2020年初中数学竞赛讲义：简单函数

一次函数的应用考点·方法·破译1．在现实社会的生产生活中,营销策略、方案设计、工程与行程等实际间题中,往往需要运用一次函数的知识解决问题,这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型,结合方程与方程组,不等式与不等式组等知识使问题得到解决．经典·考题·赏析【例1】（温州）为调动销售人员的积极性,A、B两公司采取如下工资支付方式：A公司每月2000元基本工资,另加销含额的2%作为奖金；B公司每月1600元的基本工资,另加销售额的4%作为奖金．已知A、B公司两位销售员小李、小张l～6月份的销售额如下表：⑴小李与小张3 月份的工资各是多少？⑵小李l～6月份的销售额y1与月份x的函数关系式是y1＝1200x＋l0400,小张1～6月份的销售额y2也是月份x的一次函数,请求出y2与x的函数关系式；⑶如果7～12月份两人的销售额也分别满足⑵中两个一次函数的关系,问几月份起小张的工资高于小李的工资．解：⑴小李3月份工资＝2000＋2%×14000＝2280（元）小张3月份工资＝1600＋4%×11000＝2040（元）⑵设y2＝kx＋b,取表中的2对数（1,7400）,（2,9200）代入解析式,得740092002k bk b=+⎧⎨=+⎩,解得18005600kb=⎧⎨=⎩,即y2＝1800x＋5600,⑶小李的工资w1＝2000＋2%（1200x＋10400）＝24x＋2208 小张的工资w2＝1600＋4%（1800x＋5600）＝72x＋1824当小张的工资w1＞w2时,即72x＋1824＞24x＋2208,解得x＞8答：从9月份起,小张的工资高于小李的工资．【变式题组】01．（潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买,每个纸箱的价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元,每加工一个纸箱还需要成本费2.4元．⑴若需要这种规格纸箱x（个别）,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）与x（个）的函数关系；⑵假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案？并说明理由．【例2】（山东）某工程机械厂根据市场需求,计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台,该厂所筹生产资金不少于22400万元,但不超过22500万元．且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机,所生产的此两型挖掘机可全部售出,此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：⑴该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？⑵该厂如何生产能获得最大利润？⑶根据市场调查,每台B型挖掘机的售价不会改变,每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0 ) ,该厂应该如何生产可获得最大利润？（注：利润＝售价一成本）【解法指导】解：⑴设生产A型挖掘机x台,则B型挖掘机可生产（100－x）台,由题意得22400≤200x＋240（100－x）≤22500,解得37.5≤x≤40,∵x取非负整数,∴x为38,39,40．∴有三种生产方案：A型38台,B型62台；A型39台,B型61台；A型40台,B型60台．⑵设获得利润W（万元）,由翅意知W＝50x＋60（100－x）＝6000－10x∴当x＝38时,W最大＝5620（万元）,即生产A型38台,B型62台时,获得利润最大．⑶由题意得知W＝（50＋m）x＋60(100－x)＝6000＋(m－10)x．∴当0＜m＜10,则x＝38时,W最大,即A型挖掘机生产38台,B型挖掘机生产62台；当m＝10时,m－10＝0,三种生产方案获得利润相等；当m＞10时,则x＝40时,W最大,即A型挖掘机生产40台,B型挖掘机生产60台．【变式题组】01．（天门）某地为促进特种水产养殖业的发展,决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个l亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝,因资金有限,投人不能超过14万元,并希望获得不低于10.8万元的收益,相关信息如下表所示：养殖种类成本（万元/亩）毛利润（万元/亩）政府补贴（万元/亩）甲鱼 1.5 2.5 0.2黄鳝 1 1.8 0.1⑴根据以上信息,该农户可以怎样安排养殖？⑵应怎样安排养殖,可获得最大收益？⑶根据市场调查,在养殖成本不变的情况下,黄鳝的毛利润相对稳定,而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元．问该农户又该如何安排养殖,才能获得最大的收益？02．（成宁）某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后,决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨,B蔬菜基地有蔬菜300吨,现在将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和每吨25元,从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和每吨18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．⑴请填写下表,并求两个蔬菜基地调运的运费相等时x的值；⑵设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元,写出w与x之间的函数关系式,并求总运费最小的调运方案；⑶经过抢修,从B地到C处的路况得到进一步改善,缩短了运输时间,运费每吨减少m元（m＞0),其余线路的运费不变,讨论总运费最小的调运方案．【例3】（荆州）某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心,捐出了五月份的全部销售利润,已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台,每种型号器材不少于8 台,五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（即人员工资和杂项开支）3.8万元．这三种器材的进价和售价如下右表,人员工资y1（万元）和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x成一次函数关系（如图）．⑴求y1与x的函数解析式；⑵求五月份该公司的总销售量；⑶设五月份售出甲种型号器材t台,五月份总销售利润为W（万元）,求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）⑷请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值．【解法指导】解：⑴设y1＝kx＋b（x＞0）,则0.220 1.2bk b=⎧⎨+=⎩,解得0.050.2kb=⎧⎨=⎩,∴y1与x的函数关系式为y1＝0.05x＋0.2⑵依题意得y1＋y2＝0.05x＋0.2＋0.005x＋0.3＝3.8∴x＝60∴五月份该公司的总销售量为60台．⑶设五月份售出乙型号器材p台,则售出丙型号器材（60－t－p）台．0.9t＋1.2p＋1.1（60－t－p）＝64,p＝2t－20∴W＝1.2t＋1.6（2t－20）＋1.3（60－t－2t＋20）－64－3.8W＝0.5t＋4.2⑷依题意有82208602208ttt t⎧⎪-⎨⎪--+⎩≥≥≥,∴14≤t≤24,∵t为正整数,∴t最大为24,∴W是关于t的一次函数,∴W随t的增大而增大．∴t＝24时,W最大＝0.5×24＋4.2＝16.2（万元）∴该公司这项向灾区捐款金额的最大值为16.2万元．【变式题组】01．（眉山）某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套,并且购进的三种玩具都不少于10套,设购进A种玩具x套,B种玩具y套,三种电动玩具的进价和售价如下表所示：⑴求含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出,且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．①求利润P（元）与x（套）之间的函数关系式；②求利润的最大值,并写出此时三种玩具各多少套．02．