江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高二数学10月月考试卷

2021-2021学年(xuénián)高二〔上〕10月考数学试卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.能反映样本数据的离散程度大小的数字特征是 〔 〕A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．HY 差2. 某单位有青年职工人，中年职工人，老年职工 人，为理解该单位职工的安康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，假设样本中青年职工为人，那么样本容量为〔 〕A ． 7B ． 15C ． 25D ．353．不等式的解集为( )A.B. C. D.4．对于任意实数，命题①，，那么；②假设a b >，那么；③假设22ac bc >，那么a b >；④假设a b >，那么；⑤假设，，那么．其中真命题的个数是〔 〕A ． 1B ．2C ． 3D ．4的值，那么在空白框◇中，可以填入 〔 〕A．？ B．？ C．？ D．？6. 为理解某居民(jūmín)用水情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量(单位：吨〕，将数据分成组，绘制了如下图的频率分布直方图，由图可知，居民月均用水量的众数、中位数的估计值分别为〔〕A． B． C.D．7．对任意的a∈[-1,1]，函数f〔x〕=x2+〔a﹣4〕x+4﹣2a的值总大于0，那么x的取值范围是〔〕A．x＜1或者x＞3 B．1＜x＜3 C．1＜x＜2 D．x＜2或者x＞38. 为比拟甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据〔单位：℃〕制成如下图的茎叶图.考虑以下结论：①甲地(jiǎ dì)该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的HY 差小于乙地该月14时的气温的HY 差； ④甲地该月14时的平均气温的HY 差大于乙地该月14时的气温的HY 差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为 〔A 〕①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 9.假设点不在表示的平面区域内，那么实数的取值范围是A. B.C. D.10．假设关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，那么实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－235 11．假设实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，那么ab 的最小值为 〔 〕A. 2B. 4C.D.12.不等式的解集为,其中，那么的最大值为A. B. C. D.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把正确答案(dá àn)填在答题纸给定的横线上.13．假设关于x的不等式kx2-kx+1>0的解集为R，那么实数k的取值范围是___________。

梅村高中2020——2021学年度第一学期10月考高一物理一．单项选择1.2016年第31届夏季奥运会在巴西里约热内卢举行，下列比赛中可把研究对象看成质点的是A.研究女子50米步枪三姿比赛中杜丽射出的子弹轨迹B.研究乒乓球男子单打冠军马龙的发球动作C.研究女子3米板冠军施廷懋的跳水动作D.研究苏炳添在百米跑比赛是的起跑技术2.下列有关物理学史的描述错误的是A.古希腊哲学家亚里士多德认为物体月中，下落得越快B.伽利略发现亚里士多德的观点有自相矛盾的地方C.伽利略认为，如果没有空气阻力，重物与轻物应该下落得同样快D.伽利略用实验直接证实了自由落体运动史初速度为零的匀加速直线运动3.下列书法正确的是A.物体有加速度，物体的速度一定在增大B.若物体的速度变化方向为正，则加速度方向一定为正C.加速度为正值，说明物体的速度一直在增加；加速度为负值，说明物体的速度一直在减小D.速度变化越大，加速度一定越大4.某电视台每周都有棋类节目，铁制的棋盘竖直放置，每个棋子都是一个小磁铁，能吸在棋盘上，如图所示。

不计棋子间的相互作用力，下列说法正确的是A．棋子在两个力的作用下静止在棋盘上B．棋子对棋盘的压力大小等于重力C．磁性越强的棋子所受的摩擦力越大D．相同质量的棋子所受的摩擦力相同5.关于重心，下列说法正确的是A.重心就是物体内重力最大的点B.有规则几何形状的物体的重心必与他的几何中心重合C.重心是物体各部分所受重力的合力的作用点D.重心是重力的作用点，他总是在物体上6.做匀减速直线运动的物体经4s停止，若在第1s内的位移是14m，则最后1s内的位移是A.3，5mB.2mC.1D.07.物体做直线运动的v﹣t图象如图所示．则该物体（）A．第1s内和第5s内的运动方向相反B．第2s内和第6s内的加速度相同C．在0～6s内，物体的位移大小为30mD．0～2s和0～4s内的平均速度大小相等8.科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是（g＝10m/s2）（）A．闪光的间隔时间是 t sB．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足t AB＜t BC＜t CDC．水滴在相邻两点间的平均速度满足 AB： BC： CD＝1：4：9D．水滴在各点的速度之比满足v B：v C：v D＝1：3：5二．多项选择题9.下列各组物理量均属于矢量的是A.速度、路程、加速度B.位移、重力、电场强度C.平均速度、弹力、位移D.速率、温度、质量10.关于摩擦力，下列说法正确的是A.静摩擦力可能是动力，但滑动摩擦力一定是阻力B.静止的物体也可能受到滑动摩擦力，运动的物体也可能受到静摩擦力C.有弹力的接触面才有可能产生摩擦力D.物体能静止在粗糙斜面上是因为物体受到的静摩擦力大于使物体下滑的作用力11.如图所示，A、B两长方体物块叠放在水平地面上，物块受到水平向左的力F作用，两物块均处于静止状态，下列说法正确的是A.AB之间没有摩擦力B.AB之间有摩擦力C.地面对B有水平向右的摩擦力D.地面对B有水平向左的摩擦力12.在地面上某处将一金属小球竖直向上抛出，上升一定高度后再落回原处，若不考虑空气阻力，则下列图象能正确反映小球的速度、加速度、位移和速率随时间变化关系的是（取向上为正方向）（）A．B．C．D．13.为了测出楼房的高度，让一石块从楼顶自由落下（不计空气阻力），测出下列哪一个物理量就可以算出楼房的高度；（当地的重力加速度已知）（）A．石块下落到地面的总时间B．石块下落过程的平均速度C．石块通过最初一米位移所用的时间D．石块落地前最后一秒的位移三．简答题14.某同学用如图甲所示的装置测量自由落体加速度g，得到如图乙所示的一段纸带（1）改实验使用电火花打点计时器，对于其使用的电源，下列说法正确的是A.可以使用两节干电池对其供电B.8V左右的交流电源C.220V的交流电源D.220V的直流电源（2）关于该实验的操作，下列说法正确的是A.在使用铁夹夹住电火花打点计时器时，应调整计时器上下限位孔在同一竖直线上B.在手松开纸带时，应保证纸带与限位孔在同一竖直线上C.应该在手松开指代后再开电火花打点计时器D.为了保证纸带竖直下落应该将拉纸带的手靠在电火花打点计时器限位孔上在释放纸带（3）他每两个点取一个计数点，相邻两个计数点间的时间间隔为0.04s，测得AB=11.63cm，BC=13.17cm。

