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量子力学-薛定谔方程

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薛定谔方程是量子力学的基本原理

薛定谔方程是量子力学的基本原理

薛定谔方程是量子力学的基本原理量子力学是描述微观世界的理论框架，而薛定谔方程则是量子力学的基本方程之一。

薛定谔方程描述了微观粒子的波函数随时间的演化规律，从而揭示了微观粒子的运动规律和性质。

本文将从宏观角度出发，深入探讨薛定谔方程在量子力学中的地位和重要性，以便更深入地理解这一基本原理。

1. 量子力学的发展历程1.1 经典力学的局限性1.2 波动理论的兴起1.3 波粒二象性的提出1.4 薛定谔提出波函数概念1.5 薛定谔方程的提出2. 薛定谔方程的物理意义2.1 波函数的物理解释2.2 叠加原理与量子纠缠2.3 波函数坍缩的概念2.4 算符与观测量的本征值问题2.5 微观粒子的运动规律3. 薛定谔方程的数学形式3.1 薛定谔方程的时间无关性3.2 薛定谔方程的一般形式3.3 薛定谔方程的解与波函数的性质3.4 波函数的物理量与测量规律3.5 薛定谔方程的近似解法4. 个人观点与理解薛定谔方程作为量子力学的基本原理之一，深刻揭示了微观粒子的波粒二象性和运动规律。

在我看来，薛定谔方程不仅是物理学的重要成果，更是人类认识世界的突破和进步。

通过深入学习和理解薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的奥秘，从而推动科学技术的发展和进步。

总结回顾通过本文的介绍，我们对薛定谔方程的物理意义、数学形式和发展历程有了更深入的了解。

薛定谔方程作为量子力学的基本原理之一，对我们理解微观世界具有重要意义。

在今后的学习和工作中，我们应该深入学习薛定谔方程，不断提高对量子力学的理解和应用能力。

结论薛定谔方程作为量子力学的基本原理，对我们认识和理解微观世界具有重要意义。

通过深入学习和应用薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的规律和奥秘，推动科学技术的发展和进步。

希望本文能够对大家有所帮助，也希望大家能够对薛定谔方程保持持续的兴趣和热爱。

通过深入学习和理解薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的奥秘，从而推动科学技术的发展和进步。

薛定谔方程

薛定谔方程

薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。

而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。

薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。

海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。

理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。

用方程表达，。

其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。

所以，第个粒子的位置是。

[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。

顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。

薛定谔方程

薛定谔方程

v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k

薛定谔方程 量子力学

薛定谔方程 量子力学

薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。

它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。

薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。

薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。

薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。

它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。

量子6薛定谔方程

量子6薛定谔方程

0<x<a时,V=0
h d E 2 2m dx
～2
2
2mE 令 k ～2 h
2
d 2 2 得 k 2 dx
通解：
C sin kx D cos kx
(0) (a) 0
由波函数连续性要求：
( x) C sin kx D cos kx
(0) 0 D 0
( x) C sin kx
(a) 0 C sin ka 0
sin ka 0 ka n (n 1.2.) n 2mE 2 k k ～2 a h
n 2mE ～2 2 a h
2 2
En
～2 2 n 2 h
2ma
2
(n 1,2,3,)
E2 E1
E2 E1
2
2
x
一维势阱中粒子运动的特征：
1、粒子能量是量子化的。称n为粒子能量的量子数。 2、粒子的最小能量不等于零。
经典认为粒子的能量可以为零。
3、粒子在势阱中出现的概率不均匀。 经典认为匀速运动粒子应该在各处均匀出现。 4、薛定谔方程的解为驻波形式，即粒子的物质波在势 阱中形成驻波。阱壁处为波节，粒子概率为零。
令
2
x0 x0
2m 2 E U 0 2
>0
d 2 ( x) 2 2 ( x) 0 2 dx
x0
3.薛定谔方程通解
d 21 ( x) 2 2 k 1 ( x) 0 2 dx
ikx
x0
ikx
通解 1 ( x) Ae Be
三、隧道效应的应用 隧道二极管 金属场致发射 核的衰变…
U

薛定谔方程

薛定谔方程
在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于 德布罗意的波粒二象性博士论文。那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱因斯坦统 计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽 致，大家都听的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程。 他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这波动方程。
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为

薛定谔方程名词解释

薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。

它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。

薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。

薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。

它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。

薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。

其次，它可以用来解释双原子退相干特性。

双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。

最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。

薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。

薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。

总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。

它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。

薛定谔方程、量子力学简介


薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
由归一化条件求C 由归一化条件求 归一化条件 归一化条件
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
a
0
nπ C sin xd x = 1 a
2 2
C=
2 a
2 nπ ψ ( x) = sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a 2 nπ x) n =1,2,3,4,5,L sin( ψ(x) = a 势 内 阱 a
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E = Ek + Ep
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
一、薛定谔方程（1925 年） 薛定谔方程（ 思考】 【思考】 波函数来自哪个方程？ 波函数来自哪个方程？ 薛定谔方程
特殊情况 一般情况 .. 薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger,1887~1961） ） 奥地利物理学家. 奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 动力学 并建立了量子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 力学和波动 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高速运 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运 动的粒子的波动方程 .

