(新人教版)【文库精品】七年级数学上册 一次函数之动点问题讲义 (新版)鲁教版【必做资料】

P一次函数之动点问题（讲义）课前预习1. 由点的运动（速度已知）产生的几何问题称为动点问题． 动点问题的解决方法： （1）研究 ；（2）分析 ，分段； （3）表达，建方程．2. 根据前期训练的标准动作及上述内容，完成下题．如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形．动点 P 从点 A 出发， 沿折线 AB -BC 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作PQ ⊥AC 于点 Q ．设点 P 运动的时间为 t 秒，请用含 t 的式子 分别表达出 PQ 和 AQ 的长． B思路分析： AQC（ 2/ s ）P : A3sB3sC （ 0 ≤ t ≤ 6）①当0 ≤ t ≤ 3 时，PQ = _，AQ =； ②当 3 t ≤ 6 时，PQ =_，AQ =．3. 用铅笔做讲义第 1，2 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了 2~3 分钟） 重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．知识点睛1.动点问题的特征是，主要考查运动的．2.一次函数背景下解决动点问题的思考方向：（1）研究背景图形把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息（2）分析运动过程，分段、定范围分析运动过程常借助运动状态分析图：①起点、终点、速度——确定时间范围②状态转折点——决定分段③所求目标——明确方向（3）分析几何特征、表达、设计方案求解分段画图，表达相关线段长，列方程求解，回归范围进行验证．精讲精练1. 如图，直线y3x4与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 BC 与 x 轴交于点 C ，∠ABC =60°．动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 AC 向点 C 运动（不与点 A ，C 重合），动点 Q 从点 C 同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 CB -BA 向点 A 运动（不与点 A ，C 重合）．设△APQ 的面积为 S ，运动时间为 t （秒），求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围．32.如图，直线y x 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与直线y=x 交于点C．动点P 从原点O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿O→B→A 的路线向终点A 运动（点P 不与点O，A 重合），动点Q 从点A 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿A→O→C 的路线向终点C 运动（点Q不与点A，C 重合），设点P 运动的时间为t（秒）．设△APQ 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．3.如图，直线 y 3x 2 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，与 直线y 3 x 交于点 C ．动点 E 从原点 O 出发，以每秒 1 个3单位长度的速度沿 OA 方向向终点 A 运动，动点 F 从点 A 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 AC -CO 向终点 O 运动，设点 F 运动的时间为 t （秒）．（1）设△OEF 的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围．（这里规定：线段是面积为零的三角形） （2）当1≤ t ≤ 2 时，是否存在某一时刻，使得△OEF 是等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．B COABCOAyBCOA4.如图，点A 在直线y 3 x 上，过点A 作AC⊥x 轴于点C，3AC=2，过点A 作AB⊥y 轴于点B．动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿O→B→A→O 的路线向点O 运动；同时动点Q 以相同的速度沿C→A→O→C 的路线向点C 运动，设点P 运动的时间为t （秒）．（1）设△OPQ 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（这里规定：线段是面积为零的三角形）（2）当点Q 在OC 上运动时，是否存在某一时刻，使△OPQ 是等腰三角形？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．AAA。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题一次函数与几何综合（一）（讲义）课前预习1. 小明认为，在一次函数y=kx+b 中，x 每增加1，kx+b 就增加了k，y 也就增加了k．因此要想求出一次函数表达式中的k，只需要知道x 每增加1 个单位长度，y 增加的单位长度即可．例如：在如图所示的一次函数图象中，x 从1 变到 2 时，y 的值由3 变到 5，即x 每增加 1 个单位长度，y 就增加 2 个单位长度，因此k 的值就是 2．再结合b 为函数图象与y 轴交点纵坐标，可得b=1．故容易求出一次函数表达式为y=2x+1．请你用待定系数法验证小明的说法．请根据小明的思路，直接写出下图中一次函数的表达式．