量子力学：薛定谔方程

§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。

报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。

几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。

一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。

一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。

2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。

3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。

将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。

定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。

在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。

薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。

力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。

这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。

简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。

薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。

当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。

.薛定谔提出的量子力学基本方程。

建立于 1926年。

它是一个非相对论的波动方程。

它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。

设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。

在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。

由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。

薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。

它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。

薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。

薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。

薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。

它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。

第27章薛定谔方程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。

几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。

·薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。

§1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程·一维自由运动粒子无势场，不受力，动量不变。

· 一维自由运动粒子的波函数(前已讲)由此有· 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程·推广到若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有 ∂ψ∂ x = ( )P ψi h∂2ψ ∂ x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = P 22m E = +U (x , t )∂ t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ∂x 2∂ ∂2一维薛定谔方程 式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相比较,只要把再作用到波函数 ψ (x , t ) 上，即可得到 上述方程。

P 22m E = +U (x , t )2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式· 拉普拉斯算符(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材B 版p332)·当 U (r , t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数∂2 ∂x 2 ∂2 ∂y 2 ∇2≡ + + ∂2 ∂z 2·波函数的叠加原理薛定谔方程是ψ的线性微分方程；若ψ1、ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。

(c1、c2是常数)★E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔方程式可用分离变量法求解。

薛定谔墓碑上的方程
1薛定谔墓碑上的方程
薛定谔（Erwin Schrodinger）是一位著名的物理学家，也是一位被视为量子力学的奠基人之一，他的研究工作对20世纪物理学的发展至关重要。

薛定谔去世了，在他的墓碑上刻上了一个简短而伟大的方程：∂Ψ/∂t=ћ(-1/2m)(∂²Ψ/∂x²)。

2什么是薛定谔方程？
薛定谔方程是一个反映量子力学中原子颗粒的状态发生改变、移动的方程，它是量子力学的重要基础，也是物理学中的重大突破。

它的运用可以解释原子电子的行为，进一步预测细胞学中微小细胞物质的状况。

3薛定谔方程的真正意义
薛定谔方程只是表面上看起来像一个普通的数学公式，但它刻画的是量子力学，是可以解释细胞学中一切微小粒子的变化，说明物质在压力、势能和其他因素下发生的改变原理。

4如何理解薛定谔方程？
首先要知道，它描述的是一种时间变换：Ψ表示一个自由量子状态，t代表时间概念；物理参量h代表数学中的波动量，m表示质量，x表示位置；因此，它可以用来描述位置变换时质量变化的量子态的状态，也可以用来描述势能和位置变换对量子状态的影响。

5薛定谔方程的重要性
薛定谔方程的重要性在于它为了解释物质的变化、物理的变化提供了一种定量的理论，可以用来研究复杂的物理目标。

它的应用界面，是用来说明非线性系统的行为，它可以说明某些物质在外力作用下对其位置变换时质量状态的变化，也可以用来描述原子各种物质状态的相互关系，它是现代物理学和化学研究进步的强大的基础性理论。

薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。

而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。

薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。

海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

目录[隐藏]• 1 含时薛定谔方程• 2 不含时薛定谔方程• 3 历史背景与发展• 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引▪ 4.1.1 假设▪ 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引• 5 特性o 5.1 线性方程▪ 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性▪ 5.3.1 证明o 5.4 完备基底• 6 相对论性薛定谔方程•7 解析方法•8 实例o8.1 自由粒子o8.2 一维谐振子o8.3 球对称位势▪8.3.1 角部分解答▪8.3.2 径向部分解答•9 参阅•10 参考文献•11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。

理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

薛定谔波动方程
薛定谔波动方程是量子力学中的基本方程，用于描述微观粒子（如电子、质子等）的行为。

其一维时间依赖形式为：
iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + Vψ
其中，ψ是波函数，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，t是时间，m是粒子质量，x是位置，V是势能。

扩展一：波函数的物理含义
在薛定谔波动方程中，ψ被称为波函数，它的绝对值的平方|ψ|²表示粒子在给定位置的概率密度。

这是一个非常重要的概念，因为在量子力学中，粒子的位置并不是绝对确定的，而是以概率的形式存在。

这也就是所谓的波粒二象性，即微观粒子既表现出粒子性，也表现出波动性。

扩展二：薛定谔波动方程的解
薛定谔波动方程是一个二阶偏微分方程，其解通常需要用数学方法求解。

这些解表示了粒子可能的状态，包括粒子的能量、动量等物理量。

例如，在一个无限深势能井中，薛定谔方程的解是一系列的正弦函数和余弦函数，对应于粒子在势能井中的各个能级。

扩展三：薛定谔波动方程的应用
薛定谔波动方程在量子力学中有广泛的应用，它被用来描述电子在原子中的行为，从而解释了原子的稳定性和光谱线的产生。

此外，它还被用来解释诸如超导、量子隧道效应、量子纠缠等现象。

现代的许多技术，如激光、半导体、量子计算机等，都与薛定谔方程的应用密切相关。

总的来说，薛定谔波动方程是理解微观世界的关键，它展示了量子力学中的许多奇特现象，并成为现代物理的基础。

量子力学中的薛定谔方程求解方法量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学科，而薛定谔方程则是量子力学的基础方程之一。

薛定谔方程描述了微观粒子在各种势场中的运动规律，是解决量子力学问题的重要工具。

本文将探讨薛定谔方程的求解方法，包括定态薛定谔方程和时间相关薛定谔方程的求解。

首先，我们来讨论定态薛定谔方程的求解方法。

定态薛定谔方程描述了系统的能量本征态和能量本征值。

对于一维势场，定态薛定谔方程可以写成如下形式：$$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$$其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，$\psi(x)$是波函数，$E$是能量本征值。

对于特定的势场，我们可以通过求解这个方程得到系统的能量本征值和能量本征态。

常见的求解方法有分离变量法、近似方法和数值计算方法。

分离变量法是求解定态薛定谔方程的一种常用方法。

该方法基于波函数的可分离性假设，即$\psi(x) = X(x)Y(y)Z(z)$，将多维问题分解为一维问题。

通过将方程进行分离变量，并利用边界条件，可以得到一系列的一维薛定谔方程。

这些方程可以通过解析或数值方法求解，得到系统的能量本征值和能量本征态。

近似方法是另一种常用的求解定态薛定谔方程的方法。

当势场复杂或无法直接求解时，可以采用近似方法来求解。

常见的近似方法有微扰法和变分法。

微扰法是将复杂势场分解为简单势场，然后通过对简单势场求解薛定谔方程的精确解，再加入微扰项进行修正。

变分法是通过选择适当的波函数形式，并通过变分原理来求解薛定谔方程。

这些近似方法在实际问题中得到了广泛应用，为求解复杂系统提供了有效的工具。

除了定态薛定谔方程，时间相关薛定谔方程也是量子力学中重要的方程。

时间相关薛定谔方程描述了系统随时间演化的规律。

对于定态问题，可以通过将时间相关薛定谔方程分解为定态薛定谔方程的线性组合来求解。

但对于时间相关问题，需要采用更加复杂的方法。

数值计算方法是求解时间相关薛定谔方程的一种常用方法。