21.1二次根式1

C BA21.1 二次根式第1课时学习目标1a≥0）的意义解答具体题目．2a≥02=a （a≥0），并利用它们进行计算和化简． 学习过程 一、预习形成：请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中， AC=3，BC=1， ∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 二、课堂讲练： 探究一 议一议：1．－1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0归纳：一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式， ________称为二次根号．例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：1x x>0）1x y+x≥0，y •≥0）．归纳：二次根式应满足两个条件： (1)_________________ (2)_________________例2．当x在实数范围内有意义？练习：1．二次根式a-1 中，字母a的取值范围是（）A. a＜lB.a≤1C.a≥1D.a＞12、函数y=中，自变量x的取值范围是_________思考：如何确定二次根式中字母的取值范围？三、巩固练习教材P练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？例4.(1)已知，求xy的值．(2)=0，求a2010+b2010的值．探究二根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______．例5.计算1．22．（23．24． 2基础练习计算下列各式的值：2 = 2 = 2 = 2=-=（ 2 = 22应用拓展计算：（1）2（x≥0）（2）2（3）2（4）2五、归纳小结本节课要掌握：______________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计（一）选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A B C D．x2、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对3、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0（二）填空题1．2=________．2x _______．3的个数是__________．(三)综合提高题（选做）1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．6，求x y的值．21.1 二次根式第２课时【学习目标】1、（a≥0）并利用它进行计算和化简．2（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．【学习过程】一、复习引入1．形如_____________的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个_____________；3．2＝_____（a≥0）．猜想：当a≥0，举例说明.二、探究新知填空：=_______；=________．结论例1计算1．22．（23．24． 2例2化简:（1（2（3（4==;张后同学的解答过程是在化简时,李明同学的解答过程是4=-. 谁的解答正确?为什么?4三、巩固练习1、计算下列各式的值：2222（ 2 22-2、教材P7练习2．四、应用拓展例3 计算1．2（x≥0）2．23． 2例4在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例5 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2－a，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例6 当x>2· · · · 0 1 2p 例7 实数p 在数轴上的位置如图所示：2三、课堂小结：四、课堂评价：（一）选择题1 ）． A ．0 B ．23 C ．423D ．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A BC D （二）填空题1．2m 的最小值是________． （三）综合提高题（选做）1．若│1995－，求a －19952的值．（提示：先由a －2000≥0，判断1995－a •的值是正数还是负数，去掉绝对值）2. 若－3≤x≤2时，试化简│x －《二次根式》自我检测1、计算： （1） =2)32(－（2）=+-442x x （2≥x ） （3）2)73( = （4）2)52(-= 2、下列等式中的字母应符合什么条件？ （1）22)(a a = （2）a a -=23、判断正误，如果是错的，请写出正确结果.（1）2)2(2-=- （2）7434322=+=+4、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简：22)()(c a b c b a +----5、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，则△ABC 的形状是 三角形．作业：回归教材，认真阅读.完成课本上21.1没有完成的练习及习题，做好小组展示准备.21.2 二次根式的乘除第１课时【学习目标】1、a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简2、•a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．【学习过程】一、预习形成1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1（2（3（4二、课堂讲练一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5三、巩固练习（1）计算：①②(2) 化简:（3）教材P11练习全部.四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2五、课堂小结：六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．（一）选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C D311x-=）A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1 4．下列各等式成立的是（）A．B．C．D．（二）填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）综合提高题（选做）1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==……通过上述探究你能猜测出： （a>0）,并验证你的结论． 3*．化简(x －1x)2+4 －(x+1x)2－44.已知2310x x -+=.5.已知,a b (10b -=，求20112012a b -的值.21.2 二次根式的乘除第２课时【学习目标】a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．12、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．【学习过程】一、预习形成1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1；；（2；（3（4．3．利用计算器计算填空:（填>,<,=）二、课堂讲练知识归纳：一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1例2．化简：（1（2（3（4三、巩固练习教材P14 练习1．四、应用拓展例3．=，且x为偶数，求（1+x的值．五、归纳小结六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 （一）选择题1的结果是（ ）．A ．27 B ．27 C D ．72．阅读下列运算过程：3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”（ ）．A ．2B ．6C ．13D *（ 二）填空题1．分母有理化:(1)=______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．（三）综合提高题（选做）11，•现用直径为3的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1·m>0，n>0）（2）－（a>0）21.2 二次根式的乘除第3课时【学习目标】1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【学习过程】一、预习形成计算（1（2（3二、课堂讲练议一仪：观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．____________________________________________；2．___________________________________________．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例1、现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那．试着化简一下。

