一次函数与四边形综合练习题

一次函数与四边形面积问题例题摘要：一、一次函数与四边形面积问题简介1.一次函数的定义和性质2.四边形面积问题的常见类型二、一次函数与四边形面积问题的解题方法1.利用一次函数性质解四边形面积问题2.利用四边形面积公式解一次函数问题3.一次函数与四边形面积问题的综合解法三、一次函数与四边形面积问题的例题解析1.例题一：利用一次函数性质解四边形面积问题2.例题二：利用四边形面积公式解一次函数问题3.例题三：一次函数与四边形面积问题的综合解法四、总结与展望1.一次函数与四边形面积问题的解题技巧总结2.提高解题能力的建议和展望正文：一次函数与四边形面积问题是数学中常见的题目类型，涉及到函数、几何等多个知识点，具有一定的难度。

本文将对一次函数与四边形面积问题进行详细的解析，并提供解题方法和例题解析。

一、一次函数与四边形面积问题简介一次函数是数学中一种基本的函数类型，通常表示为y = kx + b 的形式，其中k 和b 是常数。

四边形面积问题是几何中的常见问题，涉及到四边形的面积计算。

一次函数与四边形面积问题就是将这两者结合起来，需要运用一次函数的性质和四边形面积公式进行求解。

二、一次函数与四边形面积问题的解题方法1.利用一次函数性质解四边形面积问题在解决一次函数与四边形面积问题时，可以先根据题目条件求出一次函数的解析式，然后利用一次函数的性质，如函数图像的斜率、截距等，推导出四边形的面积。

2.利用四边形面积公式解一次函数问题在解决一次函数与四边形面积问题时，也可以先根据题目条件求出四边形的面积，然后利用四边形面积公式，结合一次函数的性质，求解一次函数问题。

3.一次函数与四边形面积问题的综合解法在解决一次函数与四边形面积问题时，还可以综合运用以上两种方法，相互验证，提高解题的准确性和效率。

三、一次函数与四边形面积问题的例题解析1.例题一：利用一次函数性质解四边形面积问题已知一次函数y = 2x + 3 与四边形ABCD 的边分别相交于点A、B、C、D，其中AB = 4，BC = 5，求四边形ABCD 的面积。

二次根式勾股定理四边形与一次函数综合测试题（一）一、选择题： ( 每题 3 分 , 共 36 分 )1、使代数式 有意义的 x 的取值范围是（ ）A ．x ≥0B．C．x ≥0且D．一切实数2、下列等式一定成立的是（）A ． B．C ．D ．=93、若 与 |x ﹣ y ﹣3| 互为相反数，则 x+y 的值为（ ）A ． 3B． 9C． 12 D． 274、若三角形三个内角的度数比为 1:2:3 ，则此三角形的三个内角的对边长度的比为()A.1:2:3B.3:2:1C.1： 3 ： 2D.1:4:922（ ）5、若 △ ABC 的三边长分别为 m －1,2m, m +1(m>1) ，那么A. △ ABC 为直角三角形，且斜边长为 2B. △ ABC 为直角三角形，且斜边长为2mm -1C. △ ABC 为直角三角形，且斜边长为 2D. △ABC 不是直角三角形。

m +1 6、已知：如图在 △ABC ，△ ADE 中， ∠ BAC= ∠ DAE=90 °， AB=AC ，AD=AE ，点 C ， D ， E 三点在同一条直线上，连接 BD ，BE ．以下四个结论： ① BD=CE ； ② BD ⊥ CE ； ③ ∠ACE+ ∠DBC=45 °；④ BE 2=2（ AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 7、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A ．对角线相等且互相平分 ;B ．对角线相等且互相垂直平分C ．对角线互相平分D ．四条边相等，四个角相等8、如图， E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 的四边中点，要使四边形 EFGH 是菱形，四边形 ABCD 应具备的条件是（ ）A. 只有一组对边平行B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直。

9、如图，在 △ ABC 中， D,E,F 分别是三边中点，下列说法中，不正确的是（）1B. 图中有三个平行四边形A.DE ∥ AC ，且 DE = AC21 C.若 S △DEF ＝ 1 ，则 S △ ABC ＝ 4 D. 若 △ DEF 的周长为 L ，则 △ ABC 的周长为L410、下列函数中， y 随 x 的增大而减少的函数是（ ）A ． y=2x+8B ． y= ﹣ 2+4xC ．y= ﹣ 2x+8D ． y=4x11、一条直线 y=kx+b ，其中 k+b= ﹣ 5、 kb=6 ，那么该直线经过（）A ．第二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三象限D ．第二、三、四象限12、把直线 y= ﹣ x+3 向上平移 m 个单位后， 与直线 y=2x+4 的交点在第一象限， 则 m 的取值范围是 （）A ． 1＜m ＜ 7B ． 3＜ m ＜ 4C ．m ＞ 1D ． m ＜ 4AAHDEGDFBFCBEC6 题图 8题图9题图二、填空题 : ( 每题 3 分 , 共 15 分 ) 13、计算：=_________ 。

专题12一次函数与几何图形综合题 （与三角形、与平行四边形、最值问题）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB 的顶点O(0，0)，顶点A ，B 分别在第一、四象限，且AB ⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A 的坐标是（ ）A ．(5,4)B ．(3,4)C ．(5,3)D ．(4,3)2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A 的坐标是_____．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC 中，∠B ＝36°，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →C 匀速运动至点C 停止．若点P 的运动速度为1cm/s ，设点P 的运动时间为t （s ），AP 的长度为y （cm ），y 与t 的函数图象如图2所示．当AP 恰好平分∠BAC 时，t 的值为________．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________； (2)请在图中画出A B C '''．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为3CODE 向右平移的距离为___________．9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(73,0)-，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ． （1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ． ①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是 ②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；D BC 8,BC cm =A BC C //CF BD DA F DCF ∆BD ()1D BC ,,BD CDFD D BC 5.0BD cm =a CF将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．()2BD x CD ,FD x CD y FD y xOy FD y CD y ()3DCF ∆BD11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长； （3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．xOy ABC ∆BC x 8BC =A y 2OA =E (3,0)CB OB F C CB O E F EF EFGH EFGH ABC ∆BC t 0t ≥H AC t EFGH ABC ∆S t 9136S =t AC D OD E F M O 5OD DC CD DO ---O E M EFGH M EFGH13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点A ，与轴的负半轴交于点B ， ，过点A 作轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为，过点C 作轴，垂足为．（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点N 在线段上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交轴于点H ，连接EH ，若，求点P 的坐标．类型二与平行四边形有关O AB x y OA OB =x 34y x =CM y ⊥,9M OM =AB MC PD x ⊥NC OM =PEODx x ,2DHE DPH GQ FG ∠=∠-=14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（ ）A 3B ．3C ．33D ．4316.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线于点C ．若C 是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C ，求k 的值； （3）在（2）的条件下，过点C 作，垂足为D ，点M 在直线上，点N在直线AB OA 27180x x --=12OB OA=EF AB EF 6OE =ky x=CD OE ⊥AB CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为( )A ．55B 5C ．523D ．5518.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式0021kx y bd k -+=+C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C上的动点，则PQ 的最小值是（ ）A 35B 351-C 651D ．219.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)A B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为________．20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是⊙O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线y =34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则△CDE 面积的最小值为 ．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】222.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦（分别为点A ，B的对应xOy A B '',A B ''点），线段长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线AB 到⊙O 的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点A 的坐标为，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为，直接写出的取值范围．AA '12PP 34P P 1234,,,P P P P 33y x =+1d 1d 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2d 2d。

一次函数与平行四边形综合1.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA-8|+(OB-6)²=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E。

1）求线段AB的长；2）求直线CE的解析式；3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解答】1）由已知得OA=8，OB=6，且AB为直角三角形的斜边，因此AB=sqrt(8²+6²)=10.2）设直线CE的解析式为y=kx+b，由图可知C的坐标为(8/2.6/2)=(4,3)，D的坐标为(8,0)，因此CD的斜率为-3/4，即k=-3/4.又因为直线CE过点C，因此代入可得3=-3/4×4+b，解得b=6，因此直线CE的解析式为y=-3/4x+6.3）若以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形，则AB平行于MP且AM垂直于AB。

