2014年南开大学数学试点班自主招生考试题解析

南开大学数学试点班自主招生考试题（A 卷）总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1．若单位向量a r ，b r 满足|23|a b -=r r |32|a b +=r r ．2．若非零复数z 满足2||(1)0z z i z +⋅+-=，则复数z 的实部为 ．3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．4．在三棱锥P ABC -中，底面为边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥 P ABC -的体积P ABC V -= ．5．在△ABC 中，A 为钝角，以下结论正确的是 ．①sin cos B C <；②sin sin sin A B C <+；③tan tan 2B C +<；④sin sin B C +<6．已知函数()f x 为周期为3的奇函数，且(1)0f =，则()f x 在区间[0,3)上至少有 个零点．7．过双曲线221169x y -=焦点(,0)(0)F c c >的直线()(0)y k x c k =-<交双曲线的两条准线于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆恰过原点O ，则k = ．8．已知,(0,1)x y ∈，且37,5x y x y ++均为整数，则这样的(,)x y 共有 对．9．在区间(0,)+∞上，若方程2ln x x x a-=有唯一解，则a 的值为 ． 10．已知,,x y z 均为正数，且12xyz =，2222x y z ++≤，则444x y z ++的最大值为 ． 二．解答题（第1-2题，每题15分，第3-7题，每题20分，共130分）1．设,m n 为正整数，且m n <．证明：对于任意连续n 个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为mn 的倍数．2．设P 为曲线222521x xy y -+=上的动点，求点P 到原点距离的最小值．3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的,x y ，均有()()f x y f xy +=．证明：()f x 在(0,)+∞上恒为常数．4．设,(0,)2x y π∈，且tan tan 3x y ⋅≥．证明：cos cos 2x y +≥．5．设n Z ∈，且2n ≥，(0,1](1,2,,)i a i n ∈=L ，证明：1111111n n nn i i i i i i i i i a a n a a a ====⋅≥⋅⋅++∑∑∑∏． 6．已知1(0,1)a ∈，212n n n a a a n+=+，证明：存在0M >，使得对任意的正整数n ，有n a M <． 7．设集合A 的元素个数为n ，证明：存在集合A 的一个子集B ，满足：B 的元素个数大于3n ，且对任意的,x y B ∈，均有x y B +∉．。

2014年自主招生模拟试卷 数学试题卷（2014.5）一、选择题（共5题，每题5分，共25分） 1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。

9、已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在yxM N OCBA线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．三、解答题（共2题，第10题15分，第11题15分）10、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．11、已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．数学答案一、选择题（共5题，每题5分，共25分）QP xy DCBAO1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ D ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ A ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ A ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 1 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 262+ ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_____53,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭____。

北约数学答案2 一、选择题二、解答题 7、解：由均值不等式得2222)]2()2[()()4()(c b c a b a c b a b a +++++=++++………………………(3分)ab c bc ac ab bc ac ab ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+=++≥222224244)2222()2(22ab c bc ac ab 16884+++=,………………………(6分)∴)(16884)()4()(22c b a abcabc bc ac ab c b a abc c b a b a ++⋅+++≥++⋅++++ 488111()8()22222a ab b a bc c c b a c b a =+++++=+++++++ 100)25()215(85422522=⋅⋅⋅≥c b a c b a ,………………………(6分)等号成立当且仅当02>==c b a , 故k 的最大值为100 .………………………(3分)8、解：结论成立. ………………………(4分)由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n nn q p a =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且,n n p q 互质）………………………(2分)由111p pa q q ==，可得q p <≤10；………………………(2分)若0≠n p ，设n n q p αβ=+（n p <≤β0，βα,是非负整数）则nn n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 11n n n n nq a a p p β+===，故β=+1n p ，nn p q =+1，可得nn p p <≤+10………………………(3分)若=n p ，则1=+n p ，………………………(2分)若q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅均不为0，则这q 正整数(1,2,3,,)n p n q =L 互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾.………………………(3分)故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a . 从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0， 所以对于大于q 的自然数n ，都有0=n a………………………(2分)9、解：设所求的两位数为x,则有自然数s 、t ，满足10210(1),10510(1)s n s t n t x x x x <<+<<+………………………(6分)两式相乘得+t22101010(1)s n s t x x +<<+………………………(2分)因为x 是两位数，224242321099,10,(1)1010103,10(1)10001,31s t n s t x x x n s t x x x x x ++++≤≤≤+≤<<=++<<+<<+=所以10所以这个两位数是31.……………………(10分)10、解：因为B m =（b m1，b m2，b m3，b m4）满足．由b m1，b m2，b m3，b m4关系的对称性，只需考虑（b m2，b m3，b m4）与（a 1，a 2，a 3）的关系数的情况．……………………(4分)当b m1=0时，有．……………………(3分)==．……………………(4分)即b m1=0，且，，时，a1b m2+a2b m3+a3b m4的最大值为m．当时，，……………………(4分)得a1b m2+a2b m3+a3b m4m所以C（A，B m m（m=1，2，3，…，n）．……………………(3分)。