江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果a ＜b ＜0，那么下面一定成立的是（ ） A ．ac ＜bcB ．a ﹣b ＞0C ．a 2＞b 2D ．1a ＜1b2．已知椭圆C 左､右焦点坐标分别是()),，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2213x y +=B ．2213y x +=C ．22123x y +=D ．22132x y +=3．已知数列{}n a 满足111,2+==+nn n a a a ，则10a =（ ）A ．1024B ．1023C ．2048D ．20474．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ） A ．－24B ．－3C ．3D ．85．关于x 的不等式()2110+++<ax a x （0a <）的解集为（ ） A ．1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,⎛⎫--⎪⎝⎭a C ．()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭6．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．127．已知,0x y >，且112x y+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．3-B ．32- C ．3+D ．32+ 8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（ ）A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91-D ．()n1314- 9．设()()12,0,,0F c F c -是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 是以12,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，若12215∠=∠PF F PF F .则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．310．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100C ．100-D ．1020011．已知-2与1是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则2222+a b c ab的最大值为（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-812．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771．） A ．2.6天 B ．2.2天C ．2.4天D ．2.8天二、填空题13．若关于x 的方程22240++-=x ax a 的两根12,x x ，满足1201x x <<<，则实数a 的取值范围是______.14．设数列{}n a 是公差0d <的等差数列，n S 为其前n 项和，若61510S a d =+，则n S 取最大值时，n =_____．15．若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最小值为______.16．若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则实数a 的取值范围为______.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和100T . 18．已知()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5. （1）求()f x 的解析式；（2）不等式组()()00f x f x k ⎧>⎪⎨+<⎪⎩的正整数解只有一个，求实数k 取值范围；（3）若对于任意[]1,1x ∈-，不等式()2⋅≤t f x 恒成立，求t 的取值范围.19．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =的菱形的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=，求12F PF S ∆. 20．设数列的前项和为n S ， 满足*31()42n n a S n N =+∈ （1）求数列的通项公式；（2）令n n b na =， 求数列{}n b 的前项和n T ． 21．已知数列{}n a ､{}n b 中，对任何正整数n 都有:11213312122+---+++++=--n n n n n n a b a b a b a b a b n（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是首项为1的等比数列，数列{}n a 是否是等差数列？若是请求出通项公式.22．数列{}n a ，11a =，2123n n a a n n +=-+（n *∈N ）（1）是否存在常数,λμ，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在，求出,λμ的值若不存在，说明理由； （2）设12311,2-==+++++-n n n n n b S b b b b a n ，证明:当2n ≥时，()19751213+≤<+n n S n .参考答案1．C 【分析】对于选项A ，()ac bc a b c -=-不一定小于零，所以不一定成立；对于选项B ，0a b -<，所以一定不成立；对于选项C ，故a 2＞b 2，所以一定成立；对于选项D ，11a b>，所以一定不成立. 【详解】对于选项A ，()ac bc a b c -=-不一定小于零，所以不一定成立； 对于选项B ，0a b -<，所以一定不成立；对于选项C ，22()()0a b a b a b -=+->，所以a 2＞b 2，所以一定成立； 对于选项D ，110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以一定不成立. 故选：C 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．A 【分析】由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x ya b a b +=>>，则222c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解出即可.【详解】由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2223c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2231a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的焦点坐标，椭圆的离心率，根据题意，利用,,a b c 的值求椭圆的标准方程，属于基础题目. 3．B 【分析】由递推关系，利用累加法求10a ． 【详解】因为12n n n a a +=+，即12nn n a a +-=，所以1029101213210912()()()1222102312a a a a a a a a -=+-+-++-=++++==-．故选：B ． 【点睛】本题考查由递推关系求数列的项，解题方法是累加法．当递推式是数列前后的差时，可用累加法求通项，若已知的是前后项的商，则可用连乘法求通项． 4．A 【分析】根据等比数列的性质和等差数列的通项公式列式解得公差，再根据等差数列的前n 项和公式计算可得结果. 【详解】设{a n }的公差为d (0)d ≠， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以2326a a a =⋅即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，所以2120d a d +=，因为0d ≠，所以12212d a =-=-⨯=- 所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋652⨯d ＝1×6＋652⨯×(－2)＝－24. 故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 5．C 【分析】把原不等式变形为1ax +与1x +积小于0，根据a 小于0，在不等式两边同时除以a ，不等号方向改变，化为1(1)()0x x a ++>，易得1-与1a-的大小，结合不等号方向，可以写出原不等式的解集，进而做出正确的选择. 【详解】原不等式化为(1)(1)0x ax ++<，因为0a <，所以进一步化为1(1)()0x x a++>， 因为0a <，所以11a->-， 所以1(1)()0x x a++>的解集为1x <-或1x a>-， 即原不等式的解集为1(,1)(,)a-∞--+∞， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的求解问题，在解题的过程中，注意利用不等式的性质对不等式进行等价变形，再者就是根据题意比较两个边界值的大小，属于简单题目. 6．B 【分析】设等比数列项数为2n 项,先根据奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比,可得通项公式，进而根据中间两项的和为24求得n. 【详解】设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则:2q S S ==奇偶,又它的首项为1，所以通项为12n na ，中间两项的和为112224n nn n a a -++=+=，解得4n =，所以项数为8，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是利用奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比. 7．D 【解析】由112x y+=得，11122x y +=，因为,0x y >，，所以 2x y +=()1113321222222y x x y x y x y ⎛⎫++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x = 时等号成立），故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 8．B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案． 【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--． 故选B ． 【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题． 9．B 【分析】根据题意可知1290F PF ∠=︒，12215∠=∠PF F PF F ，进而求得12PF F ∠和21PF F ∠，在12Rt PF F ∆中，分别表示出1PF 和2PF，进而根据椭圆的定义表示出a ，进而求得a 和c 的关系，即椭圆的离心率. 【详解】因为P 是以12,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点， 所以1290F PF ∠=︒， 因为12215∠=∠PF F PF F ，所以2115PF F ∠=︒，1275PF F ∠=︒，，所以1212sin 2sin15PF c PF F c =⋅∠=︒，2122sin 2sin75PF c PF F c =⋅∠=︒，所以1222sin152sin 752(44a PF PF c c c =+=︒+︒=+=，所以22c e a ===， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的求解问题，在解题的过程中，注意应用直角三角形两个锐角的倍数关系求得角的大小，求得两个直角边长，结合椭圆离心率的定义求得离心率的大小，属于简单题目. 10．B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和. 11．B 【解析】4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，得2b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以 ()2222423411444a b c a a a a ab a a a ⎡⎤++⎛⎫==+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选B ．点睛：本题考查基本不等式的应用．由题意得到2b ac a =-⎧⎨=-⎩，代入得2222423414a b c a a a ab a a++==+，又基本不等式2a b +≥要求,0a b >，所以变换得到 ()11444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得到答案． 12．A 【分析】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ．莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．利用等比数列的前n 项和公式及其对数的运算性质即可得出．． 【详解】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ． 莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．则A n 1312112n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，B n 2121n -=-，由题意可得：13121212112n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--，化为：2n 62n +=7，解得2n ＝6，2n ＝1（舍去）． ∴n 62lg lg ==132lg lg +≈2.6． ∴估计2.6日蒲、莞长度相等， 故选A ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．(3,2)--. 【分析】由已知中关于x 的方程22240++-=x ax a 的两根12,x x ，满足1201x x <<<，根据方程的根与对应函数零点之间的关系，我们易得方程相应的函数在区间(0,1)与区间(1,)+∞上各有一个零点，此条件可转化为不等式组(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，解不等式组即可得到实数a 的取值范围.【详解】依题意，函数22()24f x x ax a =++-的两个零点12,x x 满足1201x x <<<，根据一元二次方程根的分布，一定有(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，即22401240a a a ⎧->⎨++-<⎩，解得32a -<<-， 故答案为：(3,2)--. 【点睛】该题考查的是有关根据一元二次方程根的分布，构造不等式组求参数的取值范围问题，在解题的过程中，注意正确写出不等式组是解题的关键，属于简单题目. 14．5或6 【分析】由61510S a d =+可得116565102a d a d ⨯+=+，得60a =，又公差0d <，即可得出． 【详解】解：由61510S a d =+可得116565102a d a d ⨯+=+， 化为150a d +=，60a ∴=， 又公差0d <，因此n S 取最大值时，5n =或6， 故答案为：5或6． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的前n 项和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．3-. 【分析】由221x y xy ++=，可得22()11()2x y x y xy ++=+≤+，即可得到. 【详解】由221x y xy ++=，可得22()11()2x y x y xy ++=+≤+，即23()14x y +≤，解得x y ≤+≤，所以x y +的最小值为3-，故答案为：3-. 【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式的变形，求代数式的最值问题，属于简单题目. 16．[2,2]-. 【分析】若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则函数2()22f x x ax a =-++在区间[0,)+∞上的最小值大于等于0，按照二次函数的对称轴分类求出最值即可.【详解】若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则函数2()22f x x ax a =-++在区间[0,)+∞上的最小值大于等于0，22()()2f x x a a a =-++-，当0a ≤时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，min ()(0)20f x f a ==+≥，解得2a ≥-，所以20a -≤≤，当0a >时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增，所以2min ()()20f x f a a a ==+-≥，解得12a -≤≤，所以02a <≤，综上，a 的取值范围是22a -≤≤， 故答案为：[2,2]-. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将恒成立向最值靠拢，涉及的思想是分类讨论，属于较难题目. 17．（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）10025101T =. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3577,26a a a =+=，可得12721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1,a d 即可得出结果；（2）由（1）知，21n a n =+，可得221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，运用裂项相消法求和，之后将100n =代入求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 因为3577,26a a a =+=，所以12721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+； （2）由（1）知21n a n =+，221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，所以11111111(1)(1)4223141n T n n n =-+-++-=-++， 所以1001125(1)4101101T =-=. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式的求解，利用裂项相消法求和，属于简单题目.18．（1）2()210f x x x =-；（2）[2,1)-；（3）11[,]46-.【分析】（1）根据不等式()0f x <的解集是(0,5)，得到0,5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根，利用韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果；（2）首先求得不等式组的解，根据只有一个正整数解，得到参数所满足的条件，求得结果； （3）根据不等式恒成立，分类讨论，结合函数图象的特征求得结果. 【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根，可得052052b c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩所以2()210f x x x =-；（2）不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩即为，22221002(2)10()0x x x kx k x k ⎧->⎨++-+<⎩， 解得055x x k x k ⎧⎨-<<-⎩或，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6， 可得657k <-≤，解得21k -≤<-， 所以k 的取值范围是[2,1)-；（3）()2tf x ≤，即2(210)2t x x -≤，即2510tx tx --≤，当0t =时显然成立， 当0t >时，有15(1)1015110t t t t ⋅-⋅--≤⎧⎨⋅-⋅-≤⎩，即510510t t t t +-≤⎧⎨--≤⎩，解得1146t -≤≤，所以106t <≤， 当0t <时，函数251y tx tx =--在[1,1]-上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可， 所以有510t t --≤，解得14t ≥-，即104t -≤<， 综上，t 的取值范围是11[,]46-. 【点睛】该题考查的是有关利用三个二次之间的关系解决问题的思路和方法，在解题的过程中，注意不等式的解集的端点值就是其对应方程的根，根据不等式解的情况判断其端点值所满足的条件，恒成立问题分类讨论，属于较难题目.19．（1）2214x y +=；（2）3. 【分析】（1）由椭圆性质可知，2c e a ==，并结合222c a b =-可以得到a 与b 的关系，由“椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4”，可以列出关系式：12242a b ⨯⨯=，由此可以求出a 、b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）利用椭圆定义和余弦定理，列出等量关系式，求得1243PF PF =，最后利用三角形的面积公式求得结果 【详解】（1）由c e a ==，得到2234a c =， 再由222c a b =-，得2a b =， 由题意知12242a b ⨯⨯=，知2ab =， 解方程组22a bab =⎧⎨=⎩，得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）由椭圆定义可知124PF PF +=，即221212216PF PF PF PF ++=，由余弦定理可得22212122cos60PF PF PF PF +-⋅⋅︒=， 两式相减得122(1cos60)4PF PF +︒=，即1243PF PF =，所以1212114sin 6022323PF F S PF PF ∆=︒=⨯⨯=.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，焦点三角形的面积，在解题的过程中，可以借机推导出焦点三角形面积公式，属于简单题目. 20．（1）212n n a -=；（2）211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ 【分析】（1）求数列通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥分1,2n n =≥求解，最后验证两种情况能否合并；（2）整理212n n n b n a n -=⋅=⋅，根据通项公式特点采用错位相减法求和【详解】 （1）∵31()42n n a S n N *=+∈∴1131(2)42n n a S n --=+≥ 两式相减，得∴111,4(2).4n n n n a a a n a --==≥ 又113142a S =+，即11131242a a a =+∴= {}n a ∴是首项为2，公比是4的等比数列∴1222124222n n n na ---=⋅=⋅=．（2）212.n n n b n a n -=⋅=⋅35211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅①②①-②，得3521213(2222)2.n n n T n -+-=++++-⋅故211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ 21．（1）见解析；（2）当等比数列{}n b 的公比2q时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【分析】（1）根据等差数列的性质求得数列{}n a 的通项公式，代入11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--中，利用错位相减法，结合数列的项与和的关系求得12n nb -=，进而推断数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，结合{}n b 首项为1，代入11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--，整理得到1(21)22n n n n q a n +--+=--，进而求得n a 的表达式，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必须2q，进而得出结论当等比数列{}n b 的公比2q 时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【详解】（1）依题意数列{}n a 的通项公式是n a n =， 故等式即为1122123(1)22n n n n b b b n b nb n +--++++-+=--，123123(1)21(2)n n n n b b b n b n n ---++++-=--≥，两式相减得122121n n n n b b b b b --+++++=-，验证1n =时也成立，可求得12n nb -=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则1n n b q -=，从而有1231123122n n n n n n qa q a q a qa a n ---+-+++++=--，234123121(2)n n n n n q a q a q a a n n ----++++=--≥，所以1(21)22n n n n q a n +--+=--，(2)2(1)2n n a q q n q =-⋅+-+-，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必需2q ，即当等比数列{}n b 的公比2q时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的证明，探究一个数列是等差数列的条件，属于难题.22．（1）存在1,1λμ=-=满足条件；（2）见解析. 【分析】（1）由题意知212(2)n na a n n λμλλμ+=++---，故1230λμλλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，所以存在11λμ=-⎧⎨=⎩，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列； （2）由题意知21n b n =，之后应用放缩法，结合裂项相消求和，证得右半部分，利用数学归纳法证得左半部分，最后证得结果. 【详解】（1）设2123n n a a n n +=-+可化为221(1)(1)2()n n a n n a n n λμλμ+++++=++， 即212(2)n n a a n n λμλλμ+=++---，故1230λμλλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=⎩，且21110a -+≠，所以存在1,1λμ=-=，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列； （2）由（1）得2211(11)2n n a n n a --+=-+⋅， 所以122n n a n n -=+-，故12112n n n b a n n -==+-，因为222144224412121n b n n n n n ==<=---+， 当2n ≥时，1232222225251()()()355721213213n n S b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-++， 下边验证19712(1)n n S n +≥+，当2n =时，215144S =+=，192745512(21)364⨯+==+，显然成立， 假设当n k =时命题成立，即211119714912(1)k k k +++++≥+， 则当1n k =+时，22211111971149(1)12(1)(1)k k k k k ++++++≥++++， 要使命题成立，即为2197119(1)712(1)(1)12(2)k k k k k ++++≥+++，两边同乘以212(1)(2)k k ++得2(197)(1)(2)12(2)(1926)(1)k k k k k k +++++≥++， 展开得322322197572138141224192638521926k k k k k k k k k k k +++++++≥+++++，整理得3826≥，显然成立， 所以当1n k =+时命题也成立， 综上，对2n ≥，都有19712(1)n n S n +≥+，故当2n ≥时，197512(1)3n n S n +≤<+，命题得证.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用题中所给的递推公式，研究是否存在相关常数满足对应数列是等比数列的解集方法，利用放缩法和数学归纳法证明不等式，属于难题.。