由于AB在第四象限，因此M在BC的延长线上。

设M的坐标为(x。

-3x/4)，则P的坐标为(2x-8.-3x/4)，根据矩形的性质可得AM·MP=AB²，即(x+8)(2x-8)=100.化简得x²-6x+4=0，解得x=3±sqrt(5)。

因此存在两个点使得以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形，它们的坐标分别为(3+sqrt(5)。

-9/4)和(3-sqrt(5)。

-9/4)。

二．解答题（共3小题）2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x²-6x+8=0的两个根，且OC＞BC。

1）求直线BD的解析式；2）求△OFH的面积；3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

一次函数与反比例函数的综合四边形1，如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点.（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；（3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 2，看图说故事。

请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系式，要求：①指出x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量3，如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA=．（1）求边AB 的长；（2）求反比例函数的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ，求线段OG 的长．4．如图5，双曲线)0(>=k xky 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．5，如图9，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)的位置随b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b = 时，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)经过圆心M ： 当b = 时，直线l ：y = －2x +b (b ≥0)与OM 相切：(2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、BC 6，O )、C (6，2). 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，6，如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、B （0，1）、C （d ，2）。

一次函数与平四学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．周末，小明骑自行车从家里出发去游玩．从家出发1小时后到达迪诺水镇，游玩一段时间后按原速前往万达广场．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往万达广场．妈妈出发25分钟时，恰好在万达广场门口追上小明．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，则下列说法中正确的是（）A．小明在迪诺水镇游玩1h后，经过512h到达万达广场B．小明的速度是20km/h，妈妈的速度是60km/h C．万达广场离小明家26kmD．点C的坐标为（2912，25）【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，小明在迪诺水镇游玩1h后，经过25501-2160604h⎛⎫-=⎪⎝⎭到达万达广场，故选项A错误；小明的速度为20÷1＝20（km/h），妈妈的速度是（20＋20×14）÷2560＝60（km/h），故选项B正确；万达广场离小明家20＋20×14＝20＋5＝25（km），故选项C错误；点C的坐标为（94，25），故选项D错误；【点睛】本题考查函数图像，掌握函数图像的特征，仔细阅读图像，从中找到需要的信息是解题关键．2．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．22y x =+D ．22y x =-【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y =2x -3向右平移2个单位后所得函数解析式为y =2(x -2)-3=2x -7，由“上加下减”原则可知，将直线y =2x -7向上平移3个单位后所得函数解析式为 y =2x -7+3=2x -4，故选A ．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 3．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCDB ．AB ＝BC C ．AB ＝CD ，AD ＝BCD ．∠DAB +∠BCD ＝180°【答案】D【解析】【分析】 首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．解:四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形ABCD 中，∆∆=ABC ACD S S ，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确；AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确；如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确．故选D ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．4．点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式3a b -的值等于（ ）A ．5B ．3C ．2-D ．1-【答案】C【解析】【分析】把点P 的坐标代入一次函数解析式，得出3a −b ＝−2，即可．【详解】解：∵点P （a ，b ）在函数y ＝3x ＋2的图象上，∴b ＝3a ＋2，则3a −b ＝−2．故选：C ．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式．5．正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y=x-k 的图像大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大，得0k >；在结合一次函数y=x-k 的性质分析，即可得到答案．【详解】∵正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大∴0k >∴当0x =时，一次函数0y x k k =-=-<∵一次函数y=x-k 的函数值y 随x 的增大而增大∴选项B 图像正确故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、正比例函数的性质，从而完成求解．6．如图，在▱ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD =8，BE =3，则▱ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．14C ．26D ．24【答案】C【解析】【分析】由AD ∥BC 可知∠ADE =∠DEC ，根据∠ADE =∠EDC 得∠DEC =∠EDC ，所以DC =EC =5，根据AB =CD ，AD =BC 即可求出周长．【详解】∵AD ∥BC ，∴∠ADE =∠DEC ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE =∠EDC ，∴CE =CD =8-3=5，∴▱ABCD 的周长是（8+5）⨯2=26，故选C ．【点睛】本题考查平行四边形性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．7．若直线1l 经过点()0,4，2l 经过点()3,2，且1l 与2l 关于x 轴对称，则1l 与2l 的交点坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()2,0C ．()6,0-D ．()6,0 【答案】B【解析】【分析】设1l 的解析式为y kx b =+，根据两直线关于x 轴对称，则它们图象上的点也关于x 轴对称，利用待定系数法求出直线解析式，再求出交点坐标．【详解】解：设1l 的解析式为y kx b =+，∵直线1l 经过点()0,4，2l 经过点()3,2，且1l 与2l 关于x 轴对称，∴两条直线的交点在x 轴上且直线1l 经过点()3,2-，2l 经过点()0,4-，把点()0,4和()3,2-代入直线1l 的解析式y kx b =+中，则4342b k =⎧⎨+=-⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩， 故直线1l 的解析式为24y x =-+，∵1l 与2l 的交点坐标为1l ，2l 与x 轴的交点，∴当0y =时，2x =，即1l 与2l 的交点坐标为()2,0．故选B ．【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握两直线交点坐标的求解方法，以及理解它们的对称关系．8．已知一次函数y=﹣2x +3，当0≤x ≤5时，函数y 的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．﹣3D ．﹣7【答案】B【解析】【详解】【分析】由于一次函数y=-2x+3中k=-2＜0由此可以确定y 随x 的变化而变化的情况，即确定函数的增减性，然后利用解析式即可求出自变量在0≤x≤5范围内函数值的最大值．【详解】∵一次函数y=﹣2x+3中k=﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴在0≤x≤5范围内，x=0时，函数值最大﹣2×0+3=3，故选B ．【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b 的图象的性质：①k ＞0，y 随x 的增大而增大；②k ＜0，y 随x 的增大而减小．二、填空题9．正比例函数(0)y kx k =≠经过点(1,3)，则k =__________．【答案】3【解析】【分析】把(1,3)代入(0)y kx k =≠，利用待定系数法求解k 即可得到答案．【详解】解：把(1,3)代入(0)y kx k =≠，3,k ∴=故答案为：3.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ．则BD ＝_____．【答案】13【解析】【分析】由BC ⊥AC ，AB ＝10，BC ＝AD ＝6，由勾股定理求得AC 的长，得出OA 长，然后由勾股定理求得OB 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝6，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵AC ⊥BC ，∴AC 22AB BC -8，∴OC ＝4，∴OB 22OC BC +13∴BD ＝2OB ＝13故答案为：413【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．如图，在ABC∆中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中BC=，则CD的长为_________．点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若4【答案】2【解析】【分析】BC=2，MN//BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），依据三角形中位线定理，即可得到MN=12即可得到CD=MN=2．【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，BC=2，MN∥BC，∴MN=12∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD=MN=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．12．小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是_____．（填序号）【答案】④【解析】【分析】根据题意小明是在上学的路上，可得离学校的距离越来越近，根据开始是步行，可得距离变化慢，后来是坐车，可得距离变化快，根据速度和距离的变化情况即可解题．【详解】①距离越来越远，选项错误；②距离越来越近，但是速度前后变化快慢一样，选项错误；③距离越来越远，选项错误；④距离越来越近，且速度是先变化慢，后变化快，选项正确；故答案为：④．【点睛】本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)A B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x 轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为________．【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B 关于x 轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x 轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC 最小时的情形．14．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____．【答案】18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题15．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD ∥BC ，OA =OC ，继而可利用ASA 判定△AOE ≌△COF ，继而证得OE =OF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠OAE =∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE =OF ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点E F 、，点E 的坐标为（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0），点()P x y ，是第二象限内的直线上的一个动点，（1）求k 的值；（2）在点P 的运动过程中，写出OPA ∆的面积S 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，OPA ∆的面积为278，并说明理由．【答案】（1）k=34；（2）S=94x+18（-8＜x＜0）；（3）当P运动到139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA∆的面积为278．【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把E点坐标代入y=kx+6即可计算出k的值；（2）由于P点在直线y=34x+6，则可设P点坐标为（x，34x+6），根据三角形面积公式得到S与x的关系式，结合点P的位置即可写出自变量x的取值范围；（3）将S=278代入（2）中的解析式，解方程求得x的值，继而求得P点坐标即可．