2017届北京市西城区北师大附属实验高三上学期期中考试数学(理)试题(word版,缺答案)

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A ．{21}x x -≤<∣B ．{21}x x -<≤∣C ．{2}xx ≥-∣D ．{1}xx <∣2．设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．a b c <<3．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将y =cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知函数()21xf x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A ．(],2-∞B ．[]0,1C ．[)1,+∞D ．[]1,26．设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47．在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A ．94B ．4C ．92D ．68．已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A ．6B ．7C ．9D ．109．设R c ∈，函数(),0,22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．()0,1B ．{}[)01,+∞ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =．12．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =．13．在ABC V 中，222a cb +=+．则B ∠的值是；cos y A C =+的最大值是．14．设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是．15．已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC ，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =(1)求ADC ∠的值；(2)求BC 的长度；(3)求BCD △的面积．17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台 3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19．已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P -和()Q .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20．已知函数()ln ()x a f x x-=．(1)若1a =，求函数()f x 的零点：(2)若1a =-，证明：函数()f x 是0,+∞上的减函数；(3)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．21．已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．(1)判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;(2)若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;(3)给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．。

西城区高三模拟测试高三数学（理科）2017.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z = （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i +（D ）2i -2．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 3．在极坐标系中，圆sin ρθ=的圆心的极．坐标．．是 （A ）(1,)2π（B ）(1,0)（C ）1(,)22π（D ）1(,0)24．在平面直角坐标系中，不等式组320,330,0x y x y y -⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A ）1（B ）32（C ）2（D ）525．设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±=（D ）80x y ±=6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35⋅=a b ．若m ∈R ，则||m +a b 的最小值是 （A ）34（B ）43（C ）45（D ）547．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞8．有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票． 在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是 （A ）7 （B ）6（C ）5（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为____．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等比数列，则1a =____；数列{}n a 的前n 项和n S =____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =，1b =，则c =____．12．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．13．大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有____种．（用数字作答）14．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设(0,π)β∈，且π()2cos()4f ββ=-，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，AD FC ⊥．点M 在棱FC 上，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平面ADMN ⊥平面CDEF ；（Ⅲ）若CD EA ⊥，EF ED =，2CD EF =，平面ADE 平面BCF l =，求二面角A l B --的大小．17．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：B 餐厅分数频数分布表定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =． 求直线AB 的斜率．19．（本小题满分13分）已知函数21()()e x f x x ax a -=+-⋅，其中a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．20．（本小题满分13分）设集合*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．如果对于2n A 的每一个含有(4)m m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的一个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由； （Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥； （Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．西城区高三模拟测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．A6．C7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．710．2，2n n +11．2 12．2-；113．3614．43注：第10，12题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2cos()44ββ+=-． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++，[ 7分] 整理得ππsin()[2cos()1]044ββ+⋅+-=，[ 8分]所以πsin()04β+=，或π1cos()42β+=． [10分]因为 (0,π)β∈，所以ππ5π(,)444β+∈，[11分]由πsin()04β+=，得ππ4β+=，3π4β=；[12分]由π1cos()42β+=，得ππ43β+=，π12β=．所以π12β=，或3π4β=． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 1分]所以//AD 平面FBC ．[ 3分]又因为平面ADMN 平面FBC MN =， 所以//AD MN ．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．[ 5分]因为AD FC ⊥，[ 6分] 所以AD ⊥平面CDEF ．[ 7分] 所以平面ADMN ⊥平面CDEF ．[ 8分] （Ⅲ）因为EA CD ⊥，AD CD ⊥，所以CD ⊥平面ADE ， 所以CD DE ⊥．由（Ⅱ）得AD ⊥平面CDEF ， 所以AD DE ⊥．所以DA ，DC ，DE 两两互相垂直．[ 9分] 建立空间直角坐标系D xyz -．[10分]不妨设1EF ED ==，则2CD =，设(0)AD a a =>．由题意得，(,0,0)A a ，(,2,0)B a ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,1)E ，(0,1,1)F ． 所以(,0,0)CB a −−→=，(0,1,1)CF −−→=-． 设平面FBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,CB CF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.ax y z =⎧⎨-+=⎩令1z =，则1y =． 