单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一、直纹曲面：柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面.二、直母线：1．单叶双曲面+－＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为(λ, μ为参数, 且不全为零)与(λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似.2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为(λ为参数) 与(λ'为参数)3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17.三、性质：1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交.2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点.例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线.解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为与将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1,代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为与即与例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有3×+2×+(－4)×＝0,解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为同理可得另一族直母线中满足条件的直母线为例3. 试证单叶双曲面＋－＝1的任意一条直母线在xOy坐标面上的射影,一定是其腰椭圆的切线.证明:只须对u族直母线情形证明成立即可. 设u族直母线中一条直线l的方程为l：则l在xOy坐标面上的射影直线l'可以看成是直线l在xOy坐标面上的射影柱面与xOy平面的交线l'：现只须证明l'与单叶双曲面的腰椭圆只交于一点即可, 从而l'与腰椭圆相切. 事实上由上式有代入腰椭圆方程得该式左端是一个完全平方式, 故方程只有一组解, 即l'与腰椭圆只有一个交点.例4. 求与两直线＝＝与＝＝相交, 而且与平面2x＋3y－5＝0平行的直线的轨迹.解: 设满足条件的直线l的方向矢量为{X, Y, Z}, 点P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与两已知直线相交, 故有＝0,＝0.即有(y－2z＋2)X＋(3z－x＋3)Y＋(2x－3y－12)Z＝0,(－2y－2z＋8)X＋(2x+3z＋12)Y＋(2x－3y+24)Z＝0.又l与已知平面平行, 从而 2X+3Y＝0,由于X, Y, Z不全为零, 由以上三式得＝0,化简整理得－＝z.这是一双曲抛物面.例5. 求与下列三条直线与＝＝都共面的直线所构成的曲面.解: 设{X, Y, Z}是满足条件的直线l的方向矢量, P(x, y, z)是l上任意一点, 因l 与已知三直线都共面, 故有＝0, ＝0,＝0.或由于X, Y, Z不全为零, 从而有＝0,化简整理得x2+y2－z2＝1.这是一单叶双曲面.作业题：1. 试求双曲抛物面－＝2z在点(4, 0, 2)的直母线方程.2. 求通过直纹曲面z＝xy上点(1, 1, 1)的直母线方程.。

抛物面1、定义：在直角坐标系下，由方程（a,b>0）（1）所表示的图形称为椭圆抛物面；而（1）称为椭圆抛物面的标准方程。

注：在直角系下，由方程或所表示的图形也是椭圆抛物面。

2、性质和形状：（i）对称性：椭圆抛物面（1）关于z轴，面，面对称，在ch6中，我们将会知道椭圆抛物面无对称中心。

（ii）有界性：由（1）知，∴椭圆抛物面（1）位于面的上方，且为无界的。

（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线（1）与三坐标轴均交于原点——顶点；（1）与三坐标面交于（2），（3），（4）（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z轴正向，它们叫做椭圆抛物面的主抛物线。

对称轴均为z轴；而（4）为原点。

（iv）与平行于坐标面平面的交线：首先，（1）与平行于面的平面交于（）（5）当时，（5）为原点；当时，（5）为椭圆，其顶点为（0，±b，k）∈（2）,（±a，0，k）∈（3）.可见，椭圆抛物面（1）是由面上方的一系列“平行”椭圆构成，这些椭圆的顶点在抛物线（2）和（3）上变化。

(图4.6)另外，椭圆抛物面（1）与平行于面的平面交于（6）对，（6）均为全等的抛物线，其顶点（，0，）∈（3）对称轴∥z 轴，开口方向朝z轴正向（与（3）的开口方向一致）最后，若用平行于面的平面去截（1），其截线情况于上类似，由此可得椭圆抛物面的几何特征如下：椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向一致，且它们所在平面始终保持垂直。