【详解】（1）把E（-8，0）代入y=kx+6得-8k+6=0，解得k=34；（2）∵点A的坐标为（﹣6，0），∴OA=6，∵直线EF的解析式为y=34x+6，点()P x y，是第二象限内的直线EF上的一个动点，∴设P点坐标为（x，34x+6），∴S=12×6（34x+6）=94x+18（-8＜x＜0）；（3）当S=278时，则94x+18=278，解得x=-132，所以y=313642⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭=98，所以点P坐标为139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭，即当P运动到139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA∆的面积为278．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，正确理解题意，弄清各量间的关系是解题的关键．17．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）【答案】（1）甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元；（2）共有如下三种方案：方案1、A产品22个，B产品38个，方案2、A产品21个，B产品39个，方案3、A 产品20个，B产品40个；（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．【解析】【分析】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据题意列出方程，解方程即可；（2）设生产B产品a件，生产A产品(60)a-件．根据题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果；（3）设生产成本为W元，根据题意得出W是a的一次函数，即可得出结果．【详解】解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意得：6023155x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2535xy=⎧⎨=⎩；答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．（2）设生产B产品a件，生产A产品(60)a-件．依题意得：(254351)(60)(253353)9900 38a aa⨯+⨯-+⨯+⨯⎧⎨⎩解得：3840a；a的值为非负整数，∴a=38、39、40；答：共有如下三种方案：方案1、A产品22个，B产品38个，方案2、A产品21个，B产品39个，方案3、A产品20个，B产品40个；（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．理由如下：设生产成本为W元，则W与a的关系式为：=⨯+⨯+-+⨯+⨯+=+，(25435140)(60)(35325350)5510500W a a a即W是a的一次函数，550k=>，∴随a增大而增大，W∴当38a=时，总成本最低；即生产A产品22件，B产品38件成本最低．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用；根据题意中的数量关系列出方程组、不等式组、一次函数关系式是解决问题的关键．18．剧院举行新年专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别表示这两种方案；（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．【答案】（1）y1＝5x＋60；y2＝4.5x＋72；（2）当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；4≤x＜24时，优惠方案1付款较少；x＞24时，优惠方案2付款较少【解析】【分析】（1）首先根据优惠方案①：付款总金额＝购买成人票金额＋除去4人后的学生票金额；优惠方案②：付款总金额＝（购买成人票金额＋购买学生票金额）×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论．【详解】（1）按优惠方案1可得：y1＝20×4＋（x－4）×5＝5x＋60，按优惠方案2可得：y2＝（5x＋20×4）×90%＝4.5x＋72，（2）y1－y2＝0.5x－12（x≥4），①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x＝24，∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；②当y1－y2＜0时，得0.5x－12＜0，解得x＜24，∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案1付款较少．③当y1－y2＞0时，得0.5x－12＞0，解得x＞24，∴当x＞24时，y1＞y2，优惠方案2付款较少．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．19．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上．甲、乙两人从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示．(1)分别求出甲、乙两人步行的速度；(2)分别求出甲从景点A出发步行到景点C和乙乘观光车时y与时间x之间的函数关系式；(3)问乙出发多长时间与甲在途中相遇．【答案】(1)60米/分，80米/分(2)y=60x（0≤x≤90），y=300x-6000（20≤x≤30）(3)乙出发5分钟或30分钟时与甲在途中相遇【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两人步行的速度；（2）根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲从景点A出发步行到景点C和乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式；（3）根据题意和（2）中的关系式，可以得到乙出发多长时间与甲在途中相遇．【小题1】解：由图象可得，甲步行的速度为：5400÷90=60（米/分），乙步行的速度为：（5400-3000）÷（90-60）=80（米/分），即甲、乙两人步行的速度分别为60米/分，80米/分；【小题2】设甲从景点A 出发步行到景点C 时y 与x 之间的函数关系式为y =kx ，5400=90k ，解得k =60，即甲从景点A 出发步行到景点C 时y 与x 之间的函数关系式为y =60x （0≤x ≤90）， 设乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式y =ax +b ，200303000a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：3006000a b =⎧⎨=-⎩， 即乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式y =300x -6000（20≤x ≤30）；【小题3】由603006000y x y x =⎧⎨=-⎩，解得：251500x y =⎧⎨=⎩， 即乙出发25-20=5分钟与甲第一次相遇；令60x =3000，解得x =50，即乙出发50-20=30分钟与甲第二次相遇；由上可得，乙出发5分钟或30分钟时与甲在途中相遇．【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．20．如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，求证：AG ＝CH.【答案】证明见解析.【解析】【详解】【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，根据平行线的性质得∠E=∠F ，再结合已知条件可得AF=CE ，根据ASA 得△CEH ≌△AFG ，根据全等三角形对应边相等得证.【详解】∵在四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，∴∠E=∠F ，又∵BE ＝DF ，∴AD+DF=CB+BE ，即AF=CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEH ≌△AFG ，∴CH=AG.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．某市计划对道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%，甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天．(1)求甲、乙两工程队每天维护道路的长度是多少千米？(2)若某市计划对200千米的道路进行维护，每天需付给甲工程队的费用为25万元，每天需付给乙工程队的费用为15万元，考虑到要不超过26天完成整个工程，因工程的需要，两队均需参与，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成．问乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？【答案】(1)甲工程队每天维护道路的长度是6千米，乙工程队每天维护道路的长度是4千米(2)当乙工程队先单独做10天时，该市需付的整个工程费用最低，最低费用是790万元【解析】【分析】（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x 千米，则甲工程队每天维护道路的长度是(150%)x+千米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设乙工程队先单独做m天，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合要不超过26天完成整个工程，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需工程费用为w万元，根据总费用=每天付给乙工程队的费用⨯乙工程队先单独工作的时间+每天付给两工程队的费用之和⨯两队合作的时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．(1)解：设乙工程队每天维护道路的长度是x千米，则甲工程队每天维护道路的长度是(150%)x+千米，依题意得：24301(150%)x x-=+，解得：4x=，经检验，4x=是原方程的解，且符合题意，(150%)6x∴+=．答：甲工程队每天维护道路的长度是6千米，乙工程队每天维护道路的长度是4千米．(2)解：设乙工程队先单独做m天，依题意得：20042646mm-++，解得：10m．设所需工程费用为w万元，则200415(2515)80046mw m m-=++⨯=-++，10-<，w∴随m的增大而减小，∴当10m=时，w取最小值，最小值110800790=-⨯+=．答：当乙工程队先单独做10天时，该市需付的整个工程费用最低，最低费用是790万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．22．已知函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A (﹣2，1)，点 B (1，52)． （1）求直线AB 的解析式；（2）若在x 轴上存在点C ，使S △ACO ＝12S △ABO ，求出点C 坐标．【答案】（1）122y x =+；（2）点C 的坐标为（3，0）或（-3，0） 【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，根据ABO ADO BEO ADEB S S S S =--△△△梯形求出3ABO S =△，从而得到131222ACO ABO A S S OC y ===⋅△△，由此即可得到答案． 【详解】（1）∵一次函数y =kx +b 的图象经过点A （-2，1）、点B （1，52）． ∴2152k b k b -+⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝， ∴122k b ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴一次函数的解析式为122y x =+； （2）如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∵A （-2，1）、点B （1，52）， ∴1AD =，52BE =，2OD =，1OE =， ∴3DE OD OE =+=，∴ABO ADO BEO ADEB S S S S =--△△△梯形11=222AD BE DE AD OD BE OE +⋅-⋅-⋅ 511152=31212222+⨯-⨯⨯-⨯⨯ =3， ∴131222ACO ABO A S S OC y ===⋅△△ ∴3OC =，∴点C 的坐标为（3，0）或（-3，0）．【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．23．已知y 与2x +成正比，当4x =时，4y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(3)a ，在这个函数图象上，求a 的值． 【答案】(1)()224 y x 2x 333=+=+;(2)a=2.5. 【解析】【分析】()1首先设()2y k x =+，再把4x =，4y =代入所设的关系式，即可算出k 的值，进而得到y 与x 之间的函数关系式；()2把(),3a 代入()1中所求的关系式即可得到a 的值．【详解】解：()1设 ()y k x 2=+，当x 4=时，y 4=，()k 424∴+=，2k 3∴=， y ∴与x 之间的函数关系式为()224y x 2x 333=+=+； ()2点()a,3在这个函数图象上，24a 333∴+=，∴=．a 2.5【点睛】考查了求一次函数关系式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．24．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．【答案】（1）1CE=；（2）见详解．【解析】【分析】（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案．【详解】解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上，∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，∴∠CBD=45°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=45°，∴∠BDE =∠ADB =45°，∴∠BED =180454590︒-︒-︒=︒，∴三角形BDE 是等腰直角三角形，90CED ∠=︒，在平行四边形ABCD 中，则BD=DG ，∴线段EG 是等腰直角三角形BDE 的中线，∴EG ⊥BD ，∵2EG =， ∴222DE EG ==，在直角三角形CDE 中，由勾股定理得22223(22)1CE CD DE =-=-=；（2）如图，在AD 上取一点M ，使得DM=DE ，连接MG ，在△DMG 和△DEG 中，有DM DE MDG EDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≌△DEG ，∴∠DMG =∠DEG =∠BCD ，∵∠BCD =∠BAD ，∴∠DMG=∠BAD ，∴MG ∥AB ，∴∠BAF =∠AGM ，∵AG ＝AB ，∴∠AGB =∠ABG ，∵∠ABG=∠ABF +∠FBG ，∠AGB =∠GBC +∠BCG ，又∵∠FBG =∠GBC ，∴∠ABF =∠BCG ，∵AD ∥BC ，∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，在△AMG和△BF A中，有∴BAF AGMAB AGMAG ABF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMG≌△BF A，∴AM=BF，∴AD=AM+MD=BF+DE．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明．。