江苏省梅村高级中学2020-2021学年度第二学期期中试卷高一数学命题：校对：审核：注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共4页，包含选择题（第1题~第12题，共12题）、非选择题（第13题~第22题，共10题）两部分。

本卷满分150分，答题时间为120分钟。

2、试题答案需作答在答题卡，答在试卷上无效。

3、作答选择题时必须用28铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

4、如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．在平行四边形ABCD 中，＝（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵ABCD 是平行四边形，∴＝．故选：A ．2．在△ABC 中，若b ＝2，B ＝30°，则的值为（ ）A ．34B ．32C ．4D ．2 【答案】A【解答】解：由正弦定理得：，∴a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C ，∴＝＝2R ＝＝＝43. 已知向量)4,3(),2,(-==b x a ，若//，则=x （ ） A ．38B ．38-C ．23 D ．23-【答案】D【解答】∵b a //，∴230324-=⇒=⨯--x x4．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和一带一路”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（）A．2800 B．3000 C．3200 D．3400【答案】D【解答】解：根据扇形统计图知，高三所占的扇形圆心角为360°﹣144°﹣80°＝136°，且高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为2000÷＝3400（份）．故选：D．5．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及共运算具有了几何意义，例如，|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．在复平面内，复数z0＝（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，其对应的点为Z0，Z为曲线|z|＝1上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为（）A．B．1 C．D．2【答案】B【解答】解：z0＝＝＝，∵z0为纯虚数，∴，即a＝﹣2．∴z0＝2i，则Z0（0，2），Z为曲线|z|＝1上的动点，其轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，则Z0与Z之间的最小距离为2﹣1＝1．故选：B．6．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，…，x100，它们的平均数为，方差为s2；其中扫码支付使用的人数分别为2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2x100+3，它们的平均数为，方差为s′2，则，s′2分别为（）A．2+3，2s2+3 B．2，2s2C．2+3，4s2+3 D．2+3，4s2【答案】D【解答】解：共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，…，x100，它们的平均数为，方差为s2，扫码支付使用的人数分别为2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2x100+3，它们的平均数为，方差为s′2，则＝，s′2＝4s2．7．有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B＝45°，a＝，，求角A．若已知正确答案为A＝60°，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件是（）A．C＝75°B．C．b cos A＝a cos B D．【答案】D【解答】解：由于正确答案为A＝60°，故B＝75°＝45°+30°，根据正弦定理＝，解得．故一个符合要求的已知条件可以是．而选项中没有该选项，但由，即，得c＝．也就是给出，使用所有已知条件能解出正确答案为A＝60°．故选：D．8．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】C【解答】解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（﹣8，0），B（﹣6，），C（﹣2，）．圆D的方程为x2+y2＝3，可设P（），所以，．故＝＝＝12sin（）+24≤12+24＝36．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9．已知复数z（1+2i）＝5i，则下列结论正确的是（）A．B．复数z在复平面内对应的点在第二象限C．＝﹣2+iD．z2＝3+4i【答案】AD【解答】解：因为z（1+2i）＝5i，所以z＝＝＝＝2+i，其对应的点（2，1）在第一象限，B错误，又|z|＝，A正确，所以＝2﹣i，C错误，z2＝（2+i）2＝3+4i，D正确．故选：AD．10．下列结论正确的是（）A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin BB．在锐角三角形ABC中，不等式b2+c2﹣a2＞0恒成立C．在△ABC中，若，a2﹣c2＝bc，则△ABC为等腰直角三角形D．在△ABC中，若b＝3，A＝60°，三角形面积，则三角形外接圆半径为【答案】ABC【解答】解：对于选项A：在△ABC中，若A＞B，根据大边对大角，所以a＞b，利用正弦定理，所以2R sin A＞2R sin B，则sin A＞sin B，故选项A正确．对于选项B：，故不等式b2+c2﹣a2＞0恒成立，故选项B正确．对于选项C：在△ABC中，a2﹣c2＝bc，可得，所以b2+c2+2bc＝2a2，由于a2﹣c2＝bc，所以b2+c2+2（a2﹣c2）＝2a2，所以b＝c，所以B＝C＝，所以A＝，故正确．对于选项D：在△ABC中，若b＝3，A＝60°，三角形面积所以，解得c＝4，所以＝，由正弦定理，故选项D错误．故选：ABC．11．某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：场次 1 2 3 4 5 6甲得分31 16 24 34 18 9乙得分 23 21 32 11 35 10则下列说法正确的是（ ）A ．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 【答案】BD【解答】解：在A 中，甲运动员得分的极差为：34﹣9＝25，乙运动员得分的极差为：35﹣10＝25， ∴甲运动员得分的极差等于乙运动员得分的极差，故A 错误； 在B 中，甲运动员得分的中位数为：＝21，乙运动员得分的中位数为：＝22，∴甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数，故B 正确； 在C 中，甲运动员得分的平均数为：（31+16+24+34+18+9）＝22， 乙运动员得分的平均数为：（23+21+32+11+35+10）＝22， ∴甲运动员得分的平均值等于乙运动员得分的平均值，故C 错误； 在D 中，由统计表得乙的数据相对分散，甲的数据相对集中，∴甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定，故D 正确．故选：BD ． 12．下列命题正确的是（ ） A ．已知和是两个互相垂直的单位向量，且垂直，则实数k ＝6B ．非零向量和不共线，若21212163,2,e e CD e e BC e e AB -=+=-=，则A 、B 、D 三点共线C ．若平行四边形ABCD 满足，，则该四边形一定是正方形D ．点O 在△ABC 所在的平面内，若，则点O 为△ABC的垂心【答案】AB【解答】对于A ：已知和是两个互相垂直的单位向量，，即，且垂直，故2k ＝12，解得k ＝6，故A 正确；对于B ：,非零向量和不共线,BD AB CD e e BC AB =⇒=-=-563521，所以A 、B 、D 三点共线，故B 正确； 对于C ：⇒＝⇒四边形ABCD 为平行四边形，⇒⊥，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故C 错误；对于D：分别为的单位向量，任意两个向量的单位向量的差为三角形的第三边的向量，所以、垂直于构成菱形的对角线，所以点O在角平分线上，故点O为内心，故D错误；三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设复数，其中i为虚数单位，则1+ω+ω2+ω3＝．【答案】1【解答】解：因为，所以ω2＝﹣，ω3＝（﹣）（）＝1，则1+ω+ω2+ω3＝1﹣+1＝1．14．平面向量两两夹角都相等，且，则＝．【答案】1或5．【解答】解：因为由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是120°或0°，因为，当夹角为120°时；则2＝+4+4•+2•+4•＝12+4×12+22+4×1×1×cos120°+2×1×2×cos120°+4×1×2×cos120°＝1，∴＝1；当夹角为0°时，＝||+2||+||＝5；故答案为：1或5．15．古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a、b、c，则其面积s＝，这里p＝，已知在△ABC中，=．3【答案】5【解答】设AC＝x，则AB＝3AC＝3x，所以s ＝＝2，（2＜x ＜4）． S ≤2•＝12，当且仅当x 2﹣4＝16﹣x 2，即x ＝时等号成立，所以s 得最大值为12． 此时AC ＝，AB ＝3，BC ＝8，由余弦定理得：cos A ＝，16．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3+4+5＝，则=∆ABC S ．【答案】 【解答】解：∵3+4+5＝，∴3+4＝﹣5；∴（3+4）2＝（﹣5）2；由||＝||＝||＝1，∴9+16+24•＝25，∴•＝0，∴⊥；∴△AOB 的面积为S △AOB ＝×1×1＝．四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在①)//()(b t a b a t ++；②)()(b t a b a t +⊥+；③||||b t a b a t +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 已知向量)1,0(),1,1(=--=b a （1）若，求实数t 的值；（2）若),(y x c =向量，且b x a y c )1(-+-=，求||c .【解答】选①（1）∵)1,0(),1,1(=--=b a 代入)//()(b t a b a t ++，11)1,1//()1,(2±=⇒=⇒----⇒t t t t t（2）⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧--=-=⇔---=⇔-+-=111)1,1(),()1(y x y x y y x y x y y x b x a y c ，所以2||=c 选①（1）∵)1,0(),1,1(=--=b a 代入)()(b t a b a t +⊥+，253013)1,1//()1,(2±=⇒=+-⇒----⇒t t t t t t（2）⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧--=-=⇔---=⇔-+-=111)1,1(),()1(y x y x y y x y x y y x b x a y c ，所以2||=c选③（1）∵)1,0(),1,1(=--=b a 代入||||b t a b a t +=+，11)1()1()1()(22222±=⇒=⇒-+-=-+-⇒t t t t t（2）⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧--=-=⇔---=⇔-+-=111)1,1(),()1(y x y x y y x y x y y x b x a y c ，所以2||=c18．已知复数z 1＝﹣2+i ，z 1z 2＝﹣5+5i （其中i 为虚数单位） （1）求复数z 2；（2）若复数z 3＝（3﹣z 2）[（m 2﹣2m ﹣3）+（m ﹣1）i ]所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵复数z 1＝﹣2+i ，z 1z 2＝﹣5+5i ， ∴＝；（2）z 3＝（3﹣z 2）[（m 2﹣2m ﹣3）+（m ﹣1）i ] ＝i [（m 2﹣2m ﹣3）+（m ﹣1）i ] ＝﹣（m ﹣1）+（m 2﹣2m ﹣3）i ， ∵复数z 3所对应的点在第四象限， ∴，解得﹣1＜m ＜1．∴实数m 的取值范围是﹣1＜m ＜1．19．已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2+＝，（1）用，表示；（2）若点D 是OB 的中点，用向量方法证明四边形OCAD 是梯形．【解答】解：（1）由题意：直线AB 上有一点C ， ∵2+＝，∴，所以A 为BC 的中点；由：…①，…②，∵带入①可得：…③由②③消去可得：． （2）点D 是OB 的中点，则＝． 由：…④ …⑤，由①④⑤可得：，所以AD ∥OC ，故得四边形OCAD 是梯形．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量＝（cos B ，2cos 2﹣1），＝（c ，b ﹣2a ），且0=⋅n m ． （Ⅰ）求∠C 的大小；（Ⅱ）若点D 为边AB 上一点，且满足＝，||＝，c ＝2，求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵向量＝（cos B ，2cos 2﹣1），＝（c ，b ﹣2a ），且•＝0， ∴c •cos B +（b ﹣2a ）cos C ＝0，由正弦定理可得，sin C cos B +（sin B ﹣2sin A ）cos C ＝0，∴sin A ﹣2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝， ∵C ∈（0，π），∴C ＝， （Ⅱ）＝，||＝，c ＝2，∴＝﹣，∴2＝+，两边平方得4||2＝b 2+a 2+2ac cos C ＝b 2+a 2+ac ＝28，（1），∵c 2＝b 2+a 2﹣2ac cos C ＝b 2+a 2﹣ac ＝12，（2）， 由（1），（2）可得ab ＝8，∴S △ABC ＝ab sin C ＝2．21．已知灯塔B 与海洋观测站A 的距离为2km ，灯塔C 在观测站A 的北偏东45°方向，灯塔D 在观测站A 的正西方向，灯塔B 在灯塔D 的南偏东60°方向．在观测站A 与灯塔B ，C 构成的三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a 2＝3b 2+3c 2﹣2bc sin A ．（1）求灯塔B 与灯塔C 的距离；（2）求△BCD的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，利用余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于且满足a2＝3b2+3c2﹣2bc sin A．所以，化简为，由于b2+c2≥2bc，所以，即，当sin（A﹣）＝1时，A＝，且b＝c＝2．所以BC＝2，故灯塔B和灯塔C之间的距离为2km．（2）由题意知：，，AB＝2，所以利用正弦定理：，解得AD＝2．S△BCD＝S△ABC+S△ABD+S△ACD＝＝2．所以△BCD的面积为km2．22．中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀（1刀＝100张），该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示：x的范围（44，48]∪（52，56] （48，52] [0，44]∪（56，60]质量等级副牌正牌废品在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为﹣20元．（Ⅰ）试估计该公司的年利润；（Ⅱ）市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：x的范围（﹣2，+2）（﹣6，+6）频率0.6827 0.9545其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：一刀宣纸有正牌100×0.1×4＝40张，有副牌100×0.05×4×2＝40张，有废品100×0.025×4×2＝20张，∴该公司一刀宣纸的利润的估计值为：40×15+40×8﹣20×20＝520元，∴估计该公司的年利润为520万元．（Ⅱ）由频率分布直方图得：＝42×0.025×4+46×0.025×4+50×0.1×4+50×0.1×4+58×0.025×4＝50．这种机器生产的宣纸的质量指标x如下表所示：x的范围（x﹣2，x+2）（x﹣6，x+6）频率0.6827 0.9545 ∴一刀宣纸中有正牌的张数估计为100×0.6827＝68.27，废品的张数估计为：100×（1﹣0.9545）＝4.55，副牌的张数为：100×（0.9545﹣0.6827）＝27.18，∴一刀宣纸的利润为：68.27×12+27.18×5﹣4.55×20＝864.14元，∴公司改进后该公司的利润为：864.14﹣100＝764.14万元，∵764.14万元＞520万元，∴建议该公司购买这种机器．。

