八年级数学一次函数概念及一次函数专题讲义

1变量和函数一、变量1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。

注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量二、函数1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

注意：①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。

②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。

③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取值可以相同．例如:函数2(3)y x=-中，2x=时，1y=；4x=时，1y=．2.函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数4确定自变量的取值范围（1）分母不为0（2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。

注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

课程主题：函数及一次函数的相关概念教学内容知识点一: 函数的概念:1、同步学校知识理解2、上次课作业分析与讲解一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y二b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 【例题精讲】例1 -辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y (L)随行驶里程x (km)的增加而减少，平均耗油量为0. lL/km.1 .写出表示y与x的函数关系式.2.指出自变量x的取值范围.3.汽车行驶200km时，油桶屮还有多少汽油？实际问题中的白变量取值范围问题：在上面所出现的各个函数关系式屮，白变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制？用数学式子表示的函数的自变量取值范围例2・求下列函数中自变量x的取值范围(l)y=3x-l (2)y = 2x2+7 (3) y=^ (4)随堂练习1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子.(1).改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.(2)・秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地而积y随这个村人数n的变化而变化.2.校园里栽下一-棵小树高1. 8米，以后每年长0. 3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式15003.在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v二t ,则这个关系式中____________ 是自变量，________ 函数.4.已知2x-3尸1,若把y看成x的函数，则可以表示为______________ .5.Z\ABC中，AB二AC,设ZB二x° , ZA= y ° ,试写出y与x的函数关系 _________________ .6.到邮局投寄平信，每封信的重量不超过20克时付邮费0. 80元，超过20克而不超过40克时付邮费1.60元，依此类推，每增加20克须增加邮费0. 80元（信重虽在100克内）.如果某人所寄一封信的质量为78. 5克，则他应付邮费 _________________ 元.自我检测：1. ________________________________________ 函数□屮，自变量兀的取值范围是X +12.面积是S （cm2）的正方形地板砖边长为G（C加），则S与G的关系式是_____ ,其屮自变量是_________ , __________ 是_________ 的函数3.函数y = J的自变量兀的収值范围是.2兀一324.函数y =——x + 2 ,当yvO时，兀的取值范围是35. ________________________________________ 已知兰—丄=丄，用含兀的一次式表示严o2 3 46函数y = VZ的自变量兀的以值范围是___________ ox-1拓展提咼1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张3元，毛笔每支5元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸.小明买了10支毛笔和x张宣纸，则小明用钱总数y （元）与宣纸数x Z间的函数关系是什么？2、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1・2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1・8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x >10）,应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？知识点二：正比例函数及一次函数相关概念：正比例函数：一般地，形如y = （k是常数，£工0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例。

① ② 一看式：y不能带平方或绝对值。 二看图：左右走时不回头，上下看时不. 判断下列各量之间的关系是否函数关系
① ② ③ ④ 圆的半径r=2 , 圆的面积S与半径r的关系。 长方形的宽一定时，其长与周长。 王成的年龄与身高。 汽车行驶过程中，路程一定，其速度与时间。
① ② 根据变化过程中变量的实际意义确定。 根据纯代数关系式确定：一看分母不为0；二看 根号内非负（开平方被开方数是非负数）； 定义：对于自变量在可取值范围内每一个确定的 值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称 为“当自变量等于a的函数值“。 函数值与自变量的取值是对应的、相互依赖的。 求法：有表查表；有式代入；有图看图。
2.
函数值：
①
② ③
【例4】做一做
1. 求当x=-2时，函数 y=x2-√x2的函数值. 3x 2. 函数y= —— 中，求自变量 x的取值范围。 √x-2 3. 当x取（ 意义。 ）时，函数y= ————有
√x -2 4x
五． （补充）函数的图象
1. 定义：把一个函数的自变量的每一个值与对应的函数值分别 做为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有对 应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 作法：列表（选值计算画表）；描点（对应值为点的坐标）； 连线（平滑的直线或曲线）。画出的是近似图象。 作用（学会看图象）：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 一看对应：（变量互求：有关系式用关系式。） 二看趋势：（如何变化） 三看范围：（最大最小局部整体区别看） 四看增减；（上坡下坡） 五看快慢：（陡快缓慢平不变） 六解方程：（组）不等式（ 交点-扫描-投影法） 七比大小：（两函数，比大小，找交点，横分段，看变化，求得 解） 八出方案：（寻求生活中最优选择最佳方案） 九取特值：（结合字母常量的几何意义确定常量之间的关系）。 十设坐标：（设横表纵——永远不变的真理）。