（双柏县）今年我县水果又喜获丰收,某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售,规定每辆汽车只装运一种水果,且必须装满；装运每种水果的汽车不少于4辆；同时,装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．⑴假设用x辆汽车装运A种水果,用y辆汽车装运B种水果,根据下表提供的信息,求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．水果品种 A B C每辆汽车装运量（吨） 2.2 2.1 2每吨水果获利（百元） 6 8 5⑵设此次外销活动的利润为Q,求Q与x之间的函数关系式,请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．03．（河北）某公司装修需用A型板材240块、B型板材150块,A型板材规格是60cm×30cm,B 型板材规格是40cm×30cm．现只能购得l50cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材,共有下列三种裁法：（图中是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三A型板材块数 1 2 0B型板材块数 2 m n⑴上表中,m＝_________,n＝___________；⑵分别求出y与x和z与x的函数关系式；⑶若用Q表示所购标准板材的张数,求Q与x的函数关系式,并指出当x取何值时Q最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张？【例4】（宜昌）2007年5月,第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛序幕,20日上午9时,参赛龙舟从黄陵庙同时出发,其中甲、乙两队在比赛时,路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系式如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄泊河港．⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ ⑵在比赛过程中,甲、乙何时相距最远？ 【解法指导】解：⑴乙队先到达终点,对于乙队,x ＝1时,y ＝16,所以y ＝16x ,对于甲队出发1小时后,设y 与x 关系为y ＝kx ＋b ,将x ＝1,y ＝20和x ＝2.5,y ＝35分别代入上式得：2035 2.5k b k b =+⎧⎨=+⎩,解得：y ＝10x ＋10,解方程组161010y xy x =⎧⎨=+⎩,得x ＝53,即出发1小时40分钟（或者上午10点40分）乙队追上甲队．⑵1小时之内,两队相距最远距离是4千米,乙队追上甲队后,两队的距离是16x －（10x ＋10）,当x 为最大,即x ＝3516时,6x －10最大,此时最大距离为6×3516－10＝3.125＜4,所以比赛过程中,甲、乙两队在出后1小时（或者上午10时）相距最远．【变式题组】01．（佳木斯）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地,乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息,解决如下问题：⑴求乙车所行路程y与时问x的函数关系式；⑵求两车在途中第二次相遇时,他们距出发地的路程；⑶乙车出发多长时间,两车在途中第一次相遇？02．（牡丹江）甲、乙两车同时从A地出发,以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B 地,停留l小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米,下图是两车之间的距离y与乙车行驶的时间x（小时）之间的函数图象．⑴请将图中的（）内填上正确的值,并直接写出甲车从A到B的行驶速度；⑵求从甲车返回到乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；⑶求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．【例5】（自贡）抗震救灾中,某县粮食局为了保证库存粮食的安全,决定将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震能力的A、B两个仓库．已知甲库有粮食100吨,乙库有粮食80吨,而A库的容量为70吨,B库的容量为110吨,从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）路程（千米）运费（元/吨·千米）甲库乙库甲库乙库A库20 15 12 12B库25 20 10 8⑴若甲库运往A库粮食x吨,请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式；⑵当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时,总运费最省,最省的总运费是多少？【解法指导】解：⑴依题意有：y＝12×20x＋10×25（100－x）＋12×15（70－x）＋8×20×[80－（70－x）]＝－30x ＋39200∵700100080(70)0xxxx-⎧⎪⎪⎨-⎪⎪--⎩≥≥≥≥,∴0≤x≤70⑵上述一次函数中k＝－30＜0,∴y随x的增大而减小,∴当x＝70吨时,总运费最省,最省的总运费为－30×70＋39200＝37100（元）【变式题组】01．（河北）光华农机租凭公司共有50台联合收割机,其中甲型有20台,乙型有30台,现在将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区,两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表：⑴设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元）,求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围；⑵若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得租金总金额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来；⑶如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理的建议．02．（安庆）为支持四川抗震救灾,重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨,需要全部运往四川重灾地区的D、E两县,根据灾区的情况,这批贩灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．⑴求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？⑵若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨,A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数）,B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍,其余的赈灾物资全部运往E县,且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？⑶已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：为及时将这批赈灾物资运往D、E两县,某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在⑵问的要求下,该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【例6】（荆州竞赛题）在底面积为100cm2、高为20m的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计）,如图所示,向烧杯中注入流量一定．．．．的水,注满烧杯后,继续注水,直到注满水槽为止（烧杯在水槽中的位置始终不变）．水槽中水面．．．．．上升的高度h与注水时间t之间的函数关系式如图所示．⑴求烧杯的底面积；⑵若烧杯的高为9cm,求注水的速度及注满水槽所用的时间．【解法指导】设烧杯底面积为Scm 2,高为h 1cm ,注水速度为Vcm 3/s ,注满水槽用时t 0s ． ⑴由图可知,当注水18s 时,烧杯刚好注满；当注水90s 时水槽内水面高恰好为h 1cm （烧杯高）．于是为Sh 1＝18V ,100h 1＝90V ,则100h 1＝118Sh 1×＝90,∴S ＝20（cm 2）,∴烧杯的底面积为20cm 2．