函数的奇偶性专题复习

高一数学专题复习：函数的奇偶性一、奇偶性的定义：定义：对于函数y＝f(x)的定义域内任意一个值x，若f(－x)＝f(x)恒成立，则函数y＝f(x)就叫做偶函数；若f(－x)＝－f(x)恒成立，则函数y＝f(x)就叫做奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

说明：(1)奇偶性是对整个定义域而言，是函数的整体性质。

定义中的等式f(－x)＝f(x)（或f(－x)＝－f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）(2)其定义域关于原点对称。

等式f(－x)＝f(x)（或f(－x)＝－f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，-x也应在定义域之中，否则f(－x)无意义。

由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.(3)奇函数若在0x=时有定义，则f(0)＝0．(4)偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)(5)函数f(x)＝0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(－x)＝f(x)也满足f(－x)＝－f(x)。

(6)四类函数：是奇函数不是偶函数，是偶函数不是奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。

(7)在公共定义域内，奇函数与奇函数的和为奇函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与奇函数的和为奇函数。

二、奇偶函数图象的性质定理定理：①奇函数的图象关于原点对称，反过来，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.即f(x)是奇函数⇔函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图象关于y轴对称；三、函数奇偶性的判断方法判定函数的奇偶性的方法有：(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈［－1，1)，既非奇又非偶函数.(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(－1)=f(1)〔f(－1)=－f(1)〕，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(－1)≠f(1)〔f(－1)≠－f(1)〕，则f(x)一定不是偶(奇)函数.(3)和、差法，若f(x)+f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.(4)比值法，若f(x)／f(－x)=1(或－1)，则f(x)为偶(或奇)函数.(5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.例：已知函数f(x)满足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0).∵f(0)≠0，∴f(0)=1.令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y).∴f(－y)=f(y).∴f(x)是偶函数.1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于 （ ）A.－x (1－x )B.x (1+x )C.－x (1+x )D.x (x －1)2．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[-7, -3]上是 ( )A.增函数且最小值是-5；B. 增函数且最大值是-5；C.减函数且最小值是-5；D. 减函数且最大值是-5.3．若)(),(x g x q 均为奇函数，),0(1)()()(+∞++=在x bg x aq x f 上有最大值5，则在)0,(-∞上)(x f 有 （ ）A 、最小值-5B 、最小值-2C 、最小值-3D 、最大值-54．已知函数)(x f y =是偶函数，)2(-=x f y ，在[0，2]上是单调递减函数，则 （ ）A 、)2()1()0(f f f <-<B 、)2()0()1(f f f <<-C 、)0()2()1(f f f <<-D 、)0()1()2(f f f <-<5．若函数)(x f y =是偶函数，R x ∈，在0<x 时，y 是增函数，对于||||,0,02121x x x x <><且，则 （ ）A 、)()(21x f x f ->-B 、)()(21x f x f -<-C 、)()(21x f x f -=-D 、)()(21x f x f -≥-6．若f (x )= 121-x +a (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则a =_______________.7.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.8．若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，则f (x －1)＜0的解集是_______________.9． 定义在[2,2]-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围。

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f (x )，g (x )的奇偶性，那么函数f (x )±g (x )，f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论？提示在函数f (x )，g (x )公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)；(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )．提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案－2解析f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f 32______.答案1解析f 32＝f －124×－122＋2＝1.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是()A ．－13 B.13C.12D ．－12答案B 解析∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.答案3解析∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36；(2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )2＋x ，x <0，x 2＋x ，x >0.解(1)－x 2≥0，2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)－x 2>0，－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A ．f (x )＝x ＋sin 2xB ．f (x )＝x 2－cos xC ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＝－x f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A ．y ＝xB ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.答案－2解析f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f(2)，所以f(4)＝－1f(2)＝－12－3＝－2－ 3.故f(2020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f(1)＋f(2)＋＝0＋f(0)＋＝f(0)＋＝f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案－12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.答案e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________.答案1解析∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f 12＝f 32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以ff (－1)＝f (1)，故从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．答案[－1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0－a －2＝a 2≤0，1－a ≤0，≤0，≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x |(10x －10－x )，则不等式f (1－2x )＋f (3)>0的解集为()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案A解析由于f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f (1－2x )＋f (3)>0等价于f (1－2x )>－f (3)＝f (－3)，所以1－2x >－3，x <2，故选A.(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，解不等式f (x )>f (2x －1)．解由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)，当x ，12时，f(x)＝12log(1)x ，则f(x)()A．减函数且f(x)>0B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0D．增函数且f(x)<0答案D解析当x ，12时，由f(x)＝12log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间－12，f(x)<0.由f(x)知，函数的周期为32，f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[3,5]B．[－1,1]C．[1,3]D．[－1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝－1，f(3)＝1，则f(－1)＝－1，f(－3)＝1，要使得－1≤f(x－2)≤1，即1≤|x－2|≤3，即1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1，解得－1≤x≤1或3≤x≤5，即不等式的解集为[－1,1]∪[3,5]，故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)3，x≤0，(x)，x>0，解不等式f(6－x2)>f(x)．解∵g(x)是奇函数，∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________．答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于()A ．－3B ．－54C.54D ．3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (1)等于()A ．－2B ．0C ．2D ．1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，∴f (1)＝0，124＝－2，∴f (1)＝－2.5．(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为()A ．(2，＋∞)(2，＋∞)(2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，当x ∈[0,6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0,2020])，则a 的最大值是()A ．2018B ．2010C ．2020D ．2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5，∴在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7；又2020＝12×168＋4，∴a 的最大值在[2004,2016]上，即2004＋7＝2011.故选D.7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ________．答案－ln 2解析由已知可得ln 1e2＝－2，所以f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－ln 2.9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案1e，e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝由f (ln t )＋2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.11．已知函数f (x )x 2＋2x ，x >0，，x ＝0，2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.14．(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1，0≤x <1，－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m的最大值是()A ．－1B ．－13C ．－12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，当m ＝－1时，g (x )＝0，符合要求，当m ≠－1(m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，(m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1<m ≤－13，所以－1≤m ≤－13，即m 的最大值为－13.15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为______________________________．答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2](－2)<0，(2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝0.。

