2019届高考数学一轮复习(北师大版文科)： 课时分层训练14 导数与函数的单调性

课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )A ．eB ．1C ．－1D ．－eC [函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)．又y ′＝1x －1＝1－x x，令y ′＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，y ′＞0，函数单调递增；当x ∈(1，e]时，y ′＜0，函数单调递减．当x ＝1时，函数取得最大值－1.]2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0，∴a ＞6或a ＜－3.]3．(2018·太原模拟)函数y ＝f (x )导函数的图像如图2­12­3所示，则下列说法错误的是( )图2­12­3A ．函数y ＝f (x )在区间(－1,3)上是增加的B ．函数y ＝f (x )在区间(3,5)上是减少的C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值C [由函数y ＝f (x )导函数的图像可知：当x ＜－1及3＜x ＜5时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当－1＜x ＜3及x ＞5时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )的单调减区间为(－∞，－1)，(3,5)；单调增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误，故选C ．]4．(2018·重庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )【导学号：00090075】A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 C [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3－2a a 2－a －12＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝3.①当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，∴在x ＝1处不存在极值； ②当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)． ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，1，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，符合题意． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11，∴f (2)＝8＋16－22＋16＝18.]5．(2018·武汉模拟)已知a ∈R ，若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a e x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ≤1D ．a ≥0B [f ′(x )＝e x x 2(ax 2＋x －1)， 若f (x )在(0,1)上有且只有一个极值点，则f ′(x )＝0在(0,1)上有且只有一个零点，显然e xx 2＞0，问题转化为g (x )＝ax 2＋x －1在(0,1)上有且只有一个零点， 故g (0)·g (1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜0a ＋1－1＞0，解得：a ＞0，故选B ．]二、填空题6．(2018·包头模拟)设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.2 [由f (x )＝x 3－3x ＋1，得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－2，－1)∪(1,2)时，f ′(x )＞0，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0.∴函数f (x )的增区间为(－2，－1)，(1,2)；减区间为(－1,1)．∴当x ＝－1时，f (x )有极大值3；当x ＝1时，f (x )有极小值－1.又f (－2)＝－1，f (2)＝3.∴最大值为M ＝3，最小值为m ＝－1，则M ＋m ＝3－1＝2.]7．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋A ．∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x＜－1.]8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．【导学号：00090076】30 23 000 [设该商品的利润为y 元，由题意知， y ＝Q (p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700，令y ′＝0得p ＝30或p ＝－130(舍)，当p ∈(0,30)时，y ′＞0，当p ∈(30，＋∞)时，y ′＜0，因此当p ＝30时，y 有最大值，y max ＝23 000.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；(2)当a <0时，若函数满足y 极大＝1，y 极小＝－3，试求y ＝f (x )的解析式．[解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax .依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，即2ax ≥3x 2.∵x ＞0，∴2a ≥3x ，∴2a ≥6，∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞).5分 (2)∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝x (－3x ＋2a )．∵a ＜0，当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23a 时，f ′(x )≤0，f (x )递减． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0时，f ′(x )＞0，f (x )递增． 当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )递减. 8分。

课时规范练14导数的概念及运算基础巩固组1.已知函数f(x)=+1,则--的值为()A.-B.C. D.02.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)等于()A.-eB.-1C.1D.e3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=04.(2017江西上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为()A.1B.C. D.5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-36.若曲线f(x)=a cos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.27.若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x38.(2017江西南昌联考)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3 〚导学号21500714〛9.(2017吉林长春二模)若函数f(x)=,则f'(2)=.10.(2017山西太原模拟)函数f(x)=x e x的图像在点(1,f(1))处的切线方程是.11.若函数f(x)=ln x-f'(-1)x2+3x-4,则f'(1)=.12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.综合提升组13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=014.下面四个图像中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图像,则f(-1)=()A. B.-C. D.-或〚导学号21500715〛15.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.创新应用组16.(2017河南郑州三模)已知f'(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为S n,则S2 017的值为()A.B.C.D.17.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于()A.-1或-B.-1或C.-或-D.-或7参考答案课时规范练14导数的概念及运算1.A∵f'(x)=-,∴--=----=-f'(1)=--=-.2.B∵f'(x)=2f'(1)+,∴f'(1)=2f'(1)+1,∴f'(1)=-1.故选B.3.B由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).因为f'(x)=-2x+1,所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4.B因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=.故所求的最小值为.5.B因为f(x)=x3+ax2+(a-3)x,所以f'(x)=3x2+2ax+(a-3).又f'(x)为偶函数,所以a=0,所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3.所以f'(0)=-3.故所求的切线方程为y=-3x.6.C依题意得f'(x)=-a sin x,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-a sin 0=2×0+b,则b=0,又m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1,故选C.7.A设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.A项,f'(x)=cos x,显然k1·k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,所以该函数具有T性质;B项,f'(x)=(x>0),显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有T性质;C项,f'(x)=e x>0,显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有T性质;D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3×3=-1无解,故该函数不具有T性质.综上,选A.8.C令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,∴f'(x)=4x-1,∴f(1)=1,f'(1)=3,∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.9.-由f'(x)=-,得f'(2)=-.10.y=2e x-e∵f(x)=x e x,∴f(1)=e,f'(x)=e x+x e x,∴f'(1)=2e,∴f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2e x-e.11.8∵f'(x)=-2f'(-1)x+3,∴f'(-1)=-1+2f'(-1)+3,解得f'(-1)=-2,∴f'(1)=1+4+3=8.12.[2,+∞)∵f(x)=x2-ax+ln x,∴f'(x)=x-a+.∵f(x)的图像存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+-a=0有解,∴a=x+≥2 x>0).13.B设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图像相切于点(x0,y0),则-,,,解得, ,∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.14.D∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,∴f'(x)的图像开口向上,故②④排除.若f'(x)的图像为①,则a=0,f(-1)=;若f'(x)的图像为③,则a2-1=0.又对称轴x=-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-.15.1-ln 2对函数y=ln x+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=.设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以,,解得x1=,x2=-.所以k==2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.16.A f'(x)=2x+m,可设f(x)=x2+mx+c,由f(0)=0,可得c=0.所以函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线的斜率为2+m=3,解得m=1,即f(x)=x2+x,则.所以S2 017=1-+…+=1-.17.A因为y=x3,所以y'=3x2,设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=.当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-.当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1.。

