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第三章计算机数控装置的插补原理3.1 概述3.1.1插补的基本概念是指在轮廓控制系统中，根据给定的进给速度和轮廓线形的要求等“有限信息”，在已知数据点之间插入中间点的方法，这种方法称为插补方法。
插补的实质就是数据点的“密化”。
插补的结果是输出运动轨迹的中间坐标值，机床伺服驱动系统根据这些坐标值控制各坐标轴协调运动，加工出预定的几何形状。
插补有二层意思：一是用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）；二是用基本线型拟和其它轮廓曲线。
插补运算具有实时性，直接影响刀具的运动。
插补运算的速度和精度是数控装置的重要指标。
插补原理也叫轨迹控制原理。
五坐标插补加工仍是国外对我国封锁的技术。
下面以直线、圆弧生成为例，论述插补原理。
3.1.2 插补方法的分类完成插补运算的装置或程序称为插补器,包括:硬件插补器：早期NC系统的数字电路装置。
软件插补器：现代CNC系统的计算机程序。
软硬件结合插补器：软件完成粗插补，硬件完成精插补。
由于直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型，因此CNC系统一般都具有直线插补和圆弧插补两种基本类型。
插补运算所采用的原理和方法很多，一般可归纳为基准脉冲插补和数据采样插补两大类型。
1.基准脉冲插补每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅移动一个脉冲当量或行程的增量。
脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大小。
这类插补运算简单，主要用于步进电机驱动的开环数控系统的中等精度和中等速度要求的经济型计算机数控系统。
也有的数控系统将其用做数据采样插补中的精插补。
基准脉冲插补也叫脉冲增量插补，其插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。
2.数据采样插补采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段（又称轮廓步长）进行数据密化，以此来逼近轮廓曲线。
然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量（一个插补周期的进给量），作为指令发给伺服驱动装置。
数控技术第3章插补原理插补原理第三章插补原理插补原理§3.1一、基本概念概述插补(Interpolation):数控系统根据给定的进给速度和轮廓线形基本数据(直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终点坐标),在轮廓的已知点之间，运用一定的算法，形成一系列中间点坐标数据，从而自动的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹分析，以满足加工精度的要求。
插补原理插补是数控系统最重要的功能；插补实际是数据密集化的过程；插补必须是实时的；插补运算速度直接影响系统的控制速度；插补计算精度影响到整个数控系统的精度。
插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高次曲线插补器；根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件插补。
目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。
根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
插补原理脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线距离，称为脉冲当量，用δ表示。
一般0.01mm~0.001mm。
脉冲当量越小，则机床精度越高yA(xe,ye)ox插补原理二、插补方法分类 1.脉冲增量插补每次插补结束，在一个轴上仅产生单个的行程增量，以一个脉冲的方式输出给步进电动机，实现一个脉冲当量的位移。
进给速度与插补速度相关。
插补的实现方法简单，通常只用加法和移位即可完成插补，易用硬件实现，且运算速度快。
适用于以步进电动机为驱动装�Z的开环数控系统。
按插补运算方法，可分为逐点比较法和数字积分法等。
插补原理2.数字增量插补数控装�Z产生的是数字量，而不是单个脉冲。
插补程序以一定的周期定时进行，在每个周期内根据进给速度计算出坐标轴在下一个插补周期内的位移增量。
分为粗插补(用若干条微小直线段来逼近给定曲线)和精插补(在每一条微小直线段上进行数据的密化工作)。
插补运算速度与进给速度无严格的关系，可获得较高的进给速度插补算法复杂，对计算机有较高要求。
适用于以直流或交流伺服电动机为驱动的闭环或半闭环位�Z采样控制系统常用的数字增量插补有时间分割法和扩展数字积分法插补原理三、评价插补算法的指标稳定性指标：插补运算实际是一种叠代运算。