一次函数综合题一．解答题（共10小题）1．如图，在直角坐标系中，△ABC满足∠BCA＝90°，点A、C分别在x轴和y轴上，AC＝BC＝2，当点A从原点开始沿x轴的正方向运动时，则点C始终在y轴上运动，点B始终在第一象限运动．（1）当AB∥y轴时，求B点坐标．（2）随着A、C的运动，当点B落在直线y＝3x上时，求此时A点的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）求直线l1的解析式；（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A和B，已知点C的坐标为（﹣3，0）．若点P是x轴上的一个动点，（1）求直线BC的函数解析式；（2）过点P作y轴的平行线交AB于点M，交BC于点N，当点P恰好是MN的中点时，求出P点坐标．（3）若以点B、P、C为顶点的△BPC为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P点坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线m经过点（﹣1，2），交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线n与直线m交于点P，与x轴、y轴分别交于点C、D（0，﹣2），连接BC，已知点P的横坐标为﹣4．（1）求直线m的函数表达式和点P的坐标；（2）求证：△BOC是等腰直角三角形；（3）直线m上是否存在点E，使得S△ACE＝S△BOC？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，3），直线y＝﹣x+1与x轴相交于点C，与直线AB交于点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式及点D的坐标；（2）如图2，H是直线AB上位于第一象限内的一点，连接HC，当S△HCD＝时，点M、N为y轴上两动点，点M在点N的上方，且MN＝，连接HM、NC，求HM+MN+NC的最小值；（3）将△OEC绕平面内某点旋转90°，旋转后的三角形记为△O'E'C'，若点E'落在直线AB上，点O'落在直线CD上，请直接写出满足条件的点E'的坐标．7．如图所示，平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+3与直线l2：y＝x+1相交于点A，直线l2与x轴相交于点B．过直线l2上的一点P（a，﹣1）作y轴的垂线，交直线l1于点C，连接BC．（1）求点A的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，设直线l3与y轴相交于点D，则直线l2上是否存在一点Q，使得△DPQ是以DP为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b经过A（a，0），B（0，b）两点，且a，b满足（a+8）2+＝0，∠ABO的平分线交x轴于点E．（1）求直线AB的表达式；（2）求直线BE的表达式；（3）点B关于x轴的对称点为点C，过点A作y轴的平行线交直线BE于点D，点M是线段AD上一动点，点P 是直线BE上一动点，则△CPM能否为不以点C为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，说明理由．9．如图，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣6，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点．（1）求BC，OD的长；（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△ADO全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点C关于OQ的对称点恰好落在△OBD的边上，请直接写出点Q的坐标．10．已知，如图1，直线AB分别交平面直角坐标系中x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（0，6），点C在直线AB上，且点C坐标为（﹣a，a）．（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；（2）点D是x轴上的一动点，当S△AOB＝S△ACD时，求点D坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣1），连接CE，点P为直线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P坐标．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．【分析】（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据勾股定理，可得AO的长，可得B点坐标；（2）根据全等三角形的判定与性质，可得BE＝OC ＝x，EC＝OA＝x，根据勾股定理，可得x的长，可得A点坐标；（3）分类讨论：①D在y轴的正半轴上；②D在y 轴的负半轴上，根据面积的和差，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，∴∠BAC＝45°，AB ＝＝2，∵AB∥y轴，∴∠BAO＝90°＝∠COA，∴∠CAO＝45°＝∠OCA，∴CO＝AO，∵AO2+CO2＝AC2，∴2AO2＝（2）2，∴AO ＝，∴点B 坐标为（，2）；（2）如图，过点B作BE⊥y轴，垂足为点E，∵∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠BCE＝∠CAO，且AC＝BC，∠BEO＝∠AOC，∴△AOC≌△CEB（AAS），∴BE＝CO，AO＝CE，∵点B落在直线y＝3x上，∴设B（x，3x），∴BE＝x＝OC，OE＝3x，∴CE＝OA＝2x，∵OA2+OC2＝AC2，∴（2x）2+x2＝20，∴x＝2，∴OA＝2x＝4，∴点A（4，0）；（3）设点D（0，y），由（2）得B（2，6），当点D在y轴正半轴上，如图，连接OB，∵S四边形ABDO＝S△AOB+S△BDO＝16，∴×4×6+×y×2＝16，∴y＝4，∴点D（0，4）；若点D在y轴负半轴上，如图，连接OB，∵S四边形ABDO＝S△AOB+S△ADO＝16，∴×4×6+×4×（﹣y）＝16，∴y＝﹣2，∴点D坐标为（0，﹣2）．综上，存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16，点D的坐标为（0，4）或（0，﹣2）．2．【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；（2）求出S△ABC＝27，设G（m，﹣m+6），分两种情况：①S△ABG：S△ACG＝1：2时，②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点的坐标；（3）分类讨论，①当点D为直角顶点时，②当点C 为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），∵点B（6，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．∴AB＝9，∴S△ABC ＝×9×6＝27，设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABG ＝S△ABC＝9，∴×9（﹣m+6）＝9，∴m＝4，∴G（4，2）；当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABG ＝S△ABC＝18，∴×9（﹣m+6）＝18，∴m＝2，∴G（2，4）．综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；（3）∵A（﹣3，0），C（0，6），D为AC的中点，∴D （﹣，3），①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE交ED的延长线于F，交x 轴于H，∴∠F＝∠CED＝90°，∵△CDP是等腰直角三角形，∴DP＝CD，∠CDB＝90°，∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴△PDF≌△CDE（AAS），∴DF＝CE，PF＝DE，∵D （﹣，3），C（0，6）．∴DE＝PF ＝，OE＝3，CE＝DF＝6﹣3＝3，∴EF＝3+＝，PH＝3+＝，∴P （﹣，），同理得：P ′（，）；∴P （﹣，）或（，）；②当点C为直角顶点时，如图，过点D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y轴于M，同①可得△PCM≌△CDN（AAS），∴DN＝CM，PM＝CN，∵D （﹣，3），C（0，6）．