第一章实数集及函数
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第一章 实数集与函数
（10学时）
§１．实数
教学目的：使学生把握实数的大体性质．
教学重点：（１）明白得并熟练运用实数的有序性、浓密性和封锁性；
（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质和几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：实数集的概念及其应用．
学时安排: 2学时
教学方式：教学．（部份内容自学）
教学程序：
引言
上节课中，咱们与大伙儿一起探讨了《分析》这门旅程的研究对象、要紧内容等话题．从本节课开始，咱们就大体依照教材顺序给大伙儿介绍这门课程的要紧内容．第一，从大伙儿都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题] 什么缘故从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的大体对象是函数，但那个地址的“函数”是概念在“实数集”上的（《复变函数》研究的是概念在复数集上的函数）．为此，咱们要先了解一下实数的有关性质．
一 实数及其性质
１、实数(,qpqp正分数,有理数为整数且q0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.
|Rxx为实数全体实数的集合．
[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，咱们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无穷小数”．为此作如下规定：
关于正有限小数01,nxaaa其中009,1,2,,,0,inainaa为非负整数，记0119999nxaaa；关于正整数0,xa那么记0(1).9999xa；关于负有限小数（包括负整数）y，那么先将y表示为无穷小数，此刻所得的小数之前加负号．０＝0.0000
例：2.0012.0009999
32.99992.0012.00999932.9999
利用上述规定，任何实数都可用一个确信的无穷小数来表示．但新的问题又显现了：在此规定下，如何比较实数的大小？
２．两实数大小的比较
1） 概念１ 给定两个非负实数01nxaaa，01nybbb. 其中00,ab为非负整数，,kkab(1,2,)k为整数，09,09kkab．假设有,1,2,kkabk，那么称x与y相等，记为xy；假设00ab或存在非负整数l，使得,1,2,,kkabkl，而11llab，那么称x大于y或y小于x，别离记为xy或yx．关于负实数x、y，假设按上述规定别离有xy或xy，那么别离称为xy与xy（或yx）．
规定：任何非负实数大于任何负实数．
2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
概念２（不足近似与多余近似）：01nxaaa为非负实数，称有理数01nxaaa为实数x的n位不足近似；110nnnxx称为实数x的n位多余近似；关于实数01nxaaa，其n位不足近似01110nnnxaaa；n位多余近似01nnxaaa.
注：实数x的不足近似nx当n增大时不减，即有012;xxxx 多余近似nx当n增大时不增，即有01xxxx．
命题：记01nxaaa，01nybbb为两个实数，那么xy的等价条件是：存在非负整数n，使nnxy（其中nx为x 的n位不足近似，ny为y的n位多余近似）．
命题应用————例１
例１．设,xy为实数，xy，证明存在有理数r，知足xry．
证．由xy，知：存在非负整数n，使得nnxy．令12nnrxy，那么r为有理数，且
nnxxryy．即xry．
３．实数经常使用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．
封锁性（实数集Ｒ对,,,）四那么运算是封锁的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．
有序性：任意两个实数,ab必知足以下关系之一：,,ababab．
传递性；,abbcac．
阿基米德性：,,0abRbanN使得nab．
浓密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．
例２．设,abR，证明：假设对任何正数，有ab，那么ab．
（提示：反证法．利用“有序性”，取ab）
二 、绝对值与不等式（分析论证的大体工具）．
１．绝对值的概念 实数a的绝对值的概念为,0||0aaaaa．
２． 几何意义：从数轴看，数a的绝对值||a确实是点a到原点的距离．熟悉到这一点超级有效，与此相应，||xa 表示确实是数轴上点x与a之间的距离．
３．性质．
１）||||0;||00aaaa（非负性）；２）||||aaa；
３）||ahhah，||.(0)ahhahh；
４）对任何,abR有||||||||||ababab（三角不等式）；
５）||||||abab；６）||||aabb（0b）．
［练习］Ｐ４． ５
［课堂小结］：实数：一 实数及其性质二 绝对值与不等式.