⑵若h 1＝90cm ,则V ＝10cm 3/s ,从而100×2010＝200s ．∴注水速度为10cm 3/s ,注满水槽所用时间为200s ．【变式题组】01．某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油,在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨,加油飞机的加油油箱．．．．余油量为Q 2吨,加油时间为t 分钟,Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题：⑴加油飞机的加油油箱中装了多少吨油？将这些油全部加给运输机需要多少分钟？ ⑵求加油过程中,运输飞机的余油量Q 1（吨）与时间t （分钟）的函数关系式；⑶运输飞机加完油后以原速度继续飞行,需要10小时到达目的地,油料是否够用呢？请你算一算,并说明理由．02．（黑龙江）某企业有甲、乙两个长方形的蓄水池,将甲池中的水以每小时6立方米的速度注人乙池,甲、乙两个蓄水池中水的深度y （米）与注水时间x （小时）之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题：⑴分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式； ⑵求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同；⑶求注多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．03．（绥化）因南方早情严重,乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情,北方甲水库即以管道运输的方式给予支援,下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内,甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：⑴甲水库每天的放水量是多少万立方米？⑵在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？⑶求直线AD的解析式．演练巩固反馈提高01．如图,把一次性纸杯整齐的叠放在一起,根据图中的信息,当一筒纸杯的高度为35cm时,则该筒纸杯有（）A．40个B．45个C．50个D．55个02．王老师组织学生举行了一次手抄报活动,最后把十名优秀者的手抄报粘合在一起,在教室里展出．如图,知每张报纸长为38cm,宽为28cm,粘合部分的纸为2cm宽,则这10张报纸粘合后的长度为（ ）A ．360cmB ．362cmC ．364cmD ．380cm 03．（朝阳）如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t （分）的函数图象．观察图象,从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快,其中正确的有_________（填序号）04．（嘉兴）沪杭高速铁路已开工建设,某校研究性学习以此为课题,在研究列车的行驶速度时,得到一个数学问题,如图,若v 是关于t 的函数,图象为折线O —A —B —C ,其中A（t 1,350）,B （t 2,350）,C （1780,0）,四边形OABC 的面积为70,则t 2－t 1＝（ ）A ．15B ．316C ．780D ．3116005．（黄冈）小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达A ,再走上坡路到达B ,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间与路程关系如图所示,下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟 06．（宁波）如图,某电信公司提供了A 、B 两种方案的移动通信费用y （元）与通话时间x（分）之间的关系,则以下说法错误．．的是（ ） A ．若通话时间少于120分钟,则A 方案比B 方案便宜20元B ．若通话时间少于200分钟,则B 方案比A 方案便宜12元C ．若通讯费用为60元,则B 方案比A 方案的通话时间多D ．若两种方案通讯费用差10元,则通话时间是145分或185分07．（贵州黔东南州）如图,在中学生耐力测试比赛中,甲、乙两学生测试的路程S （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ,下列说法正确的是（ ）A．乙比甲先到终点B．乙测试的速度随时间增大而增大C．比赛进行到29.4秒时,两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快08．（长春）某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵,然后甲班才开始与乙班一起植树,设甲班植树的总量为y甲（裸）,乙班植树的总蚤为y乙（棵）,两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时）．y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．⑴当0≤x≤6时,分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式；⑵如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率,通过计算说明,当x＝8时,甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵；⑶如果6个小时以后,甲班保持前6个小时的工作效率,乙班通过增加人数,提高了工作效率,这样继续植树2小时,活动结束,当x＝8时,两班之间植树的总量相差20裸,求乙班增加人数后平均每小时植树多少裸．09．某服装厂现有A种布料35m,B种布料26m,现计划用这两种布料生产男、女两款式的时装共40套．已知做一套男时装需要A种布料0.6m、B种布料0.9m,可获利90元；做一套女时装需要A种布料1.lm,B种布料0.4m,可获利100元,若设生产男时装套数为x套,用这批布料生产这两种时装所获得总利润为y元．⑴求y与x的函数关系式,并求出x的取值范围；⑵该服装厂生产这批服装中,当生产男时装多少套时,所获得利润最大？最大利润是多少元？10．（江苏无锡）某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A、B两种原料,生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示：销售甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品x吨和乙种产品y吨,共用去A原料200吨．⑴写出x与y满足的关系式；⑵为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元,那么至少要用B原料多少吨？11．（深圳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆,由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装,生产开始后,调研部门发现：l名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．⑴每名熟练工和新工人每月分别可安装多少辆电动汽车？⑵如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好．．能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种．．．新工人的招聘方案？⑶在⑵的条件下：工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资．给每名新工人每月发1200元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？12．（河北）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部,每款手机至少要购进8部,且恰好用完购机软61000元,设购进A型手机x部,B款手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：⑴用含x,y的式子表示购进C型手机的部数；⑵求出y与x之间的函数关系式；⑶假设所购进手机全部售出,综合考虑各种因素,该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额一购机款一各种费用）②求预估利润的最大值,并写出此时购进三款手机各多少部．。

