1.二次根式

二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4）=_________（a ___0，b ___0）；（5=_________（a ___0，b ___0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____.4.二次根式的乘、除法则：（1）=______（a ___0，b ___0）；（2）=_______（a ___0，b ___0）.复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（ ）A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况.3 二次根式的非负性例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）A.—15B.15C.215-D.215 方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0. 4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A.51B.5.0C.5D.50 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止. 5 二次根式的运算 例5 计算1824-×31＝____.方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6 二次根式的化简求值例6若120142013-=m，则34520132mmm--的值是_____.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

第一单元 数与式第4讲 二次根式及其运算1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．（3）二次根式有意义的条件：被开方数非负2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.（3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab＝(a≥0，b＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．(2)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．■考点一二次根式的相关概念►◇典例1：（2023•恩阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【变式训练】1．（2023•婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是．2．（2023•慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2■考点二二次根式的性质►◇典例2：（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32D．＝0.7【变式训练】1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3 C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a■考点三二次根式的运算►◇典例3：（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【变式训练】1．（2023•娄星区校级一模）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．2．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）深度讲练A ．B．1 C ．D．33．（2022•甘肃）计算：×﹣．4．（2023•兰州模拟）计算：．■考点四二次根式的化简求值及应用►◇典例4：（2020•金华二模）先化简，再求值：（a +）（a ﹣）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．【变式训练】1．（2022•瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为．真题演练1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2021•杭州）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2021•金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠05．（2023•萧山区一模）已知，则实数a的值为（）A．9 B．3 C．D．±36．（2023•南湖区一模）下列各式中，正确的是（）A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C．D．7．（2021•丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（）A．B．C．D．8．（2022•杭州）计算：＝；（﹣2）2＝．9．（2022•萧山区一模）计算：＝．10.（2023•青山区模拟）计算：﹣3＝．11．（2023•杭州）计算：＝．12．（2023•浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．13．（2023•龙游县一模）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．14．（2023•临汾模拟）计算：＝．15．（2023•萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：解：原式＝2×3＝（2×3）×（）2＝6×2＝12．试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．16．（2021•永嘉县校级模拟）计算：﹣+3+．17．（2023•舟山二模）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．18．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．。

2021年中考数学 专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）； 即：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a ”。

（3）若a b =3，则b 叫做a 的立方根；①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是 ；的平方根是 ．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是 ，9的平方根是 ， －27的立方根是 。

【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。

【答案】-2 【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。

二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b a b a =（a ≥0，b>0）；反之：b a ba =；【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。

学科教师辅导讲义题型三：最简二次根式 同类二次根式【例7】下列根式中，最简二次根式的是（ ）(A)3.0 (B)52 (C)c ab 22 (D)92+a 【例8】在下列各组二次根式中：①215831和; ②;2a a 和 ③222a a 与；④)0(>>+--+n m nm n m n m n m 和，是同类二次根式的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①④【例9】已知最简二次根式3243a a b ++与()4126b b a b ++-+是同类二次根式，求a 和b 的值.【练习】1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．（2007上海市）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列根式中是最简二次根式的是（ ）A ．33x B. 2a C. 2ab D. 2ab21.已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式（,a b 均为正整数），则a 、b 的值是（ ）A. 0a =，2b =B. 1a =，1b =C. 1b ,1a 2b ,0a ====或D. 0b ,2a ==22.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）A ．a a a 321与 B ．232a a 与 C ．3233a a 与 D ．2a a a a 12与23．（2007江苏扬州）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）A ．B ．C ．D ．24.m 为何值时，最简二次根式25m -与2m 84+是同类二次根式？25.m 为何值时，二次根式6m 24-与43m 26-（其中126m -，23m -均为最简二次根式）是同类二次根式？26.化简：a31)3a (--2．已知210a b ++-=，那么()2007a b +的值为（ ）.A 、－1B 、1C 、20073D 、20073-3．如图，在数轴上，,A B 两点之间表示整数的点有 个。

第二十一章二次根式【知识要点1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就能够用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也能够将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-． 例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。

浙教版数学八年级下册《1.2 二次根式的性质》教案1一. 教材分析《二次根式的性质》是浙教版数学八年级下册的教学内容，这部分内容主要让学生了解和掌握二次根式的性质，包括二次根式的定义、运算规则、性质等。

通过这部分的学习，为学生后续学习二次根式的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学运算有一定的基础。

但是对于二次根式的概念和性质可能还存在一定的困惑，因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，理解和掌握二次根式的性质。