知识点睛1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比） 来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为 ，BM 即为 ，则k =AM ．BM②b 是截距，表示直线与 y 轴交点的纵坐标．2. 设直线 l 1：y 1=k 1x +b 1，直线 l 2：y 2=k 2x +b 2，其中 k 1，k 2≠0．①若 k 1=k 2，且 b 1≠b 2，则直线 l 1 l 2；②若 k 1·k 2= ，则直线 l 1l 2．3. 一次函数与几何综合解题思路坐标一次函数几何图形①要求坐标， ； ②要求函数表达式， ； ③要研究几何图形，．ABM3 = 33 精讲精练 1.如图，点 B ，C 分别在直线 y =2x 和 y =kx 上，A ，D 是 x 轴上的两点，若四边形 ABCD 是正方形，则 k 的值为 ．第 1 题图第 2 题图2. 如图，点 A ，B 分别在直线 y =kx 和 y =-4x 上，C ，D 是 x 轴上的两点，若四边形 ABCD 是长方形，且 AB :AD =3:2，则 k 的值为 ．3.如图，已知直线 l ： y3x 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴3 交于点 B ，将△AOB 沿直线 l 折叠，点 O 落在点 C 处，则直线 AC 的表达式为 ．第 3 题图第 4 题图4.已知点 A 的坐标为(5，0)，直线 y =x +b （b >0）与 y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则 b 的值为 ．335.如图，△OA B 是边长为2 的等边三角形，过点A 的直线y=-x+m 与x 轴交于点C，则点C 的坐标为．6.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为( ，0)，直线PQ 的斜率为，则将直线PQ 绕点P 逆时针旋转90°所得直线的表达式为．7.如图，直线l1 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，OA=m，OB=n，将△AOB 绕点O 逆时针旋转 90°得到△COD，CD 所在直线l2 与直线l1 交于点E，则l1l2；若直线l1，l2 的斜率分别为k1，k2，则k1·k2= ．第7 题图第8 题图8.如图，直线y4x 8 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，线段3AB 的垂直平分线交x 轴于点C，交AB 于点D，则直线CD的表达式为．9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中放入一张长方形纸片 ABCO ， 点 D 在 AB边上，将纸片沿 CD 翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上的点 B ′处．若 OC =9， OC 3，则折痕 CD 所在直线的解CB 5析式为 ．第 9 题图第 10 题图10.如图，直线 y 3x2 3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B ，D 是 y 轴上的一点，若将△DAB 沿直线 DA 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处，则直线 CD 的解析式为．11.如图，在平面直角坐标系中，函数 y =x 的图象 l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点 A 的坐标为(3，1)，则它关于直线 l 的对称点 A' 的坐标为 ； 猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线 l 的对称点 P ′的坐标为 ；应用：若已知两点 B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线 l 上确定一点 Q ，使点 Q 到 B ，C 两点的距离之和最小，则此时点 Q 的坐标为 ．12.如图，已知直线l1：y 2x8与直线l2：y=-2x+16 相交于点3 3C，直线l1，l2 与x 轴分别交于点A，B，长方形DEFG 的顶点D，E 分别在l1，l2 上，顶点F，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，则S 长方形DEFG : S△ABC = ．33 【参考答案】课前预习1. 小明的说法正确，验证过程略y 3x 2 ，y 2x 2知识点睛1. 竖直高度，水平宽度2. ①∥；②-1，⊥3.①利用函数表达式或线段长转坐标 ②待定系数法或 k ，b 的几何意义 ③坐标转线段长或 k ，b 的几何意义精讲精练 1.2 3 2.4 5 3.y4. 3x 35. (1+ ，0)6.y3x +1 3 7. ⊥，-18. y 3 x74 49. y 1x 9310.y3x 2 3 11. (1，3)；(n ，m )；( 13 ， 13)5 512. 8:95 333。

第六页，编辑于星期六：五点 五十七分。
定义：
若两个变量 x，y之间的对应关系可以表示成 y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的 一次函数（linear function）（ x为自变量，y为因 变量）. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数 函数是正比例函数
（√
）
√
(2)y=80x+100 ，y是x的一次函数.（ ）
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2. x -2 -1 0 1 2 … y -5 -2 1 4 7 …
根据上表写出y与x之间的关系式是： y=3x，+1可 判断y_是___x的一次函数(填“是”或“不是”).