2020-2021学年江苏省无锡市南菁高级中学高二（强化班）上学期10月第一次阶段性考试数学试题一、单选题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【详解】因为22(1)(9),0,3,9b b b ac b =--<∴=-∴==2．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC 上，则ABC 的周长为（ ） A．B ．6C．D ．12【答案】A【分析】利用椭圆的定义即可解出. 【详解】由椭圆的方程可知：a =由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ， 可得ABC的周长为4a = 故选:A ．3．设{}n a 是公差d 为正数的等差数列，若123a +a +a 15=，123a a a 80=，则111213a +a +a 等于 A ．120 B ．105C ．90D ．75【答案】B【分析】将题目所给两个条件转化为1,a d 的形式，通过解方程组求得1,a d 的值，由此求得111213,,a a a 的值.【详解】依题意有()()111111215280a a d a d a a d a d ++++=⎧⎨++=⎩，解得12,3a d ==，()()11121312133113233105a a a a a d ++==+=+=，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查利用基本元的思想通过解方程组求得等差数列的1a 和d .这是非常常见的基础题，需要在解题过程中注意不要运算出错.为了确保运算正确，可以利用题目所给的已知代入判断所求是否正确.4．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A ．2n B ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【分析】由数列{1}n a +是等比数列，得2213(1)(1)(1)a a a +=++，进而求得1q =，易得n S ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{1}n a +也是等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a +=++，2221313211a a a a a a ++=+++，2132a a a =+，21112a q a a q =+，∴2210q q -+=解得：1q =，所以12n S na n ==. 故选：A ．【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，解题关键是求得数列的公比q ，利用新数列{1}n a +是等比数列，易得．5．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.【解析】椭圆的简单几何性质.6．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N ，则数列{}n c 的前10项和等于（ ）．A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】C【分析】根据已知可求出1b a ，再根据等差数列的性质及求和公式即可求出数列{a bn }的前10项和．【详解】数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N，又{}nb 都是公差为1的等差数列，所以数列{}nc 也成等差，则数列{}n c 的前10项和等于121011119b b b b b b a a a a a a +++++=+++，又()11114b a a b =+-=，1911(91)113b a a b +=++-⨯=， ∴11119(413)10852b b b a a a +++⨯+++==，故选：C ．【点睛】性质：若数列{}n a 为等差数列，则项数依次成等差的那些项也依次成等差.7．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AFB △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【答案】A【详解】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题9．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S > 【答案】ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．10．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =B ．12PF PF ⋅的最小值为0C ．12PF F △D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切 【答案】BD【分析】根据椭圆的标准方程，求出离心率即可判断A 选项错误； 设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，求出其最小值，即可判断B 选项正确； 易求得12PF F △面积的最大值，则可判断C 选项错误；求得圆心到直线0x y +=的距离，与半径c 比较，由此判断D 选项正确.【详解】解：由椭圆22:12x C y +=可知，a =1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率c e a ==A 错误； 设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥，则12PF PF ⋅的最小值为0，故B 正确；122FF =，当P 点与椭圆的上顶点重合时，12PFF △面积的最大， 所以12PF F △面积的最大值为1212b ⋅⋅=，故C 错误； 以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由原点()0,0到直线0x y +=的距离1d c ===，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切，故D 正确． 故选：BD ．【点睛】关键点点睛：根据椭圆的标准方程求出有关的量，即可求出其离心率，12PF F △面积的最大值；设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，利用(),P x y 在椭圆上，可求出12PF PF ⋅的最小值；求出圆心()0,0到0x y +=的距离，比较这个距离和半径的大小关系即可判断D 选项.11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则 1r =-【答案】AC【分析】利用等比数列的定义可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；分10a <和10a >两种情况讨论，求得对应的q 的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C 选项的正误；求得1a 、2a 、3a ，由2213a a a =求得r 的值，可判断D选项的正误.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，且1n na q a +=. 对于A 选项，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，数列{}2n a 是等比数列，A 选项正确； 对于B 选项，由等比中项的性质可得253764a a a ==，又因为2530a q a =>，则5a 与3a 同为正数，则58a =，B 选项错误；对于C 选项，若10a <，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q<⎧⎨<⎩，解得01q <<，则110n n a a q-=<，11n na q a +=<，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列； 若10a >，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q>⎧⎨>⎩，解得1q >， 则110n n a a q-=>，11n na q a +=>，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列. 综上所述，C 选项正确；对于D 选项，111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，由于数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =，即()2612r +=，解得13r =-，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）． A ．733S = B ．21n n n S S S ++=+C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,n n n a a a a a ++===+，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】68a =，713a =，∴71123581333S =++++++= 成立，故选项A 正确； 由21n n n a a a ++=+，两边累加：()()34223112n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++即()2121n n n S S S ++-=-+，∴211n n n S S S ++=++，故选项B 错误；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a ++++=．选项C 正确；斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =2121a a a =，()222312312a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019201020182019a a a a a =-；∴22212201920192020a a a a a +++=，即答案D 成立．故选ACD ．【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换是解题的关键，属于中档题.三、填空题13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________． 【答案】【详解】依题意可得，椭圆焦点在x 轴上且23c =．因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⋅，则2a b =，所以22323c a b b -=2b =，故4a =，所以椭圆的标准方程为221164x y +=14．若关于x 的方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则+a b 的值为__________． 【答案】3172【分析】根据等差数列性质计算得到1413,44x x ==；2357,1212x x ==，再利用韦达定理计算得到答案.【详解】不妨设方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根为1234x x x x <<<则141x x +=；231x x +=，故1413,44x x ==；2357,1212x x == 故1334416a =⨯=，57351212144b =⨯=，623114472a b +== 故答案为：3172【点睛】本题考查了数列和韦达定理的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,12(1)1n n n a a -++-=,则40S =______【答案】240【详解】由()1211n n n a a -++-=，当n 为奇数时，有21n n a a ++=；当n 为偶数时，21n n a a +-=，∴数列{}n a 的偶数项构成以2为首项，以1为公差的等差数列，则()()401357392440......S a a a a a a a a =+++++++++201910120212402⨯=⨯+⨯+⨯=，故答案为240. 【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.16．已知数列{n a }通项公式为n a n p =-+,数列{}n b 通项公式为52n n b -=，设()(){n n n n n n n a a b c b a b ≤=>，若在数列{}n c 中，()8,8n c c n N n *>∈≠，则实数p 的取值范围 ． 【答案】()12,17【详解】试题分析：由n c ＝(),{(),n n n n n n a a b b a b ≤＞，可知是、中的较小者，因为＝－n ＋p ，所以{}是递减数列；因为n b ＝52n －，所以{n b }是递增数列，因为8c ＞nc （n ∈N ﹡,n≠8），，所以是的最大者，则=1，2，3， 7，8时，递增，n=8，9，10， 时，递减，因此，=1，2，3， 7时，总成立，当=7时，，∴＞11，=9，10，11， 时，总成立，当=9时，成立，∴＜25，而或,若≤，即，所以≤16，则=-8，∴-8＞=27-5，∴＞12，故12＜≤16，若＞，即-8＞28-5，所以＞16，∴=23，那么，即8＞-9，∴＜17，故16＜＜17，综上，12＜＜17．【解析】1、数列与单调性的关系；2、数列的综合应用.四、解答题17．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）当1260F PF ︒∠=时，求12F PF ∆的面积； （3）当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】（123）(33- 【分析】（1）由标准方程求出,a b ，再得c ，然后可得离心率；（2）由椭圆定义和余弦定理可求得1243PF PF =，从而得三角形面积； （3）设(,)P x y ，由120PF PF ⋅<可得x 的范围．【详解】解：（1）因为224,1a b ==，所以c ==，所以离心率为c e a ==（2）由椭圆的定义得：124,PF PF +=--------①且12(F F ， 在12F PF ∆中，由余弦定理得：2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒-----------②由①②得1243PF PF =，所以1212121sin 2F PF S PF PF F PF ∆=∠=.（3）设点(,)P x y ，12(F F 所以1(,),PF x y =--2(3,),PF x y =- 由已知12F PF ∠为钝角，得120PF PF ⋅<，所以2()0x x y +<，--------③又由椭圆的方程得2214x y =-，-------------④联合③④得2324x <，解得x <<所以点P 的横坐标的取值范围是(.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，考查椭圆定义的应用，在涉及到椭圆上的点到焦点距离时常常要利用椭圆的定义解决问题．椭圆上的点P 对于两焦点的张角为钝角时，对应的条件是120PF PF ⋅<，若为锐角，条件120PF PF ⋅>中还需去掉两端点． 18．已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1=25，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求1a +a 4+a 7+…+a 3n-2.【答案】（Ⅰ）227n a n =-+；（Ⅱ）2328n n -+. 【详解】(1)设{a n }的公差为d.由题意， a 112＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2n(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.19．已知数列{}n a 满足：()1231,2,n n a a a a n a n ++++=-=．（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令()()()211,2,3,n n b n a n =--=，如果对任意n *∈N ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．【答案】（1）112a =，234a =；（2）112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）1n =与2n =代入即可求出12,a a ；（2）由题意得123111n n n a a a a a n a +++++++=+-，两式相减可得121n n a a +-=，然后构造新数列可得()11112n n a a +-=-，所以{}1n a -是等比数列，即可求得通项；（3）代入1n n b b +-作差可判断出数列{}n b 前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为3418b b ==，然后214n b t t ≤-可转化为21184t t ≤-求解.【详解】（1）当1n =时，111a a =-，所以112a =，当2n =时，1222a a a +=-，得234a =．（2） 由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-， ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+-， ②②－①可得121n n a a +-=，即()11112n n a a +-=-， 又1112a -=-，所以数列{}1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可得，22n n n b -=， 由()1111122122302222n n n n n n n n n n nb b ++++---+----=-==>，可得3n <， 由10nnb b 可得3n >，所以12345n b b b b b b <<=>>>>，故n b 有最大值3418b b ==， 所以对任意n *∈N ，有18n b ≤，由题意214n b t t ≤-恒成立，则()2max 14n b t t ≤-，故有21184t t ≤-， 解得12t ≥或14t ≤-，所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 【点睛】思路点睛：本题考查了数列的通项与最值的问题：（1）已知n S 与n a 的关系解题时，要注意由n S 求n a 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥，根据题目已知条件，通过构造等差数列或等比数列进行求解；（2）数列的恒成立问题需要转化为数列的最值问题求解，求数列的最值可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列的最值.20．已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3,7n S S =且1233,3,4a a a ++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中n N *∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设{}{}12101240,,,,,,,A a a a B b b b ==，C A B =⋃,求集合C 中的所有元素之和．【答案】（1）12n n a -=；（2）32n b n =-；（3）3318【详解】试题分析：（1）∵37S = ，∴1237a a a ++= ① ∵ 1233,3,4a a a ++ 成等差数列，∴132346a a a +++= ② ②-①得，22a = ，即12a q = ③ 又由①得，2115a a q += ④消去1a 得，22520q q -+= ，解得q=2或q=12（舍去） ∴12n n a -=（2）∵()6312n n T n b =++ ,当n≥2时，()116322n n T n b --=-+ ∴当n≥2时，()()163132n n n b n b n b -=+-- ，即13235n n b n b n --=- ∴3241231471032,,,,14735n n b b b b n b b b b n --===⋅⋅⋅=- ，∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯- ，即132n b n b =- ， ∵11b = ，∴()322n b n n =-≥ ，当n=1时，也满足 ∴32n b n =-（3）1010401240411023,3802380122S T -⨯===⨯-=- ，∵A 与B 的公共元素有1,4,16,64，其和为85，∴集合C 中所有的元素之和=10408523801023853318S T +-=+-=【解析】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和，等差数列的通项公式，以及集合的运算点评：解决本题的关键是利用累乘法求出数列{}n b ，熟练掌握等差数列、等比数列中的公式21．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【详解】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=．数列{}n b 满足112113246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--，数列{}n c 满足11n n n c b b +=，n T 为数列{}n c 的前n 项和． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 是等差数列；（3）是否存在正整数m ，()1n m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析；（3）存在，2m =，12n =.【分析】（1）用等比数列的性质化简15a a 求出3a ，设公比，表示53S S -，求出公比，得到通项公式.（2）本题可用错位相减的技巧先求出{}n b 的通项公式，再证明之. （3）用裂项相消法求出n T ，列出关系式，计算求解. 【详解】解：（1）∵数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，∴38a =，又∵5348S S -=，∴2458848a a q q +=+=，∴2q，∴3822n n n a -=⋅=．（2）∵11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--， ①∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--， （）则（）式两边同乘以2， 得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--， ②①－②得，242n b n =-，即()212n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合()212n b n n =-≥，∴21n b n =-． ∴数列{}n b 是等差数列 （3）∵()()111111212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭， 113T =，21m m T m =+，21n n T n =+，若1T ，m T ，n T 成等比数列，则211213216m n m n⎛⎫=⋅< ⎪++⎝⎭，即22410m m --< ． ∴1122m -<<+． 又m *∈N ，且1m ，所以2m =，此时12n =． 【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。