拉格朗日乘数法的初等应用甘大旺【摘要】概述拉格朗日的数学成就,诠释拉格朗日乘数法的两元简单形态和多元一般形态,从高考题、自主招生题、竞赛题中挑选例题详述拉格朗日乘数法在初等数学中的运用,其中指明把函数极值点确定为最值点的判定技巧,并补充一组思考题让读者进一步品味拉格朗日乘数法的实用价值.【期刊名称】《宁波教育学院学报》【年(卷),期】2017(019)001【总页数】4页(P134-137)【关键词】拉格朗日;偏导数;极值点;拉格朗日乘数法【作者】甘大旺【作者单位】浙江省宁波市北仑明港中学,浙江宁波315806【正文语种】中文【中图分类】O172.1拉格朗日（grange,1736-1813）是出生于意大利的法国数学家、力学家、天文学家，被誉为“分析学大师”、“全才数学家”，以他的名字为标记的研究成果就有拉格朗日中值定理、拉格朗日插值公式、拉格朗日恒等式、拉格朗日乘数法、拉格朗日分析力学、流体运动的拉格朗日方法、天体运动方程的拉格朗日平动解，等等，本文诠释并例谈拉格朗日乘数法这个高等方法的初等应用。

为了求二元函数u=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值点（x，y），拉格朗日探索到如下一个基本结论。

定理1：如果两个二元函数f（x，y）和φ（x，y）在某个平面区域D内都存在两个偏导数fx'（x，y）、fy'（x，y）和φx'（x，y）、φy'（x，y），取函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），则二元函数u=f（x，y）在约束条件φ（x，y）= 0下的所有极值点（x，y）满足：在定理1中，所取函数L（x，y）被称为二维拉格朗日函数，其中的实数λ被称为拉格朗日乘数。

这里，目标函数只是二元函数、约束条件只有一个，所以运用定理1求二元函数的条件极值的方法属于拉格朗日乘数法的简单形态。

例1：（2015年山东省竞赛题）已知x、y∈（0，+∞），且x3+y3+3xy=1，则x2y的最大值是____。

南开大学自主招生面试题
来源：网络综合
南开大学2014年自主招生面试时5个人随机分一组，有5名教授面试。

以下是2014年自主招生面试，仅供参考。

【普通自主招生面试题】
1、网络对人际关系的影响是拉近还是疏远?
2、为什么山西以前雾霾严重如今好多了，河北的雾霾始终严重?
3、如何看待公务员考试?
4、西游记里取经包括白龙马的五人组里，如果把他们看做一个团体，你愿意做谁?
【英才选拔直通车面试题】
据了解，整个面试过程持续近半个小时，考题并不是特别难。

1、面试前要求，每个人提前做一份“创新精神”为主题的PPT，喜欢数学的小何在PPT中主要介绍自己对数学方面问题的看法，围绕这份PPT，7名考官中有文有理，有老师专门负责问他数学相关的专业问题
2、文科的老师得知小何最喜欢李清照的词，现场让其背诵了李清照的《声声慢》。

【体质测试】
1、男生为肺活量、握力、立定跳远;
2、女生为肺活量、坐位体前屈、立定跳远。

2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析2014年XXX数学试点班自主招生考试题（A卷）总分：200分考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1.若单位向量a，b满足|2a-3b|=10，则|3a+2b|=4.解析：由|2a-3b|=10平方得：13-12a·b=10，即a·b=1/4.则|3a+2b|=√(13+12a·b)=4.2.若非零复数z满足|z|+z·(1+i)-z=0，则复数z的实部为-2/5.解析：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|+z·(1+i)-z=0得：(x+y-y)+(x+2yi)=0，即2x+2yi=-(1+i)y。