所以(0,1,1)=n ．[12分]又平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC −−→=，所以||cos ,|||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n 因为二面角A l B --的平面角是锐角， 所以二面角A l B --的大小45 ．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A 餐厅评分的频率分布直方图，得对A 餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）设“对A 餐厅评价‘满意度指数’比对B 餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C ．记“对A 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1A ；“对A 餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B ．所以1(A )(0.020.02)100.4P =+⨯=，2(A )0.4P =，[ 5分]由用频率估计概率得：0235(B )0.1100P ++==，11540(B )0.55100P +==． [ 7分] 因为事件A i 与B j 相互独立，其中1,2i =，0,1j =． 所以102021(C)(A B A B A B )P P =++102021(A )(B )(A )(B )(A )(B )P P P P P P =++0.40.10.40.10.40.550.3=⨯+⨯+⨯=． [10分]所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高 的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学生对A ，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A 餐厅“满意度指数”X 的分布列为：B 餐厅“满意度指数”Y 的分布列为：因为()00.210.420.4 1.2E X =⨯+⨯+⨯=；()00.110.5520.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，所以()()E X E Y <，会选择B 餐厅用餐． [13分]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ， 得4a =，[ 3分]所以抛物线C 的方程为24y x =．[ 4分] （Ⅱ）因为||||PM PN =， 所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以 直线PA 与PB 的倾斜角互补， 所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠， 将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k=-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k--．[11分] 以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k+--．[12分] 所以 222244()1(2)(2)ABk k k k k k k --==--+-． 所以直线AB 的斜率为1-．[14分]19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由21()()e x f x x ax a -=+-⋅，得121()(2)e ()e x x f x x a x ax a --'=+⋅-+-⋅21[(2)2]e x x a x a -=-+--⋅ 1()(2)e x x a x -=-+-⋅．[ 2分]令()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有一个零点：2x =；当2a ≠-时，函数()f x '有两个相异的零点：2x =，x a =-．[ 4分]（Ⅱ）① 当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以，函数()f x 无极值．[ 5分]② 当2a >-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极小值为1()e a f a a +-=-⋅≤0．[ 7分]又2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，21()()e 0x f x x ax a -=+-⋅>恒成立．[ 8分] 所以，1()e a f a a +-=-⋅为()f x 的最小值．[ 9分] 故0a ≥是函数()fx 存在最小值的充分条件．[10分] ③ 当5a =-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为当5x >时，21()(55)e 0x f x x x -=-+⋅>， 又1(2)e 0f -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最小值．[12分] 所以，0a ≥不是函数()f x 存在最小值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．[13分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=．[ 1分]①对于6A 的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 因为234513+++>，所以5不是集合6A 的“相关数”．[ 2分] ②6A 的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 因为134513+++=，所以6是集合6A 的“相关数”．[ 3分]（Ⅱ）考察集合2n A 的含有2n +个元素的子集{1,,1,,2}B n n n n =-+ ．[ 4分]B 中任意4个元素之和一定不小于(1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．所以2n +一定不是集合2n A 的“相关数”．[ 6分]所以当2m n +≤时，m 一定不是集合2n A 的“相关数”．[ 7分] 因此若m 为集合2n A 的“相关数”，必有3m n +≥． 即若m 为集合2n A 的“相关数”，必有30m n --≥．[ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．先将集合2n A 的元素分成如下n 组：(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．对2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有三组123,,i i i C C C 同属于集合P ． [10分]再将集合2n A 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．对于2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有一组4j D 属于集合P ．[11分] 这一组4j D 与上述三组123,,i i i C C C 中至少一组无相同元素， 不妨设4j D 与1i C 无相同元素．此时这4个元素之和为1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．[12分] 所以集合2n A 的“相关数”m 的最小值为3n +．[13分]。

2017北京师大附中高三（上）期中数学（理）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设命题，则为（）A. B.C. D.3. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则=（）A. 6B. 12C. 15D. 184. 设函数，则“”是“函数为奇函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 图象C关于点对称C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数6. 若则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.7. 设D为不等式组表示的平面区域，点B（1，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则b的最大值等于（）A. 1B. 2C. 0D. 38. 已知函数，。

若函数恰有6个不同的零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9. 若等比数列满足，则前n项和=______________.10. 若，且，则的最小值是___________.11. 已知向量a，b不共线，若∥，则实数=___________.12. 设向量，向量，向量，若∥且，则与的夹角大小为_______.13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________14. 对有限数列，定义集合，集合S中不同的元素个数记为（1）若，则=_________；（2）若有限数列是单调递增数列，则最小值为_____________三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数，其中向量，，，且的图象经过点.（I）求实数m的值；（II）求函数的最小值及此时x值的集合.16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若,△ABC的面积为，D为AB的中点，求sin∠BCD.17. 已知数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18. 已知函数，，且.（1）求b的值；（2）判断对应的曲线的交点个数，并说明理由.19. 设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求a的最小值.20. 现有m个（）实数，它们满足下列条件：①，②记这m个实数的和为，即.