二双曲抛物面：1、定义：在直角坐标系下，由方程（a,b>0）（1）所表示的图形称为双曲抛物面；而（1）称为双曲抛物面的标准方程。

注：在直角系下，由方程或所表示的图形也是双曲抛物面。

2、性质和形状：（i）对称性：双曲抛物面（1）关于z轴，面，面对称，在ch6中，我们将会知道双曲抛物面无对称中心。

判别二次曲面是直纹面的方法数学与信息学院数学与应用数学专业摘要：本文就有关二次曲面是直纹面的几种常用判定方法加以了总结和推广，并对单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面加以了证明，而且还对所运用的判定方法分别进行了举例说明.从而更有利于理论与实践相结合，进一步提高了对各种知识的分析理解能力.关键词：二次曲面；直纹面；单叶双曲面；双曲抛物面；方程；因式分解Quadric discriminant methods are ruled surfaceZhou MinMath Institute with the information and applied mathematics major Grade 2005 Instructor :Zhang San HuaAbstract: This article was the lined surface several commonly used decision method has performed the summary and the promotion on the related quadratic surface，and was the lined surface has performed the proof to the single leaf hyperboloid and the hyperbolic paraboloid，moreover also to the decision method which utilized separately carries on has explained with examples. Thus is more advantageous in the theory and the practice unifies，further enhanced to each kind of knowledge analysis understanding ability.Keywords:quadric surface; Ruled Surface; hyperboloid of one sheet; hyperbolic paraboloid; equation; factorization1 引言通过我们已对二次曲面的学习后，不难看出二次曲面的有关知识的讨论是空间解析几何中非常重要的内容之一，而在二次曲面中的直纹面又是非常重要的一类.直纹面的相关知识在我们实际生活生产中如在建筑行业，机械加工以及医疗，光学等方面的应用都是非常广泛的.总之在我们的日常生活，现代化生产，科学研究等方面对二次曲面中的直纹面知识的运用都是非常广泛的.为此，我们非常有必要对直纹面的相关知识加以了解.所谓直纹面是指如果曲面S上有一族单参数（随着一个参数变化的一族直线）而S的每一点都在这族直线上，S就是我们所说的直纹面，这族直线中的每一条直线都称为直母线[]1.在我们已学过的曲面中的柱面，锥面，特别二次曲面中的椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面都是直纹面.在我们所学过的二次曲面的类型是非常多的，其中有些二次曲面是直纹面而有些又不是直纹面，那么在如此众多的二次曲面中我们如何对其直纹性进行快速而又准确的判定呢？下面我就有关二次曲面是否是直纹面的判定方法加以总结和简单的推广，并结合相关实例进行说明.2 判别曲面是直纹面的方法2.1根据直纹面的定义进行直接的判别直纹面是由一族直线所构成的曲面[]2.简单地说也就是将某一条直线进行一定方向的移动后所形成的一个轨迹，将这个轨迹看成是一个曲面，那么这个曲面也就是我们常提到的直纹面了.像我们平常看到的平面，柱面，锥面等都可以直接看作是其中某一条直线经过移动后所形成的轨迹，将这个轨迹看成一个曲面，从而很自然由直纹面的定义就可以知道，这样的曲面就是直纹面[]3.在中学时代就学过的平面我们可以将其看成是一条直线沿某一个固定方向进行平行移动后所形成的轨迹；由平行于某一个方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲面，叫做柱面.定曲线叫做柱面的准线，平行直线族中的每一条都叫做柱面的直母线.定方向是直母线的方向，也叫柱面方向.很显然，柱面由它的准线和母线方向所确定，它是直母线沿着准线平行移动所形成的轨迹，也可以看作准线沿着柱面方向平行移动所形成的轨迹；对于锥面，它是指过定点且与一条（不过定方向的）定曲线相交的一族直线组成的曲面[]4.从以上的平面，柱面，锥面的定义可以看出它们都可以看成是一条直线经过移动后所形成的轨迹，是完全符合直纹面的定义的.因此，要是我们遇到可以直接判断出所给的二次曲面是平面，柱面，锥面等，我们就可以直接根据直纹面的定义判断出所给二次曲面是直纹面.2.2 根据二次曲面的方程的特点直接判别 在直角坐标系{}321,,,0e e e 内，我们把由三元二次方程022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .所表示的曲面称为二次曲面.这里442434142313221211,,,,,,,,a a a a a a a a a 和33a 是不全为零的实数[]5，根据二次曲面的特点我们可以得到关于二次曲面是直纹面[]6的两个结论.定理1 若方程中0),,(=z y x F 缺少一个变量，则它表示母线平行于与所缺变量同名的坐标轴的柱面．在空间坐标系中，曲面的方程如不含某个坐标表示母线平行于这个坐标轴的柱面.如：(,)=0F x y ， (,)=0G y z ， (,)=0H z x .分别表示母线平行于OZ 轴，OX 轴，OY 轴的柱面.因此是直纹面.定理2 在取定的空间坐标系下，x ，y ，z 的n 次齐次方程的图象是顶点在原点的锥面.证明 设(,,)=0F x y z .是一个n 次齐次方程，则由齐次方程的定义有：(,,)=t (,,)=0n F tx ty tz F x y z . 将t=0代入上式得(0,0,0)=0F 说明原点在在方程的图象上设非原点1111(,,)P x y z 满足111(,,)=0F x y z 则直线1OP 的方程为：1=x x t ，1=y y t ，1=z z t . 代入 (,,)=0F x y z .得： 111111(,,)=t (,,)=0n F tx ty tz F x y z . 说明直线1OP 上的每一点均落在方程(,,)=0F x y z 的图象上，从而方程(,,)=0F x y z .的图象是由经过原点的一族直线组成的.即它是以原点为顶点的锥面.推论 1 若方程是关于-a x ，-b y ，-c z 的齐次方程则此方程所表示的曲面是以（a ，b ，c ）为顶点的锥面，因而是直纹面.