第三章 数控系统插补原理3.1 概述3.2 基准脉冲插补3.2.1 逐点比较插补法3.2.2 数字积分插补法3.3 数据采样插补3.3.1 直线函数法3.3.2 扩展DDA 法3.4 刀具补偿原理3.5 CNC 装置的加减速控制零件的轮廓形状是由各种线型组成的，这些线形包括：直线、圆弧以及螺旋线、抛物线、自由曲线等。
因此如何控制刀具与工件的相对运动，使加工出来的零件满足几何尺寸精度和粗糙度的要求，是机床数控系统的核心问题。
数控加工中是利用小段直线或圆弧来逼近或拟合零件的轮廓曲线。
3.1 概述插补运算是根据数控语言G 代码提供的轨迹类型（直线、顺圆或逆圆）及所在的象限等选择合适的插补运算公式，通过相应的插补计算程序，在所提供的已知起点和终点的轨迹上进行“数据点的密化”。
过去，插补是由硬件实现的；现在的CNC 系统，插补工作一般是由软件实现的。
3.1.1 插补的基本概念3.1.2 插补原理所谓插补就是指数据点的密化过程：对输入数控系统的有限坐标点（例如起点、终点），计算机根据曲线的特征，运用一定的计算方法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，以满足加工精度的要求。
目前应用的插补算法分为：逐点比较插补法、数字积分插补法和数据采样插补法。
前两种方法也称作脉冲增量插补法。
y x图3.3.2 插补轨迹A(8,6)O用折线来加工直线的例子。
图3.3.8 逆圆插补轨迹A(6,0)B(0,6)插补轨迹理想轨迹yxO用折线来加工圆弧的例子。
3.1.3 脉冲增量插补脉冲增量插补，适用于以步进电机为驱动装置的开环数控系统。
其特点是：每次插补计算结束后产生一个行程增量，并以脉冲的方式输出到坐标轴上的步进电机。
单个脉冲使坐标轴产生的移动量叫脉冲当量，一般用δ来表示。
其中逐点比较插补法和数字积分插补法得到了广泛的应用。
下面分别讲述。
逐点比较法的基本原理是计算机在控制过程中逐点地计算和判断加工偏差，并根据偏差决定下一步的进给方向，以折线来逼近直线或圆弧曲线。
它与给定的直线或圆弧之间的最大误差不超过一个脉冲当量，因此只要将脉冲当量，即坐标轴进给一步的距离取得足够小，就可满足加工精度的要求。
3.2 逐点比较插补法图3.3.1 逐点比较直线插补),(e e y x A ''P 'P O i y i x y x),(i i y x P 3.2.1 逐点比较直线插补ee i i x y x y ＝e e i i x y x y <0=-=i e e i i x y x y F ee i i x y x y >0>-=i e e i i x y x y F 0<-=i e e i i x y x y F定义直线插补的偏差函数为:ie e i i x y x y F -=P 点在直线OA 上；P ’点在直线OA 上方；P ’’点在直线OA 下方；若，则表明P 点在直线OA 上；若，则表明P 点在直线OA 的上方；若，则表明P 点在直线OA 的下方。
规定：当F ≥0时，刀具向+x 方向进给一步，以逼近给定直线，此时的坐标值为0=i F 0>i F 0<i F 11+=+i i x x i i y y =+1 111(1)i i e e i i e e i F y x y x y x y x +++=-=-+i e e i e i ey x y x y F y =--=-(3.3.1)则新加工点的偏差为：规定当F ＜ 0时，刀具应向+y 方向进给一步，以逼近给定直线，此时的坐标值为：ii x x =+1 11+=+i i y y i e e e i i ey x x y x F x =+-=+ 111(1)i i e e i i e e iF y x y x y x y x +++=-=+-则新加工点的偏差为：(3.3.2)进给一步后，由前一点的加工偏差和终点坐标(xe ，ye)可计算出新加工点的偏差，再根据新加工点偏差函数的符号决定下一步的走向。
如此下去，直到两个方向的坐标值与终点坐标(xe ，ye)相等，发出终点到达信号，该直线段插补结束。
从上述过程可以看出，逐点比较法中刀具每进给一步都要完成以下四项内容：（1）偏差符号判别 即判断是否Fi ≥0；（2）坐标进给当Fi ≥0时向+x 方向前进一步；当Fi ＜0时，向+y 方向前进一步；（3）新偏差计算 计算公式为式（3.3.1）和式（3.3.2）；第一种方法计算出x 和y 方向坐标所要进给的总步数，即Σ=（|xe|-x0）+（|ye|-y0）=|xe|+|ye|，每向x 或y 方向进给一步，均进行Σ减1计算，当Σ减至零时即到终点，停止插补。
第二种方法是分别求出x 坐标和y 坐标应进给的步数，即|xe|和|ye|的值，沿x 方向进给一步，|xe|减1，沿y 方向进给一步，|ye|减1，当|xe|和|ye|都为零时，达到终点，停止插补。
（4）终点判别例1 设在第一象限插补直线段OA ，起点坐标O(0,0)，终点为A （8,6）。
试用逐点比较法进行插补，并画出插补轨迹。
解：用第一种终点判别法，插补完这段直线，刀具沿x 、y 轴应走的总步数为：ΣN=|xe|+|ye|=8+6=14插补运算过程见表3.3.1，插补轨迹如图3.3.2所示。
y x图3.3.2 插补轨迹A(8,6)O上面介绍的是第一象限的插补过程。
对于其它象限的直线进行插补时，可以用相同的原理获得，表3.3.2列出了四个象限的直线插补时，偏差和进给脉冲方向。