1.4函数的奇偶性（一） 主要知识： 1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；2.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． （二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否定义域上的恒等式；()2图象法: 观察图像是否符合奇、偶函数的对称性()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；12()()()()()3()()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧⎪-⎪⎪-=⇒⎧⎪⎪⎪-=-⇒⎨⎪⎨⎪-≠≠--⇒⎪⎪⎪⎪-=-=⇒⎩⎪⎪⎩（）判断函数定义域是否关于原点对称（）求出的表达式偶函数函数奇偶性判断：判断步骤奇偶函数（）判断关系非奇非偶函数即是奇函数又是函数注：判断奇偶性先求出定义域判断其是否关于原点对称例1 判断下列函数的奇偶性 1)()()21f x x x =+ 2）()f x =3）()f x = 4）()2211021102x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例2 设()f x 是R 上是奇函数，且当[)0,x ∈+∞时()(1f x x =+，求()f x 在R 上的解析式例3 已知函数()538f x x ax bx =++-且()210f -=，求()2f 的值例4 设函数()f x 是定义域R 上的偶函数，且图像关于2x =对称，已知[2,2]x ∈-时，()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时()f x 的表达式。

高一函数的奇偶性复习课教学目标：1、学会判断简单函数奇偶性和利用函数奇偶性解决有关问题，进一步理解偶函数和奇函数的性质。

2、在利用函数奇偶性解决有关问题的过程中，体验数形结合、分类讨论的思想方法。

3、在利用函数奇偶性解决有关问题的过程中，逐步养成严谨的思维习惯和质疑求真的科学态度。

教学重点：对函数奇偶性内涵和外延的理解。

教学难点：函数的奇偶性判断和应用。

教学过程：一、知识回顾：1．偶函数定义； 2．奇函数定义； 3．奇（偶）函数的与性质。

二、反馈练习[训练题组1] （基础练习）判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x 3+ x 2非奇非偶 (2) f(x)=1)1(--x x x 非奇非偶(3) ()f x =(4)()f x =既奇又偶归纳小结：奇偶性的判断方法。

三、例题研究[训练题组2] （例题研究） 巩固函数的奇偶性的判断方法和简单应用1、判断函数 的奇偶性 奇2、判断函数的奇偶性：f(x)= ⎩⎨⎧<->+)0(,)0(22x x x x x x ， 偶3、已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ＞0时 f(x)= )1(2x x - 求f(x)的解析式。

[训练题组3]（问题讨论）深化函数奇偶性内涵的理解问题1、“函数的定义域关于原点对称”是“函数()f x 成为奇函数或偶函数”的什么条件？ 应用举例：已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝_______，b ＝_____.问题2、既是奇函数，又是偶函数的函数一定是()0,()f x x R =∈吗？问题3、如果一个函数()f x 在定义域上满足：()()f x f x -=或()()f x f x -=-， 能否说该函数是奇函数或偶函数。

应用举反例：22,1(),11,1x x f x x x x x ⎧-∞<<-⎪=-≤≤⎨⎪<<+∞⎩）问题4、已知函数(),f x x x a a R =-∈。