∴DN＝CM ＝，ON＝3，CN＝PM＝6﹣3＝3，∴OM＝6﹣＝，∴P（3，），同理得：P′（﹣3，）；∴P（3，）或（﹣3，）．综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）或（3，）或（﹣3，）．3．【分析】（1）将B（4，0）代入y＝kx+1得到y ＝﹣x+1；（2）由两直线交点的求法得到点D的坐标；易得线段PD的长度，所以根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式列方程求得m＝2，于是得到点P（2，2），推出∠EPB＝∠EBP＝45°．第1种情况，如图2，过点C作CF⊥x轴于点F根据全等三角形的性质得到BF＝CF＝PE＝EB＝2，于是得到C（6，2）；第2种情况，如图3根据全等三角形的性质得到PC ＝CB＝PE＝EB＝2，于是得到C（2，﹣2）；第3种情况，当点P在点D下方时，得到（3，2）或（5，﹣2）．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B （4，0），∴0＝4k+1．∴k ＝﹣．∴直线l1：y ＝﹣x+1；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m ﹣|．∴S ＝×|4﹣0|•PD ＝×|m ﹣|×4＝|2m﹣1|．当m时，S＝2m﹣1；当m ＜时，S＝1﹣2m；（3）当S△ABP＝3时，2m﹣1＝3，解得m＝2，∴点P（2，2），∵E（2，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°，如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点F，∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBF＝∠PBE＝45°，在△CBF与△PBE中，，∴△CBF≌△PBE（AAS）．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．∴C（6，2）；如图3，△PBC是等腰直角三角形，∴PE＝CE，∴C（2，﹣2），∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．当1﹣2m＝3时，n＝﹣1，可得P（2，﹣1），同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．4．【分析】（1）由y＝﹣2x﹣1得A （﹣，0），B（0，﹣1），设直线BC为y＝kx﹣1，用待定系数法可得直线BC为y ＝﹣x﹣1；（2）设P（m，0），则M（m，﹣2m﹣1），N （﹣m ﹣1），根据点P恰好是MN的中点，可得﹣2m﹣1﹣0＝0﹣（﹣m﹣1），即可解得P （﹣，0）；（3）设P（t，0），则BC2＝10，BP2＝t2+1，CP2＝（t+3）2，分三种情况：①当BC＝BP时，BC2＝BP2，10＝t2+1，解得P（3，0）；②当BC＝CP时，10＝（t+3）2，解得P （﹣3，0）或（﹣﹣3，0）；③当BP＝CP时，t2+1＝（t+3）2，解得P （﹣，0）．【解答】解：（1）在y＝﹣2x﹣1中，令x＝0得y＝﹣1，令y＝0得x ＝﹣，∴A （﹣，0），B（0，﹣1），设直线BC为y＝kx﹣1，将C（﹣3，0）代入得：﹣3k﹣1＝0，解得k ＝﹣，∴直线BC解析式为y ＝﹣x﹣1；（2）设P（m，0），则M（m，﹣2m﹣1），N （﹣m ﹣1），∵点P恰好是MN的中点，∴PM＝PN，即﹣2m﹣1﹣0＝0﹣（﹣m﹣1），解得m ＝﹣，∴P （﹣，0）；（3）设P（t，0），∵B（0，﹣1），C（﹣3，0），∴BC2＝10，BP2＝t2+1，CP2＝（t+3）2，①当BC＝BP时，BC2＝BP2，∴10＝t2+1，解得t＝3或t＝﹣3（与B重合，舍去），∴P（3，0）；②当BC＝CP时，∴10＝（t+3）2，解得t ＝﹣3或t ＝﹣﹣3，∴P （﹣3，0）或（﹣﹣3，0）；③当BP＝CP时，∴t2+1＝（t+3）2，解得t ＝﹣，∴P （﹣，0）；综上所述，P坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（﹣﹣3，0）或（﹣，0）．5．【分析】（1）设直线m的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（﹣1，2），（﹣2，0）代入，得，解方程组即可得到结论；（2）设直线n的函数表达式为y＝sx+t（s≠0），根据直线n经过点（﹣4，﹣4），（0，﹣2），得到方程组，解方程组得到．求得点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），于是得到结论；（3）根据三角形的面积公式得到，根据题意列方程即可得到结论．【解答】（1）解：设直线m的函数表达式为y＝kx+b （k≠0）．∵直线m经过点（﹣1，2），（﹣2，0），∴，解得，∴直线m的函数表达式为y＝2x+4．将x＝﹣4代入y＝2x+4，得y＝2×（﹣4）+4＝﹣4，∴点P的坐标为（﹣4，﹣4）；（2）证明：设直线n的函数表达式为y＝sx+t（s≠0）．∵直线n经过点（﹣4，﹣4），（0，﹣2），∴，解得，∴直线n 的函数表达式为．在y＝2x+4中，令x＝0，得y＝4，即点B的坐标为（0，4）．在中，令y＝0，得，解得x＝4，即点C的坐标为（4，0），∴OB＝OC＝4，又∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形；（3）解：∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴，又∵S△ACE＝S△BOC，∴S△ACE＝8，即，∵AC＝6，∴，即或．①当时，，解得，∴此时点E 的坐标为；②当时，，解得，∴此时点E 的坐标为．综上可知，直线m上存在点E，使得S△ACE＝S△BOC，点E 的坐标为或．6．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式，再将两个一次函数的解析式联立方程组即可求交点D的坐标；（2）判断△HCD是直角三角形，利用△HCD的面积求出HD的长，再由两点间距离公式求出H点的坐标，作H点关于y轴的对称点H'，过点C作CG⊥x轴，且CG ＝，连接H'G交y轴于点M，当H'、M'、G 三点共线时，HM+MN+NC的值最小，求出H'G的长即可求解；（3）分两种情况，△AOB逆时针旋转90°和顺时针旋转90°分别讨论；根据旋转后O'E'∥x轴，OE＝O'E'＝1，求出DE'＝，设E'（m，3m+3），即可求E'的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（0，3）代入，∴，∴，∴y＝3x+3，联立方程组，∴，∴D （﹣，）；（2）设H（t，3t+3），∵OA＝1，OB＝3，∴tan∠ABO ＝，直线y ＝﹣x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点C（3，0），∴tan∠DCA ＝，∴∠DCA＝∠ABO，∴∠CDB＝90°，∵CD ＝，∵S△HCD ＝＝××DH，∴DH ＝，∵＝，∴t＝﹣3或t ＝，∵H是直线AB上位于第一象限内的一点，∴t ＝，∴H （，），如图1，作H点关于y轴的对称点H'，过点C作CG ⊥x轴，且CG ＝，∴G（3，），H'（﹣，），连接H'G交y轴于点M，∵MN ＝，∴四边形MNCG是平行四边形，∴MG＝CN，由对称性可知，MH＝MH'，∴HM+MN+NC＝MH'+MN+MG≥1+H'G，∴当H'、M'、G三点共线时，HM+MN+NC的值最小，∵H'G ＝，∴HM+MN+NC 的最小值为+；（3）令x＝0，则y＝1，∴E（0，1），令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），当△OCE绕点逆时针旋转90°时，∵点E'落在直线AB上，点O'落在直线CD上，∴E'O'∥CO，∴∠DO'E'＝∠ECO，∵OE＝O'E'＝1，CO＝3，∴EC ＝，∴sin∠ECO ＝＝，∴DE'＝，设E'（m，3m+3），∴＝（﹣﹣m）2+（3m+3﹣）2，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∵此时E'在D点下方，∴m ＝﹣，∴E'（﹣，）；当△OCE绕点顺时针旋转90°时，∵点E'落在直线AB上，点O'落在直线CD上，∴E'O'∥CO，∴∠DO'E'＝∠ECO，∵OE＝O'E'＝1，CO＝3，∴EC ＝，∴sin∠ECO ＝＝，∴DE'＝，设E'（m，3m+3），∴＝（﹣﹣m）2+（3m+3﹣）2，∴m ＝﹣或m ＝﹣，∵此时E'在D点上方，∴m ＝﹣，∴E'（﹣，）；综上所述：E'点坐标为（﹣，）或（﹣，）．7．【分析】（1）联立方程组可求解；（2）分别求出点B，点C坐标，由三角形的面积公式可求解；（3）先求出点D坐标，由等腰三角形的性质和两点之间的距离公式可求解．