第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3a≥0，b≥0）a≥0，b>0）a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1a≥02＝a（a≥0（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式的乘法3课时21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时章节测试讲评2课时21．1 《二次根式(1)》学案课型: 上课时间：课时：学习内容：二次根式的概念及其运用学习目标：1a≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习（一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．． 问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．） （二）学生学习课本知识4、5页（三）、探索新知1、知识： 平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式， ．例如：形如 、 、 是二次根式。

21.1.1二次根式（一）作业稿1、下列各式中，-222+a ，a ， a -(a<0)，π，31+a 是二次根式的是 。

2、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛253 3、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。

4、当=x 时，代数式45x +有最小值，其最小值是 。

5、在实数范围内因式分解：（1）-=-229x x ( )2=__)__)(()3__)(__(-+=-+x x x （2）-=-223x x ( )2= __)__)((-+x x6、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ） A 、3+a B 、3-a C 、3+a D 、32+a7、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ） A 、 a ＜l B 、a ≤1 C 、a ≥1 D 、a ＞18、已知03=+x 则x 的值为A 、 x >-3B 、x <-3C 、x =-3D 、 x 的值不能确定 9、下列计算中，不正确的是 （ ）。

A 、3= 2)3(B 、 0.5=2)5.0(C 、6.06.02= D 、35)75(2= 10、当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？⑴x 35- ⑵123--x ⑶12+x⑷13-x （5）2)2(-x ⑹48-+x x11、已知a 、b 为实数，且421025+=-+-b a a ，求a 、b 的值．12、已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．13、若1a ++1b -=0，求a 2012+b 2012的值．21.1.2二次根式（二）作业稿1、若21x =，则x = ，332y =；则y = ．2、计算：2122⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．3、计算：9911616-= ． 4、若6x -有意义，则x 的取值范围是 ． 5、()2a --的值为（ ） A ．aB ．a -C ．aD ．a -6、当0a <时，化简2a a -为（ ）A ．2aB ．0C ．2a -D ．以上答案都不对7、若代数式323x x --有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．233x x >≠且 B ．23x ≥C ．233x x ≥≠且 D ．233x x ≤≠-且 8、若一个有理数的平方根与立方根相同，这个数是（ ） A ．0B ．1C ．0或1D ．1或－19、是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)5a - (2)7a + (3)27x + (4)512x x --10、计算． (1)()211(2)()213-(3) ()223-⨯(4)2(0.2) (5) ()285(6)2177⎛⎫- ⎪⎝⎭11、计算：（1）221742174⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）()3313+∙-12、已知式子31xx --有意义，化简210251x x x -+++．。

华东师范大学出版社九年级上册第21章第一节
21.1.1二次根式（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本章主要内容是初中代数运算的基础内容，在整个中学代数中起承上启下的重要作用，内容有两部分，它们是二次根式的有关概念、性质和二次根式的四则运算。

本章的第一部分是二次根式的有关概念、性质。

它是把前面学习的实数写成式子进行运算，体现了由特殊到一般的数学思想，同时二次根式的概念和性质又是今后学习根式运算、函数的知识储备.
2．对象分析
（1）学生是乡镇普通初中九年级的学生，班级学生学习方面存在一定的差异；但学生对数学抱有浓厚的兴趣。

（2）学生在前面已学习了平方根，基本上掌握了平方根。

3．环境分析
（1）教师自制多媒体课件。

（2）上课环境为多媒体教室。

二、教学目标：
知识技能：积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动，在活动中体验成功的喜悦．
过程与方法：(1)了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

(2) 掌握二次根式有意义的条件。

(3) 掌握二次根式的基本性质：)0
a
≥a
(0≥
情感、态度、价值观：通过计算、观察、类比、归纳、猜想，探索二次根式的概念、
性质的发生过程；发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
三、教学重点、难点
教学重点：掌握二次根式的有关概念、性质；能熟练地运用二次根式的有关概念、
性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学难点：能熟练地运用二次根式的有关概念、性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学重点、难点突破方法：通过类比平方根和算术平方根的有关概念、性质突破难点
四、教学过程。