山东师大附中2019级数学2020年10月学业质量检测题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他★答案★标号.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，★答案★必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的★答案★，然后再写上新的★答案★，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔.第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量，若12//l l ，则（ ） A. 8,28m n == B. 4,28m m == C. 288,3m n ==D. 284,3m n ==【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意，得//a b ，由此可求出★答案★．【详解】解：∵12//l l ，且(3,6,7),(4,,)a b m n ==分别是直线12,l l 的方向向量， ∴//a b ，∴3674m n==， ∴288,3m n ==，故选：C ．【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题．2. 已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ）A.607B. 14C. 12D.627【★答案★】B【解析】【分析】由题意可知c xa yb=+，利用向量相等，列方程组求实数m的值.【详解】若,,a b c共面，则c xa yb=+，即()()()()7,5,2,1,41,1,22,,42m x y x y x y x y=-+--=--+-，所以27542x yx yx y m-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得：12,17,14x y m===.故选：B【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型.3. 在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若,,PA a PB b PC c===，则BE=（）A.111222a b c-+ B.131222a b c--C.131222a b c-+ D.113222a b c-+【★答案★】C【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB =-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC=-+--=-+131222a b c -+=. 故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题. 4. 若向量(,4,5),(1,2,2)a x b =--=-，且a 与b 的夹角的余弦值为26-，则实数x 的值为（ ） A. 3- B. 11C. 3D. 3-或11【★答案★】A 【解析】 【分析】根据公式cos ,a b a b a b⋅<>=，计算结果.【详解】根据公式()22228102cos ,61625122a b x a b a bx ⋅+-<>===-++⨯+-+， 222241x x -=-+，且2x < 解得：11x =（舍）或3x =-. 故选：A【点睛】本题考查根据空间向量夹角公式求参数，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略在解方程是注意2x <这个条件.5. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A510B.1010C.55D.105【★答案★】D 【解析】 【分析】根据垂直关系，作111C M B D ⊥，1C BM ∠为所求角，直角三角形1C MB 中求111sin C MC BM C B∠=. 【详解】如图，作111C M B D ⊥，交11B D 于点M ，连接MB ，因1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB C M ⊥，又因为111C M B D ⊥，且1111BB B D B ⋂=，所以1C M ⊥平面11BB D D ，即1C BM ∠为所求角，221112BC =+=，2211125B D =+=所以1125C M ⨯=⨯，所以1255C M =11125105sin 52C M C BM C B ∠===.故选：D【点睛】本题考查线面角的几何求法，重点考查垂直关系，属于基础题型.6. 四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ） A.55B.15C.25D.255【★答案★】A 【解析】 【分析】求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．【详解】解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB n AD⎧⊥⎨⊥⎩，∴23020x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)，1cos ,||||526n AP n AP n AP ∴<>==⨯，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则1sin 526α=⨯，于是P 到平面ABCD 的距离为5||sin 5AP α=，即四棱锥P ABCD -的高为55． 故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．7. 已知向量(1,22)(2,11)a b ==-,,,，则向量b 在向量a 上的投影向量为（ ） A. 244,,999⎛⎫--- ⎪⎝⎭ B. 244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C. 211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭D. 211,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭【★答案★】B 【解析】 【分析】首先求出向量b 在向量a 上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为(1,22)(2,11)a b ==-,,,，所以2121212a b =-⨯+⨯+⨯=， 所以向量b 在向量a 上的投影为222223221a b a==++ 设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则()0m a λλ=>且23m =， 所以(),2,2m λλλ=，所以22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ= 所以244,,999m ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 8. 三棱柱111ABC A B C -侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A.12B.22C.32D.255【★答案★】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则(,P λ0，1)，11,,122PN λ⎛⎫=--⎪⎝⎭，平面ABC 的一个法向量为(0,n =0，1) 设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ21sin 15()24PN n PN nθλ⋅∴==⋅-+， ∴当12λ=时，25(sin )5max θ=，此时角θ最大． 故选A ．【点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 下列命题中不正确的是（ ） A. a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B. 若,C AB D 共线，则//AB CDC. ,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面D. 若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)，则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充分不必要条件 【★答案★】ABD 【解析】 【分析】由向量的共线性质，可判定A 不正确；由向量的共线与点共线的关系，可判定B 不正确；由空间向量的基本定理可判定C 正确；由向量的共线定理，可判定D 不正确. 【详解】由a b a b -=+，可得向量,a b 的方向相反，此时向量,a b 共线， 反之，当向量,a b 同向时，不能得到a b a b -=+，所以A 不正确； 若,C AB D 共线，则//AB CD 或,,,A B C D 四点共线，所以B 不正确； 由,,A B C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++， 因为3111488++=，可得,,,P A B C 四点共面，故C 正确； 若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+(,PB PC 不共线)， 当1λμ+=时，即1μλ=-，可得()PA PC PB PC λ-=+，即CA CB λ=， 所以,,A B C 三点共线，反之也成立，即1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件， 所以D 不正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查了以向量的基本定理及向量共线的性质的判定为背景的命题的真假判定，其中解答解答中熟记平面向量的共线定理和平面向量的基本定理，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.10. 已知空间三点(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---，则下列说法正确的是（ ） A. 3AB AC ⋅=B. //AB ACC. 23BC =D.3cos ,65AB AC <>=【★答案★】AC 【解析】 【分析】由坐标求出,,AB AC BC ，即可依次计算判断每个选项正误. 【详解】(1,0,1),(1,2,2),(3,0,4)A B C ---，()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ∴==-=--， ()0220133AB AC ⋅=⨯-+⨯+⨯=，故A 正确；不存在实数λ，使得AB AC λ=，故,AB AC 不共线，故B 错误；()()22222223BC =-+-+=，故C 正确；3365cos ,65513AB AC AB AC AB AC⋅<==⨯⋅>=，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.11. 在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB SC SD ====，则以下结论正确的有（ ） A. 0SA SB SC SD +++= B. 0SA SB SC SD +--= C. 0SA SB SC SD -+-= D. SA SB SC SD ⋅=⋅【★答案★】CD 【解析】 【分析】如图，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ，由题可知OA ，OB ，OS 两两垂直，则以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标计算即可判断.【详解】如图，连接AC 和BD 交于O ，连接SO ，由题可知OA ，OB ，OS 两两垂直，则以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，，底面ABCD 是边长为1的正方形，2SA SB SC SD ====，22OA OB OC OD ====，22214222SO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 则222214,0,0,0,,0,,0,0,0,,0,0,0,22222A B C D S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,214214,0,,0,,2222SA SB ⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 214214,0,,0,,2222SC SD ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()0,0,214SA SB SC SD ∴+++=-，故A 错误；()2,2,0SA SB SC SD +--=，故B 错误；()0,0,00SA SB SC SD -+-==，故C 正确；22141470022222SA SB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22141470022222SC SD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即SA SB SC SD ⋅=⋅，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查空间向量的计算，属于基础题.12. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则 （ ）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 三棱锥11P AC D -的体积为定值C. 异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[]45,90︒︒D. 直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【★答案★】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项D【详解】对于选项A,连接11B D ,由正方体可得1111AC B D ⊥,且1BB ⊥平面1111D C B A ,则111BB A C ⊥,所以11A C ⊥平面11BD B ,故111AC BD ⊥；同理,连接1AD ,易证得11A D BD ⊥,则1BD ⊥平面11AC D ,故A 正确；对于选项B,1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故B 正确； 对于选项C,当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒,故C 错误； 对于选项D,因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,111126cos 33C B C BD BD ∠===,故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力第Ⅱ卷三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 若(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，且()a b a λ→→→+⊥，则实数λ=______________. 【★答案★】919- 【解析】 【分析】利用已知条件求出a b λ→→+，然后()=0a b a λ→→→+⋅，求出λ即可. 【详解】(2,1,2),(6,3,2)a b →→=-=-，∴()=2+6,13,22a b λλλλ+--+,()a b a λ→→→+⊥,()=0a b a λ→→→∴+⋅,即()()()()2+6+1312220λλλ⨯--⨯-++⨯=2，解得：λ=919-. 故★答案★为：919-【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____． 【★答案★】14【解析】 【分析】由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出0AF BE ⋅=，进而得出14AE AF AB AF ⋅=⋅=. 【详解】如图，四面体ABCD 是正四面体，∴四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为1，又点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，∴12AF AD =，0AF BE ⋅= ∴()1cos34AE AF AB BE AF AB AF BE AF AB AF π⋅=+⋅=⋅+⋅==. 故★答案★为：14. 【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题． 15. 四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1,3PD AB ==，G 是ABC 的重心，则直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为____________，PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为______________. 【★答案★】 (1). 223(2). 13【解析】 【分析】由重心的性质可求得BG 的长，从而得DG 的长，在Rt PDG 中，由tan tan PDPGD DGα=∠=即可得解；由PD ⊥底面ABCD ，知PGD θ∠=，结合第一空的结果即可得解． 【详解】解：G 是ABC 的重心，21213223232BG BD ∴=⨯=⨯⨯=，22DG BD BG ∴=-=，PD ⊥底面ABCD ，PD BD ∴⊥，在Rt PDG 中，1tan tan 22PD PGD DG α=∠==， 22cos 3α∴=，∴直线PG 与DB 所成的角α的余弦值为223．PD ⊥底面ABCD ，PGD ∴∠即为PG 与底面ABCD 所成的角θ，由上可知，θα=， 1sin sin 3θα∴==， PG ∴与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为13．故★答案★为：223；13． 【点睛】本题考查线面角的求法，理解线面角的定义以便找出线面角的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16. 点P 是棱长为4的正四面体表面上的动点，MN 是该四面体内切球的一条直径，则PM PN ⋅的最大值是_______________. 【★答案★】163【解析】 【分析】作出图形，计算出正四面体ABCD 内切球O 的半径，由此可求得AO ，由空间向量数量积的运算性质得出223PM PN PO ⋅=-，进而可知当点P 为正四面体的顶点时，PM PN ⋅取得最大值，即可得解.【详解】如下图所示：正四面体ABCD 的棱长为4，其内切球球心为点O ，连接AO 并延长交底面BCD 于点E ， 则E 为正BCD 的中心，且AE ⊥平面BCD ，连接BE 并延长交CD 于点F ，则F 为CD 的中点，且BF CD ⊥，2223BF BC CF =-=，24333BE BF ==， AE 平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，AE BE ∴⊥，则22463AE AB BE =-=， BCD 的面积为1432BCD S CD BF =⋅=△，∴正四面体ABCD 的体积为116233A BCD BCD V S AE -=⋅=△，设球O 的半径为R ，则1443A BCD O BCD O ACD O ABD O ABC O BCD BCD V V V V V V S R ------=+++==⨯⋅△，3643A BCD BCD V R S -∴==△，6AO AE OE ∴=-=，PM PO OM =+，PN PO ON PO OM =+=-，()()22223PM PN PO OM PO OM PO OM PO ∴⋅=+⋅-=-=-，当点P 位于正四面体ABCD 的顶点时，PO 取最大值， 因此，222221663333PM PN PO AO ⋅=-≤-=-=.故★答案★为：163. 【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长. 【★答案★】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【解析】 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题. 18. 已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)A B C --.（1）若点D 在直线AC 上，且BD AC ⊥，求点D 的坐标； （2）求以,BA BC 为邻边的平行四边形的面积.【★答案★】（1）11,,422⎛⎫⎪⎝⎭；（2）73. 【解析】 【分析】（1）由点D 在直线AC 上，可设AD AC λ=，利用0BD AC ⋅=可求出λ，进而得出点D 的坐标；（2）由,BA BC 求出,,BA BC BA BC ⋅，进而求出3sin 2B =，即可利用面积公式求解. 【详解】解：（1）(1,3,2)AC =-，点D 在直线AC 上， 设(1,3,2)AD AC λλ==-，(1,3,2),(1,3,2)(,23,32)O OD OD O A A λλλλλ-=-=+-=-+， (,23,32)(2,1,6)(2,13,23)BD OD OB λλλλλλ=-=-+--=+--，(1,3,2)(2,13,23)239461470AC BD λλλλλλλ⋅=-⋅+--=+-++-=-=， ∴12λ=，11(,,4)22OD =，11(,,4)22D ∴. （2）(2,1,3),(3,2,1)BA BC =-=--，∴22222221(3)14,3(2)(1)14BA BC =++-==+-+-= ∴231(2)(3)(1)7BA BC ⋅=⨯+⨯-+-⨯-=，∴71cos cos ,21414BA BC BA BC BA BCB ⋅=<===>⨯，3sin 2B =，31414732S =⨯⨯=， 所以以,BA BC 为邻边得平行四边形的面积为73. 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PD DC ==，,E F 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：EF CD ⊥；（2）求PC 与平面DEF 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】 【分析】（1）以D 为 原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，证明0EF CD ⋅=即可；（2）求出平面DEF 的法向量，利用sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅==即可求出.【详解】（1）证明：以D 为 原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,0),(0,02),(2,1,0),(1,1,1)A B C D P E F (1,0,1),(0,2,0)EF CD =-=-，100(2)100EF CD ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以EF CD ⊥，所以EF CD ⊥.（2）(2,1,0),(1,1,1),(0,2,2)DE DF PC ===-， 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00DE n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，200x y x y z +=⎧⎨++=⎩，2y x z x=-⎧⎨=⎩，令1x =，则(1,2,1)n =-. 设PC 与平面DEF 所成角为θ，()()()()22222201222163sin cos ,286022121PC n PC n PC nθ⨯+⨯-+-⨯⋅=====⨯++-⨯+-+， 所以PC 与平面DEF 所成角的正弦值为32. 【点睛】本题考查向量法证明线线垂直，考查线面角的向量求法，属于基础题.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且11AB BC BB ===.（1）求证： 1//AB 平面1BC D ； （2）求直线1AB 到平面1BC D 的距离. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，求出平面1BC D 的法向量，通过数量积推出1AB n ⊥，得到1AB //平面1BC D ．（2）通过直线上任一点到平面的距离都相等，(0,1,0)BA =，设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ，利用空间向量的数量积转化求解即可．【详解】（1）证明：以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴， 如图建立空间直角坐标系，1111(0,0,0),(1,0,1),(,,0),(0,1,0),(0,0,1)22B C D A B ，1111(1.0,1),(,,0),(0,1,1)22BC BD AB ===-，设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0BC n BD n ⎧=⎨=⎩，011022x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，z xy x =-⎧⎨=-⎩， 令1x =，则(1,1,1)n =--， 101(1)(1)1(1)0AB n =⨯+-⨯-+⨯-=，所以1AB n ⊥，因为1AB ⊂/平面1BC D ，所以1AB //平面1BC D ．（2）解：因为1AB //平面1BC D ，所以直线上任一点到平面的距离都相等，(0,1,0)BA =， 设直线1AB 到平面1BC D 的距离为d ，则||13||33BA n d n ===， 所以直线1AB 到平面1BC D 的距离为33． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，向量法的应用，直线到平面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．21. 如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，圆柱的侧面积为83π，120AOP ︒∠=.（1）求点G 到直线BC 的距离；（2）求平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值. 【★答案★】（1）7；（2）155. 【解析】 【分析】（1）取AP 中点E ，证明//GE BC ，BE BC ⊥，于是点G 到直线BC 的距离等于线段BE 的长； （2）证明AG ⊥平面PBD ，则PGB ∠为所求二面角的平面角，在直角三角形PBG 中计算cos PGB ∠即可．【详解】解：（1）取AP 的中点E ，连接BE ，GE ， G 是PD 的中点，E 是AP 得中点，//GE AD ∴，又//BC AD ，//GE BC ∴，G ∴到直线BC 的距离等于E 到直线BC 的距离，BC ⊥平面ABP ，BE ⊂平面ABP ，BE BC ∴⊥，即E 到直线BC 的距离等于线段BE 的长，120AOP ∠=︒，2OA OP OB ===，2PB ∴=，23AP =，3PE ∴=， AB 是圆O 的直径，AP PB ∴⊥，227BE PB PE ∴=+=，∴点G 到直线BC 的距离为7．（2）设圆柱的高为h ，则圆柱的侧面积为：2283h ππ⨯⨯=，解得23h =，即23AD =，又23AP =，AD AP ∴=，AG PD ∴⊥，AD ⊥平面APB ，PB ⊂平面APB ，AD PB ∴⊥，AB 是圆O 的直径，AP PB ⊥，又AD AP A =，PB ∴⊥平面PAD ，PB AG ∴⊥，又PD PB P =，AG ∴⊥平面PBD ，PGB ∴∠为平面PAG 与平面BAG 所成二面角的平面角，由PB ⊥平面PAD 可得PB PD ⊥， 在直角三角形PBG 中，2PB =，221622AD AP PG PD +===， 2210BG PB PG ∴=+=，15cos 5PG PGB BG ∴∠==． 所以平面PAG 与平面BAG 的夹角的余弦值为155．【点睛】本题考查了线面平行与垂直的判定，考查空间距离与空间角的计算，属于中档题． 22. 如图（1）所示，在Rt ABC 中，90︒∠=C ，3,6BC AC ==，,D E 分别是,AC AB 上的点，且//,2DE BC DE =，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图（2）所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC （不包括端点）上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由.【★答案★】（1）证明见解析；（2）4π；（3）不存在，★答案★见解析. 【解析】【分析】(1)证明1A C 垂直平面BCDE 内两条相交直线即可；(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 的法向量n ，利用向量夹角公式，即可得CM 与平面1A BE 所成角.(3)假设存在P 点，设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<，求出平面1A DP 法向量1n ，假设平面ADP 与平面1A BE 垂直，则10n n ⋅=，得出t 的值，从而得出结论.【详解】（1）CD DE ⊥，1A D DE ⊥,1,A D CD 是平面1A CD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面1A CD , 又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1A C DE ⊥,又1A C CD ⊥,,DE CD 是平面BCDE 内的两条相交直线，1A C ∴⊥平面BCDE .（2）如图建系C xyz -，则(2,0,0)D -，(0,0,23)A ，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，∴1(0,3,23)A B =-，()2,1,0BE =--， 设平面1A BE 的一个法向量为(,,)n x y z =则100A B n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴322z y yx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴取2y =，得(1,2,3)n =-，又∵(1,0,3)M -，∴(1,0,3)CM =-,CM n θ<>=，CM 与平面1A BE 所成角α ∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅，2cos cos 2αθ==， ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒.（3）设点P 的坐标为(0,,0)(03)m m <<，1(2,0,23),(2,,0)D m DP A ==， 设平面1A DP 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11100DA n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，1111223020x z x my ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，1111132z x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令13x m =，则 1(3,23,)n m m =--.要使平面1A DP 与平面1A BE 垂直，需1(1)32(23)3()0n n m m ⋅=-⨯+⨯-+⨯-=，解得2m =-，不满足条件.所以不存在这样的点P .【点睛】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会，是中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020-2021学年高二数学10月月考试题 (VI)一、填空题（本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请将答案填写在答题卡相应位置上） 1.已知直线l 的斜率为1-，则它的倾斜角为 ．2.已知圆C 的方程为2220x y x y ++-=，则它的圆心坐标为 ．3.若直线a 和平面α平行，且直线b α⊂，则两直线a 和b 的位置关系为 ．4.已知直线1l ：310ax y +-=和2l ：2(1)10x a y +-+=垂直，则实数a 的值为 ．5.已知直线240x y +-=和坐标轴交于A 、B 两点，O 为原点，则经过O ，A ，B 三点的圆的方程为 ．6、设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，给定下列三个命题，其中为真命题的是________．①αα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥m n n m ； ②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥m m ； ③n m n m //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα7.已知P ，Q 分别为直线390x y +-=和310x y ++=上的动点，则PQ 的最小值为 ． 8.已知m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有 ． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥；②若m α⊂，n αβ=，αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥；④若m α∥，m β⊂，n αβ=，则m n ∥.9.直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程为 ．10、已知,αβ是两个不同的平面，,a b 是两条不同的直线，给出四个论断： ①b αβ=； ②a α⊂； ③//a b ； ④//a β．以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题 ．11.若直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相同的四段弧，则ab = ．12、设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m n ⊥，n 是平面α内任意的直线，则m α⊥；②若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；③若,,m n n m αβα=⊂⊥，则αβ⊥；④m α⊥，αβ⊥，//m n ，则//n β 其中正确命题的序号为__________.13.已知(12)A ，，(31)B --，，若圆222x y r +=（0r >）上恰有两点M ，N ，使得MAB △和NAB △的面积均为5，则r 的范围是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y -+=与x 轴y 、轴分别交于A ，B 两点，点M 在圆()225x y a +-=(0)a >上运动.若AMB ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题 （共6小题，90分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题满分14分）已知圆228x y +=内有一点)1,2(-P ，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，、（1）当135=α时，求直线AB 的方程; （2）若弦AB 被点P 平分，求直线AB 的方程。