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)以下函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，假设x ＝0在定义域内，那么应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，应选A.(理)以下函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．应选D.2．(2021·安徽理，4)假设f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，那么f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，应选A.3．(2021·河北唐山)f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，假设f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，那么f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.4．(文)(2021·北京崇文区)f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，那么f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2021·山东日照)函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，假设f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．5．(2021·辽宁锦州)函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，那么函数f (x )＝2⊗x(x ⊕2)－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f (x )＝4－x 2|x －2|－2，∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2， 又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]． 那么f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，应选B.7．f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，那么a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .应选C.8．函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，那么f (2021)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2021)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，9．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，那么使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x<1，∴－1<x <0，应选A. 10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，那么f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x ＋log 22＋x2－x＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，应选A.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是以下图象中的( )[答案] C [解析] ∵y ＝xsin x是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ， 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，应选C.二、填空题11．(文)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，那么f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2[解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2. (理)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.12．(2021·深圳中学)函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如下图，那么不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.13．(文)假设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.那么f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，那么f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2 x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2021·山东枣庄模拟)假设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，那么a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立， 即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，那么问题变得比拟简单．f (x )＝lg (a ＋2)x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2021·吉林长春质检)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，那么使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.三、解答题15．(2021·杭州外国语学校)f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)假设曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)假设当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0， 又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1. ∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ， 因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线， 所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3. (2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2. ∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)． 令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值．又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.16．(2021·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时， f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2021)＋f (2021)＋f (2021)＋f (2021)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)＝0.17．(文)函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)假设f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0， 即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知： －k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0， 可知m ，n 异号． 假设m >0，那么n <0.那么F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 假设m <0，那么n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------函数的性质(高考总复习)函数的性质一、函数的奇偶性 1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的性质⑴奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．⑵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反⑶若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0. 3. 设f(x) ， g(x) 的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶+非零常数＝偶，奇+非零常数＝非奇非偶，奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇，练习 1．若函数 f(x) ＝x2－| x＋a| 为偶函数，则实数 a＝_______.2．若函数 f(x) ＝(x＋a) (bx＋2a) (常数 a、 bR) 是偶函数，且它的值域为(－，4]，则该函数的解析式f(x) ＝_____ ___. 3．对于定义域为 R 的奇函数 f(x) ，下列结论成立的是( ) A． f(x) －f(－x) 0 C． f(x) f(－x) 0 4．如下图，给出了奇函数 y＝f(x) 的局部图象，则 f(－2) 的值为( ) B． f(x) －f(－x) 0 D． f(x) f(－x) 0 A.32 B．－32 C.12 D．－12 5．已知函数( )f x 是定义在 R 上的奇函数，若1 / 7当时，，则当时，( )f x 的表达式为（）A．．．．6．已知函数的图像关于坐标原点对称，则实数a=( ) A、 1 B、 -1 C、 0 D、．如果奇函数在区间[3， 7]上是增函数且最小值为 5，那么在区间上是 ( ) A．增函数且最小值为．增函数且最大值为．减函数且最小值为．减函数且最大值为．若偶函数)(xf在上是增函数，则下列关系式中成立的是（） A．．) 2 (f)23()．．2 (．设奇函数)(xf的定义域为，若当时， )(xf的图象如右图, 则不等式的解是 10．如果定义在区间[2－a, 4]上的函数 y＝f(x) 为偶函数，那么 a＝___ _____. 11．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 为偶函数，其定义域为[a－1, 2a]，则 a的值为________． 12．若 f(x) ＝(m－1) x2＋6mx＋2 是偶函数，则f(0) 、f(1) 、f(－2) 从小到大的顺序是____ __． 13．已知奇函数 ( )f x 的定义域为上单调递减，且满足条件求a的取值范围。

高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.2．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.3．(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.4．(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．5．(2010·辽宁锦州)已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g (x )＝f (x )＋2，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗x(x ⊕2)－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f (x )＝4－x 2|x －2|－2，∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2， 又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]． 则f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，故选B.7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，9．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x<1，∴－1<x <0，故选A. 10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x ＋log 22＋x2－x＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A. (理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C [解析] ∵y ＝xsin x是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ， 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，故选C.二、填空题11．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2[解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2. (理)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.12．(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.13．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，则f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2010·山东枣庄模拟)若f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立， 即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg (a ＋2)x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2010·吉林长春质检)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.三、解答题15．(2010·杭州外国语学校)已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)若曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)若当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0， 又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1. ∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ， 因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线， 所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3. (2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2. ∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)． 令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值．又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.16．(2010·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时， f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0. 17．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0， 即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2x >03(x ＋1)2x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知： －k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0， 可知m ，n 异号． 若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 若m <0，则n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.。