例1 判定下列曲面[]7是直纹面．(1)2x +xy-2y +x+1=0. (2) 2x +xy+2y -yz-y=0. 解 （1）因为（1）中缺少变量z ，因而我们可以由定理1知道：它表示一个平行 z 轴的柱面，而柱面可以看成是由直线移动所形成的曲面，也就是由直纹面的定义就可以看出（1）是直纹面.（2）将上面可以看成x ，y ，z+1的齐二次方程： 0)1(22=+-++z y y xy x .由定理2和推论1可以知道它表示一个以（0，0，-1）为顶点的锥面，所以它是直纹面.2.3 利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面对于非退化的二次曲面，只有柱面，锥面，单叶双曲面，抛物双曲面是直纹面因此我们对二次曲面是否是直纹面的判定时，我们可以通过二次曲面的化简.首先将一般方程化为标准方程，然后判定它是否是直纹面.下面就空间解析几何二次曲面方程的化简，运用正交变换法和单叶双曲面以及双曲抛物面是否是直纹面等相关知识进行说明.在空间中由三元二次方程：022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .所表示的曲面叫二次曲面.利用坐标变换通过选取适当的坐标系，我们就可以将二次曲面方程写成以下十七种标准方程的形式之一：（1）22x a +22y b +22z c =1（椭球面）; （2）22x a +22y b +22z c=-1（虚椭球面）; （3）22x a +22y b +22z c =0 （虚二次锥面）; （4）22x a +22y b -22z c=1 （单叶双曲面）; （5）22x a +22y b -22z c =-1 （双曲双曲面）; （6）22x a +22y b -22z c=0（二次锥面）; （7）22x a +22y b =2z （椭圆抛物面）; （8）22x a- 22y b =2z （双曲抛物面）; （9）22x a +22y b =1（椭圆柱面）; （10）22x a +22y b=-1（虚椭圆柱面）; （11）22x a +22y b =0（一对共轭平面）; （12）22x a -22y b =1（双曲柱面）; （13）22x a -22y b =0（一对相交平面）; （14）2x =2py （抛物柱面）; （15）22a x =（一对平行平面）; （16）22a x -=（一对共轭虚平面）;（17）2x =0 （一对重合平面）.这就说明：二次曲面的各种可能的情况共有以上的十七种标准形式.因此，我们可以说三元二次所可能确定的本质上不同的十七种.曲面中除了虚的轨迹与分解为平面（方程（2），（3），（10），（11），（13），（15），（16），（17））以外，对于下面的六种曲面：单叶双曲面（方程（4）），二次锥面（方程（6）），双曲抛物面（方程（8）），椭圆柱面（方程（9）），双曲柱面（方程（12）），抛物柱面（方程（14））.可以看出，这六种曲面中的每一个曲面都可以由一族直线构成[]8.因此，这些二次曲面都是直纹面.接着我们来讨论下如何运用正交变换法对二次曲面进行化简.设一般二次曲面的方程为：022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .（其中二次系数不全为零，全部系数均为实数ji ij a a = i ，j=1，2，3，4）.方程的左端显然不是二次型，只有二次部分才是.这样直接寻找一个正交变换，既可以消去交叉项又能消去一次项或常数项是比较困难的.只有作旨在消去交叉项的，正交变换后使新方程左端仅含平方项，一次项和常数项，再利用配方，又作一次正交变换来化简二次曲面的方程是可行的，与坐标变换比较起来更简捷得多.其具体的化简方法，我们可以通过如下的一个非中心型二次曲面的例子来说明.例2 化简二次曲面方程并对其是否是直纹面作出判断.06121248444222=+---+-++z y x yz xz xy z y x . (1)解 将（1）中的x ，y ，z 分别换成1x ，2x ，3x 得:06121248444321323121232221=+---+-++x x x x x x x x x x x x . (2)其中二次型为，()323123222132131313214844,,x x x x x x x x x x A x x x x x a i j j i ij --++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑== . (3)由二次曲面的方程可以得到A 的系数矩阵为：A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----424212424 ，其中A 的特征方程为：0424212424=-------=-λλλλI A ， 特征根为： 021==λλ，93=λ.对于 021==λλ，解齐次方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424212424321x x x .它的系数矩阵的秩为1，故只需解一个方程：022321=+-x x x .容易得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂10114121，.单位化后分别为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1012114118121ρρ，.对于93=λ.解齐次方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000524282425321x x x .它的系数矩阵的秩为2，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂2123.单位化后为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21231，显然： :32,1彼此是正交的所以ρρρ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==32211813101843221181321ρρρρ，(4)不难验证：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='90000ρρA ， 通过正交变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132132211813201843221181y y y x x x（5）即 ： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=-=+-=321331232113221181311813221181y y y x y y x y y y x .