椭球面单叶双曲面和双叶双曲面椭圆抛物面和双曲抛物面圆柱螺线共22页文档

主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z by a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 5）椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x6） 抛物柱面：ay x =2（二） 平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000CB A DCz By Ax d +++++=（三） 空间直线及其方程1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x 3、两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L pC nB mA ==第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000003、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。

单叶和双叶双曲面方程
一、引言
单叶和双叶双曲面是常见的曲面，它们在数学、物理等领域中都有广
泛的应用。

在本文中，我们将介绍单叶和双叶双曲面的方程及其性质。

二、单叶双曲面
1. 定义
单叶双曲面是一种具有对称轴的曲面，其形状类似于一个打开的抛物线。

它可以由以下方程表示：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) - (z^2/c^2) = 1
其中，a、b、c为正实数。

2. 性质
（1）对称轴：单叶双曲面有两个互相垂直的对称轴，分别与x轴和y 轴重合。

（2）渐近线：单叶双曲面有四条渐近线，分别为x=±a和y=±b。

（3）截痕：单叶双曲面与平面交线为椭圆或超越函数。

三、双叶双曲面
1. 定义
双叶双曲面是一种没有对称轴的曲面，其形状类似于两个相互交错的
抛物线。

它可以由以下方程表示：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) - (z^2/c^2) = -1
其中，a、b、c为正实数。

2. 性质
（1）渐近线：双叶双曲面有四条渐近线，分别为x=±a和y=±b。

（2）截痕：双叶双曲面与平面交线为两个相交的椭圆或超越函数。

（3）曲率：在任何一点处，双叶双曲面的主曲率半径相等，即具有恒定的高斯曲率。

四、总结
单叶和双叶双曲面是常见的曲面，它们在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

单叶和双叶双曲面的方程及其性质不仅可以帮助我们更好地理解这些曲面，还可以应用于相关问题的求解。

椭球面 双曲面 抛物面§7.9 二次曲面三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。

相应地，将平面叫做一次曲面。

一般的三元方程F x y z (,,)=0所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，那未怎样了解它的形状呢?利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。

下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。

一、椭球面由方程x a y b z c 2222221++=(1)所表示的曲面叫做椭球面。

1、由(1)可知： 这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为 其中常数 a b c ,,叫做椭球面的半轴。

2、为了进一步了解这一曲面的形状， 先求出它与三个坐标面的交线 这些交线都是椭圆。

3、用平行于xoy 坐标面的平面z z z c =≤11()去截椭球面，其截痕(即交线)为这是位于平面 z z =1内的椭圆，它的两个半轴分别等于 a c c z 212-与b c c z 212-，其椭圆中心均在z 轴上，当z 1由0渐增大到c 时， 椭圆的截面由大到小，最后缩成一点。

4、以平面 y y y b =≤11()或 x x x a =≤11()去截椭球面分别可得与上述类似的结果。

综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。

5、特别地，若a b =，而a c ≠，则 (1) 变为这一曲面是xoz 坐标面上的椭圆 x a z c 22221+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，因此，称此曲面为旋转椭球面。

它与一般椭球面不同之处在于 如用平面z z z c =≤11()与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在z 轴上的圆 其半径为a c c z 212-。

6、若 a b c ==，那未(1)变成这是球心在原点，半径为a 的球面。

二、抛物面由方程x p y q z p q 2222+=()与同号(2) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。

一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。

1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。

1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。

1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。

)。