则x=-2/5.3.无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有个。

解析：用排除法。

不含5的无重复数字的五位数共A9=个，其中，4和5相邻的无重复数字的五位数共C7A4A2=1680个。

所以，无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有-1680=个。

4.在三棱锥P-ABC中，底面为边长为3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=11.解析：易知△PBC是直角三角形，取斜边PC的中点为O，因为AP=AB=AC，所以点A在平面PBC上的射影为直角△PBC的外心O，连接AO，即有AO⊥平面PBC。

在直角△AOP中，AO=√(AP^2-PO^2)=√(3^2-()^2)=√8，则VP-ABC=VA-PBC=1/3·S△PBC·AO=1/3·6·√8=11.5.在△ABC中，A为钝角，以下结论正确的是：①sinB<cosC；②sinA<XXX<2；④sinB+sinC<1.解析：A为钝角，则∠B+∠C<π/2.所以：①sinB<sin(π/2-∠C)=cosC；②sinA<sin(∠B+∠C)=XXX<sinB+sinC；③tanB+tanC=(sinB/cosB)+(sinC/cosC)<2；④sinB+sinC<1.故①②④正确。

2014天津文第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（同理１）i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )．A ．4-B ．0C ．43的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．A ．0.5B ．1C ．2D ．4【解】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2． 故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解】{}02A B x x x =∈<>R 或，(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>．所以a c b >>．故选Ｂ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-，所以4p =．又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==，焦距2c =7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+，k ∈Z ． 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -≤≤，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,B ，()1,1C --，()1,2D --．从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【解】3．解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m ．【解】4．几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【解】110．设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 ． 【解】18．因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ⋅≥3918a b +≥=≥≥=，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【解．因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P B D A D P P C C B D AP CD P +=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，有)13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即[]213(25)13(DP -+=-+=+λλ．由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB的F中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立．由式①，325PA PB PE +=≥， 所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一一、选择题1、（北约2014年）设扇形的圆心角为3π，面积为6π，将它围成一个圆锥，求圆锥的表面积______（A ）132π （B ）7π （C ）152π （D ）8π答案：B6/660360ππ=，扇形弧长为60262360ππ=，故圆锥底面半径为1，圆锥的表面积等于67πππ+=2、（北约2013和为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )A. 2B.C. D. 答案：C解析：由,可知,同理由可知; 所以方程的次数最小,其次数为5,故选C.3、（华约2012年）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中对对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 答案：C4、（华约2010年）设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 答案：D5、（华约2010年）设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）32答案：A二、填空题6、（卓越2014年）不等式32210x x -+<的解集为_____________。

13561x =22x =1x 3(1)2x -=23(2)[(1)2]0x x ---=答案：1515112⎛⎫⎛++-, ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭解析：22x x =，把原式视作x 的三次多项式分解因式即可。