三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义，掌握二次根式的性质。

2.培养学生运用二次根式的性质解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。

2.二次根式的运算规则。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生从实际问题出发，探索和理解二次根式的性质。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。

2.准备教学PPT，包括二次根式的定义、性质、运算规则等内容。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：一个正方形的对角线长为8，求这个正方形的面积。

让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式的概念。

2.呈现（15分钟）通过PPT展示二次根式的定义、性质、运算规则等内容，让学生理解和掌握二次根式的基本知识。

3.操练（15分钟）让学生进行一些二次根式的运算练习，巩固所学知识。

教师可以设置一些有关二次根式的性质的问题，让学生通过运算来验证这些性质。

4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生运用二次根式的性质解决问题，巩固所学知识。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：二次根式在实际生活中有哪些应用？可以让学生举例说明，从而拓展学生的知识视野。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确二次根式的性质及其应用。

专题1.1 二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a ＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．。

第二节二次根式及其运算知识点考点分值考频等级考查难度常见题型二次根式及其运算二次根式的概念3～4分☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的性质3～6分☆☆☆☆易选择题、填空题最简二次根式3～4分☆☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的运算3～6分☆☆☆☆☆易选择题、填空题、解答题考点一：二次根式的概念核心点拨1．二次根式定义：一般地形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．(1)被开方数可以是数字、字母，也可以是代数式．(2)二次根式有意义的条件：被开方数一定是非负数．考点二：二次根式的性质核心点拨2．双重非负性(1)a(a≥0)中的a是非负数．二次根式的被开方数及结果都不能是负数．(2)a(a≥0)的值是非负数．3．运算性质(1)a2＝⎩⎨⎧a(a≥0)，－a(a＜0).a2和(a)2二者a的取值范围不同，a2中a可取全体实数，(a)2中a一定是非负数．(2)(a)2(a≥0)＝a．考点三：最简二次根式核心点拨4．最简二次根式,最简二次根式满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．最简二次根式的两个条件缺一不可．考点四：二次根式的运算核心点拨5．二次根式的运算(1)二次根式的乘除：①a·b＝ab(a≥0，b≥0)；②ab＝ab(a≥0，b＞0)．(1)二次根式的乘除主要用于乘除运算．(2)积、商的算术平方根主要用于二次根式的化简．(2)积、商的算术平方根：①a·b＝a·b(a≥0，b≥0)；②ab＝ab(a≥0，b＞0)．(3)二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．1二次根式的概念基础点(2021·岱岳区期末)若式子x＋1x有意义，则实数x的取值范围为____________．(1)根据二次根式有意义的条件确定x＋1的范围；(2)再结合分式有意义的条件确定x的取值范围．x≥－1且x≠0解析：要使式子x＋1x有意义，必须x＋1≥0且x≠0，解得x≥－1且x≠0．故答案为x≥－1且x≠0．1－1(2021·内江)函数y＝2－x＋1x＋1中，自变量x的取值范围是( )A．x≤2B．x≤2且x≠－1C．x≥2D．x≥2且x≠－1B解析：由题意得：2－x≥0，x＋1≠0，解得x≤2且x≠－1．故选B．1－2(2022·新泰检测)若代数式x＋1有意义，则实数x的取值范围是________．x≥－1解析：∵代数式x＋1有意义，∴x＋1≥0．∴x≥－1．故答案为x≥－1．1－3(2022·滨州)若二次根式x－5在实数范围内有意义，则x的取值范围为___________．x≥5解析：由题意知x－5≥0，解得x≥5．故答案为x≥5．与二次根式有关的取值原则1．二次根式有意义，被开方数一定是非负数．2．若分母中有二次根式，则被开方数只能大于0．3．在既有二次根式，又有分式的代数式中确定取值范围，一定要考虑所有的限制条件．2二次根式的性质及化简能力点(2022·宁阳检测)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简(a＋1)2＋(b－1)2－(a－b)2的结果是( )A．