初中数学一次函数讲义1.基本概念形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，又称线性函数，其中x为自变量，y为因变量。

当b=0时，即y=kx，被称为正比例函数，是一种特殊的一次函数。

函数特征：（1）k是常数，且k≠0，当k=0时y=b不是一次函数，是偶函数的一种；（2）自变量x和因变量y的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数，当b=0时，一次函数为奇函数；（4）一般情况，自变量x和函数值y的取值范围为全体实数R，实际情况应注意取值范围；（5）k决定函数变化趋势，k绝对值越大，函数越接近y轴，反之越接近x 轴，b为直线与y轴的交点，b又被称为截距；（6）一次函数斜率k=tan(α)，其中α为函数图像与x轴正方向夹角，α≠0或90°。

表示方法：（1）解析式法：用含有自变量x的式子表示函数的方法；（2）列表法：把一系列x的值对应的函数值y列成表来表示函数关系；（3）图像法：用图像表示函数关系。

2.一次函数图像及其性质2.1图像一次函数图像为xy平面坐标系中不与坐标轴垂直/平行的一条直线。

与x和，0）和（0，b）两点。

对于常数k，b数值的不同引起图像的y轴分别交于（- bk性质变化如下图所示。

一次函数画法：，0）和（0，b）两点，即函数与两点确定一条直线，一般而言，可取（- bkxy坐标轴的交点，连接两点，确定直线。

例题1：证明一次函数图像是一条直线。

解题思路：一次函数满足y=kx+b函数解析式方程，通过验证满足函数任意三点在一条直线上，即可证明一次函数图像为一条直线。

证明：在一次函数图像中取任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1≠x2≠x3，则满足：A点：y1=kx1+bB点：y2=kx2+bC点：y3=kx3+bAB两点确定的直线斜率为k AB= y2−y1x2−x1= kx2+b−(kx1+b)x2−x1= k；BC两点确定的直线斜率为k BC= y3−y2x3−x2= kx3+b−(kx2+b)x3−x2= k；由上可知，AB和BC确定的直线斜率相同，表明A B C三点在一条直线上，由任意满足函数关系的三点在一条直线上，可证明一次函数图像是一条直线。