【解答】解：（1）由题意可得：，解得：，∴点A （，）；（2）∵直线l2与x轴相交于点B，∴点B（﹣1，0），∵点P（a，﹣1）在直线l2上，∴﹣1＝a+1，∴a＝﹣2，∴点P（﹣2，﹣1），∴点C的纵坐标为﹣1，∴﹣1＝﹣2x+3，∴x＝2，∴点C（2，﹣1），如图，设直线l1与x轴相交于点H，∴0＝﹣2x+3，∴x ＝，∴点H （，0），∴BH ＝，∴△ABC 的面积＝××（+1）＝；（3）存在，理由如下：∵将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，∴直线l3，的解析式为：y＝﹣2x﹣1，∴点D（0，﹣1），如图，∵点P（﹣2，﹣1），点D（0，﹣1），∴PD⊥y轴，PD＝2，设点Q（a，a+1），∵△DPQ是以DP为腰的等腰三角形，∴PQ＝PD＝2或PD＝QD＝2，当PQ＝PD＝2时，则（﹣2﹣a）2+（﹣1﹣a﹣1）2＝4，∴a ＝±﹣2，∴点Q （﹣2，﹣1）或（﹣﹣2，﹣﹣1）；当PD＝QD＝2时，则（a﹣0）2+（﹣1﹣a﹣1）2＝4，∴a＝0或﹣2（不合题意舍去），∴点Q（0，1），综上所述：点Q坐标为：（﹣2，﹣1）或（﹣﹣2，﹣﹣1）或（0，1）．8．【分析】（1）求出点A与点B的坐标，再由待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求出点E的坐标，再由再由待定系数法求直线BE的解析式即可；（3）①当∠MPC＝90°时，P点在C点下，过点P 作GH⊥y轴交AD于点G，交y轴于点H，证明△PMG ≌△CPH（AAS），可得8+t＝2t+12，求出t即可求P （﹣4，2）；②当∠MPC＝90°，P点在C点上时，由①得8+t＝﹣2t﹣12，求出t即可求P （﹣，）；③当∠PMC＝90°时，过点M作KL⊥y轴交y轴于点L，过P点作PK⊥KL交于K，证明△PKM≌△MLC （AAS），由8＝﹣2t﹣6﹣（14+t），求出t ＝﹣，即可求P （﹣，）．【解答】解：（1）∵（a+8）2+＝0，∴a＝﹣8，b＝﹣6，∴A（﹣8，0），B（0，﹣6），∵一次函数y＝+b经过A（﹣8，0），B（0，﹣6），∴，∴，∴直线AB的表达式y ＝﹣x﹣6；（2）∵A（﹣8，0），B（0，﹣6），∴OA＝8，OB＝6，∴在Rt△AOB中AB＝10，过点E作EH⊥AB于点H，∵∠ABO的平分线交x轴于点E，∴EH＝EO，AE＝8﹣EO，AH＝10﹣6＝4，在Rt△AEH中，（8﹣EO）2＝42+EO2，解得：EO＝3，∴E（﹣3，0），设直线BE的表达式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴直线BE的表达式为y＝﹣2x﹣6；（3）设P（t，﹣2t﹣6），①如图1，当∠MPC＝90°时，P点在C点下，过点P作GH⊥y轴交AD于点G，交y轴于点H，∵∠MPC＝90°，∴∠MPG+∠CPH＝90°，∵∠MPG+∠GMP＝90°，∴∠CPH＝∠GMP，∵PM＝PC，∴△PMG≌△CPH（AAS），∴MG＝PH，CH＝GP，∵PH＝﹣t，CH＝6﹣（﹣2t﹣6）＝2t+12，∴GP＝8﹣（﹣t）＝8+t＝2t+12，∴t＝﹣4，∴P（﹣4，2）；②如图2，当∠MPC＝90°，P点在C点上时，由①得，HC＝﹣2t﹣6﹣6＝﹣2t﹣12，GP＝8﹣（﹣t）＝8+t，∴8+t＝﹣2t﹣12，∴t ＝﹣，∴P （﹣，）；③如图3，当∠PMC＝90°时，过点M作KL⊥y轴交y轴于点L，过P点作PK⊥KL 交于K，∵∠PMC＝90°，∴∠PMK+∠CML＝90°，∵∠PMK+∠MPK＝90°，∴∠CML＝∠MPK，∵PM＝CM，∴△PKM≌△MLC（AAS），∴KM＝CL，PK＝ML，∴ML＝PK＝8，CL＝KM＝﹣8﹣t，∴LO＝6﹣（﹣8﹣t）＝14+t，∴PK＝8＝﹣2t﹣6﹣（14+t），∴t ＝﹣，∴P （﹣，）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，2）或（﹣，）或（﹣，）．9．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由勾股定理和面积法可求解；（2）分两种情况讨论，先求出BQ解析式，由全等三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，利用折叠的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵直线y ＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴点A（6，0），点B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∵点C的坐标为（﹣6，0），∴OC＝6，∴BC ＝＝＝10，∵OA＝OC＝6，BO⊥AC，∴AB＝BC＝10，∵S△AOB ＝×AB×OD ＝×OA×OB，∴OD ＝＝；（2）存在，理由如下：∵AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAO，∵∠CBO+∠BCA＝90°＝∠AOD+∠BAO，∴∠CBO＝∠AOD，设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y ＝x+8，设点Q（a ，a+8）当△BPQ≌△OAD时，BQ＝OD ＝，∴（a﹣0）2+（a+8﹣8）2＝，∴a ＝±，∵点Q在第二象限，∴点Q （﹣，），当△BPQ≌△ODA时，BQ＝OA＝6，∴（a﹣0）2+（a+8﹣8）2＝36，∴a ＝±，∵点Q在第二象限，∴点Q （﹣，），综上所述：点Q坐标为：（﹣，）或（﹣，）；（3）如图，当点C关于OQ的对称点落在OB上时，作OE⊥CO于点E，OF⊥BO于点F，∴∠COQ＝∠C'OQ＝45°，又∵OE⊥CO，OF⊥BO，∴OE＝OF，∵S△OBC ＝×OB×OC ＝×OC×OE +×OB×OF，∴6×8＝（6+8）×OE，∴OE＝OF ＝，∴点Q 的坐标为（﹣，）．点C关于OQ的对称点落在AB上时，∴OC＝OC'＝OA，CQ＝C'Q，∠OCQ＝∠OC'Q，∴∠C'AO＝∠OC'A，∴∠OCQ＝∠OC'Q＝∠C'AO＝∠OC'A，∴∠CBA＝∠QC'B，∴BQ＝C'Q，∴CQ＝BQ＝C'Q，∴点Q是BC的中点，∴点Q（﹣3，4），综上所述：点Q坐标为（﹣3，4）或（﹣，）．10．【分析】（1）用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）由题意可得AD＝9，设D（x，0），则|x+3|＝9，即可求D的坐标；（3）分两种情况讨论：①当点P在射线CB上时，过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，过C作x轴垂线l，分别过F，E作FM⊥l，EN⊥l，证明△FMC≌△CNE（AAS），即可得F点坐标为（1，4），用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝5x﹣1，联立方程组，即可求P （，）；②当点P在射线CA上时，过点C作CH⊥CE交直线EP于点H，过点H作HK⊥y轴交于K，过点H作GH⊥x轴，过点C作CG⊥GH交于G，证明△CHG≌△EHK（AAS），可求得H （﹣，﹣），求出直线HE的解析式为y＝﹣x﹣1，联立方程组，则可求P （﹣，﹣）．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣3，0），B（0，6），则有，∴，∴y＝2x+6，∵C（﹣a，a），∴C（﹣2，2）；（2）∴S△AOB ＝×3×6＝9，∴S△ACD ＝×2×AD＝9，∴AD＝9，设D（x，0），∴|x+3|＝9，∴x＝6或x＝﹣12，∴D（6.0）或（﹣12，0）；（3）①如图，当点P在射线CB上时，过点C作CF ⊥CE交直线EP于点F，∵∠CEF＝45°，∴CE＝CF，过C作x轴垂线l，分别过F，E作FM⊥l，EN⊥l，∴∠FMC＝∠CNE＝90°，∠MCF+∠MFC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠MCF+∠NCE＝90°，∴∠MFC＝∠NCE，∴△FMC≌△CNE（AAS），∴FM＝CN＝3，CM＝EN＝2，即F点坐标为（1，4），设直线EF的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线EF的解析式为y＝5x﹣1，联立，解得，∴P （，）；②当点P在射线CA上时，过点C作CH⊥CE交直线EP于点H，过点H作HK ⊥y轴交于K，过点H作GH⊥x轴，过点C作CG⊥GH交于G，∵∠CHK＝90°，∴∠CHG+∠KHE＝90°，∵∠CHG+∠HCG＝90°，∴∠KHE＝∠HCG，∵∠DEP＝45°，∴DH＝HE，∴△CHG≌△EHK（AAS），∴CG＝KE，GH＝HK，∵E（0，﹣1），C（﹣2，2），∴GH＝3﹣CG＝2+OK＝2+CG，∴CG ＝，∴H （﹣，﹣），设直线HE的解析式为y＝k'x+b'，，∴，∴y ＝﹣x﹣1，联立方程组，解得，∴P （﹣，﹣），综合上所述，点P 坐标为（，）或（﹣，﹣）．第21页（共21页）。