2020-2021学年高二数学10月月考试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，共60分，各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案涂在答题卡指定位置） 1、设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（ ）A ．15 B ．15- C ．25 D ． 25-2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n 23510S ,a +a =-5,S =-20,a 则等于 （ ） A ．－90B ．－27C ．－25D ．03、已知正项等比数列{}n a ，且，221053.2,1a a a a ==，则4a =( )A ．B ．C ．D ．24、已知直线x+ my + 6=0和(m －2)x + 3y +2m =0互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．-1 B ．-3 C ．-1或3 D ．1或-35、设数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1234a a a a b b b b +++=（ ）A ．15B ．60C ．63D ．726、设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋c os40°cos38°， c ＝cos 240°－sin 240°则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 7、设等比数列{}n a 的公比q=2，前n 项和为n S ，则42S =a （ ） A. 2 B. 4C.215D.2178、若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=（ ）A ．29B ．29-C ．79 D ．79-9、将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A y=2cos 2xB ． y=2sin 2xC ． y=1+sin(2x+)4πD ． y=cos2x10、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知5768a +a =4,a +a =-2 ,则当n S 取最大值时n 的值是( )A.5B.6C.7D.811、设函数)(x f 的定义域是][4,4-，其图象如图(其中0)4()1()2(===-f f f )，那么不等式0sin )(≤x x f 的解集为（ ）A ．][1,2-B ．][][4,12,4⋃--C ．)[)[)[ππ,10,2,4⋃-⋃--{}4⋃D ．)[()ππ，1,4⋃-- 12、直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是A ．2=b B ．11≤≤-bC ．11≤<-b 且2-=b D.22≤≤-b第Ⅱ卷二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在答题纸指定位置).13、已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 23cos 2A + cos2A = 0, a=7, c=6,则b= ____14、求经过点（4，-3）作圆x 2+y 2-6x-2y+9=0的切线的方程 _________15、已知数列，则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 99+a 100=16、定义运算a ※b=()(),.a a b b a b ≤⎧⎪⎨>⎪⎩如1※2=1,则函数f(x)=sinx ※cosx 的值域为______三、解答题(本题6小题共70分.在答题纸指定位置作答，应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17、（10分）已知3cos()cos(2)02παπα+--=，求下列各式的值。