2020年八年级数学竞赛辅导讲义第一讲：因式分解(一) (2)第二讲：因式分解(二) (7)第三讲实数的若干性质和应用 (12)第四讲分式的化简与求值 (16)第五讲恒等式的证明 (21)第六讲代数式的求值 (26)第七讲根式及其运算 (30)第八讲非负数 (38)第九讲一元二次方程 (44)第十讲三角形的全等及其应用 (50)第十一讲勾股定理与应用 (56)第十二讲平行四边形 (61)第十三讲梯形 (66)第十四讲中位线及其应用 (72)第十五讲相似三角形(一) (76)第十六讲相似三角形(二) (81)第十七讲* 集合与简易逻辑 (87)第十八讲归纳与发现 (96)第十九讲特殊化与一般化 (102)第二十讲类比与联想 (109)第二十一讲分类与讨论 (115)第二十二讲面积问题与面积方法 (121)第二十三讲几何不等式 (127)第二十四讲* 整数的整除性 (134)第二十五讲* 同余式 (139)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (144)第二十七讲列方程解应用问题中的量 (150)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (156)第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (161)第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (199)第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．。

函数的最大、最小值一般地，设函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作min 0()y f x =；如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≤都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作max 0()y f x =。

一、专题知识1.基本公式（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠当0a >时，当2b x a =-时，2min 44ac b y a-=；当0a <时，当2b x a =-时，2max 44ac b y a-=。

（2）若0,0a b >>，则2a b +≥（当且仅当a b =时，等号成立）当a b +为定值时，2max()2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭；当ab 为定值时，min ()a b +=2.基本结论一次函数12()(0)()f x kx b k x x x =+≠≤≤当0k >时，min 1max 2()(),()()f x f x f x f x ==；当0k <时，min 2max 1()(),()()f x f x f x f x ==。

二、经典例题例题1若0x >，求函数21y x x x=-+的最小值。

【解】将21y x x x =-+配方得，2221(1)1(1)1y x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭=-++由于2(1)0x -≥（当且仅当1x =时，等号成立），20≥（当且仅当1x =时，等号成立）所以当1x =时，函数21y x x x=-+的最小值为1例题2已知函数()1515f x x p x x p =-+-+--（其中15,015p x p ≤≤<<），求函数()f x 的最小值。

【解】由于015p x <≤≤，所以,1515,1515x p x p x x x p p x -=--=---=+-，于是()151530f x x p x x p x=-+-+--=-所以min ()(15)15f x f ==。

初中数学函数知识网络模块一：一次函数知识点总结一、定义一般地，形如 y=kx+b（k,b 是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。

其中 x 是自变量，y 是因变量，k 为一次项系数，y 是x 的函数。

其图象为一条直线。

特别的，当 b=0 时，y 是x 的正比例函数。

即：y=kx （k 为常量，但k≠0）正比例函数图像经过原点。

二、基本性质1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k即：y=kx+b（k≠0) （k 不等于 0，且 k，b 为常数）2.当 x=0 时，b 为函数在y 轴上的交点,坐标为(0,b).当 y=0 时，该函数图象在x 轴上的交点坐标为（-b/k，0）3.k 为一次函数 y=kx+b 的斜率,k=tanα=(y1-y2)/( x1-x2) (角α为一次函数图象与 x 轴正方向夹角, α≠90°)4.函数图象性质：当k 相同，且 b 不相等，图像平行；当k 不同，且 b 相等，图象相交于 y 轴；当 k 互为负倒数时，两直线垂直；6.图像变换：平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。

7.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

8.k，b 与函数图像所在象限：y=kx+b 时：当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、二象限；当 b<0 时，直线必通过三、四象限。

（结合图像理解）9.求任意线段的长：10.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。

将解得的 x=x0 值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2两式的任一式，得到y=y0，则(x0, y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。