一次函数、平行四边形综合提高学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容一次函数、平行四边形知识的综合运用课型一对一/一对N教学目标1.能解决一次函数中平行四边形的存在问题2.能解决一次函数中的面积问题3.能解决一次函数中的长度问题重、难点对条件综合分析，有函数参数思想，结合平行四边形与一次函数相关知识进行综合解题课首沟通1.了解学生在校学习情况和进度2.检查作业知识导图课首小测1.[单选题] （2012年从化市一模）已知正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，则一次函数y=-kx+k的图象大致是（）A. B. C. D.2.(2012 番禺期末)如图，直线：与直线：相交于点P（，2），则关于的不等式的解集为.3.[单选题] （2015番禺区一模）如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm4.[单选题] （2015 青岛中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF= ，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A.4B.C.D.285.[单选题] （2015天河区期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）。

A. B.2 C. D.导学一：一次函数中的一般平行四边形存在问题知识点讲解 1：一次函数中一般平行四边形的存在问题——三定一动型例 1. （2014校级期末）如图，直线l1的解析表达式为：y=-3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2 交于点C．（1）求直线l2的函数关系式；（2）求△ADC的面积；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由。

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（4，0），若C是坐标平面内一点，且以A，B，C，O为顶点的平行四边形是_______________________。

【答案】（-2,-2），（6，-2）或（2,2）。

2、已知M（1，1）是AB的中点，若点A的坐标为（3，2）则点B的坐标为_________。

【答案】（-1,0）。

1.线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为1212,22x x y y++⎛⎫⎪⎝⎭。

2.平行四边形顶点坐标公式ABCD的顶点坐标分别为A（x A，y A）、B（x B，y B）、C（x C，y C）、D（x D，y D），则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D。

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。

解法点睛专题导入一次函数与平行四边形存在性问题3.一个基本事实，确定动点位置如图，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB 为对角线的ACBD 1，以AC 为对角线的ABCD 2，以BC 为对角线的ABD 3C 。

