2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6_6直接证明与间接证明课件文新人教A版

第五节 直接证明与间接证明、数学归纳法

[考纲传真] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

1．直接证明

(1)综合法

定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．

(2)分析法

定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法．

2．间接证明——反证法

一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

3．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

[常用结论] 利用归纳假设的技巧

在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )

(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )

(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )

(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a

66直接证明与间接证明

直接证明和间接证明是逻辑学中的两种常见证明方法。直接证明即通过逐步推理和逻辑推导来证明一个命题的真实性。间接证明则采用反证法，假设命题的否定形式是真的，然后通过推理来推出矛盾，从而证明原命题的真实性。在下面的文章中，我将详细讨论直接证明和间接证明的定义、用途、优点和缺点，并通过实例来解释如何使用这两种证明方法。

首先，直接证明是一种通过逻辑推理直接展示命题真实性的证明方法。它是从已知的前提中进行推理，在推理的每一步中使用规则和定义来逐步推导出目标命题的真实性。直接证明的一般结构是“假设P是正确的，然后通过推理步骤S1，S2，...，Sn，得出结论Q是正确的”。

例如，我们可以使用直接证明来证明命题“如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数”。首先，我们假设a和b是偶数，那么可以写成a=2m和b=2n（其中m和n是整数）。然后，我们可以推导得到a+b=2m+2n=2(m+n)，这说明a+b也能被2整除，因此是偶数。这个推导过程可以通过严格的逻辑推理证明，从而证明了原命题的真实性。

然而，有时候直接证明并不那么容易，特别是当命题的真实性与一系列复杂的推理步骤或逻辑关系相关时。在这种情况下，间接证明可以提供一种有效的证明方法。

间接证明是通过假设命题的否定形式是真的，然后通过推理来推出矛盾，从而证明原命题的真实性。具体地说，我们假设命题的否定形式是真的，然后进行一系列逻辑推理，当推理过程中产生了矛盾时，我们可以得出结论原命题是真的。 例如，我们可以使用间接证明来证明命题“根号2是无理数”。首先，我们假设根号2是有理数，即可以写成一个分数形式，a/b（其中a和b是整数，且a和b没有公因子）。然后，我们将这个分数形式进行平方，得到a²/b²=2，整理得到a²=2b²。根据这个方程，我们可以得出结论a²是偶数，那么a也一定是偶数。假设a=2m（其中m是整数），我们可以再次代入方程得到4m²=2b²，整理得到2m²=b²，这说明b也是偶数。然而，这与我们一开始假设a和b没有公因子矛盾，因为a和b都是偶数。因此，我们得出了一个矛盾，说明假设根号2是有理数是错误的，因此根号2是无理数。

2018年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理

与证明 课时达标37 直接证明与间接证明 理

[解密考纲]对利用综合法、分析法、反证法证明数学命题常与数

列、解析几何、立体几何、函数综合在一起进行考查．

一、选择题

1．用反证法证明命题：若a＋b＋c为偶数，则“自然数a，b，c恰有

一个偶数”时正确反设为(　D　)

A．自然数a，b，c都是奇数

B．自然数a，b，c都是偶数

C．自然数a，b，c中至少有两个偶数

D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

解析：由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然

数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D．

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a>b>c，且a＋b

＋c＝0，求证

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

解析：＜a⇔b2－ac＜3a2

⇔(a＋c)2－ac＜3a2

⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0

⇔－2a2＋ac＋c2＜0

⇔2a2－ac－c2＞0

⇔(a－c)(2a＋c)＞0

⇔(a－c)(a－b)＞0.

3．若 P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则 P，Q的大小关系是(　C　)

A．P>Q B．P＝Q

C．P

解析：不妨设P＜Q，∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2＜2a＋7＋2·，

只要证a2＋7a＜a2＋7a＋12，

只要证0＜12，

∵0＜12成立，∴P＜Q成立．

4．要使－

A．ab<0且 a>b B．ab>0且a>b

C．ab<0且a0且a>b 或 ab<0且a

解析：要使－＜成立，

只要(－)3＜()3成立，

即a－b－3＋3＜a－b成立，

只要＜成立，

只要ab2＜a2b成立，

即要ab(b－a)＜0成立，

只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立．

5．已知a>b>0，且 ab＝1，若 0

的大小关系是(　B　)

A．p>q B．p

解析：∵＞ab＝1，∴p＝logc＜0.

又q＝logc2＝logc＞logc＝logc＞0，

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第九章 概率

第一节随机事件的概率

1．事件的相关概念

2．频数、频率和概率

(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．

(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．

3．事件的关系与运算

名称 条件 结论 符号表示

包含关系 A发生⇒B发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B)

相等关系 若B⊇A且A⊇B 事件A与事件B相等 A＝B

并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)

交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)

互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝∅

对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A∪B)＝1

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为1. 第 2 页 共 55 页

(3)不可能事件的概率为0.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．( )

(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件．( )

(3)事件发生的频率与概率是相同的．( )

(4)若事件A发生的概率为P(A)，则0

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×