高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第六节 直接证明与间接证明学案 文-人教版高三全册数学

第六节 直接证明与间接证明

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．

知识点一 直接证明

1．综合法

(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论______，这种证明方法叫做综合法．

(2)框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．

2．分析法

(1)定义：从____________出发，逐步寻求使它成立的____

，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．

(2)框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.

答案

1．(1)推理论证 成立 2.(1)要证明的结论 充分条件

1．判断正误

(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )

(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )

(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( )

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√

2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )

A．综合法 B．分析法

C．反证法 D．归纳法

答案：B

3．已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．

解析：由题意知，an＝n2＋1，bn＝n，∴cn＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n.显然，cn随着n的增大而减小，∴cn>cn＋1.

答案：cn>cn＋1

知识点二 间接证明

反证法：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

答案

不成立 矛盾

4．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )

A．a，b都不能被5整除

B．a，b都能被5整除

C．a，b中有一个不能被5整除

D．a，b中有一个能被5整除

解析：对原命题的结论的否定叙述是：a，b都不能被5整除． 答案：A

热点一 分析法的应用

【例1】 已知a>0，证明

a2＋1a2－2≥a＋1a－2.

【证明】 要证 a2＋1a2－2≥a＋1a－2.

只需证 a2＋1a2≥a＋1a－(2－2)．

因为a>0，所以a＋1a－(2－2)>0，

所以只需证a2＋1a22≥a＋1a－2－22，

即2(2－2)a＋1a≥8－42，只需证a＋1a≥2.

因为a>0，a＋1a≥2显然成立(当且仅当a＝1a＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立.

【总结反思】

(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.

已知m>0，a，b∈R，求证：a＋mb1＋m2≤a2＋mb21＋m.

证明：∵m>0，∴1＋m>0.

所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．

热点二 综合法的应用

【例2】 已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－12x2＋13x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)≤g(x)．

【解】 (1)f′(x)＝11＋x，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得

g0＝f0，f′0＝g′0，解得a＝0，b＝1.

(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)

＝ln(x＋1)－13x3＋12x2－x(x>－1)．

h′(x)＝1x＋1－x2＋x－1＝－x3x＋1.

h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．

h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).

【总结反思】

综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝nSnn2＋c，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．

证明：由题意得，

Sn＝na＋nn－12d.

由c＝0，得bn＝Snn＝a＋n－12d.

又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4，即a＋d22＝aa＋32d，化简得d2－2ad＝0.

因为d≠0，所以d＝2a.

因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.

从而对于所有的k，n∈N*，

有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk. 热点三 反证法的应用

考向1 证明否定性命题

【例3】 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．

(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；

(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？

【解】 (1)证明：若{Sn}是等比数列，则S22＝S1·S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．

(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．

当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3,2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．

由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．

综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列.

【总结反思】

反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.

又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，

两式相减得an＋1＝12an，

所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.

(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p

则2·12q＝12p＋12r.

所以2·2r－q＝2r－p＋1.①

又因为p

所以假设不成立，原命题得证．

考向2 证明“至多”，“至少”，“唯一”性命题

【例4】 已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)∈M，

(ⅰ)方程f(x)－x＝0有实数根；

(ⅱ)函数f(x)的导数f′(x)满足0

(1)判断函数f(x)＝x2＋sinx4是不是集合M中的元素，并说明理由；

(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈(m，n)，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)f′(x0)成立．试用这一性质证明：方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根．

【解】 (1)①当x＝0时，f(0)＝0，所以方程f(x)－x＝0有实数根为0；

②f′(x)＝12＋14cosx，所以f′(x)∈14，34，满足条件0

由①②可得，函数f(x)＝x2＋sinx4是集合M中的元素．

(2)证明：假设方程f(x)－x＝0存在两个实数根α，β(α≠β)，则f(α)－α＝0，f(β)－β＝0.

不妨设α

满足f(β)－f(α)＝(β－α)f′(c)．

因为f(α)＝α，f(β)＝β，且α≠β，所以f′(c)＝1.

与已知0

又f(x)－x＝0有实数根，所以方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根.

【总结反思】

当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.

已知f(x)＝x2＋ax＋b.

(1)求f(1)＋f(3)－2f(2)． (2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.

解：(1)因为f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，所以f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.

(2)证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，

则－12

－12

所以－1<－2f(2)<1，－1

所以－2

这与f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，

所以假设错误，即所证结论成立．

1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．

3．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．