（1）若，证明：；（2）若m=5，满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合，求A中所有正数之和；（3）对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与，证明：.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1.【答案】B【解析】由得，解得：，即，∵，∴，则集合中元素的个数为2，故选B.2.【答案】B【解析】试题分析：根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题，可知命题：，则为.考点：命题的否定.3.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，∵，，∴，，解得，，则，故选A.4.【答案】C【解析】试题分析：当时，函数，此时函数为奇函数；反之函数为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.考点：1.充分必要条件的判断；2.函数的奇偶性.5.【答案】B【解析】试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.6.【答案】D【解析】∵，，，则，，的大小关系是，故选D.7.【答案】A【解析】由作出平面区域D如图，联立，解得，联立，解得，联立，解得，由，得，即，即的最大值为1，故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题；作出不等式组所表示的区域，根据当目标函数为线性时，其最值一定在交点处取得列出不等式组，解出即可.8.【答案】D点睛：本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，此题最大的难点在于讨论与1的关系，得到的解析式.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9.【答案】【解析】∵等比数列满足，，∴，解得，，∴前项和，故答案为.10.【答案】64【解析】∵，∴，即，由，，当且仅当时等号成立，即的最小值是64，故答案为64.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．11.【答案】【解析】∵向量，不共线，由，则存在非零实数，使，即，解得：，故答案.12.【答案】【解析】根据题意，向量，，若∥，则有，解可得，若，则有，解可得；则，；设与的的夹角为，，，则有，又∵，∴，即与的夹角大小为，故答案为.13. 在△ABC中，∠C=120°，，则_______________【答案】214.【答案】 (1). 6 (2).【解析】（1）当时，有限数列为，故，由的意义可知，，故答案为6；（2）由的定义可知，当是等差数列时，最小，∴集合，∴集合中的元素个数，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)的最小值为，x值的集合为.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过函数的图象经过点，求实数的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数的最小值及此时值的集合.试题解析：（I），由已知，得.（II）由（I）得，∴当时，的最小值为，由，得x值的集合为.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.16.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理边化为角，得到，求得 ;（2）由条件可知三角形为等腰三角形，并且顶角为，这样根据面积可求得三角形的边长，在内可根据余弦定理求得 ,最后根据正弦定理求.试题解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以．（2）因为，故为等腰三角形，且顶角，故，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以．【点睛】解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，一般多根据正弦定理把边转化为角 ,或是 ;第三步：求结果.17.【答案】(1)，.(2)【解析】试题分析：（1）利用当时，，验证时也适合，可得数列通项公式；（2）分为为奇数和为偶数两种情形，利用并项求和得数列的前项和.试题解析：（1）由，当时，.当时，，而，所以数列的通项公式，.（2）由（1）可得，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，.综上，点睛：本题主要考查了等差数列概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，并项求和主要用于正负相间的摆动数列，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.【答案】(1)；(2)对应的曲线只有1个交点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由得：函数的对称轴为，故可得的值；（2）令，对函数进行二次求导，先判断先减后增，在处取得最小值0，故可得单调递增，且，由以上可得交点个数.试题解析：（1）由已知可得的对称轴是，因此（2）考虑，列表可知，仅有一个根x=0，先减后增，在处取得最小值0，即.因此单调递增，注意到，可得对应的曲线只有1个交点19.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）设切线的斜率为，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程；（2）要使：在区间在恒成立，等价于：在恒成立，利用函数的导数，通过①当时，利用，说明不满足题意．②当时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可.试题解析：（I）设切线的斜率为，因为，切点为.切线方程为，化简得：.（II）要使：在区间恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立因为①当时，，不满足题意②当时，令，则或（舍）.所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时当时，满足题意所以，得到的最小值为20.【答案】(1)证明见解析；(2)256；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由为等比数列可得或，当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，经计算的最大值为不满足题意，而当时，同理计算的最小值为，满足题意；（2）结合（1）中结论，而，，共种情形，根据其规律得A中正数之和为；（3）不失一般性设使得，，，，…，计算得结论成立.试题解析：（1）证明：由题意知，，所以或.当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，所以的最大值为.不合题意，舍去.当时，.所以，.（2）解：若，由（I）知，.由题意知，.所以满足题意的所有数列为1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16个.在这16个数列中，除最后一项外，其他各项正、负各取8次，求和时正负相抵.从而，A中正数之和为16×16=256.（3）证明：设使得，，，，…，则，所以.。

一、选择题：1. 已知集合{}{}2|11,|2,M x x N x x x Z =-<<=<∈，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}0M N =D ．M N N =2.复数z 满足3z i i =-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,c 2a A ===，且bc <，则b =（ ）A ．3B ．．2 D 4.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，下列四命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//n m B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α 5.将函数sin 2y x =的图象先向左平移4π个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（ ） A ．sin 214y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．22cos y x =C ．22sin y x = D ．cos y x = 6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83 C ．4 D ．437.如果关于x 的方程213ax x +=的正实数解有且仅有一个，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．{}|0a a ≤ B ．{}|02a a a ≤=或 C ．{}|0a a ≥ D ．{}|02a a a ≥=-或 8.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x '=-（()f x '为函数()f x 的导函数），在[],a b 上有且只有一个不同的零点，则称()f x 是()g x 在[],a b 上的“关联函数”，若()323422x x f x x =-+，是()2g x x m =+在[]0,3上的“关联函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[]1,0- C ．(],2-∞- D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题9.设复数z 满足()122i z i -=+，其中i 是虚数单位，则z 的值为___________．10.若3,2a b == ，且a 与b 的夹角为60°，则a b -=____________．11.命题:p “2,10x R x x ∀∈-+>”，则p ⌝为_____________． 12.已知3,,sin 4245x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2x =___________．13.