课题：函数的奇偶性考纲要求：会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.教材复习基本知识方法 1.奇偶函数的性质：()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．4.判断函数的奇偶性的方法：()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；()2图象法；()3性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 典例分析：题型一：判断或证明函数的奇偶性问题1．判断下列各函数的奇偶性：()1()(f x x =- ()2 2lg(1)()|2|2x f x x -=--；()3())f x x =； ()422(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩题型二：函数的奇偶性的应用问题2．()1(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <()2（2013哈九中模拟）奇函数()f x 在()0,+∞上的解析式是()()1f x x x =-，则在(),0-∞上，函数的解析式是.A ()()1f x x x =-- .B ()()1f x x x =+ .C ()()1f x x x =-+ .D ()()1f x x x =-()3（2011广东）设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -=问题3．()1设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围()2（2013江苏）已知()f x 是定义在R 上是奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为()3(06黄岗中学月考)已知函数21()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -1()2004f +- 1()2004f +1()2005f +的值.题型三：抽象函数的奇偶性的证明问题5．()1已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y 总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.()2定义在R 上的增函数()y f x =对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+.①求证：()f x 为奇函数；②若(2)(242)0xxxf k f +--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围.课后作业：1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=2.已知1()21xf x m =++为奇函数，则(1)f -的值为3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于.A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对5.函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f .A 是奇函数 .B 是偶函数.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数6.判断下列函数的奇偶性：()1()f x = ()2()212()2x xf x +=；()311()212xf x =+-； ()4()3()log 132xx f x -=++；()51()log 1axf x x+=-（其中0a >，1a ≠）7.（03南昌模拟）给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（ ） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④8.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当x ≥0时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时， )(x f 的解析式为_______________9.（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =10.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么1()2f 的值为.A3.B.C.D 911.（2012郑州二模）设奇函数2,0()0,0(),0x x f x x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩，则(3)g =.A 8 .B 18 .C 8- .D 18-、12.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x = ， ()g x =13.定义在)1,1(-上的函数1)(2+++=nx x mx x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____14.（2013皖南八校联考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2f x x x =+（x ≥0），若2(3)(2)f a f a ->则实数a 的取值范围是走向高考：1. （04全国）已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -= .A b.B b -.C 1b .D 1b-2. (06全国Ⅰ文）已知函数()1,21x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =3.（2013山东）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -= .A 2- .B 0 .C 1 .D 24.（07辽宁文）已知()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=5.（2011广东）设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 .A ()()f x g x +是偶函数 .B ()()f x g x -是奇函数.C ()()f x g x +是偶函数 .D ()()f x g x -是奇函数6.（07广东）若函数21()sin 2f x x =-()x R ∈，则()f x 是 .A 最小正周期为π2的奇函数 .B 最小正周期为π的奇函数.C 最小正周期为2π的偶函数.D 最小正周期为π的偶函数7.（07海南）设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a =8.（2012重庆）设函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a =9.(07江苏)设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是.A (10)-，.B (01)， .C (0)-∞， .D (0)(1)-∞+∞，，10.（2013辽宁文）已知函数)()ln31f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.A 1-.B 0.C 1.D 211.（2013重庆文）已知函数3()sin 4f x ax b x =++（,a b R ∈），()()2l gl o g 105f =，则()()lg lg2f = .A 5- .B 1- .C 3 .D 412.（2013湖南文）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g = .A 4 .B 3 .C 2 .D 113. （06重庆文）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

