高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.4直接证明与间接证明课件文新人教B

推理与证明经典问题回顾

主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师

开篇语

数学解题离不开推理与证明．这里的推理主要指合情推理和演绎推理，证明主要指直接证明、间接证明以及利用数学归纳法证明．

合情推理有归纳推理和类比推理两种形式：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是一般到特殊的推理．反证法是间接证明的主要形式，证明的思路是：通过否定结论，导出矛盾，进而说明原结论正确．

开心自测

题一：设等差数列{}na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612TT成等比数列．

题二：设127,,,aaa是１，２，…，7的一个排列，求证：乘积127127Taaa为偶数．

考点梳理

１．合情推理的两种形式

（１）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

归纳推理是由特殊到一般的推理。

（２）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。

类比推理是由特殊到特殊的推理。 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳或类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

２．演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

演绎推理是一般到特殊的推理。

演绎推理的“三段论”模式：

（１）大前提——已知的一般原理；

（２）小前提——所研究的特殊情况；

（３）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

３．直接证明与间接证明

（１）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

1 第六节 直接证明与间接证明

[备考方向要明了]

考

什 么 怎 么 考

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点. 1.用综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型多为解答题，如2011安徽T19.

2.主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体考查，题目具有一定的综合性，属于高档题.

[归纳·知识整合]

1．直接证明

(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→„―→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→„―→得到一个明显成立的条件.

[探究] 1.综合法与分析法有什么联系与差异？

提示：综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．分析法是从未知看需知，逐步靠拢已知．当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件，把证明转化为判定这些条件是否具备的问题．

2 2．间接证明

反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

[探究] 2.在什么情况下可考虑利用反证法证明问题？

课时规范练(A)

课时规范练1 集合的概念与运算

课时规范练3 命题及其关系、充要条件

课时规范练5 函数及其表示

课时规范练7 函数的奇偶性与周期性

课时规范练9 指数与指数函数

课时规范练11 函数的图象

课时规范练13 函数模型及其应用

课时规范练15 利用导数研究函数的单调性

课时规范练17 定积分与微积分基本定理

课时规范练19 同角三角函数基本关系式及诱导公式

课时规范练21 简单的三角恒等变换

课时规范练23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用

课时规范练25 平面向量的概念及线性运算

课时规范练27 平面向量的数量积及其应用

课时规范练29 数列的概念

课时规范练31 等比数列

课时规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时规范练35 合情推理与演绎推理

课时规范练37 数学归纳法

课时规范练39 空间几何体的表面积与体积

课时规范练41 空间直线、平面的平行关系

课时规范练43 空间向量及其运算

课时规范练45 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

课时规范练47 圆的方程

课时规范练49 椭圆

课时规范练51 抛物线

课时规范练53 算法初步

课时规范练55 用样本估计总体

课时规范练57 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时规范练59 二项式定理

课时规范练61 古典概型与几何概型

课时规范练63 二项分布与正态分布

课时规范练65 极坐标方程与参数方程

课时规范练67 绝对值不等式

课时规范练(B) 课时规范练2 简单不等式的解法

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

课时规范练6 函数的单调性与最大(小)值

课时规范练8 幂函数与二次函数

课时规范练10 对数与对数函数

课时规范练12 函数与方程

课时规范练14 导数的概念及运算

课时规范练16 利用导数研究函数的极值、最大(小)值

第七章

推理与证明第2课时

直接证明与间接证明

1.

用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”假设内容应是____________．

答案：3a≤3b

解析：假设结论不成立，即3a≤3b.

2. 设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的________条件．

答案：充分不必要

解析：x>0|x|>0，而|x|>0x>0或x<0，故“x>0”是“|x|>0”的充分不必要条件．

3. 在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝________．

答案：2n

解析：因为数列{an}为等比数列，则an＝2qn－1.因为数列{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)a2n＋1＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2an＋an＋2＝2an＋1an(1＋q2－2q)＝0q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.

4. 已知函数f(x)满足：f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f2（1）＋f（2）f（1）＋f2（2）＋f（4）f（3）＋f2（3）＋f（6）f（5）＋f2（4）＋f（8）f（7）＝________．

答案：16

解析：根据f(a＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f2(n)，又f(1)＝2，则f（n＋1）f（n）＝2，故f2（1）＋f（2）f（1）＋f2（2）＋f（4）f（3）＋f2（3）＋f（6）f（5）＋f2（4）＋f（8）f（7）＝2f（2）f（1）＋2f（4）f（3）＋2f（6）f（5）＋2f（8）f（7）＝16.

5. 对实数a和b，定义运算“”：ab＝a，a－b≤1，b，a－b>1，设函数f(x)＝(x2－2)(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．

答案：(－∞，－2]∪－1，－34

解析：画出函数图象即可知实数c的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，－34)．