初中数学专题讲义--一次函数一、知识归纳1．变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量2.函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

9、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴10、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向：⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小11一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）. 12、直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系 （1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2（3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 213、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 14、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值. 15、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 16、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.函数1、判断下列变化过程存在函数关系的是( D )A.y x ,是变量，x y 2±=B.人的身高与年龄C.三角形的底边长与面积D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间2、已知函数12+=x xy ，当a x =时，y = 1，则a 的值为( B ) A.1 B.－1 C.3 D.213、下列各曲线中不能表示y 是x 的函数是（ C ）。

初中数学竞赛函数知识点讲解函数是数学中非常重要的概念，它是数学建模和问题求解的基础。

在初中数学竞赛中，函数也是一个常见的考点。

下面将对函数的基本概念、性质、图像和应用等知识点进行讲解。

一、函数的基本概念函数可以理解为一种输入和输出之间的对应关系。

如果对于集合A的每个元素x，都存在一个唯一的元素y与之对应，那么我们称y是x的函数值，记作y=f(x)，而x是y的自变量，f是函数的符号，A称为定义域。

二、函数的表示方式1.显式表示法：当我们可以用一个公式或规律直接表示出函数值时，我们称之为显式表示法。

例如，y=2x+1就是一个显式表示的函数。

2.分段函数表示法：当函数的定义域可以划分为几个子区间，在每个子区间上的函数值由不同的公式来表示时，我们称之为分段函数表示法。

3.隐函数表示法：当函数的表达式不易直接给出，但可以通过方程来暗示其函数关系时，我们称之为隐函数表示法。

三、函数的性质1.奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数；如果有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。

例如，y=x^2是一个偶函数，y=x^3是一个奇函数。

2.单调性与增减性：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么称函数f(x)在该定义域上是单调递增的。

如果有f(x1)>f(x2)，那么称函数f(x)在该定义域上是单调递减的。

3.周期性：如果对于函数f(x)存在一个正实数T，使得对于任意实数x有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)称为周期函数，T称为函数的周期。

四、函数的图像函数的图像是函数的重要表现形式之一，可以帮助我们更好地理解函数的性质。

在平面直角坐标系上，函数的图像是指由函数的所有关联点组成的图形。

通过观察图像可以得到函数的单调性、奇偶性、极值点等信息。

五、函数的应用函数的应用非常广泛1.函数的最值问题：求函数在定义域上的最大值或最小值，可以通过绘制函数的图像或使用导数等方法求解。

初中数学竞赛函数知识点讲解函数是数学中一个非常重要的概念，它在初中数学竞赛中也是一个经常出现的知识点。

下面，我将为您讲解一下初中数学竞赛中关于函数的知识点。

1.函数的定义：函数是一个有特定关系的数集，也可以理解为一个数集和另一个数集之间的对应关系。

通常我们用字母表示函数，如f、g、h等。

在函数中，通常有自变量和因变量两个变量，自变量的取值决定了因变量的值，可以用对应关系式表示：y=f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量，y=f(x)表示y是x的函数。

2.函数的性质：(1) 定义域：函数中自变量的取值范围称为定义域，常用符号表示为D(f)。

例如，在一元一次函数y = ax + b中，定义域为全体实数（即D(f) = R）。

(2) 值域：函数中因变量的取值范围称为值域，常用符号表示为R(f)。

例如，在一元一次函数y = ax + b中，值域是全体实数（即R(f) = R）。

(3)奇偶性：若对于函数中的每一个x值，都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对于函数中的每一个x值，都有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若奇函数和偶函数的性质都不具备，则函数为非奇非偶函数。

(4)单调性：函数的单调性表示函数在定义域内的递增或递减趋势。

若对于函数中的每一对不等的x1和x2，有x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则函数为严格递增函数；若对于函数中的每一对不等的x1和x2，有x1<x2时，f(x1)>f(x2)，则函数为严格递减函数。

3.常见函数类型：(1) 一元一次函数：一元一次函数的一般表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，a≠0。

一元一次函数的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。

(2) 二次函数：二次函数的一般表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a≠0。

二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线。

(3)绝对值函数：绝对值函数的一般表达式为y=，x，即y等于x的绝对值。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

2020高中数学竞赛标准讲义：第三章：函数一、基础知识定义1 映射，关于任意两个集合A ，B ，依对应法那么f ，假设对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯独一个元素与之对应，那么称f : A →B 为一个映射。

定义2 单射，假设f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )那么称之为单射。

定义3 满射，假设f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，那么称f : A →B 是A 到B 上的满射。