原二次型（3）变为923y . (6)将（5）代入（6）得到0292992123=+-y y y ，即为022*******=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--y y y .再作变换：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='+='-='3212122222222y z y y y y y x ，即正交变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''3211000222202222y y y z y x . 后得由曲面的规范方程为x z x z '='='-'2,0222标准方程为.则它所表示的是抛物柱面，即为直纹面.其次我们来讨论下单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性.我们知道一个二次曲面是柱面或锥面，它一定是直纹二次曲面.例如，当二次方程 (,,)=0F x y z .的左边只有二次项，没有常数项和一次项.则它是一个锥面（称为二次曲面）即是直纹面.又若(,,)F x y z 中有一个变量没有出现，则它是一个柱面（称为二次曲面），也是直纹面.如果有：0))((),,(22221111=++++++=D z C y B x A D z C y B x A z y x F .记 i ∑ 为平面i i i (+By+Cz+D )0i Ax =（i=1，2）则二次曲面 (,,)=0F x y z 是1∑和2∑ 的并集，它或是两张相交平面（当1∑ 和 2∑相交时）或是两张平行平面（当 1∑ 和 2∑ 平行而不重合时）或是一张平面（当1∑ 和 2∑重合时）.无论何种情况，它都是直纹面.对于单叶双曲面.在二次曲面中的单叶双曲面方程为在二次曲面中的单叶双曲面方程为： 1222222=-+cz b y a x . （1）这里c b a ,,是3个正常数． 定理3 单叶双曲面为直纹面.证明 1222=++Cz By Ax . (1)其中C B A 、、均为非零实数，设曲面（1）上存在的直线的方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z tm y y lt x x 000 ，R t ∈. (2)由（2）式代入（1）可得到1)()()(202020=+++++tn z C tm y B tl x A .即01)(2)(2020200002222=-++++++++Cz By Ax t n Cz m By l Ax t Cn Bm Al .因为对于任意的R t ∈上式均成立，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=++0100202020000222Cz By Ax n Cz m By l Ax Cn Bm Al . (3)由（3）中最后一个等式可以知道000,,z y x 不能同时为0不妨设00≠x .由（3）式中第二个等式可以得到：0)()(2))((2022000220220=++++z C ACx nm z BCy n m y B ABx . 又因为nm 为实数上式有实数解的条件为： 0))((2022020220202022≥++-z C ACx y B ABx z y C B ，经整理可以得到：0)(20202020≥++-Cz By Ax ABCx .由于A ，B ，C 为非零实数，所以有ABC <0.因为A ，B ，C 不能全为负，只能两正一负，所以在椭圆面和双曲面中只有单叶双曲面是直纹面．对于双曲抛物面：z By Ax 222=+. （4）其中A ，B 为非零实数，若其上存在直线，则由式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z tm y y tl x x 000 ， R t ∈.代入（4）式可以得到：02)(2)(020*******=-++-+++z By Ax t n m By l Ax t Bm Al .由于上式对于任意t 都成立，所以有：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+0200020200022z By Ax n m By l Ax Bm Al . （5）由（5）式 中第二个式子可知l ，m 不能同时为0，否则n m l ,,会为0.又由（5）式中的第一个式子可知B A ,必须异号.由上可知，在抛物面中只有双曲抛物面是直纹曲面.2.4 因式分解二次曲面方程判定其直纹性在空间解析几何教材中，在标准方程形式下证明了单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面，并给出了直母线族的方程，那么这种方法可以推广到一般的二次曲面方程中去，从而去判别一个二次曲面是否为直纹面.若是直纹面还可以得到它的直母线方程.定理4 非退化的二次曲0,,=）（z y x F 若能分解成 ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x F z y x F z y x F =. （1）其中),,(1z y x F )4,3,2,1(=i 的次数小于等于1.则0),,(=z y x F 是直纹面，并且它的直母线可以表示为：⎩⎨⎧==),,(),,(),,(,,4231z y x wF z y x uF z y x uF z y x wF ）（ ，（w ，u 不全为零）. （2） 或 ⎩⎨⎧==),,(),,(),,(),,(3241z y x tF z y x vF z y x vF z y x tF ， （t ，v 不全为零）. （3） 其中v t u w ,,,是使上式有意义的参数.推论 2 若（1）（2）表示相同的直线族，则此曲面是柱面或锥面.当直母线族的方向向量与参数无关时，此时的曲面一定是柱面，当通过一定点时，它一定是锥面.例3．判断下列曲面的类型.2)()1(a z y y x =++）（. 222)()2(a a z y z x =-++-）（.解 （1）因为a a z y z x ⋅=++))((是（1）的形式，故是直纹面.又因为43F F ≡故式（ 2 ）与式（3 ）相同.所以可以逐步判断出它是柱面或是锥面.下面我们通过推论中所讲的方向向量确定其是柱面还是锥面.直线族：⎩⎨⎧=+=+aw z y u au z x w )()(. 的方向向量是 },1,1,1{-所以可以判断出它是锥面.（2）因为方程：222)()(a a z y z x =-++-.可以改为：)2)(())((z y a z y z x z x --+=--.故它表示为一个柱面或锥面，而直母线族：⎩⎨⎧--=-+=-)2()()()(z y a w z x u z y u z x w . 的方向向量：⎩⎨⎧w u - u w u w ---，u w u w --- u w ，u w w u -⎭⎬⎫}1,1,1){(22-+=u w . 所以它表示为一个柱面.