1.2二次根式的性质(1)课件1

八年级下学期数学第一章 二次根式1.2二次根式的性质（1）一、回顾旧知 引入新课1、平方根的概念： （1）什么是平方根？ （2）若式子12-+-x x 有意义，则x 的取值范围 ；式子35-+x x 中x 的取值范围 。

2、完成下列填空（1是 的算术平方根，因此2= ，（2）2= ，2= ，2= ，2= ，由此可得2(0)a ≥= .（3）因为 3= ，3-= ，0= ，5= ，5-= ， 所以a = ()0a ≥或a = ()0a <（4），______22= 2=________；=_______, 5-=________；，______02= 0=________；，）（______312=31=________。

通过比较议一议：2a 与a 有什么关系？由此得出：当a ≥0，。

时，；当_____0______22=〈=a a a 即⎩⎨⎧-≥==)0()0(2a ＜a a a a二、考点知识 理解应用考点1 二次根式的性质1：2)(a = 。

对应练习：计算下列各式的值：2）2 ）2 ）2（）2 22-考点2 二次根式的性质2：⎩⎨⎧-≥==)0()0(2a ＜a a a a对应练习： 计算： （1）()()；221510-- （2）()222222+∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡--（3）325432532-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-（4）22)3()5(-+-ππ三、典型例题 深度解析例1 计算：1、2（x ≥0） 2、23、）24、2a=时，其中例4 若b ＜0，则化简3ab -的结果是（ ） A 、-bab B 、ab - C 、-ab b - D 、ab b跟踪练习：把aa 1-根号外的a 移入根号内得（ ） A 、-a - B 、a - C 、-a D 、a四、巩固练习 形成能力1、下列各式中一定成立的是（ ）A 2B 2=C 2x =-D =2、下列运算正确的是( ) A ．416±=B ．312914= C ．()932=-D ．25)52(2-=-3、如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简：|32|8136472-++--k k k 结果是（ ）A 、-5B 、4k －5C 、13D 、19-4k43x =-，则x 的取值范围是 .5、、若22)2()2(-=-x x ，则x 的范围是 。

第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。

7.1二次根式及其性质（第1课时）诸城市舜王街道解留初中宋洪波学习目标：1、了解二次根式的概念及二次根式的意义。

2、会用二次根式的性质进行二次根式的化简。

3、进一步培养学生的观察、总结能力。

教学过程：（一）、复习引入前面我们学习了平方根和算术平方根，让我们一起回忆一下：（1）、∵（）2 = 4∴ 4的平方根是即± 4 = 。

（2）如果一个数ｘ的平方等于ａ，那么叫做的平方根，或二次方根。

（3）、 a 表示什么？a需要满足什么条件？为什么？（二）、合作交流，理解“二次根式”的概念1、已知正方形的面积，你会求正方形的边长吗？完成“交流与发现”的（1）——（3）题，能说出你这样做的依据吗？2、请总结以上所得结果与算术平方根的共同点：3、理解“二次根式”的定义，并完成：选择题①．下列式子中，是二次根式的是（）A．-7 B．C D．x②．下列式子中，不是二次根式的是（）A． 4 B．16 C D．1x③．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．C．15（三）、深化认识，探究“被开方数中未知数的取值范围”。

自学例1，回答：（1）二次根式 2 x - 1 的被开方数是，被开方数需满足的条件是。

（2）试一试：当a取何值时，下列各式有意义？① a + 2 ②a2③1 a（四）、观察、思考，探索二次根式的性质1。

（1）求下列各式的值。

（ 4 ）2 =（9 ）2 = 总结：（ a ）2= （其中a 0）（16 ）2 =……（2）自学例2 ，并完成：计算：①（12 ）2②（4 5 ）2③（− 3.6 ）2④（x2+ 1 ）2（3）把下列非负数写成一个数的平方的形式。

①12 ② 2 ③ 2.5（五）、训练提升：配套练习册第1页（一、选择题二、填空题三、解答题7、8）（六）、拓展与延伸配套练习册第1页（三、解答题9、10）。