－2B．0C．－2a D．2b(1)根据a2＝|a|化简；(2)绝对值化简即可．A解析：由数轴可知－2＜a＜－1,1＜b＜2，∴a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0．∴(a＋1)2＋(b－1)2－(a－b)2＝||a＋1＋||b－1－||a－b＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－b)＝－2．故选A．2－1(2022·肥城月考)计算(27－12)×13的结果是()A．33B．1C． 5 D．3B解析：(27－12)×1 3＝9－4＝3－2＝1．故选B．2－2(2021·杭州)下列计算正确的是( )A．22＝2B．(－2)2＝－2C．22＝±2D．(－2)2＝±2A解析：22＝4＝2，故A正确，C错误；(－2)2＝2，故B，D错误．故选A．2－3(2022·舟山)估计6的值在()A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间C解析：∵4<6<9，∴ 2<6<3．故选C．2－4(2022·新泰模拟)估计3×(23＋5)的值应在()A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间B解析：3×(23＋5)＝6＋15．∵9＜15＜16，∴ 3＜15＜4．∴9＜6＋15＜10．故选B．a2和(a)2的区别：1．a的取值范围不同：a2中的a是全体实数；(a)2中的a只能是非负数．2．运算顺序不同：a2是先平方，再开方；(a)2是先开方，再平方．3．运算结果不同：a2＝||a；(a)2＝a．3最简二次根式基础点(2022·宁阳月考)将452化为最简二次根式，其结果是( )A．452B．902C．9102D．3102(1)被开方数分子、分母同乘2，化为；(2)把开方出来.D解析：452＝904＝94×10＝3102．故选D．3－1(2022·泰山区期末)下列根式中，是最简二次根式的是( )A．19B．4C．a2D．a＋1D解析：A．19＝13；B．4＝2；C．a2＝|a|；D．a＋1是最简二次根式．故选D．3－2(2021·重庆A卷)计算14×7－2的结果是( ) A．7B．62C．72D．27B解析：14×7－2＝2×7×7－2＝72－2＝62．故选B．4二次根式的运算基础点考向1| 二次根式的乘除(2022·宁阳一模改编)计算：45÷33×3 5．(1)按照从左到右的顺序进行运算；(2)结果化成最简二次根式．1解析：原式＝13×15×35＝13×15×35＝13×9＝1．4－1等式x＋2x－2＝x＋2x－2成立的条件是( )A．x≠2B．x≥－2 C．x≥－2且x≠2D．x＞2D解析：x＋2x－2＝x＋2x－2成立的条件是x－2>0，得x>2．故选D．4－2(2021·岱岳区检测)计算18×12的结果是( )A．6B．62C．63D．66D解析：18×12＝32×23＝66．故选D．4－3(2022·天津)计算(19＋1)(19－1)的结果等于_______．18解析：(19＋1)(19－1)＝(19)2－12＝19－1＝18．故答案为18．4－4计算：27×50÷26．答案：15 2解析：原式＝33×52÷26 ＝156÷26＝152．考向2| 二次根式的混合运算(2021·临沂)计算：│－2│＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122．(1)去绝对值，利用完全平方公式运算； (2)进行加减运算． 答案：－2解析：原式＝2＋2－2＋14－2－2－14＝－2．5－1 (2022·东平模拟)计算：2×3－24＝________． －6 解析：原式＝6－26＝－6． 故答案为－65－2 (2021·威海)计算：24－65×45＝________．－6 解析：原式＝26－65×35 ＝26－36＝－6． 故答案为－6．5－3 (2022·泰山区检测)计算：3－25＝________． －2 解析：原式＝3－5＝－2． 故答案为－2．二次根式的运算法则1．二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．2．二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．3．二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．4．二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．二次根式的概念和运算命题点1| 二次根式的有关概念1．(2022·东平检测)下列各式中，一定是二次根式的是()A．－－2B．a2＋1C．a－1 D．3 3B解析：A．根号下不能是负数，故A选项不合题意；B．a2＋1≥1，故B选项符合题意；C．当a<1时，a－1<0，此时根号下是负数，故C选项不合题意；D．33是3的立方根，不是二次根式，故D选项不合题意．故选B．2．(2022·宁阳检测)已知二次根式2x＋1，则x的最小值是() A．0 B．－1C．12D．－12D解析：由题意得：2x＋1≥0，解得x≥－12．∴x的最小值为－12．故选D．3．(2021·绥化)若式子x0x＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A ．x ＞－1B ．