初二数学函数针对性训练———一次函数**: **函数针对性训练———一次函数[知识点梳理]1.一次函数: 形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。

注意: （1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时, y=kx, y叫x的正比例函数。

2.图象: 一次函数的图象是一条直线,（1）两个常有的特殊点: 与y轴交于（0, b）；与x轴交于（-/, 0）（2）由图象可以知道, 直线y=kx+b与直线y=kx平行, 例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质:(1)图象的位置:(2)增减性k>0时, y随x增大而增大k<0时, y随x增大而减小4. 求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程, 再转化为函数解析式, 此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想, 就是把具有某种确定形式的数学问题, 通过引入一些待定的系数, 转化为方程（组）来解决, 题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数, 一般就需列出几个含有待定系数的方程, 本单元构造方程一般有下列几种情况:①利用一次函数的定义构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标, 即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx, 即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

[经典例题]例1.下列函数中, 哪些是一次函数？ 哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x 2； （3）y=-3-5x ；（4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2.例2.当m 为何值时, 函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？ 例3. 一根弹簧长15cm, 它所挂物体的质量不能超过18kg, 并且每挂1kg 的物体, 弹簧就伸长0. 5cm, 写出挂上物体后, 弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式, 写出自变量x 的取值范围, 并判断y 是否是x 的一次函数.例4.某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时, t=1表示下午1时）, 则上午10时此物体的温度为 ℃.例5．已知y-3与x 成正比例, 且x=2时, y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时, 求y 的值；（3）当y=4时, 求x 的值.例6．若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x1, y1）和点B （x2, y2）, 当x1﹤x2时, y1＞y2, 则m 的取值范围是（ ）A. m ﹤OB. m ＞0C. m ﹤D. m ＞M例7. 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示, 求函数表达式.例8 求图象经过点（2, -1）, 且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.例9.已知y+a与x+b（a, b为是常数）成正比例．（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下, y是x的正比例函数？例10.某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费, 然后每通话1分, 再付电话费0. 4元；“神州行”使用者不交月租费, 每通话1分, 付话费0. 6元（均指市内通话）若1个月内通话x分, 两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.（1）写出y1, y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时, 两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元, 则选择哪种通讯方式较合算？例11．已知y+2与x成正比例, 且x=-2时, y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象, 当x取何值时, y≥0？（4）若点（m, 6）在该函数的图象上, 求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上, （2）中的图象与x轴、y轴分别交于A, B两点, 且S△ABP=4, 求P点的坐标．例12.已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时, 它的图象经过原点？（2）k为何值时, 它的图象经过点（0, -2）?（3）k为何值时, 它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时, y随x的增大而减小？例13.判断三点A（3, 1）, B（0, -2）, C（4, 2）是否在同一条直线上.例14.老师讲完“一次函数”这节课后, 让同学们讨论下列问题: （1）x从0开始逐渐增大时, y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说: “y=6x的函数值先达到30, 说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的. ”你认为这两个同学的说法正确吗？例15.某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游, 用旅行社说：“如果老师买全票, 其他人全部半价优惠. ”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠. ”已知全票价为240元.（1）设学生人数为x, 甲旅行社的收费为y甲元, 乙旅行社的收费为y乙元, 分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.例16.某公司到果园基地购买某种优质水果, 慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案. 甲方案: 每千克9元, 由基地送货上门；乙方案: 每千克8元, 由顾客自己租车运回, 已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式, 并写出自变量X的取值范围；（2）当购买量在什么范围时, 选择哪种购买方案付款少？并说明理由.例17.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为.例18.某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元）, 另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例, 当x=20时y=160O；当x=3O时, y=200O．（1）求y与x之间的函数关系式；（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）（2）某人身高为196cm, 一般情况下他的指距应是多少？例20.已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过点（2, -5）.请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式：．巩固练习一、选择题:1．已知y与x+3成正比例, 并且x=1时, y=8, 那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32. 若直线y=kx+b经过一、二、四象限, 则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限3. 直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）164. 若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2, 如图, 所挂物体质量均为2kg时, 甲弹簧长为y1, 乙弹簧长为y2, 则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定5. 设b>a, 将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内, •则有一组a, b的取值, 使得下列4个图中的一个为正确的是（）6. 若直线y=kx+b经过一、二、四象限, 则直线y=bx+k不经过第（）象限.（A）一（B）二（C）三（D）四7. 一次函数y=kx+2经过点（1, 1）, 那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限8. 无论m为何实数, 直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限9. 要得到y=-x-4的图像, 可把直线y=-x（）.（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位10. 