定义4 一一映射，假设f : A →B 既是单射又是满射，那么叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法那么f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。

定义5 函数，映射f : A →B 中，假设A ，B 差不多上非空数集，那么那个映射为函数。

A 称为它的定义域，假设x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y 〔即x 对应B 中的y 〕，那么y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。

集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，现在函数定义域确实是使解析式有意义的未知数的取值范畴，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，假设函数f : A →B 〔通常记作y =f (x )〕是一一映射，那么它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 那个地点求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0).定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。

定理2 在定义域上为增〔减〕函数的函数，其反函数必为增〔减〕函数。

O C B A y x O C B A y x 初中数学竞赛培训讲义 一次函数是与现实生活联系最紧密的知识点，受到各级各类竞赛的青睐，近些年来与一次函数有关的竞赛问题屡见不鲜，本将就来研究这系列问题.一 平面直角坐标系中的坐标问题例1 如图，边长为2的正方形OABC 顶点O 与坐标原点重合，且OA 与x 轴正方形的夹角为30.求点,,A B C 的坐标练习1、点(,)A x y 关于x 轴的对称点坐标为 ，关于y 轴的对称点坐标为 ，关于原点的对称点坐标为 ，关于直线y x 的对称点是2、在平面直角坐标系中，已知点(3,3)A ，P 是y 轴上一点，则使AOP 为等腰三角形的点P 有（ ）个.(A). 2 (B). 3 (C). 4 (D). 53、在平面直角坐标系中有点(2,2),(3,2)A B ，C 是坐标轴上一点，已知ABC 是直角三角形，求点C 的坐标.二 一次函数的图像性质问题 例2 若ab c t b c c a a b ，则一次函数2y tx t 的图像必经过的象限是（ ）(A). 第一、二象限 (B). 第一、二、三象限 (C).第二、三、四象限 (D). 第三、四象限练习设a b >，在同一平面直角坐标系内，一次函数a bx y +=与b ax y +=的图象最有可能的是（ ）．三 一次函数的解析式1、对称问题例3 如图，直线210y x 与,x y 轴分别交于,A B ，把AOB 沿直线翻折，点O 落在C 处，则点C 的坐标是2、面积问题例4 设直线(1)1kxk y （k 是正整数）与两坐标轴所围成的图形面积为k S ，则122011S S S3、整点问题例5 在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k 是整数，当直线3y x 与y kx k 的交点为整点时，满足条件的k 的值有 个4、定点问题例6 不论k 为何值，解析式(21)(3)(11)0k x k y k 表示的函数的图像经过一定点，则这个定点是5、最值问题例7 已知,,a b c 是非负实数，且满足30,350,a b c a b c 求42M a b c 的最大值和最小值.三 一次函数的应用题例8 某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360四 可化为一次函数的绝对值函数例8 （1）作函数13yx x 的图像 （2）13y x x五 构造一次函数解题例9 已知关于x 的方程13x x a ，（1）若方程仅有两个解，求a 的取值范围. (2) 若方程有无数个解，求a 的取值范围. （3）若方程无解，求a 的取值范围. （4）解不等式134x xE(0,6)D(2,6)O C(2,1)B(4,1)A(4,0)y x 例10 若已知关于x 的方程1kxx 有且仅有一个负根，求k 的取值范围.练习题1、在直角坐标系中，x 轴上的动点(,0)M x 到定点(5,5),(2,1)P Q 的距离分别为,MP MQ ，求MPMQ 的最小值，并求此时点M 的坐标.2、已知一个六边形OABCDE 六个顶点的坐标如图所示，直线l 平分该六边形的面积，写出满足条件的一条直线l 的解析式.3、小刚和小强在一条由西向东的公路上行走，出发时间相同，小强从 A 出发，小刚从A 往东的B 处出发，两人到达C 地后都停止。

