复变函数2.2 初等解析函数

§2 初等解析函数例2.3 及例2.4已经指出了多项式及有理分式函数的解析性。

这一节和下一节将进一步讲复变数的初等函数，这些函数是数学分析中通常的初等函数在复数域中的自然推广。

经过推广之后的初等函数，往往会获得一些新的性质。

例如，复指数函数z e 是有周期的，函数z z cos sin 及已不在是有界的，等等。

1. 指数函数由例2.9，我们知)sin (cos )(y i y e z f x +=在z 平面上解析，且)()('z f z f =。

进一步，还易验证).()()(2121z f z f z z f =+因此，我们有理由给出下面定义。

定义2.4 对于任何复数iy x z +=，我们用关系式 ()y i y e e e x iy x z sin cos +==+ 来规定指数函数z e对于复指数函数z e ，我们指出它具有如下的性质：(1) 对于实数()0==y x z 来说，我们的定义与通常实指数函数的定义是一致的。

(2) ;arg ,0y e e e z x z =>=在z 平面上0≠z e (3) Z e 在z 平面上解析，且e zZ e =')((4) 加法定理成立，即e e e z z z z 2121=+(5) Z e 是以i π2为基本周期的周期函数（注（1）） 因对任一整数k ，e eee zik zik z ==+ππ22这里12=eik π（6）极限lim zz e →∞不存在，即e ∞无意义因当z 沿实轴 趋于∞+时，∞→e z；当z 沿实轴趋于-∞时，0→e z注:（1）如一函数)(z f 当z 增加一个定值ω时其值不变 ，即)()(z f z f =+ω，则称)(z f 为周期函数，ω称为z 的周期。

如)(z f 的所有周期都是某一周期ω的整倍数，则称ω为)(z f 的基本周期。

（2）（2.9）式中，当 z 的实部0=x 时，就得到欧拉公式y i y eiysin cos +=所以（2.9）是欧拉公式的推广（3）因10==-e e e zz ，从而ee z z 1=-；e e e z z zz2121-=（4）e z仅仅是一个记号，其意义如定义2.4，它没有幂的意义（5）虽然在z 平面上，ee ik z z π2+=（k 为整数），但0)(≠='e e zz即不满足罗尔（Rolle ）定理，故数学分析中的微分中的微分中值定理不能直接推广到复平面上来。

不过，洛必达（LHospital ）法则在复平面上却是成立的（见本章习题2）例2.11 对任意的复数z ，若e ezz =+ω，则必有i k πω2=（k 为整数）证 由假设，对0=z ，ib a +=ω，就有 10==e eω，1)sin (cos =+b i b e a于是1=ea， 1s i n c o s =+b i b所以 0=a ， 1cos =b ， 0sin =b 因此 0=a ，πk b 2=（k 为整数） 故必有 i k ib a πω2=+=（k 为整数） 2．三角函数与双曲函数 由（2.9），当0=x 时推得y i y eiysin cos +=，y i y eiysin cos -=-这里左端表右端那个确定的复数，从而得到 iy e eiyiy2sin --=， c o s 2i yi yy ee-+=对于任意的实数y 成立。

这两个公式中的y 代以任意复数z 后，由（2.9），右端有意义，而左端尚无意义，因而我们给出如下定义定义2.5 规定iz e eiz iz2sin --=， c o s 2i z i zz e e-+=，并分别称为的z 正弦函数和余弦函数 这样定义的正弦和余弦函数具有如下性质：（1） 对于z 为实数y 来说，我们的定义与通常正弦及余弦函数的定义是一致的（2） 在z 平面上是解析的，且z z cos )(sin ='，z z sin )(cos -='因为()(sin )cos 22iz iziz iz e e z z i e e --+'-'===同理可证另一个（3）z sin 是奇函数，z cos 是偶函数，并遵从通常的三角恒等式：例如1c o s s i n22=+z z ， z z z z z z 212121s i n c o s c o s s i n )s i n (+=+ z z z z z z 212121sin sin cos cos )cos(-=+， \等等。

iz z z z eez z i i 2)sin()()(212121+-+-=+iz z z z e e e e i i i i22121---= 222211eee ez z iz z iiii--+-= iz z z z eee eiiii222211---++z z z z 2121s i n c o s c o s s i n += （4） z sin 及z cos 是以 π2为周期的周期函数 因由定义2.5， 2)2c o s ()2()2(e e z i z i z πππ+-++=+222ee eeiiziizππ--+=z e eizizcos 2=+=-同理可证另一个（5）z sin 的零点（即0sin =z 的根）为 (0,1,)z n n π==±z cos 的零点为: 1()(0,1,)2z n n π=+=±事实上，因为方程0sin =z 可以 写成e iz 12=，如令βαi z +=，即可写成eee in i παβ2221==-,故12=-eβ，,...)1,0(22±==n n πα，即 0=β，,...)1,0(±==n n πα所以,...),0(±==n n z π是z sin 的零点 （6）在复数域内不能再断言: 1s i n ≤z ，1cos ≤z 例如，取)0(>=y iy z ，则222)cos()()(e e eeeyy yiy i iy i iy >+=+=-- 只要y 充分大，iy cos 就可大于任一 预先给定的正数例2.12 求)21sin(i +的值解 )21sin(i +iie eeeiii i i i 2222)21()21(-+-+-+-=-=ii i e e2)1sin 1(cos )1sin 1(cos 22--+=-1cos 21sin 22222e e e ei ---++=1cos 21sin 2ish ch +=例2.13 对任意的复数z ,若z z sin )sin(=+ω，则必有:πωk 2=（k 为整数）证 由假设，有0sin )sin(=-+z z ω，因而 0)2c o s (2s i n =+ωωz故必 πωk 2=（k 为整数）定义2.6 规定z z t g zc o s s i n =， z zc t g z s i n c o s =z z c o s 1s e c =，zz sin 1csc =分别称为z 的正切、余切、正割及余割函数这四个函数都在z 平面上使分母不为零的点处解析，且 z tgz 2sec )(='， z ctgz 2csc )(-='ztgz z sec )(sec ='， zctgz z csc )(csc -='正切和余切的周期为π，正割及余割的周期为π2。

例如，就函数tgz 来说，它在,...)1,0()21(±=+≠n n z π的各点处解析，且有tgz z tg =+)(π。

因为z z z z z tg cos sin )cos()sin()(--=++=+πππtgz zz==cos sin 例2.14 对任意的复数，若tgz z tg =+)(ω，则必有 πωk =（k 为整数） 证 由定义2.6及定义2.5知)1(1cos sin 22+-==e e iz izi z ztgz ，由此可见， tgz z tg =+)(ω等价于2()2i z iz e e ω+=，故必有:12=e i ω所以πωk = （k 为整数）定义 2.7 规定2e ezzshz --=， 2e ezzchz -+= chzshzthz =，thzcthz 1=, chzhz 1sec =， shzhz 1csc =， 并分别称为z 的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。

显然，它们都是解析函数，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广由于e z及e z -皆以i π2本周为基期。

故双曲正弦及双曲余弦函数也以i π2为基本基期。

关于三角函数与双曲函数的有些性质以及它们之间的关系，我们已列入本章习题。

注(1) 由定义2.5可知,对任何复数z ，有ezi z iz sin cos +=，这是欧拉公式在复数域内的推广(2) 定义、定义及定义本身就反映了复三角函数与复指数函数的关系以及复双曲函数与复指数函数的关系。

换言之，无论是复三角函数还是复双曲函数，都是由复指数函数表示的。

本节所提到的初等函数都是周期函数，在下一节，我们可以证明它们的反函数都是多值函数。