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一次函数的图像及性质一：一次函数的概念1、一次函数的概念（1）一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；（2）一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3）当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4）一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．【例1】下列函数中，哪些是一次函数?（1）232y x =-；（2）12y x -=；（3）(5)(0)y m x m =-≠；（4）1(0)y ax a a =+≠；（5）(0)k y kx k x =+≠；（6）(3)(3)y k x k =-+≠-．【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________；（2）当m =________时，函数215(4)m y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数．【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个函数的解析式．【例4】已知一次函数()23317k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式．二：一次函数的图像1、一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．2、一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．3、一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）4、直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．【例7】若一次函数2(3)(9)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的图像．【例8】若一次函数y kx b =+，当x =2时，y =-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式．【例9】若一次函数y =-x +b 的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式．【例10】将直线y =x +1向右平移1个单位，相当于将直线y =x +1向上平移了多少个单位?【例11】已知一次函数的图像平行于直线y =23x ，且当3x =-时，函数y 的值是1，求这个函数解析式．【例12】若直线2(3)(21)y m x m =-++与直线23y x =-+平行，求m 的值．【例13】根据下列条件，求解相应的直线表达式．（1）直线经过（3，2）以及（1，1）；（2）直线经过（7，0）以及截距是14；（3）直线经过(30)-，以及截距是【例14】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值．【例15】设点P (3，m )，Q (n ，2)都在函数y =x +b 的图象上，求m +n 的值．【例16】已知一次函数21544m y x +=-与233m y x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m 的值．【例17】已知两个一次函数144b y x =--和212y x a a=+；（1）a 、b 为何值时，两函数的图像重合?（2）a 、b 满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a 、b 取何值时，两函数图像交于x 轴上同一点，并求这一点的坐标．【例18】（1）一次函数3y x b =+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b 的值；（2）一次函数y kx b =+的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，截距是，求一次函数的解析式．【例19】（1）求直线14222y x y x =-=+和与y 轴所围成的三角形的面积；（2）求直线24y x =-与直线31y x =-+与x 轴所围成的三角形的面积．【例20】如图，已知由x 轴、一次函数4(0)y kx k =+<的图像及分别过点C （1，0）、D （4，0）两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式．三：一次函数的性质1、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升；当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．2、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限；当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限；当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限；当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．【例22】如果一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（）A ．0k >，0b >B ．0k >，b <0C ．0k <，b >0D ．0k <，0b <【例23】一次函数y =－2x +3的图象不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【例24】根据下列条件填空：（1）已知函数245(1)(3)m m y m x m -+=-+-，当m 等于______时，它是一次函数，此时它的图象经过__________象限，y 随x 的增大而_____________；（2）如果一次函数2y x =和y x k =+的图象的交点在第一象限，则k 的取值范围是_________；（3）已知关于x 的一次函数(27)2y a x a =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________________．【例25】已知0abc ≠，而且a b b c c a p c a b +++===，那么直线y px p =+一定经过（）A 、第一、二象限；B 、第二、三象限；C 、第三、四象限；D 、第一、四象限【例26】在式子()y kx b k b =+，为常数中，3119x y -≤≤≤≤当时，，kb 求的值．【课后练习】1.已知：2231()3m m y m m x m -+=-+-是一次函数，则m =_________．2.已知一次函数y kx b =+（0k ≠），把它的图像向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得到的图像与原来的图像重合，则k =___________．3.已知23(2)1m y m x m -=++-表示关于x 的一次函数；（1）求函数解析式；（2）求(10)f ，1()2f -的值；（3）如果()4f a =，求实数a ．4.若直线23y mx m =++的截距是4，且y 随x 的增大而减小，求该直线的函数解析式．5.若00b c a a<>，，请指出一次函数y abx ac =+的图像所经过的象限．6.已知一次函数(1)4y m x m =-+-不经过第二象限，求m 的取值范围．7.已知一次函数y kx b =+（0k ≠）与x 轴、y 轴围成的三角形面积为24，且与直线4733y x =-平行，求此一次函数的解析式．8.直线1l ：y kx b =+过点B （-1，0）与y 轴交于点C ，直线2l ：y mx n =+与1l 交于点P （2，5）且过点A （6，0），过点C 与2l 平行的直线交x 轴于点D ；（1）求直线CD 的函数解析式；（2）求四边形APCD 的面积．9.直线313y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，且90BAC ∠= ，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ABP ∆的面积与Rt ABC ∆的面积相等，求a 的值．10.一次函数(2)3y k x k =-+-的图像能否可以不经过第三象限?为什么?11.已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点第四象限，那么k 的取值范围是______________．12.如图，据函数y kx b =+的图像，填空：（1）当1x =-时，y =____________；（2）图像与坐标轴的交点坐标是_________________；（3）当24x -≤≤时，y 的取值范围是______________．xy 2-4O。