对于直纹面中的柱面和锥面还可以讨论其特殊性.例4 证明：xy z 22=表示为一个圆锥面.证明 因为方程xy z 22=是关于z y x ,,的齐二次方程，所以它表示一个顶点在原点的锥面.要证明它表示为圆锥面.只须证明它的直母线与固定方向成定角，为此求出它的直母线族方程为:⎩⎨⎧==wyuz ux wz 2. 其中方向向量为：=⎩⎨⎧w 0 u w --，u w -- 02u ，02u w 0 ⎭⎬⎫ }{uw u w ,2,22=. 取三条直母线，方向向量}2,2,1{},0,0,1{和}2,2,1{-.（这里1:1,1:1,0:1:-=u w ） 令.)2(21},,{}2,2,1{,221},,{}2,2,1{,001},,{}0,0,1{222222222222222222z y x z y x z y x z y x zy x z y x ++⋅-++⋅-=++⋅++⋅=++⋅++⋅解得 0:1:1::=z y x . 令}0,1,1{0=v而2244224422u w u w u w +++=.θcos 22== （其中θ为直母线族与定方向0v 所成的角），从而：=∈=θπθθ）、有，（在022cos 45°知道直母线族于定方向0v 是成定角.故其方程表示为一个圆锥面.2.5利用定理对二次曲面的直纹性进行判定设有二次曲面∑23323132221221122),,(z a yz a xz a y a xy a x a x y x F +++++=022443414=+++a z a y a . (1)记yz a z a xz a y a xy a x a z y x 232331322212211222),,(+++++=φ.⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=342313324221221412111),,(),,(),,(a y a x a z y x F a y a x a z y x F a y a x a z y x F .则有如下的二次曲面直纹性判定定理：定理5 给定二次曲面∑（方程为（1））对于∑上任意一点),,(z y x M '''如果方程⎩⎨⎧='''+'''+'''=0),,(),,(),,(0),,(321z y x pF z y x F z y x mFp n m φ. (2) 有非零实数解m:n:p 则∑是直纹面，并且{}p n m ,,为∑在过点M 处的直母线方向.证明 要证明∑是直纹面，只须证明对于∑上任意一点),,(z y x M '''过点M 总有直线落在∑上，为此，过点M 的直线为L ，其方程为：pz z n y y m x x '-='-='-. （3） 于是（1）的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y m t x x 000 ， （t 为参数）. （4）今假设整条直线L 落在∑，故对一切t 的取值（4）应满足（1），将（4）代入（1）整理即得关于t 的恒等式：. 而 M 点在∑上，所以有恒等式：()()()⎡⎤()0,,,,,,,,2),,(3212≡'''+'''+'''+'''+z y x F z y x pF z y x nF z y x mF t t p n m φ.(5)（5）恒成立的的充要条件是方程组（2）成立.因此，若（2）有非零实数解m:n:p ，则总有直线（3）落在∑上，即知∑是直纹面，并且（3）为∑的直母线.例5 判定曲面∑()()()1222=-+-+-ay bx cx az bz cy .是否是直纹面，其中a ，b ，c 为不全为零的常数.解 将∑的方程展开为()()()01222222222222=----+++++bcyz acxz abxy z b a y c a x c b ， z ac y ab x c b z y x F '-'-'+=''∴)(),,(221.z bc y c a x ab z y x F '-'++'-=''')(),,(221，z b a y bc x ac z y x F '++'-'-=''')(),,(223，从而 ),,(),,(),,(321z y x pF z y x nF z y x mF '''+'''+'''=))(())(())((y a x b an bm x c z a an ap z b y c bp cn '-'-+'-'-+'-'-. 又 222)()()(),,(an bm am ap bp cn p n m -+-+-=φ，利用定理5中的(2)得方程组：⎩⎨⎧='-'-+'-'-+'-'-=-+-+-0))(())(())((0)()()(222y a x b an bm x c z a cm ap z b y c bp cn an bm am ap bp cn . 解之得：cn-bp=ap-am=bm-an=0即m:n:p=a:b:c 因此由定理知∑是直纹面，并且由于过∑上任意一点()()()⎡⎤()0,,,,,,,,2),,(3212≡'''+'''+'''+'''+z y x F z y x pF z y x nF z y x mF t t p n m φ),,(z y x M '''处的直母线方向为常向量{}c b a ,,，还可以进一步知道∑是柱面.结束语本文在空间解析几何中的二次曲面的相关知识基础上，就直纹面的定义，常见的直纹面，利用二次曲面方程的特点，二次曲面方程的化简，将二次曲面方程利用因式分解以及利用定理等手段来对二次曲面的直纹性做出了判别.对于相应的判别方法都加以举出实例进行说明.致谢在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，张三华副教授给予了我耐心，细致和全面的帮助.在此我特向张老师表示感谢！参考文献[1]蒋大为 .空间解析几何及其应用 [M] . 科学出版社 . 2004.7.[2]梅向明 ，黄敬之.微分几何 [M] . 高等教育出版社. 2003.12..[3]黄宣国 .空间解析几何 [M] .复旦大学出版社 . 2004.8.[4]龙承生.解析几何 [M] .北京大学出版社. 2004.1.[5]李养成. 空间解析几何[M].科学出版社 .2007.8.[6]谭水木.二次曲面直纹性的判定[J]. 许昌师专学报. 1996--6 .[7]陈绍菱.空间解析几何习题试析[M].北京师范大学出版社. 2004.11.[8]黄艳红.二次曲面的讨论[J].刑台职业技术学院学报 . 2004.2.[9]方荣凡. 二次曲面方程的化简[J]. 菏泽师专学报 .1995年第4期.目录摘要 (1)1.引言 (1)2．判别曲面是直纹面的几种方法 (2)2.1根据直纹面的定义进行直接的判别 (2)2.2根据二次曲面的方程的特点直接判别 (2)2.3利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面 (3)2.4因式分解二次曲面方程判定其直纹性 (9)2.5利用定理对二次曲面的直纹性进行判定 (12)结束语 (14)参考文献 (14)致谢 (14)。