若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例, 则m的值为（）（A）m>-14（B）m>5 （C）m=-14（D）m=511. 若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限, 则k的取值范围是（）.（A）k<13（B）13<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<1312. 过点P（-1, 3）直线, 使它与两坐标轴围成的三角形面积为5, •这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条13. 已知abc≠0, 而且=p, 那么直线y=px+p一定通过（）（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（D）第一、四象限14. 当-1≤x≤2时, 函数y=ax+6满足y<10, 则常数a的取值范围是（）（A）-4<a<0 （B）0<a<2（C）-4<a<2且a≠0 （D）-4<a<215. 在直角坐标系中, 已知A（1, 1）, 在x轴上确定点P, 使△AOP为等腰三角形, 则符合条件的点P共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个16. 一次函数y=ax+b（a为整数）的图象过点（98, 19）, 交x轴于（p, 0）, 交y轴于（•0, q）, 若p为质数, q为正整数, 那么满足条件的一次函数的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数17. 在直角坐标系中, 横坐标都是整数的点称为整点, 设k为整数. 当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时, k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个18. （2005年全国初中数学联赛初赛试题）在直角坐标系中, 横坐标都是整数的点称为整点, 设k为整数, 当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时, k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个19. 甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练. 已知: 甲上山的速度是a米/分, 下山的速度是b米/分, （a<b）；乙上山的速度是a米/分, 下山的速度是2b米/分. 如果甲、乙二人同时从点A出发, 时间为t（分）, 离开点A的路程为S（米）, •那么下面图象中, 大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）•之间的函数关系的是（）20. 若k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的两个实根（kb≠0）, 在一次函数y=kx+b 中, y随x的增大而减小, 则一次函数的图像一定经过（）（A）第1.2.4象限（B）第1.2.3象限（C）第2、3、4象限（D）第1.3、4象限二、填空题1. 已知一次函数y=-6x+1, 当-3≤x≤1时, y的取值范围是________.2. 已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一, 第三, 第四象限, 则m的取值范围是________.3. 某一次函数的图像经过点（-1, 2）, 且函数y的值随x的增大而减小, 请你写出一个符合上述条件的函数关系式: _________.4. 已知直线y=-2x+m不经过第三象限, 则m的取值范围是_________.5. 函数y=-3x+2的图像上存在点P, 使得P•到x•轴的距离等于3, •则点P•的坐标为__________.6．过点P（8, 2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．7. y=x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限.8. 某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金, •金额与他工作的年数的算术平方根成正比例, 如果他多工作a年, 他的退休金比原有的多p元, 如果他多工作b年（b ≠a）, 他的退休金比原来的多q元, 那么他每年的退休金是（以a、b、p、•q•）表示______元.9. 若一次函数y=kx+b, 当-3≤x≤1时, 对应的y值为1≤y≤9, •则一次函数的解析式为________.10. （湖州市南浔区2005年初三数学竞赛试）设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为Sk（k=1, 2, 3, ……, 2008）, 那么S1+S2+…+S2008=_______.11．据有关资料统计, 两个城市之间每天的电话通话次数T•与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）．•现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示, 且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t, 那么B、C两个城市间每天的电话次数为_______次（用t表示）．三、解答题1. 已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2, 0）与B（0, 4）. （1）求一次函数的解析式, 并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内, 求相应的y的值在什么范围内.2．已知y=p+z, 这里p是一个常数, z与x成正比例, 且x=2时, y=1；x=3时, y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1≤x≤4, 求y的取值范围.（1）小明经过对数据探究, 发现: 桌高y是凳高x的一次函数, 请你求出这个一次函数的关系式；（不要求写出x的取值范围）；（2）小明回家后, •测量了家里的写字台和凳子, 写字台的高度为77cm, 凳子的高度为43.5cm, 请你判断它们是否配套？说明理由.4．小明同学骑自行车去郊外春游, 下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）•求小明出发多长时间距家12千米？5. 已知一次函数的图象, 交x轴于A（-6, 0）, 交正比例函数的图象于点B, 且点B•在第三象限, 它的横坐标为-2, △AOB 的面积为6平方单位, •求正比例函数和一次函数的解析式.6. 如图, 一束光线从y 轴上的点A （0, 1）出发, 经过x 轴上点C 反射后经过点 B （3, 3）, 求光线从A 点到B 点经过的路线的长. /7. 由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形, 其面积是多少？8．在直角坐标系x0y 中, 一次函数y=x+的图象与x 轴, y 轴, 分别交于A 、B 两点, •点C 坐标为（1, 0）, 点D 在x 轴上, 且∠BCD=∠ABD, 求图象经过B 、D•两点的一次函数的解析式．9. 已知: 如图一次函数y=x-3的图象与x 轴、y 轴分别交于A.B 两点, 过点C （4, 0）作AB 的垂线交AB 于点E, 交y 轴于点D, 求点D.E 的坐标.（1）设派往A地x台乙型联合收割机, 租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元）, 请用x表示y, 并注明x的范围.（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元, •说明有多少种分派方案, 并将各种方案写出．12. 已知写文章、出版图书所获得稿费的纳税计算方法是f（x）= 其中f（x）表示稿费为x元应缴纳的税额. 假如张三取得一笔稿费, 缴纳个人所得税后, 得到7104元, •问张三的这笔稿费是多少元？13．某中学预计用1500元购买甲商品x个, 乙商品y个, 不料甲商品每个涨价1.5元, 乙商品每个涨价1元, 尽管购买甲商品的个数比预定减少10个, 总金额多用29元．•又若甲商品每个只涨价1元, 并且购买甲商品的数量只比预定数少5个, 那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205, 但小于210, 求x, y的值.14．某市为了节约用水, 规定：每户每月用水量不超过最低限量am3时, 只付基本费8元和定额损耗费c元(c≤5);若用水量超过am3时,除了付同上的基本费和损耗费外, 超过部分每1m3付b元的超额费．根据上表的表格中的数据, 求a、b、c.15. A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台, •现在决定把这些机器支援给D 市18台, E市10. 已知: 从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B•市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元.（1）设从A市、B市各调x台到D市, 当28台机器调运完毕后, 求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式, 并求W的最大值和最小值.（2）设从A市调x台到D市, B市调y台到D市, 当28台机器调运完毕后, 用x、y 表示总运费W（元）, 并求W的最大值和最小值．。