教师辅导教案辅导科目：数学学员姓名：年级:初三学科教师：课时数：3 第1 次课授课主题二次根式教学目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握二次根式的性质.3、理解并掌握最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.4、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.授课日期及时段教学内容第一板块二次根式【知识梳理】一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，根号下面的数叫作被开方数．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负实数.二、二次根式的性质1.重要结论；；.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a≥）.（2）2a与2()a要注意区别与联系：①a的取值范围不同，2()a中a≥0，2a中a为任意值.②a ≥0时，2()a ＝2a ＝a ；a ＜0时，2()a 无意义，2a ＝a -.2.积的算术平方根（a ≥0，b ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a ≥0，b ≥0，才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了.三、最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数不含有分母.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】 一、二次根式的概念1．当x 为实数时，下列各式()2223,1,,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个. 【答案】 3； 【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B ；2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y ＝2+x －x 23-； 解：（1）1x -≥0，所以x ≥1.（2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32；举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ） A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x【答案】B ；二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)232()4-⨯- (2)2(3.14)π-【答案与解析】 解：(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三 【变式】（1）2)252(-＝_____________ （2）2)2(2a a ---＝_____________【答案】(1) 10；(2) 0.4. 已知0a <，那么22a a -可化简为（ ）A. a -B.aC.3a -D.3a 【答案】C ；【解析】0,=-233a a a a a <-=-=-∴原式.【总结升华】重点考查二次根式的性质：.举一反三【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________. 【答案】0或－1. 三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).【答案与解析】 解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母； 和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式. 举一反三【变式】化简2325(2)(0,0)a b c a b ->> 【答案】原式＝22242a ab c c ＝22abc ac .【能力检测】 对的，坚持；错的，放弃！一．选择题1.若二次根式1x -有意义，则x 的取值范围是（ ）. A.1x ≠ B ．x ≥1 C. x ＜1 D.全体实数2. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a -3. 若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.43x ≥B.43x >C.34x ≥D. 34x > 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).A.与B.与C.与D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．8 B ．24x y + C ．D ．6. k 、m 、n 为三整数，若135=k 15，450=15m 180=6n ，，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系正确的是（ ）A ．k ＜m=n A ．k ＜m=n C ．m ＜n ＜k D ．m ＜k ＜n7、若32a 3a +＝﹣a 3a +，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤a≤0B ．a≤0C ．a ＜0D ．a≥﹣3二. 填空题8. 当x ______时，式子x -在实数范围有意义； 当x _______时，式子2x -在实数范围有意义. 9.＝____________； 若，则____________.10．（1）2)53(-＝_____________.（2）9622++-a a a （a ＞0）＝__________________________.11.若22x x -+-＝0，则2(1)1x x--＝_______________.12.当x ≤0时，化简21-x x -＝________________________. 13. 在实数范围内分解因式22x -＝__________________.14．计算：(6＋5)2015·(6－5)2016＝________．三 ．解答题13. 当x 为何值时，下列式子有意义？（1）21x + (2) 2x -（3）11y x =-； （4）11y x =-；14. 已知实数x y ，满足，求代数式的值.15. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】 B ；2．【答案】 D ；【解析】因为1a < 原式＝1111a a a --=--=-. 3.【答案】 A ；【解析】根据题意得：3x －4≥0，解得：x ≥43. 4．【答案】 C ； 5．【答案】 B ；【解析】 根据最简二次根式的性质，A,D 选项都含有能开方的项，C 选项含有分母，所以选B.6．【答案】 D ；【解析】135=315，450=152180=65，，可得：k=3，m=2，n=5，则m ＜k ＜n ． 二、填空题7.【答案】 x ≤0；x ＝0； 8 【答案】2;7x m -=±； 9.【答案】(1) 45； (2) －3； 10.【答案】 －1；【解析】因为22x x -+-＝0，所以2－x ≥0，x －2≥0，所以x ＝2;则原式＝2(12)112-=--.11.【答案】 1；【解析】∵x ≤0时，∴21-=1+=1x x x x --. 12.【答案】(2)(2)x x +-； 三、 解答题 13.【解析】 解：（1）21x +≥0，即x 为任意实数.（2）2x -≥0，即2x ≤0，即x ＝0. （3）10,1x x ->>∴.（4）0,10,01x x x x ≥-≠≥≠∴且.14.【解析】 解：因为，所以x ＝5，y ＝－4. 则＝2008(54)-＝115.【解析】解：因为1+21122y x x =-+-，所以21x -≥0,12x -≥0，即x ＝12，y ＝12则2234x xy y ++=.第二板块 二次根式的乘除生活不是等待风暴过去，而是学会在雨中翩翩起舞。