证明单叶双曲面同族的直母线异面。

证明单叶双曲面同族的直母线异面是比较困难的，但也可以通过某些流程来证明。

首先，我们需要明白的是单叶双曲面是一类特殊的双曲面，双曲面是一类空间曲线，它们位于空间的一个二维表平面上，其两个曲线支点之间的距离是一致的。

其次，要证明单叶双曲面同族的直母线异面，我们需要证明它们满足以下条件：一、两条曲线间的距离相等；二、两个曲线的母线的夹角不同，比如一条曲线的母线为45度，另一条曲线的母线为90度；三、两条曲线的弧程之和等于2π，即曲
线半径乘以2π等于这两条曲线的弧程之和。

最后，如果满足上述三个条件，我们就可以证明单叶双曲面同族的直母线异面。

证明过程也很简单，我们只需要将两个曲线进行变换，使它们满足以上三个条件，得出单叶双曲面同族的直母线异面。

总而言之，证明单叶双曲面同族的直母线异面并不难，只需要满足以上三个条件，即可得出最终的结论。

双曲抛物面的直母线方程1. 引言说起数学，很多人第一反应就是头疼，仿佛那是一道无法翻越的高山。

可今天咱们聊聊双曲抛物面的直母线方程，听起来有点高大上，但其实并不复杂。

就像咱们喝水，简单直接，照样能解渴。

那什么是双曲抛物面呢？简单来说，它就像个凹下去的碗，有点像你那被摔坏了的陶瓷碗，虽然破了，但依然很有形状。

而直母线，就是那条在这凹面上跑的线，仿佛在滑冰的溜冰者，游刃有余。

2. 双曲抛物面初探2.1 形状的魅力想象一下，双曲抛物面就像你在游乐场看到的那种大滑梯。

它的形状既优雅又神秘，就像一个弯曲的马鞍，既可以往下滑，也可以往上看。

在数学的世界里，这种形状可是非常特别的。

它不仅仅是个曲面，还是一种用方程描述的曲面，常常让人感到意外。

2.2 直母线的来历接下来，我们来聊聊直母线。

它就像那种一直陪着你的好朋友，虽然看似简单，但却是理解双曲抛物面的关键。

直母线就像是一根在双曲抛物面上随意游走的“筋骨”，连接着各种点。

它帮助我们理解曲面上的点与点之间的关系，简直就是不可或缺的“粘合剂”。

3. 方程的奥秘3.1 直母线方程好吧，言归正传，直母线的方程到底是什么呢？其实它的方程相对简单，一般来说可以用类似于 ( z = frac{x^2{a^2 frac{y^2{b^2 ) 这样的形式来表示。

乍一看，似乎有点复杂，但我们可以把它想象成一张网，网中每一个点都能反映出双曲抛物面的特征。

用简单的语言来说，这个方程就是在说，“嘿，我的z坐标是由x和y的平方计算出来的”，好像在和我们打招呼。

3.2 形象的比喻你可以把这看作是一位厨师在调配食材，z是成品，x和y就是那些新鲜的食材。

在这个方程中，x和y的变化直接影响到最终的z，就像你多放点盐，菜就咸了，多加点糖，甜度直线上升。

就这样，直母线在双曲抛物面上游走，展示着不同的风采。

数学，就像一首交响乐，虽然各部分看似孤立，但合在一起时却和谐动听。

4. 应用场景4.1 生活中的数学那么，双曲抛物面和直母线方程到底有什么用呢？你可能会问。

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 22000000 而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x§ 4.2锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。

解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共17种，在这17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。

下面介绍一下直纹面。

定义：一曲面S 称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在S 上；并且S 上的每一个点都在这一族的某条直线上。

这样一族直线称为S 的一族直母线。

简单的说：由一族直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。

种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的二次曲面就不是直纹面了。

证明：○1、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为：()()22222222222212211211111121,0x y z x z y a b c a c bx z x z y y a c a c b b x z y a c b x z y a c b λλλλλλ+-=⇔-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩………………不全为。

()()()121212112111011010x z x z y y a c a c b b x z y a c b y x z b a c x z y a c b y x z b a c x z a c λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔-⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛+ ⎝⇔以，为未知量的方程组：有非零解。

存在不全为零的，使得22111y b x z y a c b λλλ⎧⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩成立。