一般地，形如 y = kx+b ( k，b 是常数，k≠0 ) 的函数，叫做一次函数.
练 习 [选自教材P90 练习 第1题]
1. 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y = -8x； （3）y = 5x2 + 6；
（2）y = 8 ；
x
（4）y = -0.5x -1
正比例函数：y = kx（k 是常数，k ≠ 0） 一次函数： y = kx+b（k，b 是常数，k ≠ 0）
分析：先由两组对应值求出函数解析式，再代入 x 的值 即可求出相应的 y 值.
题型二 根据两组对应值确定一次函数解析式
一次函数 y = kx + b，当 x = 1 时，y = 2；当 x = 2 时， y = 1. 当 x = 3 时，求 y 的值.
解：将 x = 1，y = 2 和 x = 2，y = 1 分别代入 y = kx + b，
原大本营所在地气温为_5__℃__， 因为当海拔增加 1 km 时，气温减少__6_℃___. 所以当海拔增加 x km 时，气温减少_6_x__℃__. 因此 y 与 x 的函数解析式为___y_=__5_-_6_x___.
y = 5 - 6x
当登山队员由大本营向上登高 0.5 km 时，他们所在 位置的气温是__2___℃.
正比例函数 是一种特殊 的一次函数.
（1）（4）是一次函数，其中（1）也是正比例函数.
2. 一次函数 y = kx + b，当 x = 1 时，y = 5； 当 x = -1 时，y = 1. 求 k 和 b 的值. [选自教材P90 练习 第2题]
解：因为当 x = 1 时，y = 5， 所以 k + b = 5. ① 因为当 x = -1 时，y = 1， 所以 -k + b = 1. ② ①+② 得 2b = 6，即 b = 3，带入①，得 k = 2.

初二数学一次函数期末复习串讲讲义一．基础知识1、一次函数的概念:若两个变量x,y间的关系式可以表示为y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图象及其性质：（1）、图象：一次函数的图象是一条直线，所以画图象时只要先确定两点，再过这两点画一条直线就可以画出一次函数的图象。

一次函数的图象与k,b的关系如下图所示：b<03、函数表达式的确定：常用方法是待定系数法，一次函数y=kx+b中含有两个待定系数k、b，根据待定系数法，只要列出方程组即可.4、一次函数的应用：（1）、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。

一元一次方程的解就是一次函数与x轴的交点坐标的横坐标的值。

二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。

（2）、一次函数与不等式的关系：可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。

二．经典例题例1：（1）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A、a＞b＞cB、c＞b＞aC、b＞a＞cD、b＞c＞a解：由正比例函数图像的性质可得：答案：C（2）一次函数y=x+1的图象，不经过的象限是（）。

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解：由一次函数y=kx+b的图象性质，有以下结论：题目中y=x+1，k=1>0，则函数图象必过一、三象限；b=1>0，则直线和y轴交于正半轴，可以判定直线位置，也可以画草图，或取两个点画草图判断，图像不过第四象限。