第二篇函数及其性质专题2.03函数的奇偶性与周期性【考试要求】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，其在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错. (3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y ＝f (x ＋b )的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y ＝f (x )的图象关于(b ，0)对称，正确. 【教材衍化】2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x |D.y ＝2－x【答案】 B【解析】 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(必修4P46A10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 【答案】 1【解析】 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 【真题体验】4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 3B.y ＝x 14 C.y ＝|x |D.y ＝|tan x |【答案】 C【解析】 对于A ，y ＝x 3为奇函数，不符合题意；对于B ，y ＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 【答案】 12【解析】 ∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数， ∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.6.(2019·上海崇明区二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________. 【答案】 log 2(3－x )【解析】 当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]， 又f (x )在R 是上以2为周期的偶函数，∴f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ). 【考点聚焦】考点一 判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.【答案】见解析【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg(1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg(1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数. 【规律方法】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x ＋12xD.y ＝x 2＋sin x(2)已知f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( )A.f (x )＋g (x )是偶函数B.f (x )＋g (x )是奇函数C.f (x )g (x )是奇函数D.f (x )g (x )是偶函数 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )， 因为f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，所以h (x )＝x 2x －1＋x2＝x ·2x ＋x 2（2x －1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为h (－x )＝－x ·2－x －x 2（2－x －1）＝x （1＋2x ）2（2x －1）＝h (x )， 所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数， 令F (x )＝f (x )g (x )＝x 22（2x －1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).所以F (－x )＝（－x ）22（2－x －1）＝x 2·2x2（1－2x ）， 因为F (－x )≠F (x )且F (－x )≠－F (x )，所以F (x )＝g (x )f (x )既不是奇函数也不是偶函数. 考点二 函数的周期性及其应用【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50B.0C.2D.50(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 【答案】 (1)C (2)7【解析】 (1)法一 ∵f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x ). ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x ).因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数， 由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2， 故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， 令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0， 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.法二 取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2. (2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个. 【规律方法】1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】 (1)(2019·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f ⎝⎛⎭⎫－92＝( ) A.－34B.－14C.14D.34(2)(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】 (1)A (2)6【解析】 (1)∵f (x )是周期为4的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－92＝－f ⎝⎛⎭⎫92＝－f ⎝⎛⎭⎫12 又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )故f ⎝⎛⎭⎫－92＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－12⎝⎛⎭⎫1＋12＝－34. (2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)， 又f (x )在R 上是偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.考点三 函数性质的综合运用 角度1 函数单调性与奇偶性【例3－1】 (2019·石家庄模拟)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( ) A.[－3，3] B.[－2，4] C.[－1，5] D.[0，6]【答案】 B【解析】 因为f(x)是定义在[－2b ，3＋b]上的偶函数， 所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数.故f(x －1)≥f(3)⇒f(|x －1|)≥f(3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x≤4.【规律方法】 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例3－2】 (1)(2019·山东省实验中学检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 018)＝( ) A.2B.－18C.18D.－2(2)(2019·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( ) A.π3B.2π3C.πD.4π3【答案】 (1)D (2)B【解析】 (1)∵f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )， ∴f (x )是周期为5的函数，∴f (2 018)＝f (403×5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)， ∵f (x )是奇函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ， ∴f (－2)＝－f (2)＝－(23－3×2)＝－2， 故f (2 018)＝－2.(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2). ∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.【规律方法】 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________.(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 【答案】 (1)2 (2)⎣⎡⎦⎤1e ，e【解析】 (1)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)， 则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2. (2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.【反思与感悟】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用. 【易错防范】1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 【核心素养提升】【数学运算】——活用函数性质中“三个二级”结论 类型1 奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】 设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.【答案】 2【解析】 显然函数f (x )的定义域为R ， f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 类型2 抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( ) A.3 B.2 C.1 D.0【答案】 C【解析】 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (－2 017)＝－f (2 017)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1， ∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.类型3 抽象函数的对称性 已知函数f (x )是定义在R 上的函数.(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称.【例3】 (2019·日照调研)函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________. 【答案】 4【解析】 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称， 所以函数y ＝f (x )的图象关于(0，0)对称， 所以f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4) ＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0， 所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3 C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |【答案】 C【解析】 对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数. 对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0， 则g (－8)＝( ) A.－2B.－3C.2D.3【答案】 A 【解析】 法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ).因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2.法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )A.－2B.2C.－98D.98 【答案】 B【解析】 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)，由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2，∴f (2 019)＝2.4.(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a【答案】 C【解析】 法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b .5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 【答案】 A【解析】 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.二、填空题6.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.【答案】 1【解析】 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.7.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 【答案】 －2【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－2. 8.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫13，1【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1. 三、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].10.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立. (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.【答案】见解析【解析】(1)由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝ －f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立.于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A.{x |0<x <1或x >2}B.{x |x <0或x >2}C.{x |x <0或x >3}D.{x |x <－1或x >1}【答案】 A【解析】 由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，不等式f (x －1)>0⇔f (x －1)>f (1)或f (x －1)>f (－1).∴x －1>1或0>x －1>－1，解之得x >2或0<x <1.12.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14B.f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32C.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14D.f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 【答案】 C【解析】 由题设知：f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称；函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f (x )在[0，1]上是减函数，所以f (x )在[－1，0]上也是减函数，综上函数f (x )在[－1，1]上是减函数；又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12，－14<14<12， ∴f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14，即f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14.13.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________. 【答案】 ①②【解析】 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误.14.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】见解析【解析】(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.【新高考创新预测】15.(多填题、新定义题)定义：函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[－2b，3b－1]上的函数f(x)＝x3－ax2－(b＋2)x是奇函数，则a＋b＝________，函数f(x)的极差为________. 【答案】1 4【解析】由f(x)在[－2b，3b－1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b＋3b－1＝0，b＝1，又由f(－x)＋f(x)＝0可求得a＝0，所以a＋b＝1.又f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，易知f(x)在(－2，－1)，(1，2)上单调递增，f(x)在(－1，1)上单调递减，所以在[－2，2]上的最大值、最小值分别为f(－1)＝f(2)＝2，f(1)＝f(－2)＝－2，所以极。

专题三 函数的奇偶性及周期性一、题型全归纳题型一 函数奇偶性的判断【题型要点】判断函数奇偶性的方法(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断． (2)利用函数图象特征判断．(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.的奇偶性。