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且2y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述：①()y f x =是周期函数；②x π=是它的一条对称轴；③(),0π-是它图象的一个对称中心；④当2x π=时，它一定取最大值．其中描述正确的是___________．14.若对任意(),,x A y B A R B R ∈∈⊆⊆有唯一确定的(),f x y 与之对应，则称(),f x y 为关于,x y 的二元函数，现定义满足下列性质的(),f x y 为关于实数,x y 的广义“距离”： （1）非负性；(),0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性：()(),,f x y f y x =；（3）三角形不等式：()()(),,,f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数：①(),f x y x y =-；②()()2,f x y x y =-；③(),f x y =所有可能成为关于,x y 的广义“距离”的序号为____________． 三、解答题15.已知函数()sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的单调递减区间； （2）设α是锐角，且1sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． 16.在ABC ∆中，,b,c a 分别是内角,,A B C 的对边，且cos cosC 2B ba c=-+． （1）求角B ；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积．17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60°，1,AP AD ==E ACD -的体积． 18.已知函数32f x ax bx c =-+++图象上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+． （1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式；（2）若函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围． 19.已知函数()()()cos ,2xf x xg x e f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数． （1）求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程；（2）若对任意,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()()g x xf x =的解的个数，并说明理由． 20.已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，其中()1,1,2,a R i n n l A ∈≤≤>表示和()1i j a a i j n +≤<≤中所有不同值的个数．（1）设集合{}{}2,4,6,8,2,4,8,16P Q ==，分别求()l P 和()l Q ；（2）若集合{}2,4,8,,2nA = ，求证：()()12n n l A -=；（3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案一、选择题二、填空题：x R ∃∈，使得210x x -+≤成立 12. 2425- 13. ①③ 14. ① 三、解答题 15. （1）()11sin sin sin cos sin 2cos 24444222f x x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()222k x k k Z πππ≤≤+∈得()2k x k k Z πππ≤≤+∈，16.（1）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，得2s i n ,2s i n ,2s i n a R Ab R Bc R C ===，所以等式cos cos 2B bC a c=-+可化为 cos 2sin cos 22sin 2sin B R BC R A R C =-+ ， 即cos sin ,2sin cos sin cos cos sin cos 2sin sin B BA B C B C B C A C=-+=-+ ， 故()2sin cos cos sin sin cos sin A B C B C B B C =--=-+， 因为A B C π++=，所以()sin sin A B C =+，故1cos 2B =-， 所以0120B =；（2）由余弦定理，得222132cos120b a c ac ==+-⨯，即2213a c ac ++=， 又4a c +=，解得13a c =⎧⎨=⎩，或31a c =⎧⎨=⎩，所以11sin 1322ABC S ac B ∆==⨯⨯=． 17.（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ， 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，所以EO //PB ，因为EO ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）因为PA ⊥平面ABCD ， ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则()11,,22D E AE ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()(),0,00B m m >，则()(),C m AC m =，设()1,,n x y z = 为平面ACE 的法向量，则1100n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0102mx y z ⎧+=+=，可取1n =-⎝ ，又()21,0,0n = 为平面DAE 的法向量，由题设121cos ,2n n =12=，解得32m =， 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12， 三棱锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=18.（1）()232f x x ax b '=-++，函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，所以()1323f a b '=-++=-，即20a b +=，① 又()112f a b c =-+++=-，得1a b c ++=-，②函数()f x 在2x =-时有极值，所以()21240f a b '-=--+=，③ 由①②③解得2,4,3a b c =-==-， 所以()32243f x x x x =--+-；（2）由（1）知2b a =-，所以()23f x x bx b '=--+，因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()23f x x bx b '=--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()2122000f b b f b '-=-++≥⎧⎪⎨'=≥⎪⎩，得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞． 19.（1）由题意得，()()()0sin ,cos ,0cos01xf x xg x e x g e ====；()()()cos sin ,01x g x e x x g ''=-=；故曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程为1y x =+； （2）对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x xf x m ≥+恒成立可化为 ()()min m g x xf x ≤-⎡⎤⎣⎦，,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设()()(),,02h x g x xf x x π⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()cos sin sin cos cos 1sin xx x h x e x x x x x e x x e x '=---=--+，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()()cos 0,1sin 0x xe x x e x -≥+≤；故()0h x '≥， 故()h x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故当2x π=-时，()min 22h x h ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 故2m π≤-；（3）设()()()H x g x xf x =-，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 则当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()()cos sin sin cos cos 1sin x x x H x e x x x x x e x x e x '=---=--+，当2x π=，显然有02H π⎛⎫'<⎪⎝⎭； 当,42x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由sin 1tan 1,11cos 11x x x x e x x x x e e -+=≥=-<++，即有sin cos 1x x x e x x e ->+， 即有()0H x '<，所以当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，总有()0H x '<， 故()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至多有一个零点；又40424H e πππ⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，022H ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；且()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的， 故函数()H x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． 