答案：D。

例2、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。

分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x的关系。

初二一次函数讲义一、函数1.定义（1）在变化过程中有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应，即单值对应。

2. 自变量的取值范围（1）整式时，自变量取全体实数；（2）分式时，自变量使分母不为零；（3）有偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数；（4）实际问题中，要使实际问题有意义；（5）在有些函数关系式中，自变量的取值范围应是其公共解。

二、一次函数（——正比例函数）1. 定义（1）函数为一次函数?其解析式可化为y =kx +b （k , b 为常数，k ≠0）的形式。

（2）一次函数y =kx +b 结构特征：k ≠0；自变量x 次数为1；常数b 可为任意实数。

（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。

（4）若k =0，则y =b （b 为常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数；若b =0，则y=kx （k 为常数），这样的函数叫做正比例函数。

2. 图像一次函数的图像是一条直线，确定两点，便能确定其图像。

3. 性质（1）增减性：k >0时，y 随着x 的增大而增大；k1. 求出下列函数中自变量x 的取值范围1y =y =x +1（3）y = （4）y =2 （1）（2）-52x -12.m已知y =(m -2) x2-3+3，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？3. 已知一次函数y =(m +2) x +(1-m ) ，若y 随x 的增大而减小，且该函数图象与x 轴的交点在原点右侧，求m 的取值范围。

4. 若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x1，y 1) 和点B(x2，y 2) ，当x 1y2，则求m 的取值范围。

5.y =-2x +3与x 轴交于点A ，直线y =x -3与x 轴交于点B ，且两直线直线的交点为点C, 求△ABC 的面积。

6. 已知正比例函数y=k1x 的图像与一次函数y=k2x-9的图像交于点P （3，-6）。

直线y=3x+2还经过第二象限
倾斜度一样（平行）
都经过一、三象限
直线 还经过第二象限
b相同
k不同
都与y轴相交于点（0，2）
都经过一、二、三象限
倾斜度不一样（不平行）
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
0
观察:这些函数的图像 有什么特点?
x
y
在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象: 1. 2. y=3x y=3x+2
y
x
o
-4
2
7.一个函数图像过点（1，2），且y随x增大而增大，则这个函数的解析式是___
B
如图所示，三峡工程在6月1日至6月10日下阐蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间.假设水库水位匀速上升，那么下列图像中，能正确反映这10天水位h(米)随时间t(天)变化的是( )
从图中可以看出: 1.当一次函数的k值相等时,直线互相平行.
2.当一次函数的b值相等时,直线在y轴交于一点.
特殊位置关系—平行
y=3x
y=3x+2
观察函数y=3x和y=3x+2的图象，我 们知道：它们是互相平行的，所以 ，其中 一条直线可以看作是由另一 条直线平移得到的。 你能说出直线y=3x+2是由直线y=3x 向____平移____个单位得到的吗？
3.一次函数y=x+2的图像不经过第____象限
EX
5.一次函数 y 1=kx+b与y 2=x+a的图像如图所示，则下列结论（1）k<0;(2)a>0;(3)当x<3时，y 1<y 2中，正确的有____个

一次函数的图像与性质
一次函数的图像的绘制方法
选择两个点，一个为起点，一个为终点，确定一次函数的关系式。
在坐标系上描出这两个点，并连接两点形成一条直线。
根据一次函数的斜率公式，计算出直线的斜率。
根据斜率和已知点，绘制出一次函数的图像。
确定两点
描点
确定斜率
绘制直线
截距
一次函数与y轴的交点称为截距。当x=0时，y的值即为截距。截距可以是正数、负数或零。
极值点的x坐标可以通过求导数并令其为零得到，然后通过判断导数的符号变化来确定极值点的存在。
极值点的函数值即为函数的极值，可能是极大值或极小值。
一次函数的极值
03
CHAPTER
一次函数的应用
一次函数可以用于解决生活中的一些最优化问题，例如时间与速度的关系、成本与数量的关系等。
线性规划
预测模型
物理问题
解决实际问题
结合实际问题，利用一次函数的图像和性质进行分析和解决。例如，分析商品价格与销售量的关系、预测股票价格走势等。
确定函数表达式
通过观察图像上的点，可以确定一次函数的表达式。
利用图像研究一次函数的性质
THANKS
感谢您的观看。
利用一次函数进行趋势预测，如预测产品销售量、人口增长等。
在物理中，一次函数可以描述一些线性关系，如弹簧的伸长与力的关系。
03
02
01
一次函数在生活中的应用
一次函数是数学建模中常用的一种函数形式，可以用来描述两个变量之间的线性关系。
建立数学模型
通过已知的数据点，利用一次函数来估计未知参数的值。
参数估计
一次函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线。
当$k>0$时，函数图像为上升直线；当$k<0$时，函数图像为下降直线。