【解析】法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数． 法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数【例2】已知函数f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( )A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数 【答案】A.【解析】：易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．因为f (－x )＋g (－x )＝－x 2－x －1＋－x2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x （1－2x ）－x 1－2x －x 2＝x 2x －1＋x2＝f (x )＋g (x )，所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A. 题型二 函数奇偶性的应用【题型要点】与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性． 【例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1【解析】解法一：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D. 解法二：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D.【例2】已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为 ． 【解析】：解法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.题型三 函数的周期性【题型要点】函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z ，且k ≠0)也是函数的周期．【例1】(2020·广东六校第一次联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0|2－x |，0≤x <1，其中a∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( ) A ．0.5 B ．1.5 C ．2.5D ．3.5【解析】由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，所以a ＝2.5.故选C.【例2】已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，4]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 3＝2，x 4＝3.又f (4)＝f (2)＝f (0)＝0，综上可知，共有5个交点．题型四 函数性质的综合应用【题型要点】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例1】已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50【答案】C【解析】因为f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝f [1－(1＋x )]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．又f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，f (1)＝2，f (2)＝f (1＋1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，而50＝4×12＋2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.【例2】(2020池州联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①∀x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 025)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a 【答案】B【解析】由条件①知，当x ∈[4,8]时，f (x )为增函数；由条件②知，f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，f (x )是周期为8的周期函数；由条件③知，y ＝f (x )关于直线x ＝4对称，所以f (11)＝f (3)＝f (5)，f (2025)＝f (1)＝f (7)，故f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜a ＜c .故选B.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【答案】C.【解析】：函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54 D ．3 【答案】A【解析】：.由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4 D ．－4 【答案】D【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.4.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2x －2x ，则f (x )x>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】因为当x >0时，函数f (x )单调递增，又f (1)＝0，所以f (x )＝2x －2x >0的解集为(1，＋∞)，所以f (x )x ＞0在(0，＋∞)上的解集为(1，＋∞)．因为f (x )是奇函数，所以f (x )x 是偶函数，则f (x )x >0在R 上的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5.已知定义域为R 的奇函数f (x )满足⎪⎭⎫⎝⎛+x f 23＝⎪⎭⎫⎝⎛x f -21，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝( ) A ．－278B ．－18C.18D.278【解析】：因为⎪⎭⎫⎝⎛+x f 23＝⎪⎭⎫⎝⎛x f -21，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+123f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛1-21f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ，又因为函数为奇函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝321-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18.6.已知函数f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．8【解析】：f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1＝1＋x 32|x |＋1.设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (x )定义域为R ，关于原点对称，且g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0.因为M ＝f (x )max ＝1＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以M ＋m ＝1＋g (x )max ＋1＋g (x )min ＝2.7.(2019·沈阳测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( )A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数 【答案】B【解析】因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为当x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数．故选B.8．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1B.45 C ．－1D ．－45【解析】 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数．因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.故f (log 220)＝f (log 220－4)＝⎪⎭⎫ ⎝⎛45log 2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛45log --2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛54log --2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-5154log 22＝⎪⎭⎫⎝⎛+-5154＝－1.故选C.9．(2020·成都八中月考)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛131，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，∪(1，＋∞)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛3131，D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，∪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31 【解析】 由题意知f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，易得函数f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数，所以不等式f (x )＞f (2x －1)等价于|2x －1|＜|x |，解得13＜x ＜1，则x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛131， 10.(2020·福建龙岩期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋1)＝－f (x －1)，若f (－1)>1，f (5)＝a 2－2a －4，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】：由f (x ＋1)＝－f (x －1)，可得f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )的周期为4，则f (5)＝f (1)＝a 2－2a －4，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－1)>1，所以f (1)<－1，所以a 2－2a －4<－1，解得－1<a <3，故答案为A.二、填空题1.已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1.则f (17)＝ ，f (20)＝ ． 【答案】：1 －13【解析】： 因为f (x ＋2)＝－1f （x ）， 所以f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以函数y ＝f (x )的周期T ＝4. f (17)＝f (4×4＋1)＝f (1)＝1.f (20)＝f (4×4＋4)＝f (4)＝f (2＋2)＝－1f （2）＝－12×2－1＝－13.2.(2020·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 023)＝__________. 【答案】 2【解析】因为f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3，f (3)＝f (－3)＋f (3)＝－f (3)＋f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )＋0＝f (x )，所以T ＝6，f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2.3.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ． 【答案】：3【解析】：f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2①， f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4②， 由①②得，2g (1)＝6，即g (1)＝3.4.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))＝ ．【答案】：－1【解析】：因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.5.设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝ ．【答案】：32【解析】：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝12＋1＝32.6.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝x⎪⎭⎫⎝⎛21，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是 ． 【答案】：f (1)>g (0)>g (－1)【解析】：在f (x )－g (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x －2x2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．7.(2019·常德模拟)设f (x )是偶函数，且当x ＞0时，f (x )是单调函数，则满足f (2x )＝⎪⎭⎫⎝⎛++41x x f 的所有x 之和为______。