量子力学中的薛定谔方程和量子力学


薛定谔方程的物理意义
它决定了粒子在给定势能下 的波函数和概率密度
薛定谔方程是描述量子力学中 粒子运动状态的偏微分方程
薛定谔方程是量子力学的基本 方程之一，是理解和预测物质
行为的关键工具
薛定谔方程的解可以揭示粒子 的能量、动量和角动量等属性
薛定谔方程的解 法
分离变量法
分离变量法：将薛定谔方程中的波 函数分离为空间和动量两个部分， 从而简化求解过程
无法处理量子纠缠 和量子误差问题
在某些情况下会导 致波函数塌缩的不 确定性问题
不能解释量子纠缠现象
不能解释量子纠缠现象 无法描述粒子间的相互作用 对初始条件的敏感性 无法预测量子系统的长期演化
量子力学的其他 重要概念和方程
波函数的概念和性质
波函数定义：描 述微观粒子状态 的函数
波函数的性质： 概率幅、复数、 归一化
波函数的物理意义： 微观粒子在空间中 的概率分布
波函数与薛定谔方 程的关系：薛定谔 方程用于求解波函 数的演化
量子态的概念和描述
定义：量子态是量子力学中一个物理系统的状态，由波函数描述
特性：量子态具有叠加性和相干性，即一个量子态可以表示为其他量子态的线性 组合，且不同量子态之间存在干涉现象 描述方法：通常使用波函数来描述量子态，波函数满足薛定谔方程，并具有归一 化条件
为
薛定谔方程的应 用
在原子物理中的应用
解释原子光谱的线型
描述原子状态的波函数
揭示原子能级的分布规律
预测原子辐射和吸收光子的 过程
在固体物理中的应用
描述电子行为： 薛定谔方程是描 述固体中电子行 为的基石。
计算能带结构： 通过求解薛定谔 方程，可以计算 出固体的能带结 构。

量子力学中的薛定谔方程与时间演化

量子力学中的薛定谔方程与时间演化量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而薛定谔方程是量子力学的基本方程之一。

薛定谔方程描述了量子系统的波函数随时间演化的规律，是理解量子力学中时间演化过程的关键。

一、薛定谔方程的基本形式薛定谔方程的基本形式是：\[ i\hbar \frac{{\partial \Psi}}{{\partial t}} = \hat{H}\Psi \]其中，\( i \) 是虚数单位，\( \hbar \) 是约化普朗克常数，\( \Psi \) 是系统的波函数， \( t \) 是时间， \( \hat{H} \) 是系统的哈密顿算符。

二、波函数的物理意义波函数 \( \Psi \) 是描述量子系统状态的数学函数，它包含了对系统性质的全部信息。

在薛定谔方程中， \( \Psi \) 随时间的变化遵循线性的时间演化规律。

波函数的物理意义可以通过它的模的平方来解释，即 \( |\Psi|^2 \)。

\( |\Psi|^2 \) 表示在空间中找到粒子的概率分布，也称为概率密度函数。

因此，波函数的平方模的积分必须等于1，即\[ \int|\Psi|^2dV = 1 \]其中，积分对整个空间进行。

三、时间演化与薛定谔方程根据薛定谔方程，系统的波函数随时间演化的规律可以由算符（哈密顿算符）作用于波函数来描述。

哈密顿算符通常由系统的能量算符表示。

在实际计算中，薛定谔方程往往难以解析求解，需要借助数值方法求解或采用近似方法，比如常用的微扰理论和变分法等。

由于薛定谔方程是一个复杂的偏微分方程，它包含了系统的动力学信息，描述了粒子的运动轨迹和波函数的演化过程。

四、时间演化算符时间演化算符是描述量子系统时间演化的重要工具。

通过时间演化算符可以得到任意时刻波函数与初始波函数的关系。

时间演化算符的定义如下：\[ \Psi(t) = \hat{U}(t,t_0)\Psi(t_0) \]其中， \( \Psi(t_0) \) 是初始波函数， \( \hat{U}(t,t_0) \) 是时间演化算符。

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量子力学中，波函数及薛定谔方程是描述原子分子状态的重要工具。对于自由粒子，其波函数将粒子的波动同其能量和动量联系起来，表现为平面波。而对于一般粒子，在受到外力作用时，其能量和动量不再是常量，但总可以用一个波函数来描述其特性。波函数具有统计意义，表示粒子在空间某点出现的概率大小，因此也被称为概率波。波函数的统计诠释给出了粒子在特定体积元中出现的概率。此外，波函数还需要满足可积性和归一化等要求，以确保其以更深入地理解原子分子的量子态和行为。