是 y1＞y2
.
6.在一次函数y＝－2(x＋1)＋x中，k为－1 ，b 为 －2 .
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7.已知y＝(k－1)x k ＋(k2－4)是一次函数. (1)求k的值； (2)x＝3时，求y的值； (3)当y＝0时，求x的值.
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解:(1)由题意,得 k ＝1,k－1≠0. 解得k＝－1. (2)当x＝3时,y＝－2x－3＝－9. (3)当y＝0时,0＝－2x－3.
人教版第一单元ຫໍສະໝຸດ 数学八年级 下册
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1.下列函数中是一次函数的是( D )
A.y＝－2x＋1
B.y＝5x2－4x＋1
C.y＝1xD.y＝－3－m
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2.若函数y＝(m＋2)x|m|－1－5是一次函数，则m的值为 2 .
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知识点1 一次函数的概念
【例题1】下列函数中， ①④⑤⑥
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【例题2】已知y＝(k－1)x k －k是一次函数. (1)求k的值； (2)若点(2，a)在这个一次函数的图象上，求a的值.
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解:(1)∵y＝(k－1)x k －k是一次函数, ∴ k ＝1.解得k＝±1. 又∵k－1≠0,∴k≠1.∴k＝－1. (2)将k＝－1代入,得一次函数的解析式为 y＝－2x＋1. ∵点(2,a)在y＝－2x＋1的图象上, ∴a＝－4＋1＝－3.
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初中数学专题讲义--一次函数一、知识归纳1．变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量2.函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

9、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴10、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向：⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小11一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）. 12、直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系 （1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2（3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 213、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 14、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值. 15、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 16、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.函数1、判断下列变化过程存在函数关系的是( D )A.y x ,是变量，x y 2±=B.人的身高与年龄C.三角形的底边长与面积D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间2、已知函数12+=x xy ，当a x =时，y = 1，则a 的值为( B ) A.1 B.－1 C.3 D.213、下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是（ C ）。

学科教师辅导讲义学员编号：年级 :初二课时数：学员姓名：辅导科目 :数学学科教师 :课题一次函数课型□预习课□同步课□复习课□习题课□专题课授课日期及时段一次函数的图像与性质拔高讲义一、【知识点拨】1、一次函数:形如y=kx+b （k≠0， k， b为常数）的函数。

注意：（1）k≠0，否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常用的特殊点：与y轴交于(0，b）;与x轴交于（—,0)（2）由图象可以知道，直线y=k x+b与直线y=k x平行，例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：(1）增减性 k〉0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小（2)图象的位置免费获取该文档请关注微信公众号：中小学教学资料共享免费获取更多精品免费获取该文档请关注微信公众号：中小学教学资料共享 免费获取更多精品二、【典型例题剖析】例1（1）已知直线y=kx+b 经过点（3，-1）和点（—6，5),则k=_______，b=______。

（2）已知一次函数y=kx+5过点P （-1，2)，则k=________。

例2(1）一次函数1-=x y 的图象不经过( ）（A)第一象限 （B)第二象限 (C ）第三象限 (D ）第四象限(2)如图，表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y=mnx(m,n 是常数,且 mn ≠0)图像的是（ ）.例3．直线y=kx+b 与直线y=5-4x 平行,且与直线y=—3(x —6)相交,交点在y 轴上，求此直线解析式.例4. 已知函数221(43)3aa y a a x --=-++是一次函数，则a 的值为 ( ）例5如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x 的取值范围是．例6（2011山东省潍坊， 14，3分）一个y关于x的函数同时满足两个条件：x 时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为①图象过(2，1）点；②当0_______________ (写出一个即可）三【知识点分类专练】知识点1：一次函数的定义免费获取该文档请关注微信公众号：中小学教学资料共享免费获取更多精品免费获取该文档请关注微信公众号：中小学教学资料共享 免费获取更多精品：一次函数通常可以表示 的形式,其中k 、b 是 ，k 0．特别地,当 时,一次函数y ＝kx （常数k ≠0）也叫 ．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例． 【课堂练习】：1、下列函数:①y=—8x;②y=8x;③y=8x 2;④y=8x+1;⑤y=53++z x .其中是一次函数的有（ ） A.1个 B 。