7、（卓越2013年）如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）。

答案：βα-三、综合题8、（北约2014年）证明：tan 3是无理数。

2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题一、填空题1. 已知5101024ab==，则11a b-的值为__________. 【答案】110-【解析】由5101024ab==得510l o g 1024l o g 1024a b ==，， 所以1024102411log 5log 10a b ==，， 所以10110241024102421111log 5log 10log log 2210a b --=-===-.2. 已知点A （1,0），点B 为圆222014x y +=上的任意一点，设AB 的中垂线l 与OB 的交点为C ，则点C 的轨迹方程为__________.【答案】221442120142013x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=3. 已知可行域03434x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，若直线43y kx =+将可行域所表示的图形的面积平分，则k 的值为__________. 【答案】734. 用24个点将一个圆24等分，任意选择其中的三点，则可以组成_______个不同的直角三角形. 【答案】264【解析】1222264⨯=（个）. 5. 已知函数ππsin sin 2cos 66y x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是1，则a 的值为__________.【答案】17+ 【解析】πππsin sin 2cos 2sin cos 2cos 666y x x x a x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223sin 2cos (3)2sin()7sin()x x a x a x a ϕϕ=++=+++=++，根据题意得71a -+=，解得17a =+.6. 002220142014201420142014C 2C 2C 2________.⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅= 【答案】2014312+【解析】由20140011223320132013201420142014201420142014(1+)=C C C C C +C x x x x x x x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅， 令2x =，得2014011223320132013201420142014201420142014(1+2)=C 2C 2C 2C 2C 2+C 2⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅， 令2x =-，得2014011223320132013201420142014201420142014(12)=C 2C 2C 2C 2C 2+C 2-⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅， 以上两式相加得20140222014201420142014201431C 2C2C22+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=.7. 已知圆上A 、B 、C 、D 四点依次排列，AB=BC =3，CD =4，DA =8，则该圆的半径为________. 【答案】320510【解析】连接AC ，设180ADC ABC αα∠=∠=-，则，利用余弦定理得222222c o s (180)2c o sA C AB BC A B B CD C D A D C D A αα=+-⋅⋅-=+-⋅⋅ ，由此解得cos sin AC αα和，，再利用正弦定理解得圆的半径为32052sin 10AC α=.8. 若2313x x a a +--≤-对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______________. 【答案】41a a ≥≤-或 二、解答题9. 已知四棱锥P ABCD -，,AB AD ⊥,CD AD ⊥,PA ABCD ⊥平面2P A A D C D A B ===，点M 为PC 的中点.（1）求证：BM PAD ∥平面；（2）在平面PAD 上找一点N ，使得MN ⊥平面PBD ； （3）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦.解：（1）取PD 的中点E ，连接ME AE ，.因为点M 为PC 的中点，点E 为PD 的中点，所以1//2ME CD . 因为,AB AD ⊥,CD AD ⊥2CD AB =，所以1//2AB CD ，所以//AB ME ， 所以四边形ABME 是平行四边形，所以//BM AE ，所以BM PAD ∥平面. （2）取AE 的中点N ，连接MN BE ，，MN BE 与交于点F . 设22PA AD CD AB ====.因为,PA ABCD ⊥平面所以PA AB ⊥.又因为,AB AD ⊥所以,AB PAD ⊥平面 所以,AB AE ⊥所以平行四边形ABME 是矩形. 在等腰直角三角形PAD 中，点E 为PD 的中点， 所以1=22AE PD AE PD ⊥=，且，又1ME =， 所以2ME EAEN AB==，又90MEN EAB ∠=∠= ，所以MEN EAB ∆∆ ， 所以EMN AEB ∠=∠，又因为90EMN ENM ∠+∠= ，所以90AEB ENM ∠+∠=，所以90EFN ∠=，即MN EB ⊥.因为,AB PD AE PD ⊥⊥，所以PD ABE ⊥平面，所以PD MN ⊥， 所以MN PBD ⊥平面.（3）直线PC 与平面PBD 所成角即PM 与平面PBD 所成角，连接PF ，由MF PBD F ⊥平面于点,知MPF PM PBD ∠即为与平面所成角，易求得6=33PM MF =，，所以2sin 3MF MPF PM ∠==.10. 已知数列{}11211,1,12n n n na a a a n n +⎛⎫==++ ⎪+⎝⎭， 求证：（1）()22n a n ≥≥；（2）()2e 1n a n ≤≥. 证明：（1）由112111,12n n n a a a n n +⎛⎫==++ ⎪+⎝⎭，得212111=2112a a ⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭. 易证0n a >，所以121102n n n na a a n n +-=+>+，即数列{}n a 单调递增， 所以()222n a a n ≥=≥.（2）利用不等式1e (0)x x x +<>进行证明: ①当212e n n a =≤，时，显然成立；②当3n ≥时，11(1)2111111111e(1)2(1)2nn n n n n n n a a n n a n n +-⨯---=++≤++<-⨯-⨯， 111(2)(1)122122111111e(2)(1)2(2)(1)2n n n n n n n n a a n n a n n -+-⨯------=++≤++<-⨯--⨯-， ……31132322322111111e232232a a a +⨯=++≤++<⨯⨯， 11212211111111e122122a a a +⨯=++=++<⨯⨯， 将以上各式相乘得311111111112223(2)(1)(1)222e n nn n n n n a -++++⋅⋅⋅++++⨯⨯-⨯--⨯<3131111111111111111111111223(2)(1)(1)222212232112222=e en n n n n n n n n n n n --++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅++⨯⨯-⨯--⨯---=331111111111111112222222224=ee ee n nn -⎛⎫++÷--+++⋅⋅⋅++++ ⎪⎝⎭<=<.综上得原不等式成立.。

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