，故f （2020）=f （2018）＞f （2019），【考点】抽象函数及其应用【解析】根据已知可得函数 f (x)的图象关于直线x =1对称，周期为4，且在[1, 3]上为减函数，进而可比较f(2018)，f(2019)，f(2020)的大小．【解答】，f(2019)=f，f(2020)=f(0)=f，故f(2020)=f(2018)>f(2019)，17.【答案】根据题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，则有g(0)＝0，当0<x <4时，f(x)＝x 2−4x ，此时g(x)＝x 2−4x ，当−4<x <0时，0<−x <4，f(−x)＝x 2−4x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝−x 2−4x ，此时g(x)＝−x 2−4x ；综合可得：g(x)=f(x)={−x 2−4x,x <00,x =0x 2−4x,x >0当−4≤x ≤0时，0≤g(x)≤4；当0<x ≤4时，−4≤g(x)≤0．g(x)的值域为[−4, 4]根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4， 1)当0<m ≤4时，令−m 2+4m ＝3，解得m ＝1或m ＝3；2)当m >4时，令m 2−4m ＝3，解得m =2+√7或m =2−√7（舍去）综合1)，2)得m ＝1或m ＝3或m =2+√7【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，由函数的解析式以及奇函数的性质分析可得g(x)的解析式，进而分析可得答案；（2）根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4，据此分析可得答案． 【解答】根据题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，则有g(0)＝0，当0<x <4时，f(x)＝x 2−4x ，此时g(x)＝x 2−4x ，当−4<x <0时，0<−x <4，f(−x)＝x 2−4x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝−x 2−4x ，此时g(x)＝−x 2−4x ；综合可得：g(x)=f(x)={−x 2−4x,x <00,x =0x 2−4x,x >0当−4≤x ≤0时，0≤g(x)≤4；当0<x ≤4时，−4≤g(x)≤0．g(x)的值域为[−4, 4]根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4，1)当0<m≤4时，令−m2+4m＝3，解得m＝1或m＝3；2)当m>4时，令m2−4m＝3，解得m=2+√7或m=2−√7（舍去）综合1)，2)得m＝1或m＝3或m=2+√7。