教学内容一、能力培养一次函数知识点1、一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数. （3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.1.如果()2213m y m x-=-+是一次函数，则的值是（ ）A 、1B 、－1C 、±1D 、±2 2.函数y=2x+3，当x=1时，y 的值是（ ）A 、1B 、0C 、－1D 、－5 3.若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是__________ 知识点2、函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点3、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点4、一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k<O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（陡）；|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（缓）； （3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②当k ＞0，b ＜O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当k ＜O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当k ＜O ，b ＜O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，即两条直线是平行的． 练习：1、若m ＜0, n ＞0, 则一次函数y=mx+n 的图象不经过 （ ）A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限 2、当00><b ,a 时，函数y =a x+b 与a bx y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）知识点5、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点6、正比例函数及一次函数的表达式（待定系数法）（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k，b就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．例：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．知识点8、函数图象的平移（左加右减，上加下减）例1、直线y=2x+1按坐标向上平移3个单位后的函数的表达式为________________例2、将直线y=3x向左平移5个单位，得到直线；将直线y＝-2x-5向右平移3个单位，得到直线 .老规矩，下面是试卷练习一、选择题（每小题2分，共16分）1. 点P ( 2，－3 )关于x 轴的对称点是( )A ． (－2， 3 )B ． (2，3)C ．(－2， 3 )D ．(2，－3 ) 2. 若2=a ,则a 的值为 ( )A.2B.2±C.4D.±43.把0.697按四舍五入法精确到0.01的近似值是 （ ） A . 0.6 B . 0.7 C . 0.67 D . 0.704. 一次函数y ＝2x ＋1的图像不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若440-=m ，则估计m 的值所在的范围是 ( )A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜56. 若点A （-3，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3）是函数2+-=x y 图像上的点，则（ ） A ．321y y y >> B ．321y y y << C ．231y y y << D ．132y y y >>7. 某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴320km 外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y （单位：km ）与时间x （单位：h ）之间的关系如图所示，有下列结论，正确的是（ ）①．汽车在高速公路上的行驶速度为80km/h ②．乡村公路总长为160km③．汽车在乡村公路上的行驶速度约为53.3km/h ④．该记者在出发后5h 到达采访地 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④8. 平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形且面积为16，满足条件的P 点有( ) A ．4个 B ．8个 C ．10个 D ．12个（第7题图）2401603.52y/kmx/h二．填空题（每小题2分，共20分）9. 计算：3－64 ＝ ▲ ．10. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为 . 11. 若032=++-y x ，则()2013y x +的值为 ．12. 在平面直角坐标系中，若点M （-1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是 ． 13. 如图，已知函数y ＝2x ＋1和y ＝－x －2的图像交于点P ，根据图像，可得方程组⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0x ＋y ＋2＝0的解为 .14. 将一次函数y ＝2x -1的图像向上平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为 ．15. 如图，在△ABC 中，AB ＝1.8，BC ＝3.9，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 .16. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处.若 ∠A ＝26°，则∠ADE ＝ °.17. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A ，B ，C ，D 的面积和是49cm 2 ,则其中最大的正方形S 的边长为 cm. 18. 在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x 轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换.如图，已知正方形ABCD 的顶点A 、B 的坐 标分别是（－1，－1）、（－3，－1），把正方形ABCD 经过连续6次这 样的变换得到正方形A ′B ′C ′D ′，则B 的对应点B ′的坐标是 ▲ .三．解答题（本大题共9小题，共64分）-1-1y= -x-2y=2x+1xyP（第13题图）DECAB（第16题图）xy 1234–1–2–3–41234–1–2–3–4CD BA o （第18题图）（第15题图）D EACB19. (本题满分8分)(1) (4分) 求出式子中x 的值：9x 2－16＝0.（2）（4分）232)3(8)2(+---20. (本题满分5分) 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求得. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：n16 0.16 0.0016 1600 160000 … n40.40.0440400…（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知06.2≈1．435，求下列各数的算术平方根： ①0.0206； ②206； ③20600．21. (本题满分6分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋2的图像经过点(－2，6). (1)求m 的值；(2)画出此函数的图像；(3)平移此函数的图像，使得它与两坐标轴所围成的图形的面积为4， 请直接写出此时图像所对应的函数关系式.22. (本题满分8分) 如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别是C 、D ． 求证：（1）∠EDC ＝∠ECD （2）OC ＝OD（3）OE 是线段CD 的垂直平分线xy12–1–212–1–2o（第21题图）第22题图EDB C AO23. (本题满分7分)如图，一只小蚂蚁要从A 点沿长方体木块表面爬到B 点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm 、8cm 、6cm ， 试计算小蚂蚁爬行的最短距离．24.(本题满分6分) 图l 、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A 和点B 在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC(点C 在小正方形的顶点上)，使△ABC 为直角三角形(画一个 即可)； （2）在图2中画出△ABD(点D 在小正方形的顶点上)，使△ABD 为等腰三角形(画一个即可)；25. (本题满分6分) 一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为y 1千米，出租车离甲地的距离为y 2千米，两车行驶的时间为x 小时， y 1、y 2关于x 的函数图象如右图所示：（1）根据图像，直接写出y 1、y 2关于x 的函数图象关系式 （2）试计算：何时两车相距300千米？BA（第23题图）y （千米） x (小时)8 5O 800出租车客车（第25题图）26.(本题满分10分)小丽的爸爸驾车外出旅行，途经甲地到乙地．设他出发第t min时的速度为v m/min，图中的折线表示他从甲地到乙地的驾车速度v与时间t之间的函数关系．某学习小组经过探究发现：小丽爸爸前5min运动的路程在数值上等于长方形AOLB的面积．由物理学知识还可知：小丽爸爸前n （5＜n≤10）秒运动的路程在数值上等于矩形AOLB 的面积与梯形BLNM的面积之和（以后的路程在数值上有着相似的特点）．（1）小丽的爸爸驾车的最高速度是m/min；（2）当45≤t ≤50时，求v与t之间的函数关系式，并求出小丽爸爸出发第47min时的速度；（3）如果汽车每行驶100km耗油10L，那么小丽的爸爸驾车从甲地到乙地共耗油多少升？27.(本题满分8分) 在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC. 试探索以下问题：（1）当点E 为AB 的中点时，如图1，请判断线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“>”“<”或“=”）.（2）当点E 为AB 上任意一点时，如图2，AE 与DB 的大小关系会改变吗？请说明理由.学法升华一、知识收获做了上面这些题目你有什么收获？二、方法总结哪些地方还需要加强？三、技巧提炼将错题反复演练，错一次不错第二次。