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【解析】（1）当x≤5时，y＝2x； 当x>5时，y＝10＋（ｘ－5）×2.6＝2.6ｘ－3. （2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8－3=17.8（元）．
第二十页，编辑于星期六：五点 五十七分。
4．（益阳·中考）我们知道，海拔高度每上升1 km，温度下 降6℃.某时刻，益阳地面温度为20℃，设高出地面x km处的 温度为y℃. (1)写出y与x之间的函数关系式. (2)已知益阳碧云峰高出地面约500 m，求这时山顶的温度大 约是多少℃？ (3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示 飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度为多少千米 ?
关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0）
关系式为：y=kx (k为常数，k≠0）
第七页，编辑于星期六：五点 五十七分。
【跟踪训练】
1.下列函数中，y是x的一次函数的有（ ①）④
①y=x-6； ②y=2x2+3； ③y= 2；

一次函数中的动点问题一次函数是学生在初中阶段学习的第一个函数，它是最基础的函数，是初中数学中的重要内容之一．本文例析一次函数中的动点问题，供同学们学习时参考．一、动点与函数问题例1 正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，点P自点D出发沿D→C→B的路径匀速移动（到点B后就停止）．设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，求y与x的函数关系式．解析由于点P的位置有两种可能，可能在DC边上，也可能在边BC上，故应该分两种情况讨论：如图1，当点P在DC边上（0≤x≤4）时，y＝12．AD．DP＝12×4x＝2x；如图2，当点P在BC边上（当4<x≤8）时，y＝12．AD．PQ＝14×4×4＝8．所以y＝() () 2,04 8,48 x xx⎧≤≤⎪⎨<≤⎪⎩二、动点与距离问题例2 如图3，在平面直角坐标系中，点A为直线y＝2x＋3上的一个动点．问当点A运动到何处时，点A到y轴的距离为1，求出点A的坐标．解析根据点A到y轴的距离为1，可以得到点A的横坐标的绝对值等于1．故点A的横坐标等于1或者－1，即x A＝±1．当x A＝1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2x1＋3＝5，故点A的坐标为(1，5)；当x A＝－1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2×（－1）＋－3＝1，故点A的坐标为（－1，1）．所以点A的坐标为(1，5)或者（－1，1）．三、动点与最值问题例3 如图4，在平面直角坐标系中，A（－3，2），B(2，3)，点M为x轴上的一个动点，当点M运动到x轴上何处时，MA与MB的和最短．解析点A和点B在x轴的同侧，在x轴上的确定点M的位置，根据最短路径问题的思路，想到利用轴对称知识解决问题，作点A（－3，2）关于x轴的对称点A'（－3，－2），连结A'B交x轴于点M，则有MA＋MB＝MA'＋MB＝A'B，根据两点之间线段最短，可以得到此时的MA与MB的和最短．设经过点A'（－3，－2）、B(2，3)的一次函数的关系式为y＝kx＋b．根据题意，得方程组32 23k bk b-+=-⎧⎨+=⎩解得11kb=⎧⎨=⎩，∴y＝x＋1．把y＝0代入y＝x＋1，得x＝－1，所以点M的坐标为（－1，0）．所以，当点M运动到（－1，0）时，MA与MB的和最短．四、动点与面积问题例4 如图5，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点N是直线y＝－2x＋4上的一动点．若AON的面积等于△AOB面积的二分之一，求点N的坐标．所以点N的坐标为(1，2)，（－1，6）．五、动点与不等式问题例5（2013年河北中考题）如图6，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l:y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒，(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．t＝2时，落在x轴上．六、动点与等腰三角形问题例6（2013龙岩中考题）如图7，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求符合条件的点C的个数．解析如图8，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1．∵A(0，2)，B(0，6)，∴AB＝6－2＝4．以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，C3．∵OB＝6．∴点B到直线y＝x的距离为6=∵，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点，所以，点C的个数是1＋2＝3．。