§２数集和确界原理
教学目的：使学生把握确界原理，成立起实数确界的清楚概念。
教学要求：（１）把握邻域的概念；
（2）明白得实数确界的概念及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。
教学难点：确界的概念及其应用。
学时安排:3学时
教学方式：教学为主
教学程序：先通过练习形式温习上节课的内容，以查验学习成效，尔后导入新课。
引言
上节课中咱们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；尔后又让大伙儿自学了第一章 §１实数的相关内容。下面，咱们先来查验一下自学的成效如何！
１．证明：对任何xR有（１）|1||2|1xx；（２）|1||2||3|2xxx.
２．证明：||||||xyxy.
３．设,abR，证明：假设对任何正数有ab，那么ab.
４．设,,xyRxy，证明：存在有理数r知足yrx.
[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？如此试探是做科研时的常常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想一想，可否具体问题引出一样的结论：一样的方式？②由上述几个小题能够体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深明白得，语言应用。提请注意这种不同，尽快把握本门课程的术语和工具（至此，温习告一段落）。
本节要紧内容： １．先概念实数集Ｒ中的两类要紧的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界概念及确界存在性定理（确界原理）。
一 区间与邻域
１．区间（用来表示变量的转变范围）
设,abR且ab。
|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.xRaxbabxRaxbabxRaxbabxRaxbabxRxaaxRxaaxRxaaxRxaaxRxR开区间:
有限区间闭区间:
闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间
２．邻域
联想：“邻居”。字面意思：“临近的区域”。（看左图）。与a临近的“区域”很多，到底哪一类是咱们所要讲的“邻域”呢？确实是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
（１） a的邻域：设,0aR，知足不等式||xa的全部实数x的集合称为点a的邻域，记作(;)Ua，或简记为()Ua，即
(;)||(,)Uaxxaaa.
（２） 点a的空心邻域
(;)0||(,)(,)()ooUaxxaaaaaUa.
（３） a的右邻域和点a的空心右邻域
00(;)[,)();(;)(,)().UaaaUaxaxaUaaaUaxaxa
（４） 点a的左邻域和点a的空心左邻域
00(;)(,]();(;)(,)().UaaaUaxaxaUaaaUaxaxa
（５）邻域，邻域，邻域
()||,UxxM （其中Ｍ为充分大的正数）；(),UxxM ()UxxM
二 有界集与无界集
什么是“界”？ 概念１（上、下界）： 设S为R中的一个数集。假设存在数()ML，使得一切xS都有()xMxL，那么称Ｓ为有上（下）界的数集。数()ML称为Ｓ的上界（下界）；假设数集Ｓ既有上界，又有下界，那么称Ｓ为有界集。
假设数集Ｓ不是有界集，那么称Ｓ为无界集。
注：１）上（下）界假设存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：
例1 讨论数集|Nnn为正整数的有界性。
分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取1L；上界似乎无，但需要证明。
解：任取0nN，显然有01n，因此N有下界１；但N无上界。证明如下：假设N有上界M,那么M>0，按概念，对任意0nN，都有0nM，这是不可能的，如取0[]1,nM则0nN，且0nM.
综上所述知：N是有下界无上界的数集，因此是无界集。
例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无穷区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集。
[问题]：假设数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)。
三 确界与确界原理
１、概念
概念２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，假设数知足：(1) 对一切,xS有x（即是Ｓ的上界）; (2) 对任何，存在0xS，使得0x（即是Ｓ的上界中最小的一个），那么称数为数集Ｓ的上确界，记作 sup.S
概念３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，假设数知足：（１）对一切,xS有x（即是Ｓ的下界）；（２）对任何，存在0xS，使得0x（即是Ｓ的下界中最大的一个），那么称数为数集Ｓ的下确界，记作infS.
上确界与下确界统称为确界。
§３ 函数概念
教学目的：使学生深刻明白得函数概念。
教学要求：（１）深刻明白得函数的概念和复合函数、反函数和初等函数的概念，熟悉函数的各类表示方式；（２）牢记大体初等函数的概念、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。
教学重点：函数的概念。