20.（1）由246,2682810,4610.4812,6814+=+=+=+=+=+=，得()5l P =， 由246,281021618,4812.41620,81624+=+=+=+=+=+=得()6l Q =； （2）因为()1i j a a i j n +≤<≤共有()212n n n C -=项，所以()()12n n l A -≤， 对于集合{}2,4,8,,2nA = ，任取i j a a +和k l a a +，其中1,1i j n k l n ≤<≤≤<≤，当j l ≠时，不妨设j l <，则122j i j j l k l a a a a a a ++<=≤<+，即i j k l a a a a +≠+；当j l =时，若()1i j a a i j n +≤<≤的值两两不同， 因此，()()12n n l A -=；（3）不妨设123n a a a a <<<< ，则可得1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<<+<+<<+ ，从而()1i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数，即()23l A n ≥-，取{}1,2,3,,n A = ，则{}3,4,5,,21i j a a n +∈- ，即i j a a +的不同值共有23n -个， 因此，()l A 的最小值为23n -．。

2017北师大二附中高三（上）期中数学（理）一、选择题：1．（3分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N2．（3分）复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（3分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2 C．2 D．4．（3分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．（3分）将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx6．（3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．7．（3分）如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0} B．{a|a≤0或a=2} C．{a|a≥0} D．{a|a≥0或a=﹣2}8．（3分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．二、填空题9．（3分）设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为．10．（3分）若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=11．（3分）命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．（3分）已知，则cos2x= ．13．（3分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是．14．（3分）若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y 的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？数学试题答案一、选择题：1．【解答】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．【解答】由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．3．【解答】a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．4．【解答】A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选D．5．【解答】函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=cos2x将该函数所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y=cosx的图象所以函数的解析式为y=cosx．故选：D．6．【解答】由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，则该几何体的体积是=故选D．7．【解答】由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，即方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，构造函数f（x）=ax3﹣3x2+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．又∵f'（x）=3x（ax﹣2）①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解满足要求；②当a＞0时，则得f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，f（0）=1，知若要满足条件只有x=时，f（x）取到极小值0，x=入原方程得到正数解a=2，满足要求；③当a＜0时，同理f（x）在（﹣∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（，0）上单调递增f（0）=1＞0，所以函数f（x）的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意综上：a≤0或a=2．故答案为：{a|a≤0或a=2}8．【解答】f′（x）=x2﹣3x+4，∵f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选：A．二、填空题9．【解答】∵（1﹣i）z=2+2i，∴z====2i，∴|z|=2故答案为：210．【解答】∵||=3，||=2，且与的夹角为60，∴||====，故答案为：．11．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．【解答】∵sin（﹣x）=（cosx﹣sinx）=﹣，解得：cosx﹣sinx=﹣，∴两边平方可得：1﹣sin2x=，可得：sin2x=，∵x∈（，），2x∈（，π），∴cos2x=﹣=．故答案为：．13．【解答】∵为偶函数∴f（﹣x+）=f（x+），对称轴为而y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x+）=﹣f（x﹣）=f（x+）即f（x+）=﹣f（x﹣），f（x+π）=﹣f（x），f（x+2π）=f（x）∴y=f（x）是周期函数，故①正确x=（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确（﹣π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确当时，它取最大值或最小值，故④不正确故答案为：①③14．【解答】对于①，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1），f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y﹣x|满足（2）；f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于②不满足（3）对于③不满足（2）故答案为①三、解答题15．【解答】（Ⅰ）= cos2x﹣sin2x=cos2x．由 2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得 kπ≤x≤kπ+，故求f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）∵α是锐角，且，∴=，α=．∴f（α）=cos2x= cos==﹣．16．【解答】（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．17．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．18．【解答】f′（x）=﹣3x2+2ax+b，（2分）因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，（3分）又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．（4分）（1）函数f（x）在x=﹣2时有极值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，（5分）解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，（7分）所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（8分）（2）因为函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，（10分）则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）（14分）19．【解答】（1）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=e x sinx，∴g（0）=e0sin0=0；g'（x）=e x（cosx+sinx），∴g'（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x；（2）设H（x）=g（x）﹣xf（x），；则当时，H'（x）=e x（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx=（e x﹣x）cosx﹣（e x﹣1）sinx，当，显然有；当时，由，即有，即有H'（x）＜0，所以当时，总有H'（x）＜0，故H（x）在上单调递减，故函数H（x）在上至多有一个零点；又，；且H（x）在上是连续不断的，故函数H（x）在上有且只有一个零点．20．