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第11页)[基础知识填充]1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称．(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a (a ＞0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B ．13C ．12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12D ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意； B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意； C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]5．(教材改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( ) A ．有最大值4 B ．有最小值－4 C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B ．法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B ．](对应学生用书第12页)(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝lg(1＋4x 2－2x )； (3)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.【导学号：00090021】[解] (1)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，且f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋4x 2－2x ＝－lg(1＋4x 2－2x )＝－f (x )． 故原函数为奇函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图像进行判断． [变式训练1] (1)(2018·商丘模拟)已知函数f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0，e)上是增加的B ．奇函数，且在(0，e)上是减少的C ．偶函数，且在(0，e)上是增加的D ．偶函数，且在(0，e)上是减少的(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) 【导学号：00090022】 A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(1)D (2)C [(1)f (x )的定义域为(－e ，e)，关于原点对称．f (－x )＝ln(e －x )＋ln(e ＋x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．又f (x )＝ln(e 2－x 2)，所以f (x )在(0，e)上是减少的．(2)A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|·g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，D 错．]a ＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立， ∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1. (2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] (1)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)(2018·青岛模拟)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(1)A (2)－32 [(1)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. (2)f (－x )＝ln(e－3x＋1)－ax ＝ln 1＋e 3xe3x －ax ＝ln(1＋e 3x)－3x －ax ，依题意得，对任意x∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即ln(1＋e 3x)－3x －ax ＝ln(1＋e 3x)＋ax ， 化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，因此2a ＋3＝0，解得a ＝－32.](1)(201＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.(1)6 (2)1 009 [(1)∵f (x ＋4)＝f (x －2)， ∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][母题探究1] 若将本例(2)中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )． 故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009. [母题探究2] 若将本例(2)中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f x”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1fx ＋＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质． 2．在解决具体问题时，要注意“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．[变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D ．]。

第二节 函数的单调性与最大(小)值[考纲传真] .理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．函数的单调性()单调函数的定义如果函数＝()在区间上是增加的或是减少的，那么就称为单调区间．．函数的最大(小)值函数单调性的常用结论()对任意，∈(≠)，＞⇔()在上是增函数，＜⇔()在上是减函数．()对勾函数＝＋(＞)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，)和(，]．()在区间上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．()函数(())的单调性与函数＝()和＝()的单调性的关系是“同增异减”．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()对于函数()，∈，若对任意，∈，≠且(－)·[()－()]>，则函数()在区间上是增加的．( )()函数＝的单调递减区间是(－∞，)∪(，＋∞)．( )()函数＝在上是增加的．( )()函数＝－在区间[，＋∞)上是增加的，则函数＝－的单调递增区间为[，＋∞)．( ) [答案]()√()×()×()×．(·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )．＝．＝．＝．＝[选项，中函数在定义域内均为单调递增函数，选项为在定义域内为单调递减函数，选项中，设＜(，≠)，则－＝－＝，因为－＜，当，同号时＞，－＜，当，异号时＜，－＞，所以函数＝在定义域上不是单调函数，故选．]．(教材改编)已知函数()＝，∈[]，则()的最大值为，最小值为．[可判断函数()＝在[]上为减函数，所以()＝()＝，()＝()＝.]．函数＝(＋)＋在上是减函数，则的取值范围是．[由题意知＋＜，得＜－.]．()＝－，∈[－]的单调增区间为，()＝.[][()＝(－)－，故()的单调增区间为[]，()＝(－)＝.](对应学生用书第页)．(－∞，－) ．(－∞，)．(，＋∞)．(，＋∞)()试讨论函数()＝＋(＞)的单调性．【导学号：】() [由－－>，得>或<－.设＝－－，则＝在∈(，＋∞)上为增函数．欲求函数()的单调递增区间，即求函数＝－－的单调递增区间．∵函数＝－－的单调递增区间为(，＋∞)，∴函数()的单调递增区间为(，＋∞)．故选．]()法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，)∪(，＋∞)．在(，＋∞)内任取，，令＜＜，那么()－()＝－＝(－)＋＝(－)·.因为＜＜，所以－＞，＞.故当，∈(，＋∞)时，()＜()，即函数在(，＋∞)上是增加的．。