第十一讲 一次函数【基础知识回顾】1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

k 的符号 b 的符号 函数图像图像特征k>0b>0图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增大。

b<0图像经过一、三、四象限，y 随x 的增大而增大。

K<0 b>0 y图像经过一、二、四象限，y 随x 的增大而减小b<0图像经过二、三、四象限，y 随x的增大而减小。

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。

5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。

解这类问题的一般方法是待定系数法。

【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例1 （2019•大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（ ） A ．它的图象必经过点（-1，3） B ．它的图象经过第一、二、三象限 C ．当x ＞1时，y ＜0D ．y 的值随x 值的增大而增大 对应训练 1．（2019•徐州）下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（ ） A ．y=2x+8 B ．y=-2+4x C ．y=-2x+8 D ．y=4x 考点二：一次函数的图象和系数的关系例2 （2019•莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞0 B ．m ＜0 C ．m ＞2 D ．m ＜21A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2对应训练2．（2019•眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2019•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0考点三：一次函数解析式的确定对应训练4．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（）A．y=2x B．y=-2x C．y= 12x D．y=-12x考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系例5 （2019•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜3B．x＜3 C．x＞3D．x＞3A．y=x+9与y=23x+223B．y=-x+9与y=23x+223C．y=-x+9与y=-2x+22D．y=x+9与y=-2x+22对应训练5．（2019•武汉）直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．6．（2019•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是．考点五：一次函数综合题例7 （2019•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．（1）C（0，6）；（2）∴直线MN的解析式为y=-34x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）．∵点P在直线MNy=-34x+6上，∴设P（a，-34a+6）如图，当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；②当PC=BC时，a2+（-34a+6-6）2=64，解得，a=±325，则P2（-325，545），P3（325，65）；③当PB=BC时，（a-8）2+（-34a+6-6）2=64，解得，a=25625，则-34a+6=-4225，∴P4（25625，-4225）．综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（-325，545），P3（325，65），P4（25625，-4225）．对应训练菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．考点六：一次函数的应用例8 （2019•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？对应训练8．（2019•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．【聚焦山东中考】1．（2019•菏泽）一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（）A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限D．第二、三、四象限A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2019•潍坊）一次函数y=-2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=-1时，y＞0．则b的取值范围是．4．（2019•泰安）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜45．（2019•威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（）A．乙摩托车的速度较快B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C．经过0.25小时两摩托车相遇D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地503km6．（2019•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价-成本）1的直线l5的函数表达式．7．解：（1）根据题意得：y=-x；（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，∴过原点且与直线y=-15x垂直的直线l5的函数表达式为y=5x．1（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．1（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则∵OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8-t-2t=8-3t，∴8-3t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8-2t，∴QP=t-（8-2t）=3t-8，∴t=3t-8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8-t-2t=8-3t，∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8-3t）•t=8t-3t2，当t=-842(3)3=-⨯-时，S矩形PEFQ的最大值为：24(3)08164(3)3⨯-⨯-=⨯-，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=t-（8-2t）=3t-8，∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t-8）•t=3t2-8t，【备考真题过关】一、选择题1．（2019•湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（）A．-12B．-2 C．12D．22．（2019•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限4．（2019•黔东南州）直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞-1 B．m＜1 C．-1＜m＜1 D．-1≤m≤1 5．（2019•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（）A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25B．途中加油21升C．汽车加油后还可行驶4小时D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升6．（2019•天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小文出发时间t （分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题（2019•资阳）在一次函数y=（2-k）x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为．7．8．（2019•天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是．9．（2019•鞍山）在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第（填“＞”“＜”或“=”）移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为．15．（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C′，则点C′的坐标是．16．（2019•孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起分钟该容器内的水恰好放完．17．（2019•随州）甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地．2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发小时时，行进中的两车相距8千米．三、解答题18．（2019•厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．18．解：①0≤x＜3时，设y=mx，则3m=15，解得m=5，所以，y=5x，品所获得的利润．19．解：（1）设y=kx+b（k≠0），由图象可知，20．（2019•盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入-进货金额）20．解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x+2）元，由题意，得80（x+2）=88x，解得x=20．故现在实际购进这种水果每千克20元；（2）①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（25，165），（35，55）代入，得251653555k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得11440kb=-⎧⎨=⎩，故y与x之间的函数关系式为y=-11x+440；②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，则w=（x-20）y=（x-20）（-11x+440）=-11x2+660x-8800=-11（x-30）2+1100，所以当x=30时，w有最大值1100．即将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．21．（2019•河北）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t 秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．21．解：（1）直线y=-x+b交y轴于点P（0，b），由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．当t=3时，b=4，故y=-x+4．（2）当直线y=-x+b过点M（3，2）时，2=-3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4．当直线y=-x+b过点N（4，4）时，4=-4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．（3）如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E（1，0），F（0，-1）．∵M（3，2），F（0，-1），∴线段MF中点坐标为（32，12）．直线y=-x+b过点（32，12），则12=-32+b，解得：b=2，2=1+t，解得t=1．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME中点坐标为（2，1）．直线y=-x+b过点（2，1），则1=-2+b，解得：b=3，3=1+t，解得t=2．故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．。