计算时，终点坐标xe、ye和加工点坐标均取绝对值。
线型≥0时，Fi进给方向< 0时，Fi进给方向偏差计算公式1+x+yFi≥0时：Fi+1=Fi-yeFi< 0时：Fi+1=Fi+xeL2-x+y-x-y4+x-yL1L 3L 4yxF i <0F i ≥0F i <0F i ≥0F i <0F i ≥0F i ≥0F i <0L 2L 4L 1L 3四个象限直线插补时偏差计算和进给脉冲的方向逐点比较法直线插补可以用硬件实现，也可以用软件实现。
用硬件实现时，采用两个坐标寄存器（Xe 、Ye ）、偏差寄存器（Fi ）、加法器、终点判别器等组成逻辑电路即可实现逐点比较法的直线插补。
用软件实现插补的程序框图如图3.3.3所示。
图3.3.3 软件实现插补的程序图开始初始化X e , Y e ,ΣY Σ←Σ-1YN结束F ≥0?+Y 方向走一步+X 方向走一步F ←F -Y eF ←F +X eN 插补结束？（Σ=0?）逐点比较圆弧插补是以加工点到圆心的距离与圆弧半径之差作为偏差。
图3.3.4 圆弧插补原理图O),(i i y x P ),(e e y x B ),(00y x A RLyx2.逐点比较圆弧插补圆弧插补的偏差计算公式Fi 为：根据加工点所在的区域不同有以下三种情况： 当Fi ＝0时，表明加工点P 在圆弧上； 当Fi ＞0时，表明加工点P 在圆弧外； 当Fi ＜0时，表明加工点P 在圆弧内。
圆弧插补分顺时针圆弧插补和逆时针圆弧插补，两种情况下偏差计算和坐标进给均不相同，下面分别加以介绍：22222R y x R L F i i i -+=-=(1) 逆时针圆弧插补 Fi ≥0时-x 方向进给一步Fi<0时+y 方向进给一步11-=+i i x xii y y =+11212222+-=-++-=i i ii i x F R y x x222221211)1(R y x R y x F i i i i i -+-=-+=+++ii x x =+111+=+i i y y1212222++=-+++=i i i i i y F R y y x222221211)1(Ry x R yx F i ii i i -++=-+=+++(2) 顺时针圆弧插补 Fi ≥0时-y 方向进给一步 Fi<0时+x 方向进给一步11-=+i i y y222222112)1(R y y x R y x F i i i i i i -+-+=--+=+12+-=i i y Fii x x =+11212222++=-+++=i i i i i x F R y x x11+=+i i x x22222211)1(Ry x R y x F ii ii i -++=-+=++ii y y =+1从以上的推导中可以看出，无论逆时针圆弧插补还是顺时针圆弧插补，其原理都与直线插补类似。
因此圆弧插补每进给一步，也要完成偏差判别、坐标进给、新偏差计算和终点判别四项内容，只是偏差计算公式、进给方向和终点判别步数N 的计算公式与直线插补不一样。
终点判别方法有如下两种：第一种方法总步数减1；第二种方法x 和y 方向步数分别减1。
逆圆 顺圆F i ≥0F i ≥0yx F i <0顺圆F i ≥0F i <0逆圆F i ≥0顺圆F i≥0F i <0F i <0F i <0F i ≥0F i <0逆圆F i ≥0F i <0顺圆F i ≥0F i <0逆圆图3.3.7 不同象限圆弧插补的进给方向例2 第一象限逆时针圆弧AB 、起点为A(6，0)，终点为B(0，6)。
试对此段圆弧进行插补并画出插补轨迹图。
图3.3.8 逆圆插补轨迹例3 第一象限顺时针圆弧AB，起点为A(0，6)，终点为B(6，0)。
试对这段圆弧进形插补，并画出插补轨迹图。
图3.3.9 顺圆插补轨迹解: 终点判别采用第一种方法,则插补过程计算见表3.3.5，插补轨迹如图3.3.9所示。
逐点比较圆弧插补法实现。
硬件实现时可用两个坐标寄存器（存放xi，yi）、偏差寄存器、终点判别器等组成逻辑电路。
用软件实现时，第1象限逆时针圆弧插补的程序框图如右。
插补结束？（Σ=0?）开始初始化X 0,Y 0,ΣYΣ←Σ-1YN结束F ≥0?-X 方向走一步+Y 方向走一步NF +2Y +1→F Y +1→YF -2X +1→F X -1→X图3.3.10 逐点比较圆弧插补程序图 3.2.2数字积分（DDA）插补法数字积分插补法是利用数字积分的方法确定刀具沿各坐标轴的位移，使得刀具沿着所设定的曲线进行加工。
数字积分插补法运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现空间曲线插补，能够插补出各种平面曲线。
其缺点是速度调节不便，插补精度需要采取一定的措施才能满足要求。
但由于计算机有较强的计算功能，采用软件插补时，上述缺点能够克服。
从图 3.3.11可知，函数y ＝f(x) 与x 轴在区间[a ，b]所包围的面积可用积分求得。
即： (3.3.7)若把自变量的积分区间[a，b]等分成许多有限的小区间△x (＝xi+1-xi)，这样求面积S可以转化成求有限个小区间面积之和，即：计算时，若取△x为基本单位“1”，即一个脉冲当量，则由此将函数的积分运算变成了变量的求和运算，当△x选取得足够小时，用求和运算代替积分运算所引起的误差可不超过允许误差。
