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单叶双曲面与双曲抛物面的教法
椭球-椭圆
双曲面-抛物面
(1) 双曲面：
1）定义：双曲面是单叶双曲面的特殊情况，由特定的二次多项式表示，它在三维空间中是一个曲面，它有二维和一维空间投影，它可以被椭
圆曲线拟合。
双曲面的特点是其曲率固定，且四条边界是正交的。
2）参数方程：双曲面的参数方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都
大于零。
3）特征：双曲面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和
$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
(2) 双曲抛物面：
1）定义：双曲抛物面是由特定的一次多项式表示的抛物面，在三维空
间构成一个双曲面，它与椭球有着类似的几何结构，双曲抛物面的特
点是它的抛物度恒定，边界曲线与xy平面的交点为椭圆。
2）参数方程：双曲抛物面的参数方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都大于零。
3）特征：双曲抛物面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和$\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$。
二次曲面的直纹性一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。
注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。
二 单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6） 也表示直线。
显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。
再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4） 当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4） 当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。
同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线DOI : 10. 13853 /j . cnki . i ssn. 1672 -3708. 2000. 06. 006 第年(X X 月卷第6期1o) 台州师专2 学报l f o a 侧T ll 2 u 知山2l o、N6 eO .l力a(U g J nee.e XX (e单叶双曲面与双曲抛物面的直母线董大伦台州师( 范专科学校数学系浙江临海,’31 7 仪旧: 摘要对单叶双曲面与双曲抛物而的直母线的一些性质作进一步的探讨得到儿个结果,。
关键词: 单叶双曲而; 双曲抛物而; 直母线中图分类号:8 2 1文献标识码:A文章编号:!7 o一7 5 l( l2 仪刃)肠一仪犯0一。
: 文【] 给出了单叶双曲面与双曲抛物面的直母线如下性质l单叶双曲面或双曲抛物面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线的交点必共面而且双曲抛物面的这些公垂线是一族共面的平行线本文沿用【] 中的记号及名称对直母线性质进一步深人探讨l, 。
,。
命题1单叶双曲面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线。
的交点轨迹是椭圆( 或圆): 证明设单叶双曲面的方程为护一十乒护一护止一一“(l)由〔l] 知直母线心. 护L X..1二e口二~,.下、+盯J , `“ 0 、了、`尹万`,=u o kl +下U b):l “ 0、丁“三、=ez1 _’工’向其同族其他直母线e r L lw 一X 住:.了/,.、+吸、乙矛Z 护了、.一 C一=u又l +下OuU笋u o( 兰u三)=I _土b所引公垂线的交点在平面加( 。
2 62e Z a Z+62。
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一x)二+Za caZ占2+。
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少+吞(。
2 占2+吞2 。
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为方便我们将方程( 2 ) 简记作Z二。
,众a 2a 2+B丫Z + +(3 )Z。
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