专题二 考点06 函数的奇偶性与周期性（C 卷）1.已知()f x 在R 上为奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为( ) A.0B.-1C.1D.22.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是( ) A.(1)1f x -- B.(1)1f x -+ C.(1)1f x +-D.(1)1f x ++3.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,221()1x f x x +=+,则()2020f =（ ）A.12 B. 12-C.1D.20204.已知定义在R 上的函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，30.2a =，0.23b =，0.2log 3c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为( ) A.()()()f a f b f c >> B.()()()f c f a f b >> C.()()()f b f a f c >>D.()()()f c f b f a >>5.设函数()()y f x x =∈R 为偶函数,且x ∀∈R ,满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当[2,3]x ∈时,()f x x =,则当[2,0]x ∈-时,()f x =( )A.4x +B.2x -C.21x ++D.31x -+6.已知()3()2()F x x x f x =-，且()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 不恒等于零，则()F x 为( ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数7.已知()f x 是定义在区间(,0)(0,)-∞⋃+∞上的奇函数，对任意不相等实数12,(0,)x x ∈+∞，满足()()1221210x f x x f x x x ->-，且(2)4f =，则不等式()20f x x ->的解集为( ) A.(2,0)(2,)-⋃+∞B.(2,0)(0,2)-⋃C.(,0)(0,4)-∞⋃D.(,2)(2,)-∞-⋃+∞8.函数()f x 对任意x ∈R 满足1(4)()f x f x +=及()()0f x f x --=，且在(2,0)-上有()2f x x =-，则(2021)f =( ) A.13-B.13C.-3D.39.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.()()()251180f f f -<< B.()()()801125f f f <<- C.()()()118025f f f <<- D.()()()258011f f f -<<10.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数:1,,()0,c x f x x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q （其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：,,(),c a x D x b x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q （其中,a b ∈R ，且a b ≠）以下对()D x 的说法错误的是( )A.()D x 的定义域为RB.当a b >时，()D x 的值域为[,]b a ；当a b <时，()D x 的值域为[,]a bC.()D x 偶函数D.()D x 为在实数集的任何区间上都不具有单调性11.已知定义在R 上的偶函数() f x 满足(1)(3)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()31x f x =-，则(2021)f -=________;当[2,4]x ∈时，()f x =________.12.已知定义在R 上的奇函数()f x ,对任意x 都满足()()24x x f f +=-,且当[0,3]x ∈时,()()2log 1f x x =+,则()2019f =________________.13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，则(1)f -=__________.14.已知函数()y f x =，()y g x =的定义域为R ，且()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数，若(2)2f =，则(2)g -=_________.15.设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足： ①(1,0)x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，,(1,1)x y ∈-.则()f x 是________函数（填“奇”或“偶”），且()f x 在定义域上是__________函数（填“增”或“减”）.答案以及解析1.答案：A 解析：(2)(),()f x f x f x +=-∴为周期函数，且4T =.又()f x 为奇函数，(0)0.(6)(2)(0)0f f f f ∴=∴==-=. 2.答案：B解析：本题考查函数的性质.由1()1xf x x-=+，得1(1)2(1)1(1)x x f x x x ----==+-，1(1)(1)1(1)2x x f x x x -+-+==+++，所以22(1)112x f x x x ---=-=-，显然不是奇函数；22(1)11x f x x x --+=+=是奇函数；22(1)12xf x x --+-=+显然不是奇函数；2(1)12f x x++=+，显然不是奇函数. 3.答案：A解析：∵函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()33f x f x -=--，∴由题意得()()()33f x f f x x -==--，∴()()()333f x f x f x +=+-=，∴()f x 的周期为3，∴(2020)(36731)(1)(1)f f f f =⨯+==--.又3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，221()1x f x x +=+，∴1(1)2f -=-，∴1(2020)2f =.4.答案：C解析：函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，∴函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，∴函数()y f x =为奇函数.函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，∴函数()y f x =在R 上单调递增，0.230.2310.20log 3b a c ∴=>>=>>=，()()()f b f a f c ∴>>，故选C. 5.答案：D 解析：x ∀∈R ,满足31,(2)()22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()()y f x x =∈R 是周期为2的函数.①当[2,1]x ∈--时,4[2,3],()(4)4x f x f x x +∈=+=+;②当(1,0]x ∈-时,[0,1),2[2,3)x x -∈-+∈,又函数()()y f x x =∈R 为偶函数,()()(2) 2f x f x f x x ∴=-=-+=-+.综合①②可知,当[2,0]x ∈-时,()3|1|f x x =-+.故选D.6.答案：B解析：依题意得()F x 的定义域为R ，且()()33()2()2()()F x x x f x x x f x F x -=-+-=-=，所以()F x 为偶函数，故选B. 7.答案：A解析：令210x x >>，则210x x ->，依题意可得()()1221x f x x f x -0>，即()()21210f x f x x x ->，令()()f x F x x=，则()F x 在(0,)+∞上是增函数， 易知()F x 为偶函数且在(,0)-∞上单调递减， 当0x >时，()20f x x ->等价于()20f x x ->，即()(2)22f x f x >=，即()F x (2)F >，则2.x >当0x <时，()20f x x ->等价于()20f x x-<，即()(2)F x F <-，则2x -<<0.综上，不等式()20f x x ->的解集为(2,0)(2,)-⋃+∞，故选A.8.答案：B 解析：由1(4)()f x f x +=得1(8)()(4)f x f x f x +==+，所以函数()f x 的周期为8因为()()0f x f x --=，所以函数()f x 为偶函数，其图像关于y 轴对称又在(2,0)-上有()2f x x =-，所以1111(2021)(82525)(5)(1)(1)2(1)3f f f f f =⨯+=====---. 故选B. 9.答案：D解析：因为()f x 满足()()4f x f x -=-,所以()()8f x f x -=,所以函数()f x 是以8为周期的周期函数,则()()()()()()251,80013,1f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足()()4f x f x -=-,得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]0,2是增函数,()f x 在R 上是奇函数,所以()f x 在区间[2,2]-上是增函数,所以()()()101f f f -<<,即()()()258011f f f -<<.故选D. 10.答案：B解析：显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A 正确； ()D x 的函数值只有两个，所以()D x 的值域为{,}b a ，故B 错误；若x ∈Q ,则x -∈Q ,()()D x D x a =-=,若x ∈Q ,则c x -∈Q ,()()D x D x b =-=,所以()D x 为偶函数，故C 正确；由于任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有有理数，()D x 的函数值在a ,b 之间无限转换，所以()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D 正确. 11.答案：2;43x -解析：由(1)(3)f x f x +=-，得(4)()f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的周期函数.所以(2021)(2021)(45051)(1)312f f f f -==⨯+==-=.设[2,0]x ∈-，则[0,2]x -∈.因为()f x 是R 上的偶函数，所以当[2,0)x ∈-时，()()31x f x f x -=-=-.当[2,4]x ∈时，4[2,0]x -∈-，所以(4)4()(4)3131x x f x f x ---=-=-=-. 12.答案：2解析：由()()24f x f x +=-可得()()6f x f x =-,又()f x 在R 上为奇函数,即()()()00,f x f x f -=-=,所以()()()()612f x f x f x f x =--=-+=+,则()f x 是周期为12的周期函数,所以()()()()220191681233log 312f f f =⨯+==+=. 13.答案：-3解析：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+， 所以()2(1)(1)1213f f -=-=-+⨯=-. 14.答案：2解析：因为()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数， 所以(2)(2)(2)(2)f g f g -+-=+①， (2)(2)(2)(2)f g g f ---=-②，由①②可得，(2)(2)f g =-，若(2)2f =，则(2)2g -=.故答案为2. 15.答案：奇；减解析：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=，所以(0)0f =， 令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，又因为(1,1)x ∈-， 所以()f x 为奇函数.任取12,(1,0)x x ∈-，且12x x <，则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，因为1210x x -<<<，所以120x x -<，1201x x <<， 所以1210x x ->， 所以121201x x x x -<-，因为()()12121212111011x x x x x x x x +--+=>--，所以121211x xx x ->--， 所以1212101x x x x --<<-，由条件①得121201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，所以()()120f x f x ->， 所以()f x 在(1,0)-上是减函数， 又()f x 为奇函数， 在(1,0)-上()0f x >， 所以()f x 在(1,1)-上是减函数.。