例1、已知：在平面直角坐标系中，点(1,0)A ，点(4,0)B ，点C 在y 轴正半轴上，且2OB OC =．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）在平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标． 【答案】解：（1）(4,0)B ，4OB ∴=，又2OB OC =，C 在y 轴正半轴上，(0,2)C ∴．设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠．过点(4,0)B ，(0,2)C ，∴402k b b +=⎧⎨=⎩， 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为122y x =-+． 专题精析（2）如图，①当BC 为对角线时，易求1(3,2)M ；②当AC 为对角线时，//CM AB ，且CM AB =．所以2(3,2)M -；③当AB 为对角线时，//AC BM ，且AC BM =．则||2y M OC ==，||5x M OB OA =+=，所以3(5,2)M -． 综上所述，符合条件的点M 的坐标是1(3,2)M ，2(3,2)M -，3(5,2)M -．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线3y kx =-经过点A ，且与y 轴交于点C ，若点M 在直线AB 上运动，点N 在直线AC 上运动，且以O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标 ______ ．【答案】解：把0x =代入4y x =-+得：4y =，即点B 的坐标为：(0,4)，线段OB 的长度为：4，把0y =代入4y x =-+得：40x -+=，解得：4x =，即点A 的坐标为：(4,0)，把点(4,0)A 代入直线3y kx =-的：430k -=，解得：34k =，即直线AC 的解析式为：334y x =-，设点M 的横坐标为m ，则M 的坐标为：(,4)m m -+，根据题意得：点N 的坐标为：3(,3)4m m -当04m <<时，3(4)(3)44m m -+--=， 解得：127m =， 即点M 的坐标为：12(7，16)7， 当4m >时， 3(3)(4)44m m ---+=， 解得：447m =， 即点M 的坐标为：44(7，16)7-， 综上，点M 的坐标为：12(7，16)7或44(7，16)7-，如下图所示： 故答案为：12(7，16)7或44(7，16)7-．2．如图在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，且OA、OB 的长满足|2|0OA -．（1）求AB 的长；（2）若直线y kx b =+与线段AB 交于点E ，与坐标轴分别交于C 、D 两点，且点3(0,)2D ，(1,2)E ，求点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存点P ，使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：|2|0OA -，2OA ∴=，4OB =，在RtAOB ∆中，根据勾股定理得，AB（2）将点3(0,)2D ，(1,2)E 代入直线y kx b =+中得，232k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CD 是解析式为1322y x =+， 令0y =，则13022x +=，3x ∴=-， ∴点C 的坐标(3,0)-；（3）如图，连接BC ，由（1）知，2OA =，4OB =，点A 在x轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，(2,0)A∴，(0,4)B，由（2）知，(3,0)C-，5AC∴=，以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，①当AC为边时，//BP AC，5BP AC==，(5,4)P∴-或(5,4)；②当AC为对角线时，点B向下平移4个单位，再向右平移2个单位，∴点C向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点P的坐标(32,04)-+-，(1,4)P∴--，即：点P的坐标为(5,4)-或(5,4)或(1,4)--．例2、如图，在已建立直角坐标系的44⨯正方形方格纸中，若每个小正方形的边长为1，将ABC∆绕点B顺时针旋转90︒到DBE∆（1）求线段BC扫过的面积；（2）平移线段DE后的像为GF，在正方形格点上是否存在点F，G，使得以D，E，F，G为顶点的四边形是菱形，求线段FG所在的直线解析式．【答案】解：（1）2902360Sππ==；（2）当(2,2)F ，(0,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y kx b =+，223k b b +=⎧⎨=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，132FG y x =-+； 当(4,2)F ，(2,3)G 时，D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是菱形，设直线FG 的解析式为y mx n =+，4223m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得124m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，142FG y x =-+．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线21y x =-+与坐标轴分别交于A ，B 两点，与直线y x a =+交于点D ，点B 绕点A 顺时针旋转90︒的对应点C 恰好落在直线y x a =+上．（1）求直线CD 的表达式；（2）若点E 在y 轴上，且CDE ∆的周长最小，求点E 的坐标；（3）点F 是直线21y x =-+上的动点，G 为平面内的点，若以点C ，D ，F，G 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】解：（1）如图1中，连接AC ，作CE x ⊥轴于E ．90BAC ∠=︒，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，90BAO CAE ∠+∠=︒，ABO CAE ∴∠=∠，AB OC =，90AOB CEA ∠=∠=︒，ABO CAE ∴∆≅∆，12CE OA ∴==，1AE OB ==， 3(2C ∴，1)2， 把3(2C ，1)2代入y x a =+，得到1322a =+， 1a ∴=-，∴直线CD 的解析式为1y x =-．（2）如图2中，作D 关于y 轴的对称点D '，连接CD '交y 轴于E ，此时CDE ∆的周长最小．由121y x y x =-⎧⎨=-+⎩解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 2(3D ∴，1)3-，2(3D '-，1)3-， ∴直线CD '的解析式为511313y x =-，1(0,)13E ∴-．（3）如图3中，①如图3中，当DF 为菱形对角线时，四边形DCFG 是菱形，C ∴、G 关于AB 对称，易求直线CG 的解析式为1124y x =-， 由112421y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，G ∴与C 关于1(2，0)对称，可得1(2G -，1)2-．②如图4中，当AC 为菱形的对角线时，F 、G 关于CD 对称，求出线段CD 的垂直平分线，同法可得7(3G ，7)6-． ③如图5中，当CF为菱形的对角线时，可得3(2G，12或32+，12．综上所述，满足条件的点G 坐标为1(2-，1)2-或7(3，7)6-或3(2，12+或32+，12．1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在格点ABC ∆中，点A 的坐标为(2,3)（1）若以A 、B 、C 及点D 为顶点的四边形是矩形，直接写出点D 的坐标： (0,4) ；（2）若以A 、B 、C 及点E 为顶点的四边形是平行四边形，请画出所有点E 的位置．【答案】解：（1）如图1所示：四边形ADBC是矩形，5CD AB ∴=，1OD =，4OD ∴=，(0,4)D ∴，故答案为：(0,4)；专题过关（2）如图2所示：2．如图，直线2y =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12OA AC =，直线CD AB ⊥于点P ，交x 轴于点D （1）求点P 的坐标（2）坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）对于直线2y +，令0x =得到2y =，令0y =得到-(0,2)A ∴，(B -0)，2AC AO =，4AC ∴=，(0,6)C ∴，CD AB ⊥，∴直线CD 的解析式为6y =+，由26y x y ⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P ∴，3)．（2）存在，P 点坐标3)，(23D，0)，(B -0)， BD ∴=，当1PM BD是平形四边形， 则1BD PM ==1(M ∴-3)，当2PBDM 是平形四边形，则2BD PM ==2M ∴，3)，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为3-，BE DF BD DE ==-=FO ∴3M ∴的横坐标为 3M ∴的坐标为(3)-；综上所述M 点的坐标为：1(M -3)，2M3)，3(M ，3)-．3．如图， 在平面直角坐标系xOy ，直线1y x =+与24y x =-+交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点， 直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点E 的坐标；若不存在， 请说明理由 ．【答案】解：①如下图： 当//OE AD 时，//OE AC ，所以直线OE 的解析式为2y x =-， 联立OE 、AB ，得12y x y x =+⎧⎨=-⎩①②，解得1323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(3E -，2)3；②如下图： 当//DE OA 时，//OD AB 时，//OD AB ，∴直线OD 的解析式为y x =，联立OD 、AC ，得24y xy x =⎧⎨=-+⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4(3D ，4)3． 联立AB 、AC 得241y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ．OA 的解析式为2y x =， //DE OA ，∴设直线DE 的解析式为2y x b =+，将点D 的坐标代入直线的解析式得：42y x =-联立DE 、AB 得4231y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得73103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，27(3E ，10)3． ③当OA 为对角线时，(1,2)A ，OA ∴的中点坐标为1(2，1)，点D 在直线24y x =-+上，∴设(,24)D m m -+，点E 在直线1y x =+上，∴设(,1)E n n +，DE ∴的中点坐标为(2m n +，241)2m n -+++， ∴122m n +=，24112m n -+++=， 43m ∴=，13n =-，1(3E ∴-，2)3综上所述：11(3E -，2)3，27(3E ，10)3．4．如图，四边形OABC 为矩形，A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B 落在OA边的点G 处，折痕为EF ，F 点的坐标是(4,1)，30FGA ∠=︒． （1）求B 点坐标． （2）求直线EF 解析式．（3）若点M 在y 轴上，直线EF 上是否存在点N ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）F点的坐标是(4,1)，1FA∴=，4OA=，30 FGA∠=︒，GA∴=，2FG=，由折叠的性质知2BF FG==，3AB∴=，四边形OABC为矩形，4CB OA∴==，B∴点坐标为(4,3)；（2）903060AFG∠=︒-︒=︒，由折叠的性质知1(18060)602EFB EFG∠=∠=︒-︒=︒，BE∴=4CE∴=-(4E∴-3)，设直线EF的解析式是y kx b=+，∴41(44k bk b+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1kb⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴直线EF的解析式是1y=++（3）①如图1中，当四边形MNGF是平行四边形时，易知点N的横坐标为点N在直线EF上，(N ∴2．②如图2中，当四边形MNFG 是平行四边形时，易知点N 点N 在直线EF 上，N ∴．③如图3中，当四边形MFNG 是平行四边形时，易知点N 的横坐标为8(8N ∴2)．5．平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线(0)y kx k =≠交于点(2,)C m ．（1）求k 的值；（2）求OBC ∆的面积；（3）点M 为直线132y x =-+上一动点，过M 作/MN x 轴交直线y kx =于点N ，作MP x ⊥轴于点P ，过N作NQ x ⊥轴于点Q ，当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M 的坐标．【答案】解：（1）(2,)C m 在直线132y x =-+上2m ∴=(2,2)C ∴将(2,2)C 代入(0)y kx k =≠中得：1k =（2）直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴，(0,3)B (2,2)COBC ∴∆的面积为：13232⨯⨯= （3）MP x ⊥轴，NQ x ⊥轴//MP NQ ∴，90MPQ ∠=︒/MN x 轴，即/MN PQ∴以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是矩形当以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形时，即四边形MNQP 为正方形∴当满足MN NQ =时，必有以M ，N ，Q ，P 为顶点的四边形是正方形设(,)N a a ，则(62,)M a a -|63|MN a ∴=-，||NQ a =|63|||a a ∴-=3a ∴=或32(0,3)M ∴或3(3,)26．已知，如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1:3l y x =+分别交x 轴、y 轴于点A 、B 两点，直线2:3l y x =-过原点且与直线1l 相交于C ，点P 为y 轴上一动点． （1）求点C 的坐标；（2）在平面坐标系中是否存在点M ，使以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当PA PC +的值最小时，求此时点P 的坐标，并求PA PC +的最小值．【答案】解：（1）直线1:3l y x =+①与直线2:3l y x =-②相交于C ， 联立①②解得，34x =-，94y =，3(4C ∴-，9)4；（2）直线3y x =+交x 轴于点A ，(3,0)A ∴-，由（1）知，3(4C -，9)4，以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形， 设(,)M m n 如图1，∴①当AC 是对角线时，131(3)242m --=，191(0)242n +=，154m ∴=-，94n =， 15(4M ∴-，9)4， ②当OC 是对角线时，131(0)(3)242m -=-+，191(0)(0)242n +=+，94m ∴=，94n =，19(4M ，9)4， ③当OA 为对角线时，113(03)()224m -=-，119(00)()224m +=+，94m ∴=-，94n =-．29(4M -，9)4，（3）如图2，作点(3,0)A -关于y 轴的对称点(3,0)A '，连接CA '交y 轴于点P ，此时，PC PA +最小，最小值为CA '= 由（1）知，3(4C -，9)4，(3,0)A '，∴直线A C '的解析式为3955y x =-+， 9(0,)5P ∴．。

一次函数与平行四边形存在性问题1．坐标系中的平行四边形：（1）对边平行且相等2. 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(221xx+,221yy+).2.1平行四边形顶点坐标公式□ABCD的顶点坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D)，则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.证明：如图2，连接AC、BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(2CA xx+,2CA yy+).又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(2DB xx+,2DB yy+).∴x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．以上两条可统一为：总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等方法归纳：1、列出四个点坐标2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组3、验证点是否符合题意如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足（m﹣6）2+＝0，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处（1）求线段OD的长；（2）求点E的坐标；（3）DE所在直线与AB相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（32-，0）、B（32-，2），∠CAO=30°．（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，过B（6，1）的直线l2与直线l1交于点C（m，﹣5）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点D是第一象限位于直线l2上的一动点，过点D作DH∥y轴交l1于点H．当DH＝8时，试在x轴上找一点E，在直线l1上找一点F，使得△DEF的周长最小，求出周长的最小值；（3）如图2，将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，点P是直线l3上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限．直线l2与x轴交于点M，与y轴交于点N，将△OMN沿射线NM方向平移2个单位，平移后的△OMN记为△O'M'N'．在平面内是否存在一点Q，使得以点M′，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：y＝﹣x+与x轴交于点B，与直线l1：y＝x+b交于点C，C 点到x轴的距离CD为2，直线l1交x轴于点A．（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF 有最小值时，求出此时点F的坐标以及CE+EF+AF的最小值；（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H对应，点C与点G对应，将△BGH沿着直线BC平移，平移后的三角形为△B′G′H′，点M为直线AC上的动点，是否存在分别以C、O、M、G′为顶点的平行四边形，若存在，请求出M的坐标；若不存在，说明理．。