习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得(1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，又2()dt t udu vdv =-+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=--+ 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=----+ 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v=+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫---= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v-=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c +-=和双曲抛物面22222x y z a b=-作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ∀∈R .由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈⨯R .(2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z u v =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+- (,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈R .p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R -=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)所以()//u v r a r r -⨯，从而u v r a r r λ-=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ-=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a -=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫-⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂. 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=--. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来；(2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角.(1) 解. C 的参数方程为()()),sin(2),),1t tt t r e e et e ==.C 的切向量为()()cos(),1),0(2,)(2,).t t tttu v r e t e e r t e '=+-=+(2) 证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)sin(2),cos(2),0t t u r t e e t t =-，()(2,)cos(2),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以2221cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)4u r r π'∠=； 21cos (,)222t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+，2u t ut =-，2v t vt =-， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++，222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=， ()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++， 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP -+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =-，22::u v B A δδ=-. (4) 这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18))12121212()0E B B F B A A B G A A ⇔-++= (由(4)式) 20ER FQ GP ⇔-+=. (由(3)式) □ 8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积.解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =-；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅-∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a -+，或221arccos 1a a -+.(2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a -.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===. 在B 点220du avdv adv =-=->，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===所以0O ∠=，arccos 2/3A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为12()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a -===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =-，3:1C v =，故112712260()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，/23/2()a C a L C du a -===⎰⎰.(3) 因为d σ=，所以曲边三角形的面积112avAOBA d σ∆-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(12200l n avu a a dv ⎡=+⎢⎣⎰(120l n a v d v⎡=+⎢⎣⎰(()(13/222213ln 1ln 1.a v v v a ⎡⎤⎡=+-+=++⎢⎥⎣⎣⎦ p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+，t R α=可得它的第一基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. (1)直母线(即t -曲线)0s δ=的正交轨线的微分方程为0ds dt +=，即()0d s t +=. 为此，作参数变换u s =，v s t =+. 则逆变换为s u =，t v u =-，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-，(,)()v R u v u α=. 第一基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u =，t v u =-直接代入(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+. 3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线，其中0k >是常数.解. (sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---，(cos ,sin ,0)v r u u =. 第一基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv +=，即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分方程：222kdv du d v k ===+， 得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =-+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+. p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯R与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯R之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=-+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =-++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=-≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ===，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □ p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =-.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v --==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+.于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+.由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠--，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l tl f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===. 取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=-=-+--- ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==-=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=-+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=--是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠-+，所以1S 不是可展曲面.同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠-可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □。

二次曲面的直纹性一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。

注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。

试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。

二 单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6） 也表示直线。

显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。

再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4） 当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4） 当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。

同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

单叶双曲面与双曲抛物面的直母线DOI : 10. 13853 /j . cnki . i ssn. 1672 -3708. 2000. 06. 006 第年(X X 月卷第6期1o) 台州师专2 学报l f o a 侧T ll 2 u 知山2l o、N6 eO .l力a(U g J nee.e XX (e单叶双曲面与双曲抛物面的直母线董大伦台州师( 范专科学校数学系浙江临海,’31 7 仪旧: 摘要对单叶双曲面与双曲抛物而的直母线的一些性质作进一步的探讨得到儿个结果,。

关键词: 单叶双曲而; 双曲抛物而; 直母线中图分类号:8 2 1文献标识码:A文章编号:!7 o一7 5 l( l2 仪刃)肠一仪犯0一。

: 文【] 给出了单叶双曲面与双曲抛物面的直母线如下性质l单叶双曲面或双曲抛物面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线的交点必共面而且双曲抛物面的这些公垂线是一族共面的平行线本文沿用【] 中的记号及名称对直母线性质进一步深人探讨l, 。

,。

命题1单叶双曲面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线。

的交点轨迹是椭圆( 或圆): 证明设单叶双曲面的方程为护一十乒护一护止一一“(l)由〔l] 知直母线心. 护L X..1二e口二~,.下、+盯J , `“ 0 、了、`尹万`,=u o kl +下U b):l “ 0、丁“三、=ez1 _’工’向其同族其他直母线e r L lw 一X 住:.了/,.、+吸、乙矛Z 护了、.一 C一=u又l +下OuU笋u o( 兰u三)=I _土b所引公垂线的交点在平面加( 。

2 62e Z a Z+62。

2 一。

’。

, )( 吕。

一x)二+Za caZ占2+。

2`夕一占2 。

,)。

少+吞(。

2 占2+吞2 。

, ++ )( 孟ul):=o(2 )上。

为方便我们将方程( 2 ) 简记作Z二。

,众a 2a 2+B丫Z + +(3 )Z。

单叶双曲面的直母线的性质
单叶双曲面的直母线，被广泛用作几何学上形状最核心的概念，在平面几何学中，用于表示复杂的曲线以及许多其他形状。

它被认为是三维空间中表面曲率最大的曲线，其中最重要的曲率有两个，一个是曲率系数，另一个是角度系数。

因此，它在几何学中被认为是一种特殊的曲线，具有它独特的性质。

单叶双曲面的直母线的形状由一个曲面的曲率决定，它的几何形状与它的曲率密切相关，是这个曲面上变形最小的子曲线。

该曲线本身就是一个局部结构，形状取决于曲面整体结构和曲面的曲率分布，并且每一个点处的曲率值都会发生变化，但它们在一定范围内也具有一定的相似性，能够表现出特定的形状特征。

单叶双曲面的直母线具有它独特的性质，它的母点（转折或半径点）是边缘上最大曲率值的点，它是一个与圆轴垂直的半径向量，并且球面线性曲率表示为等距射线取曲面上每个点处的曲率值，它与曲率比直接相关，这使得它可以方便地用来建立诸如应力和应变分布等几何参数。