2020-2021无锡市梅村中学高二数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.153．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +4．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A．45B ．35C ．25D ．156．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C C B ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C 7．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，98．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．29．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13C ．12D ．2310．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<12．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．518二、填空题13．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ . 14．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.15．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个16．集合{|64,1,2,3,4,5,6}A y y n n ==-=，集合1{|2,1,2,3,4,5,6}n B y y n -===，若任意A∪B 中的元素a ，则a ∈A∩B 的概率是________。

江苏省无锡市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·枣庄模拟) 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、内三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为x1 ， x2 ， x3 ，则它们的大小关系为（）A . s1＞s2＞s3B . s1＞s3＞s2C . s3＞s2＞s1D . s3＞s1＞s22. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 一个箱子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）(2016·德州模拟) 运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A . e2016﹣e2015B . e2017﹣e2016C . e2015﹣1D . e2016﹣14. （2分） (2016高一下·黄山期末) 已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7且回归直线方程为=bx+2.6，根据模型预报当x=6时，y的预测值为（）A . 5.76B . 6.8C . 8.3D . 8.465. （2分）给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a ＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2=ac”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）(2018·内江模拟) 从集合中随机抽取两数，则满足的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是；④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有（）A . 1个B . 2 个C . 3 个D . 4个9. （2分）直线通过的交点，且平分线段AB，其中，则直线l的方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·定西期中) 一个战士一次射击，命中环数大于8，大于5，小于4，小于7，这四个事件中，互斥事件有（）A . 2对B . 4对C . 6对D . 3对11. （2分）若双曲线的离心率为2，则a等于（）A . 2B .C .D . 112. （2分） (2016高二上·临川期中) 对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A . 如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB . 如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C . 如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD . 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·西安期中) 某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高一学生的人数为________．14. （1分） (2018高二下·盘锦期末) 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为________.15. （1分） (2016高二上·河北期中) 若数据组k1 ， k2 ，…，k8的平均数为3，方差为3，则2（k1+3），2（k2+3），…，2（k8+3）的平均数为________，方差为________．16. （1分）椭圆=1上一点P到右焦点的距离为，则点P到左准线的距离为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·深圳月考) 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰好有1名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？（结果保留三个有效数字）下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式:，其中．18. （10分） (2016高一上·兴国期中) 设命题p：f（x）= 在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．19. （10分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327表中的数据显示，与y之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y关于的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = ， = ﹣．20. （15分） (2016高一下·辽宁期末) 学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表：分组频数频率[60，75）20.04[75，90）30.06[90，105）140.28[105，120）150.30[120，135）A B[135，150]40.08合计C D21. （5分） (2016高二上·莆田期中) 过抛物线y2=4x的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程．22. （10分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴长为6，其离心率为．若l1 ， l2是椭圆C 的两条相互垂直的切线，l1 ， l2的交点为点P．（1）求椭圆C的方程；（2）记点P的轨迹为C′，设l1，l2与轨迹C′的异于点P的另一个交点分别为M，N，求△PMN的面积的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。