【解答】（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．（5分）（Ⅱ）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以．又集合A=2，4，8，，2n，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则a i+a j＜2a j=2j+1≤a l＜a k+a l，即a i+a j≠a k+a l．当j=l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l．因此，当且仅当i=k，j=l时，a i+a j=a k+a l．即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（9分）（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n，所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．事实上，设a1，a2，a3，，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j=a1+a i+j﹣1；当i+j＞n时，a i+a j=a i+j﹣n+a n；因此每个和a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个．所以对这样的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．（13分）。

北京师大附中2016—2017学年度第一学期月考试卷高三数学（文）一、选择题：1. 已知全集，集合，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，故选点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 设，，，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.3. 设命题，，则为（）．A.， B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】∵命题∴为：故选：C4. “数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】数列既是等差数列又是等比数列，则可知是常数列，所以充分性成立；若是常数列，则不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的充分不必要条件，故选A。

5. 若实数、满足，则的最大值为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】所以过时，，故选D。

6. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）．A. B. C. D.【答案】D考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．7. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，，；，；，；，；，；此时满足判定条件，故输出的值，故选。

8. 定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递增，设，，，则、、大小关系是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由，知是周期为2的周期函数，因为是偶函数，所以在单调递减，，，，因为，所以，即，故选D。

点睛：本题考察抽象函数的性质，由知是周期为2的周期函数，又因为是偶函数，所以在单调递减，由此我们可以得到的草图，再将题目中的利用函数性质转化到内，利用单调性判断大小。

北京师范大学附属实验中学2016-2017学年度第一学期高三年级数学（理）期中试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．集合2{|4}Mx x ≤，1|01Nx x 则M N（）．A ．(1,2)B ．1,2C ．1,2D ．[1,2]2．在等差数列{}n a 中，21a ，45a ，则{}n a 的前5项和5S （）．A ．7B ．15C ．20D ．253．已知向量(1,)am ，(3,2)b且()a b b ⊥，则m （）．A ．8B ．6C ．6D ．84．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）．A ．1yx B ．2yxC ．1yxD ．||yx x 5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q ”是“{}n a 为递增数列”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0x 是函数11()2xf x x的一个零点，10(,)x x ，20(,0)x x ，则（）．A ．1()0f x ，2()0f xB ．1()0f x ，2()0f xC ．1()0f x ，2()f x D ．1()0f x ，2()f x 7．已知函数π()sin()0,||2f x x ≤，π4x为()f x 的零点，π4x 为()y f x 图象的对称轴，且()f x 在π5π,1836单调，则的最大值为（）．A ．11B ．9C ．7D ．58．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.96 1.92 1.821.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳（单位：次）7563a6063721a70b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）．A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．3号学生进入30秒跳绳决赛C ．7号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z 满足(1i)1z ，则z__________．10．已知向量a ，b 满足||1a ，||2b ，a 与b 的夹角为60，则||a b __________．11．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 在同侧河岸边选定一点C ，测出AC 距离为50m ，45ACB∠，105CAB∠，则A 、B 两点的距离为__________m ．CBA12．设等比数列{}n a 满足1310a a ，245a a ，则12n a a a 的最大值为__________．13．设函数21,2()1log ,2xa xf x x x ≥的最小值为1，则实数a 的取值范围是__________．14．对于函数()yf x ，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x 成立，则称函数()f x 具有性质T ．（1）下列函数中具有性质T 的有__________．①()222f x x ②()sin ([0,2π])f x x x ③1()f x xx ，((0,))x④()ln(1)f x x （2）若函数()ln f x a x 具有性质T ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin3sin sin (0)2f x x x x的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求函数()f x 的区间2π0,3上的取值范围．16．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，13a ，其前n 项和n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b ，公比为q ，且2212b S ，22S qb ．（Ⅰ）求n a 与n b ．（Ⅱ）设数列{}n c 满足1nnc S ，求{}n c 的前n 项和n T ．17．（本小题满分13分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c ．（Ⅰ）求角C ．（Ⅱ）若7c，ABC △的面积为332，求ABC △的周长．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x ，2()eexx g x ．（Ⅰ）求函数()f x 的区间[1,3]上的最小值．（Ⅱ）证明：对任意m ，(0,)n ，都有()()f m g n ≥成立．19．（本小题满分14分）已知函数322()()f x xaxbx a xR ，a ，b 为常数．（Ⅰ）若函数()f x 在1x 处有极值10，求实数a ，b 的值．（Ⅱ）若函数()f x 是奇函数．（1）方程()2f x 在[2,4]x 上恰有3个不相等的实数解，求实数b 的取值范围．（2）不等式()20f x b ≥对[1,4]x恒成立，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数集1212{,,,}(1,2)n n Aa aa a aa n ≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，i ，(1)j i j n ≤≤≤，使得k i j a a a 成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由．（Ⅱ）求证：1212(2)n n a a a a n ≤≥．（Ⅲ）若72na ，求数集A 中所有元素的和的最小值．。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0,2]上的最大值为4，则f(x)在区间[0,2]上的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S10 = 150，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 在极坐标系中，点P(3,π/6)关于直线x=π/3的对称点Q的坐标为（）A. (3,5π/6)B. (3,π/6)C. (6,π/6)D. (6,5π/6)4. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一个圆C. 两个圆D. 两个点5. 已知函数f(x) = log2(x+1)在区间[-1,3]上单调递增，则函数f(x)的图像在区间（）A. (-1,0)上单调递减B. (0,1)上单调递增C. (1,3)上单调递减D. (-1,3)上单调递增6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 6，S5 = 15，则数列{an}的通项公式an为（）A. an = 3n - 2B. an = 2n - 1C. an = n^2 - nD. an = n7. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(x)的图像关于点（）A. (1,2)B. (1,3)C. (0,2)D. (0,3)8. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集为（）A. A的补集B. A的子集C. A的真子集D. A的并集9. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 - c^2 = 2ab，则三角形ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 梯形10. 已知函数f(x) = e^x - x，则f(x)的极值点为（）A. x=0B. x=1C. x=eD. x=e^2二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 5在区间[-1,3]上的最大值为5，则f(x)在该区间上的最小值为______。