x ≥－1且x ≠0C ．x ＞－1且x ≠0D ．x ≠0C 解析：若x 0x ＋1在实数范围内有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋1>0.解得x >－1且x ≠0．故选C ． 4．(2022·滨州)若二次根式x －5在实数范围内有意义，则x 的取值范围为________．x ≥5 解析：由题意知，x －5≥0， 解得x ≥5． 故答案为x ≥5． 5．(2022·宁阳检测)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y )y＝________．14 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，4－x ≥0， ∴ x ＝4．∴ y ＝－2． ∴ (x ＋y )y ＝(4－2)－2＝14． 故答案为14．6．已知y ＝x －20＋30－x ，且x 、y 均为整数，则x ＋y ＝______． 25或33 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －20≥0，30－x ≥0，解得20≤x ≤30． ∵ x ，y 均为整数， ∴ x ＝21或29．当x＝21时，y＝4，x＋y＝25；当x＝29时，y＝4，x＋y＝33．故答案为25或33．命题点2| 二次根式的性质及化简1．(2022·岱岳区月考)当x＞2时，(2－x)2＝()A．2－x B．x－2C．2＋x D．±(x－2)B解析：∵x>2，∴ 2－x<0．∴(2－x)2＝x－2．故选B．2．化简(－5)2的结果是()A．－5B．5C．±5D．25B解析：(－5)2＝5．故选B．3．(2022·东平检测)若(a－3)2＝3－a，则实数a的取值范围是() A．a＜3 B．a≤3C．a＞3 D．a≥3B解析：∵(a－3)2＝3－a＝－(a－3)，∴a－3≤0．∴a≤3．故选B．4．实数7不可以写成的形式是()A．72B．－72C．(－7)2D．(－7)2B解析：∵72＝(－7)2＝(－7)2＝7，－72＝－7，∴ 7不可以写成－72的形式．故选B．5．(2021·娄底)2,5，m 是某三角形三边的长，则(m －3)2＋(m －7)2等于( )A ．2m －10B ．10－2mC ．10D ．4D 解析：∵ 2,5，m 为三角形的三边长，∴ 5－2<m <5＋2．即3<m <7．∴ m －3>0，m －7<0．∴ (m －3)2＋(m －7)2＝m －3＋7－m ＝4．故选D ．6．(2022·贺州)若实数m ，n 满足 ∣m －n －5∣＋2m ＋n －4＝0，则 3m ＋n ＝__________．7 解析：∵ m ，n 满足 ∣m －n －5∣＋2m ＋n －4＝0，∴ m －n －5＝0,2m ＋n －4＝0．∴ m ＝3，n ＝－2．∴ 3m ＋n ＝9－2＝7．故答案为7．7．(2022·新泰模拟)如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式a 2－||a ＋b ＋(c －a )2＋||b ＋c 可以化简为( )A ．2c －aB ．2a －2bC ．－aD ．a C 解析：由数轴可得b <a <0<c ，|b |>|c |．∴ 原式＝－a －[－(a ＋b )]＋c －a ＋[－(b ＋c )]＝－a ＋a ＋b ＋c －a －b －c ＝－a ．故选C ．命题点3| 二次根式的运算1．(2021·梧州)下列计算正确的是()A．12＝3 2 B．2＋3＝5C．62＝3D．(2)2＝2D解析：A．12＝23，该选项错误；B．2和3不是同类二次根式，无法合并，该选项错误；C．62是最简二次根式，无法化简，该选项错误；D．(2)2＝2，该选项正确．故选D．2．(2022·肥城模拟)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1, ③ab÷ab＝－b．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③B解析：∵ab>0，a＋b<0，∴a<0，b<0．①等号右边根号下为负数，错误；②ab·ba＝ab·ba＝1，正确；③ab÷ab＝ab÷ab＝ab×ba＝b2＝－b，正确．故选B．3．下列二次根式中，不能与2合并的是()A．12B．8C．12 D．18C解析：12＝22，8＝22，12＝23，18＝32，∴不能与2合并的是12．故选C．4．(2021·常德)计算：(5＋12－1)·5＋12＝()A．0B．1C．2D．5－1 2B解析：原式＝(5＋1－22)×5＋12＝5－12×5＋12＝1．故选B．5．(2022·河北)下列正确的是()A．4＋9＝2＋3 B．4×9＝2×3C．94＝32D． 4.9＝0.7B解析：A．原式＝13，故该选项不符合题意．B．原式＝4×9＝2×3，故该选项符合题意．C．原式＝(92)2＝92，故该选项不符合题意．D．0.72＝0.49，故该选项不符合题意．故选B．6．(2022·泰山区模拟)计算：27·83÷12＝______．12解析：原式＝33×223×2＝12．故答案为12．7．计算：45－25×50＝______．5解析：原式＝35－25×50＝35－20＝35－25＝5．故答案为5．8．(2022·东平月考)若x＝3－2，则代数式x2－6x＋9的值为______．2解析：x2－6x＋9＝(x－3)2＝(3－2－3)2＝(－2)2＝2．故答案为2．。