单叶双曲面的直母线被广泛应用于决定复杂表面的曲率，也可以用作分析曲面的变形情况，同时也用于做计算几何的连接线，而且用于定义几何形状和构建复杂表面。

它的应用范围很广，不仅可以应用于实际制造，例如汽车制造中，还可以用于推理和几何学等理论研究，以提升精密制造的技术水平。

总之，单叶双曲面的直母线是一种具有巨大运用可能的特殊曲线，可以用来表示曲面的曲率和角度系数，并可以应用于实际制造和推理几何学研究，作为精密制造技术发展的主要基础。

§4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一.直纹曲面的概念:直纹曲面的概念:由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面.直母线的概念:,构成直纹曲面的那族直线叫做这曲面的一族直母线.显然,柱面和锥面都是直纹曲面.二.单叶双曲面的直母线定理 单叶双曲面Σ 1222222=−+c z b y a x 是直纹曲面,它有两族直母线u 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()(1()(1221b yu c z a x u b yu c z a x u l u 其中21,u u不全为零.v 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v c z a x v b yv c za x v l v 其中21,vv不全为零.证明:由单叶双曲面方程 1222222=−+c z b y a x 得 2222221b y c z a x −=− 有 )1)(1())((b yb yc za xc za x+−=+− 设 21:)1(:)()(:)1(u u b yc za x c z a xb y =−−=++ 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()()1()(1221b y uc za xu b yu c z a x u l u 其中21,u u 不全为零.对于21,u u 一组确定的值,u l 表示一条直线,当21,u u 变化取不同的值时, u l 就确定了一族直线.下证直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.设点),,(1111z y x P 是满足u l 的点,则⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()()1()(1111212111by u c z a x u b y u c z a x u )1()(2212122122121by u u c z a x u u −=− 所以 1221221221=−+cz b y a x 因此,满足u l 方程的点在曲面Σ上,所以直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.再证点),,(0000z y x P 是单叶双曲面Σ上的任一点,则1220220220=−+c z b y a x 有 )1)(1())((000000by b y c z a x c z a x +−=+− 不妨设010≠+by (因为b y 01+与b y 01−不可能同时为零,否则有b y =0和b y −=0,所以0=b ,这与0>b 矛盾) ①若000≠+cz a x ,取21,u u ′′使得 )1()(02001by u c z a x u +′=+′ 则有 )1()(01002by u c z a x u −′=−′ 所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线u l ′上 ②若000=+c z a x ,则010=−by 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+010000b y c z a x所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线上.因此曲面Σ上的任一点在直线族u l 中的某一条直线上.这就证明了曲面Σ由直线族u l 构成,因此单叶双曲面Σ是直纹曲面,而u l 是曲面的一族直母线,称为u 族直母线 同理可设 21:)(:)1()1(:)(v v cz a x b y b y c z a x =+−=+− 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v cz a x v b y v c z a x v l v 其中21,v v 不全为零. 定理:单叶双曲面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.推论:对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.三.双曲抛物面的直母线定理 双曲抛物面Σz by a x 22222=−是直纹曲面,它有两族直母线为 u 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z b y a x u u b y a x l u )(2; v 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z by a x v v b y a x l v )(2 证明 由z by a x 22222=−得,z b y a x b y a x ⋅=−+2))((, 设 u by a x z b y a x =−=+)(:2:)( 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z by a x u ub y a x l u )(2 同理可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z by a x v vb y a x l v )(2 定理:双曲抛物面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.推论:对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.四.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的性质1.单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.2.单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面.。

解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共 17种，在这 17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都 是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。

下面介绍一下直 纹面。

定义：一曲面S 称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中 的每一条直线全在S 上；并且S 上的每一个点都在这一族的某条直线 上。

这样一族直线称为S 的一族直母线。

简单的说：由一族直线构成 的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。

种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的二次曲面就不是直纹面了。

证明：2 2l_z_ 胡 .2 2b c ①、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为: 2 x "2 a X Z x Z a c a cyb 」2],'2不全为0。

2 2 2 ‘ x z , y 1 2 ~~ =1 2 a c bM Xo,yo,Zo 单叶双曲面=Xo,yo,Zo 满足方程（1）满足方程（3）二M x o ，y o ，z o 在直线族（3）的某条直线 上，所以单叶双曲面（1）由直线族（3）构成。

综上我们可知单叶双曲面为直纹面。

(a c 人a c 丿V b 人b 丿 11" a c b 匚 y ) fx b Z la c 」 =0 (一丸 2 )= o / 、 有非零解。

1 X —z](—入2 )=0 l a C 丿 以m 为未知量的方程组：’ 二 K b 丿 '（x z ） i y 打 _ + _ （=扎2 1 + '3 c 丿成立。

卜讣） c b 存在不全为零的、，匕使得 l x （x z] \扎2 _ _ _ a c 设：M （X o ’y o ’Z o ）匸单叶双曲面二（X o ,y0,Z 0 ）满足方程（1） 二 ，y 0，Z 0 满足方程（2） = M x o ，y o ，z o -在直线族（2）的某条直线 上，所以单叶双曲面（1）由直线族（2）构成。