北京师范大学附属实验中学12月高三月考试题数学(理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选中符合题目要求的一项 1．已知全集U =R ,集合{}2|1A x x =≥，则UA =（ ）．A ．(,1)-∞B ．(1,1)-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】B【解析】解:∵集合{}{2|1|1A x x x x ==-≥≤或}1x ≥,∴{}|11UA x x =-<<．故选B ．2．在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA OB ⋅的值为（ ）．A ．1 B 1C D 1【答案】B【解析】解:=(0,1)OA ,(1,1)OB =，∴31OA OB ⋅=-．故选B ．3．已知数列{}na 的前n 项和122n nS+=-，则3a =（ ）．A ．1-B ．2-C ．4-D ．8- 【答案】D 【解析】解：4334332(22)(22)228a S S =-=---=-=-．故选D ．4．为了得到函数sin cos y x x =+的图像,只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点（ ）．A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度【答案】C【解析】解:由πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，πsin cos 4y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此,为了得到sin cos y x x =+的图像，只需将sin cos y x x =-的图像上所有的点向左平移π2个单位长度．故选C ．5．“0t ≥”是“函数2()f x xtx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点”的( ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点时，有240tt ∆=+≥，即4t -≤或0t ≥，所以“0t ≥" 是“函数2()f x x tx t=+-在(,)-∞+∞内存在零点”的充分而不必要体条件． 故选A ．6．已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥，则不等式(1)xf x -≤1的解集为( ）． A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,1]- 【答案】D【解析】解:∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨⎩≥, ∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨⎩≥, 当1x ≥时，(1)11xf x x -⇔≤≤， ∴1x =，当1x <时,(1)111xf x x x -⇔-⇔-≤≤≥， ∴11x -<≤，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-． 故选D ．7．已知直线:1()l y kx k k =+-∈R ，若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于两点A、B ，且||||AB k =,则称曲线C 具有性质P ,给定下列三条曲线方程:①|1|y x =--； ②222210xy x y +--+=；③2y x =．其中，具有性质P 的曲线的序号是（ ）．A ．①②B ．②C ．③D ．②③ 【答案】D【解析】解:①．|1|y x =--与直线l 至多一个交点,故①不具性质P ． ②．222210xy x y +--+=,圆心为(1,1)，半径为1，直线1y kx k =+-过定点(1,1)，故存在2k =±，使直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||AB k =，具有性质P ． ③2y x =过点(1,1)，直线:1l y kx k =+-过定点(1,1)，故存在k ，使得直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||||AB k =，具有性质P ． 综上，具有性质P 的曲线的序号是②③． 故选D ．8．甲、乙、丙、丁、戊五人出差,分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知：（1）甲与乙不是邻居；(2）乙的房号比丁小；（3）丙住的房是双数；（4）甲的房号比戊大3．根据上述条件，丁住的房号是（）．A．2号B．3号C．4号D．5号【答案】B【解析】解:根据题意可知,1、2、3、4、5号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲,故丁住的房号是3．故选B．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．设a∈R，若复数(1i)(+i)a+在复平面内对应的点位于实轴上,则a=__________．【答案】1-【解析】解:复数(1i)(+i)=(1)(+1)i+-,a a a因为该复数在复平面内对应的点在数轴上,所以10a+=．故1a=-．10．设2log 3a =，4log 6b =,6log 9c =，则a 、b 、c 从大到小的顺序为__________．【答案】a b c >>【解析】解：2log 3a =,421log 6log 6log2b ===∴a b >，8221log 9log 9log 3c ===∴b a >， ∴a b c >>．11．在ABC △中，点M 为边AB 的中点，若OP OM ∥，且(0)OP xOA yOB x =+≠，则y x=__________．【答案】1【解析】解：∵M 是AB 的中点， ∴1()2OM OA OB =+，又∵1()2OP OM OA OB xOA yOB λλ==+=+，∴12x λ=,12y λ=,∴1yx =．12．双曲线22:12x C y -=的离心率为__________;若椭圆2221(0)x y a a +=>与双曲线C 有相同的焦点,则a =__________．【答案】2【解析】解：∵双曲线22:12x C y -=，∴焦点坐标为(，，双曲线的离心率e =，∵椭圆的焦点与双曲线的焦点相同， ∴213a-=，∴2a =．13．已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为__________． 【答案】4【解析】解:∵点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内， ∴240230t t --⎧⎨+-⎩≤≤， 解得21t -≤≤，点P 到直线34100x y ++=的距离|164|5t d +=，(21)t -≤≤，当1t =时，点P 到直线34100x y ++=的距离最大，max4d=．14．设a ∈R ，定义x 为不小于实数x 的最小整数（如π4=，π3-=-），若n ∈Z ，则满足n a n+=的实数a 的取值范围是__________;若a ∈R ，则方程1122x x +=-的根为__________．【答案】(,0]-∞；4- 【解析】∵n a n+=，∴n n a +≥，故0a ≤，设122x k -=∈Z ,则214k x +=,233114k x k ++=++， ∴原方程等价于2314k +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，即23214k +-<-≤，从而11722k -<-≤，∴5k =-或4-，相应的x 为94-，74-，故所有实根之和为97444⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭．三、解答题:本大题共6小题，共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数2π()2sincos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间． 【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ）函数2π()2sincos 22f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2x x =-+π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴πππ211884f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得:π()214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==,令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤， 则3π5πππ88k x k +=≤≤，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递减区间为3π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,()k ∈Z ．