2020-2021学年江苏省无锡市南菁高级中学高二（强化班）上学期10月第一次阶段性考试数学试题一、单选题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【详解】因为22(1)(9),0,3,9b b b ac b =--<∴=-∴==2．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC 上，则ABC 的周长为（ ） A．B ．6C．D ．12【答案】A【分析】利用椭圆的定义即可解出. 【详解】由椭圆的方程可知：a =由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ， 可得ABC的周长为4a = 故选:A ．3．设{}n a 是公差d 为正数的等差数列，若123a +a +a 15=，123a a a 80=，则111213a +a +a 等于 A ．120 B ．105C ．90D ．75【答案】B【分析】将题目所给两个条件转化为1,a d 的形式，通过解方程组求得1,a d 的值，由此求得111213,,a a a 的值.【详解】依题意有()()111111215280a a d a d a a d a d ++++=⎧⎨++=⎩，解得12,3a d ==，()()11121312133113233105a a a a a d ++==+=+=，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查利用基本元的思想通过解方程组求得等差数列的1a 和d .这是非常常见的基础题，需要在解题过程中注意不要运算出错.为了确保运算正确，可以利用题目所给的已知代入判断所求是否正确.4．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A ．2n B ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【分析】由数列{1}n a +是等比数列，得2213(1)(1)(1)a a a +=++，进而求得1q =，易得n S ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{1}n a +也是等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a +=++，2221313211a a a a a a ++=+++，2132a a a =+，21112a q a a q =+，∴2210q q -+=解得：1q =，所以12n S na n ==. 故选：A ．【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，解题关键是求得数列的公比q ，利用新数列{1}n a +是等比数列，易得．5．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.【解析】椭圆的简单几何性质.6．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N ，则数列{}n c 的前10项和等于（ ）．A ．55B ．70C ．85D ．100【答案】C【分析】根据已知可求出1b a ，再根据等差数列的性质及求和公式即可求出数列{a bn }的前10项和．【详解】数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11,a b *∈N ．设()n n b c a n *=∈N，又{}nb 都是公差为1的等差数列，所以数列{}nc 也成等差，则数列{}n c 的前10项和等于121011119b b b b b b a a a a a a +++++=+++，又()11114b a a b =+-=，1911(91)113b a a b +=++-⨯=， ∴11119(413)10852b b b a a a +++⨯+++==，故选：C ．【点睛】性质：若数列{}n a 为等差数列，则项数依次成等差的那些项也依次成等差.7．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AFB △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【答案】A【详解】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题9．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S > 【答案】ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．10．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．离心率e =B ．12PF PF ⋅的最小值为0C ．12PF F △D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切 【答案】BD【分析】根据椭圆的标准方程，求出离心率即可判断A 选项错误； 设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，求出其最小值，即可判断B 选项正确； 易求得12PF F △面积的最大值，则可判断C 选项错误；求得圆心到直线0x y +=的距离，与半径c 比较，由此判断D 选项正确.【详解】解：由椭圆22:12x C y +=可知，a =1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率c e a ==A 错误； 设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥，则12PF PF ⋅的最小值为0，故B 正确；122FF =，当P 点与椭圆的上顶点重合时，12PFF △面积的最大， 所以12PF F △面积的最大值为1212b ⋅⋅=，故C 错误； 以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由原点()0,0到直线0x y +=的距离1d c ===，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切，故D 正确． 故选：BD ．【点睛】关键点点睛：根据椭圆的标准方程求出有关的量，即可求出其离心率，12PF F △面积的最大值；设(),P x y ，表示出12PF PF ⋅，利用(),P x y 在椭圆上，可求出12PF PF ⋅的最小值；求出圆心()0,0到0x y +=的距离，比较这个距离和半径的大小关系即可判断D 选项.11．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则 1r =-【答案】AC【分析】利用等比数列的定义可判断A 选项的正误；利用等比中项的性质可判断B 选项的正误；分10a <和10a >两种情况讨论，求得对应的q 的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C 选项的正误；求得1a 、2a 、3a ，由2213a a a =求得r 的值，可判断D选项的正误.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，且1n na q a +=. 对于A 选项，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，数列{}2n a 是等比数列，A 选项正确； 对于B 选项，由等比中项的性质可得253764a a a ==，又因为2530a q a =>，则5a 与3a 同为正数，则58a =，B 选项错误；对于C 选项，若10a <，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q<⎧⎨<⎩，解得01q <<，则110n n a a q-=<，11n na q a +=<，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列； 若10a >，由123a a a <<可得1211a a q a q <<，可得21q q q>⎧⎨>⎩，解得1q >， 则110n n a a q-=>，11n na q a +=>，则1n n a a +>，此时，数列{}n a 为递增数列. 综上所述，C 选项正确；对于D 选项，111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，由于数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =，即()2612r +=，解得13r =-，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题.12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）． A ．733S = B ．21n n n S S S ++=+C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,n n n a a a a a ++===+，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】68a =，713a =，∴71123581333S =++++++= 成立，故选项A 正确； 由21n n n a a a ++=+，两边累加：()()34223112n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++即()2121n n n S S S ++-=-+，∴211n n n S S S ++=++，故选项B 错误；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a ++++=．选项C 正确；斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =2121a a a =，()222312312a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019201020182019a a a a a =-；∴22212201920192020a a a a a +++=，即答案D 成立．故选ACD ．【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换是解题的关键，属于中档题.三、填空题13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________． 【答案】【详解】依题意可得，椭圆焦点在x 轴上且23c =．因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a b =⋅，则2a b =，所以22323c a b b -=2b =，故4a =，所以椭圆的标准方程为221164x y +=14．若关于x 的方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则+a b 的值为__________． 【答案】3172【分析】根据等差数列性质计算得到1413,44x x ==；2357,1212x x ==，再利用韦达定理计算得到答案.【详解】不妨设方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根为1234x x x x <<<则141x x +=；231x x +=，故1413,44x x ==；2357,1212x x == 故1334416a =⨯=，57351212144b =⨯=，623114472a b +== 故答案为：3172【点睛】本题考查了数列和韦达定理的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,12(1)1n n n a a -++-=,则40S =______【答案】240【详解】由()1211n n n a a -++-=，当n 为奇数时，有21n n a a ++=；当n 为偶数时，21n n a a +-=，∴数列{}n a 的偶数项构成以2为首项，以1为公差的等差数列，则()()401357392440......S a a a a a a a a =+++++++++201910120212402⨯=⨯+⨯+⨯=，故答案为240. 【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.16．已知数列{n a }通项公式为n a n p =-+,数列{}n b 通项公式为52n n b -=，设()(){n n n n n n n a a b c b a b ≤=>，若在数列{}n c 中，()8,8n c c n N n *>∈≠，则实数p 的取值范围 ． 【答案】()12,17【详解】试题分析：由n c ＝(),{(),n n n n n n a a b b a b ≤＞，可知是、中的较小者，因为＝－n ＋p ，所以{}是递减数列；因为n b ＝52n －，所以{n b }是递增数列，因为8c ＞nc （n ∈N ﹡,n≠8），，所以是的最大者，则=1，2，3， 7，8时，递增，n=8，9，10， 时，递减，因此，=1，2，3， 7时，总成立，当=7时，，∴＞11，=9，10，11， 时，总成立，当=9时，成立，∴＜25，而或,若≤，即，所以≤16，则=-8，∴-8＞=27-5，∴＞12，故12＜≤16，若＞，即-8＞28-5，所以＞16，∴=23，那么，即8＞-9，∴＜17，故16＜＜17，综上，12＜＜17．【解析】1、数列与单调性的关系；2、数列的综合应用.四、解答题17．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）当1260F PF ︒∠=时，求12F PF ∆的面积； （3）当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】（123）(33- 【分析】（1）由标准方程求出,a b ，再得c ，然后可得离心率；（2）由椭圆定义和余弦定理可求得1243PF PF =，从而得三角形面积； （3）设(,)P x y ，由120PF PF ⋅<可得x 的范围．【详解】解：（1）因为224,1a b ==，所以c ==，所以离心率为c e a ==（2）由椭圆的定义得：124,PF PF +=--------①且12(F F ， 在12F PF ∆中，由余弦定理得：2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒-----------②由①②得1243PF PF =，所以1212121sin 2F PF S PF PF F PF ∆=∠=.（3）设点(,)P x y ，12(F F 所以1(,),PF x y =--2(3,),PF x y =- 由已知12F PF ∠为钝角，得120PF PF ⋅<，所以2()0x x y +<，--------③又由椭圆的方程得2214x y =-，-------------④联合③④得2324x <，解得x <<所以点P 的横坐标的取值范围是(.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，考查椭圆定义的应用，在涉及到椭圆上的点到焦点距离时常常要利用椭圆的定义解决问题．椭圆上的点P 对于两焦点的张角为钝角时，对应的条件是120PF PF ⋅<，若为锐角，条件120PF PF ⋅>中还需去掉两端点． 18．已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1=25，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求1a +a 4+a 7+…+a 3n-2.【答案】（Ⅰ）227n a n =-+；（Ⅱ）2328n n -+. 【详解】(1)设{a n }的公差为d.由题意， a 112＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2n(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.19．已知数列{}n a 满足：()1231,2,n n a a a a n a n ++++=-=．（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令()()()211,2,3,n n b n a n =--=，如果对任意n *∈N ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．【答案】（1）112a =，234a =；（2）112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）1n =与2n =代入即可求出12,a a ；（2）由题意得123111n n n a a a a a n a +++++++=+-，两式相减可得121n n a a +-=，然后构造新数列可得()11112n n a a +-=-，所以{}1n a -是等比数列，即可求得通项；（3）代入1n n b b +-作差可判断出数列{}n b 前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为3418b b ==，然后214n b t t ≤-可转化为21184t t ≤-求解.【详解】（1）当1n =时，111a a =-，所以112a =，当2n =时，1222a a a +=-，得234a =．（2） 由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-， ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+-， ②②－①可得121n n a a +-=，即()11112n n a a +-=-， 又1112a -=-，所以数列{}1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可得，22n n n b -=， 由()1111122122302222n n n n n n n n n n nb b ++++---+----=-==>，可得3n <， 由10nnb b 可得3n >，所以12345n b b b b b b <<=>>>>，故n b 有最大值3418b b ==， 所以对任意n *∈N ，有18n b ≤，由题意214n b t t ≤-恒成立，则()2max 14n b t t ≤-，故有21184t t ≤-， 解得12t ≥或14t ≤-，所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 【点睛】思路点睛：本题考查了数列的通项与最值的问题：（1）已知n S 与n a 的关系解题时，要注意由n S 求n a 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥，根据题目已知条件，通过构造等差数列或等比数列进行求解；（2）数列的恒成立问题需要转化为数列的最值问题求解，求数列的最值可通过判断数列的单调性进行，解题时通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列的最值.20．已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3,7n S S =且1233,3,4a a a ++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中n N *∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设{}{}12101240,,,,,,,A a a a B b b b ==，C A B =⋃,求集合C 中的所有元素之和．【答案】（1）12n n a -=；（2）32n b n =-；（3）3318【详解】试题分析：（1）∵37S = ，∴1237a a a ++= ① ∵ 1233,3,4a a a ++ 成等差数列，∴132346a a a +++= ② ②-①得，22a = ，即12a q = ③ 又由①得，2115a a q += ④消去1a 得，22520q q -+= ，解得q=2或q=12（舍去） ∴12n n a -=（2）∵()6312n n T n b =++ ,当n≥2时，()116322n n T n b --=-+ ∴当n≥2时，()()163132n n n b n b n b -=+-- ，即13235n n b n b n --=- ∴3241231471032,,,,14735n n b b b b n b b b b n --===⋅⋅⋅=- ，∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯- ，即132n b n b =- ， ∵11b = ，∴()322n b n n =-≥ ，当n=1时，也满足 ∴32n b n =-（3）1010401240411023,3802380122S T -⨯===⨯-=- ，∵A 与B 的公共元素有1,4,16,64，其和为85，∴集合C 中所有的元素之和=10408523801023853318S T +-=+-=【解析】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和，等差数列的通项公式，以及集合的运算点评：解决本题的关键是利用累乘法求出数列{}n b ，熟练掌握等差数列、等比数列中的公式21．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【详解】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k +==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=．数列{}n b 满足112113246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--，数列{}n c 满足11n n n c b b +=，n T 为数列{}n c 的前n 项和． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 是等差数列；（3）是否存在正整数m ，()1n m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析；（3）存在，2m =，12n =.【分析】（1）用等比数列的性质化简15a a 求出3a ，设公比，表示53S S -，求出公比，得到通项公式.（2）本题可用错位相减的技巧先求出{}n b 的通项公式，再证明之. （3）用裂项相消法求出n T ，列出关系式，计算求解. 【详解】解：（1）∵数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，∴38a =，又∵5348S S -=，∴2458848a a q q +=+=，∴2q，∴3822n n n a -=⋅=．（2）∵11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--， ①∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--， （）则（）式两边同乘以2， 得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--， ②①－②得，242n b n =-，即()212n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合()212n b n n =-≥，∴21n b n =-． ∴数列{}n b 是等差数列 （3）∵()()111111212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭， 113T =，21m m T m =+，21n n T n =+，若1T ，m T ，n T 成等比数列，则211213216m n m n⎛⎫=⋅< ⎪++⎝⎭，即22410m m --< ． ∴1122m -<<+． 又m *∈N ，且1m ，所以2m =，此时12n =． 【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。