初二一次函数知识点一次函数是初二数学中的重要内容，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，也为后续学习更复杂的函数打下了基础。

接下来，咱们就一起来详细了解一下初二一次函数的相关知识点。

一、一次函数的定义一般地，形如 y ＝ kx ＋ b（k，b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。

当 b ＝ 0 时，即 y ＝ kx（k 为常数，k ≠ 0），这时的函数叫做正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

例如，y ＝ 2x ＋ 3 就是一个一次函数，其中 k ＝ 2，b ＝ 3；而 y＝ 5x 是一个正比例函数，k ＝ 5，b ＝ 0。

二、一次函数的图像一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像是一条直线。

当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升；当 k ＜ 0 时，直线从左到右下降。

b 的值决定了直线与 y 轴的交点。

当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴交于负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。

例如，对于一次函数 y ＝ 3x ＋ 1，k ＝ 3 ＞ 0，直线从左到右上升，b ＝ 1 ＞ 0，直线与 y 轴交于正半轴。

三、一次函数的性质1、当 k ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，y 随 x 的增大而减小。

比如，在函数 y ＝ 2x 5 中，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以当 x 增大时，y也随之增大。

2、一次函数的图像与坐标轴的交点（1）与 x 轴的交点：令 y ＝ 0，解得 x ＝ b/k，所以与 x 轴的交点坐标为（b/k，0）。

（2）与 y 轴的交点：令 x ＝ 0，得 y ＝ b，所以与 y 轴的交点坐标为（0，b）。

例如，对于函数 y ＝－4x ＋ 8，令 y ＝ 0，可得－4x ＋ 8 ＝ 0，解得 x ＝ 2，所以与 x 轴的交点为（2，0）；令 x ＝ 0，可得 y ＝ 8，所以与 y 轴的交点为（0，8）。

四、待定系数法求一次函数解析式如果已知一次函数图像上的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出函数的解析式。

人教版 数学 八年级 下册
理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数 之间的联系 能利用一次函数解决简单的实际问题．
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
一次函数的特点如下： （1）解析式中自变量x的次数是 1 次; （2）比例系数 k≠0 ； （3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
已知函数y=2x|m|+(m+1). （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）m=±1. （2）m= -1.
例2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的 值．
解：∵当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1
（3）∵ S 1 AD BC 1 3 x x 3 x2,
2
22
4
即 S 3 x2,
4
∴S不是x的一次函数.
思考：一次函数与正比例函数有什么关系？ （1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数. （2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
下列函数中哪y=-8x ；
（2）y=
-8 x
；
（3）y=5x2+6 ；
（4）y=-0.5x-1 ；
(2) 当x＝2.5时， y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分 不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某 人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8 元. (1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)