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5.7窄带随机过程包络和初相的特性

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E[[a(t
+ ) 2
− a(t)]2 ]
c2T02E[a2 (t)] 2
对于窄带随机过程，在一个高频周期内， a(t) 变化的概率趋于0，
即a(t) 为慢变化的随机过程。
同理， b(t) 也为慢变化的随机过程。
窄带随机过程包络和初相的特性
包络：
A(t) = a 2 (t) + b2 (t) 1/ 2 b(t)
化的随机过程。
包络：
A(t)
=
a2 (t)
+
b2
(t
)
1/
2
初相：
T0 Tc
T0 1 / c
在一个高频周期T0内，a(t)的变差均方值远小于其均方值。
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窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
利用切比雪夫不等式： P
X − E[ X ]
2 X 2
P
a(t + T0 ) − a(t)
随机信号分析
目录
CCOONNTTEENNTTSS
窄带随机过程a(t)和b(t) 的特性
窄带随机过程包络和初相的特性
小结
窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
若X(t)为窄带平稳随机过程，则 a(t)、b(t)为低频限带平稳随机过程。
a(t)、b(t)自相关函数为慢变化的时间函数。
下面证明， a(t)、b(t)为慢变化的随机过程。
窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
证明：（以a(t)为例）
a(t) 的功率谱满足： Sa () = 0 c 0,c 0
E[[a(t + ) − a(t)]2 ] = 2[Ra (0) − Ra ( )]
Sa () 为偶函数
R( ) = 1
S() cos d
2 −
Ra (0)
−
Ra (
)
=
1
2
− Sa ()[1− cos ]d
窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
cos = 1− 2sin2 ( / 2) ，且 | sin |
1− cos
= 2 sin2
2
2
2
2
=
2 2
2
Ra
(0)
−
Ra (
)
=
1
2
− Sa ()[1− cos ]d
1
2
c −c
Sa
()
2
2
2
d
1 c2 2 2 2
c −c
Sa
()d
=
a(t)和b(t)的特性
Ra (0)
−
Ra ( )
c2
2
2
Ra (0)
E[[a(t + ) − a(t)]2 ] c2 2E[a2 (t)]
若 1 c
在t到t+τ的区间内a(t)的变差的均方值远小于a(t) 均方值。
对于窄带随机过程，c 0 ，令 T0 = 2 / 0 ，Tc = 2 / c
初相：
(t) = arctan(b(t) / a(t))
A(t)
φ(t) a(t)
a(t)和b(t)为慢变化的随机过程。
包络和初相为慢变化的随机过程。
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窄带平稳随机过程，其莱斯表示中的a(t)、 b(t)为慢变化的随机过程。
窄带平稳随机过程的包络和初相为慢变

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窄带随机过程

窄带随机过程

窄带随机过程通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。

一、窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。

图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足时，就可认为满足窄带条件。

若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。

若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。

随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。

图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形 二、窄带随机过程的表示方式如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。

因此窄带随机过程可用下式表示成：式中，是窄带随机过程包络；是窄带随机过程的随机相位。

窄带随机过程也可用下式表示其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。

可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。

反之，若已知的统计特性，怎样来求、或、的特性呢？三、同相分量与正交分量的统计特性设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。

可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。

1.数学期望已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可得即 2.自相关函数我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义的自相关函数为将上式展开，并取数学期望为其中因为是平稳的，可以令，得（1）同理，令，得（2）如果是平稳的，则、也是平稳的。

由于式（1）和式（2）相等，则应有可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，有可见，有上式表示，为的奇函数，所以同理可以证明得到即这表明，和具有相同的方差。

3.概率密度函数因为和统计独立，则和的二维概率密度函数为利用式（3.5.16），上式改写为以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。

第五章 窄带系统和窄带随机过程

第五章 窄带系统和窄带随机过程


图5-2 窄带系统包络线
§5.1.1 窄带－对称网络的包络线定理 线性系统的冲激响应函数 变化域 时间域: (1) 单个元器件的传递函数 函数 ; (2) 拉普拉斯反变换
R
L
系统的传递
C
窄带系统冲激响应
窄带-对称系统的包络定理
窄带-对称系统的包络定理: 1) 求解出系统传递函数 的零-极点形式;
包络检波器
宽带随 机信号
高频窄带 系统
理想带通限幅器
低通网络
接收机
§5.3窄带随机过程的包络和相位分 布
准正弦振荡表示：
包络服从 瑞丽分布
相位服从等 概率分布
同一时刻，包络和 相位是相互独立
§5.4 窄代随机信号包络线的自相关特 性
R L
拖尾
C
具有相关性：
1.衰减因子 越长; ，衰减越快， 的拖尾(尾迹)
传递函数雷达系统发送机接收机hpflpf第五章窄带系统和窄带随机过程窄带系统窄带随机过程的一般概念窄带随机过程包络和相位分布窄带随机过程包络线的自相关特性正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布51窄带系统511窄带系统及其包络线特性一窄带系统只允许靠近中心频率附近很窄范围的频率成分通过的系统称为窄带系统
C
解 (1) 电路的传输函数
电路的品质因数>>1
2)画出
的“极点分布图”,得到
极点分布图；
3)对 其中
取拉氏反变换,得到
4）由
恢复
§5.2 窄带随机过程的一般概念
§5.2.1 定义 平稳随机过程
，若其功率谱密度函数
为
则称此随机过程为平稳随机过程。
窄带高通滤波器
§5.2.2 窄带随机过程表示为准正弦振荡
5.7窄带随机过程包络和初相的特性

5.7窄带随机过程包络和初相的特性


T0 Tc
T0 1 / c
在一个高频周期T0内，a(t)的变差均方值远小于其均方值。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
利用切比雪夫不等式： P
X − E[ X ]
2 X 2
P
a(t + T0 ) − a(t)
E[[a(t
+ ) 2
− a(t)]2 ]
c2T02E[a2 (t)] 2
对于窄带随机过程，在一个高频周期内， a(t) 变化的概率趋于0，
即a(t) 为慢变化的随机过程。
同理， b(t) 也为慢变化的随机过程。
窄带随机过程包络和初相的特性
包络：
A(t) = a 2 (t) + b2 (t) 1/ 2 b(t)
)
=
1
2
− Sa ()[1− cos ]d
窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
cos = 1− 2sin2 ( / 2) ，且 | sin |
1− cos
= 2 sin2
2
2
2
2
=
2 2
2
Ra
(0)
−
Ra (
)
=
1
2
− Sa ()[1− cos ]d
1
2
c −c
Sa
()
2
2
2
d
1 c2 2 2 2
Hale Waihona Puke 窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
证明：（以a(t)为例）
a(t) 的功率谱满足： Sa () = 0 c 0,c 0
E[[a(t + ) − a(t)]2 ] = 2[Ra (0) − Ra ( )]
第5章-窄带随机过程

第5章-窄带随机过程

第五章 窄带随机过程5.1 窄带随机过程的概念1． 通信工程中的信号频率在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。

对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。

2． 窄带随机过程（1） 带通随机过程的定义若随机过程)(t X 的谱密度满足：⎩⎨⎧∆<-=其它0)()(0ωωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。

带通过程的谱密度的图解如下图。

（2） 窄通随机过程的定义若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。

3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法（1）窄带随机过程的莱斯表示定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=证明：略。

注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。

（2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。

②0))(())((==t b E t a E . 。

③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()(ττb a R R =。

④))(())(())((222t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。

⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。

⑥)()(ωωb a S S =。

4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω证明：由莱斯表示法有：)()()(22t b t a t A +=， )()()(t a t b arctgt =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。

慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。