函数的奇偶性专题复习

函数的奇偶性专题复习

函数的奇偶性专题复习

一、关于函数的奇偶性的定义

定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：

⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；

⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质

①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；

三、函数的奇偶性的判断

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，

判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；

②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；

例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

（1）x x x f 2)(3+= （2）2

432)(x x x f += （3）1)(2

3--=x x x x f

（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x

=+.

例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：

两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；

奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；

两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；

奇函数与偶函数的积是奇函数。

四、关于函数的奇偶性的6个结论.

结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。

结论3 )(x f 是任意函数，定义域关于原点对称，那么)(x f 是偶函数。

结论4 函数)()(x f x f -+是偶函数，函数)()(x f x f --是奇函数。

结论 5 已知函数)(x f 是奇函数，且)0(f 有定义，则0)0(=f 。

结论6 已知)(x f 是奇函数或偶函数，方程0)(=x f 有实根，

那么方程0)(=x f 的所有实根之和为零； 若)(x f 是定义在实数集上的奇函数，则方程0)(=x f 有奇数个实根。

五、关于函数奇偶性的简单应用（各种类型题）

1.利用定义解题

例1：已知1()21

x f x a =-+为奇函数，则a =________。 已知21()(32)()

x f x x x a +=+-为偶函数，则 ________。 2.利用奇偶性，求函数值

例2：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，求)2(f 的值

a =

x 0

y 1 x 0 y 1 x 0 y 1 x

0 y 1 （2）定义R 上单调递减的奇函数()f x 满足对任意t R ∈，若22

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围.

8.利用图像解题

例8：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当

x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式()0

解是 .

（2）若函数()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上为奇函数，

且在(0,)+∞上单调递增,(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为 .

9.利用性质选图像

例9：（1）设1a >，实数,x y 满足1||log 0a x y

-=，则y 关于x 的函数的图像形状大致是（ ）

A B C D

（2）函数x x x x e e y e e

--+=-的图象大致为

奇偶性专题训练

1.已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既奇又偶函数

D ．非奇非偶函数

2.已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）

A ．3

1=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3.如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =

4.若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．

5.若a x f x x lg 22)(--=为奇函数，则实数=a ．

6.函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 ．

7.已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）

A ．－26

B ．－18

C ．－10

D ．10

8.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg

)(a f b a f x

x x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b 1 9.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ）

A. x 轴对称

B. y 轴对称

C. 原点对称

D. 以上均不对

10.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0

11.下列四个函数中，是奇函数且在定义域上不是单调函数的是（ ）

A ．

3y x = B ．y x = C ．1y x = D ．1()2

x y = 12.若函数(1)()()x x a f x x

++=为奇函数，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2