复习专题5--抽象函数的奇偶性周期性对称性抽象函数的奇偶性、周期性和对称性是数学中重要的概念，它们用来描述函数的特点和性质。

在本文中，我们将对这些概念进行复习和详细解释。

首先，我们来复习抽象函数的奇偶性。

奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)有相反的符号。

奇函数的图像关于原点对称，通常呈现出关于原点对称的特点。

例如，f(x)=x^3是一个奇函数，因为f(-x)=-x^3、对于奇函数，如果其函数图像在原点通过，则其图像也必然经过一些关于原点对称的点。

与奇函数相对的是偶函数。

偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(-x)与f(x)相等。

偶函数的图像关于y轴对称，通常呈现出关于y轴对称的特点。

例如，f(x)=x^2是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2、对于偶函数，如果其函数图像在y轴通过，则其图像在整个y轴上对称。

接下来，我们来复习抽象函数的周期性。

周期函数是指满足f(x+T)= f(x)的函数，其中T是一个常数，称为函数的周期，函数定义域内的任意x都满足这个条件。

周期函数的特点是其函数图像在横坐标上以一定的间隔重复出现。

例如，f(x) = sin(x)是一个周期函数，它的周期是2π，即对于任意x，f(x+2π) = sin(x)。

最后，我们来复习抽象函数的对称性。

对称函数是指满足f(x)=f(-x)的函数，即对于函数的定义域内的任意x，函数值f(x)与f(-x)相等。

对称函数的图像有一个对称轴，即对于任意在对称轴上的点x，其关于对称轴的对称点也属于函数的图像。

例如，f(x)=x^4是一个对称函数，因为f(x)=f(-x)=x^4、对称函数的对称轴可以是y轴、原点或其他直线。

综上所述，奇偶性、周期性和对称性是抽象函数重要的特性。

它们可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像，并在解决问题中起到指导作用。

第四节：函数的奇偶性题型14、函数奇偶性的概念知识点摘要：➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。

➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。

③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。

④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。

典型例题精讲精练：1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型15、判断函数的奇偶性知识点摘要：➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。

➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。

➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。

典型例题精讲精练：15.1.定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.15.2.奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()x x x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x ③x x cos y =【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. （3）奇函数】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。

第二篇 函数及其性质 专题2.03 函数的奇偶性与周期性 【考试要求】 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义； 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义. 【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点

偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称

奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【微点提醒】 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( ) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( ) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( )