16．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设π3A =，sin 3sin B C =．(Ⅰ）若a ，求b 的值． （Ⅱ)求tan C 的值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵sin 3sin B C =， ∴由正弦定理可得：3b c =， 由余弦定理可得:2222cos a b c bc A=+-，π3A =，a =，∴227b c bc=+-， ∴222733b b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得3b =． （Ⅱ）∵π3A =，∴2π3B C =-，∴2πsin 3sin 3C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即1sin 3sin 2C C C +=，∴5sin 2C C =，∴tan C =17．已知定圆22:(3)4C xy +-=,定直线:360m x y ++=,过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点,M 是PQ 中点． (Ⅰ）当l 与m 垂直时,求证：l 过圆心C ． (Ⅱ)当||PQ =l 的方程．（Ⅲ）设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值,若为定值,请求出t 的值；若不为定值,请说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由已知13mk =-,故3lk=，∴直线l 的方程为3(1)y x =+，将圆心(0,3)C 代入方程3(1)y x =+成立， 故l 过圆心C ．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时,易知1x =-符合题意, 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为(1)y k x =+， ∴||PQ =∴||1CM =， 即1=，解得43k =,此时，4(1)3y x =+，即4340x y -+=，故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=．（Ⅲ）当l 与x 轴垂直时,易得(1,3)M -，51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又(1,0)A -，则(0,3)AM =，50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故5AM AN ⋅=-, 即5t =-，当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+, 代入圆的的方程得：2222(1)(26)650k xk k x k k ++-+-+=,则2122261k kx x k -++=+，2122321M x x k k x k +-+==+，223(1)1M M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，222313,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭，又由(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭，则55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 故t AM AN =⋅2221555(3)(1)(13)(1)(13)k k k k k k k k ---+=+++++225(13)(1)(13)(1)k k k k -++=++ 5=-，综上所述，t 的值为定值,且5t =-．18．已知函数21()4f x x=+，1()ln(2e )2g x x =．（Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的最小值．（Ⅱ）是否存在一次函数()h x ，使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥，且()()h x g x ≥成立？若存在,求出()h x 的表达式；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）()()y f x g x =-的定义域为{}|0x x >，211()()ln(2e )42y x g x xx =-=+-,2141222x y x x x-'=-=,易知102x <<时,0y '<，12x >时，0y '>，∴()()y f x g x =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴当12x =时，()()y f x g x =-取得最小值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ)知，1118222f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故可证1()22kh x kx =+-，代入()()f x h x ≥,得21024k xkx -+-≥恒成立,∴2(1)0k ∆=-≤,∴1k =，()h x x =，设1()ln(2e )2G x x x =-，则1()12G x x'=-， 当102x <<时，()0G x '<，当12x >时，()0G x '>，∴()G x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥,即()()h x g x ≥对一切0x >恒成立,综上，存在一次函数()h x ,使得对于(0,)x ∀∈+∞，总有()()f x h x ≥， 且()()h x g x ≥,()h x x =．19．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率．（Ⅱ）设P 为第三个象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证:四边形ABNM 的面积为定值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ)∵椭圆2222:1x y C a b+=，过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，∴2a =，1b =，c∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=，离心率ce a==（Ⅱ）设P 点坐标为000(,)(0,0)x y xy <<，则直线PB 的方程为0011y y x x --=⋅，N点坐标为00,01xy⎛⎫⎪-⎝⎭,直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--，M点坐标为020,2y x⎛⎫⎪-⎝⎭，则001221ABNx Sy ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭△，0000212212MNAx y Sy x ⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭△，所以ABNMABN MNA SS S =+△△△00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 20000(22)12(1)(2)x y y x +-=⋅-- 220000000000444481222x y x x y y x y x y ++-+-=⋅--+①，又∵220014x y +=，∴22044xy +=，代入①得:00000000444481222ABNM x x y y S x y x y +-+-=⋅--+ 0000)00004(221222x x y y x y x y -+-=⋅--+ 2=．故四边形ABNM 的面积为定值2．20．若无穷数列{}na 满足：只要(,*)pq aa p q =∈N ,必有11p q aa ++=，则称{}na 具有性质P ．（Ⅰ）若{}na 具有性质P ,且11a =，22a=,43a =，52a=，67821aa a ++=,求3a ．（Ⅱ)若无穷数列{}nb 是等差数列，无穷数列{}nc 是公比为正数的等比数列,151b c==,5181b c ==,n n na b c =+判断{}na 是否具有性质P ，并说明理由．(Ⅲ)设{}nb 是无穷数列，已知1sin (*)n n n ab a n +=+∈N ，求证：“对任意1a ，{}na 都具有性质P "的充要条件为“{}nb 是常数列”．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ)∵{}na 具有性质P ，已知252aa ==，∴36aa =，47aa =，58aa =,∴678345a a a a a a ++=++，又43a=,52a =,66821a a a ++=，∴3213216a=--=．(Ⅱ)设{}nb 公差为d ,{}nc 公比为0q >，∵51480b b d -==，∴20d =， ∴2019nbn =-，∵451181cq c==，∴13q =，∴513n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5120193n n n n a b c n -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，∵182a =,582a=而2212748a=+=,6130410133a =+=，15a a =但26aa ≠，故{}na 不具有性质P ．（Ⅲ）充分性：已知{}nb 是常数列，设nbc=，则1sin n n ac a +=+,若存在p 、q 使得pqaa =，则11sin sin p p q q ac a c a a ++=+=+=，故{}na 具有性质P ，必要性:若对任意1a ，{}n a 具有性质P ，则211sin ab a =+，设函数1()f x x b =-，()sin g x x =，由()f x ,()g x 图像可得，对任意的1b ，二者的图像必有一个交点，∴一定能找到一个1a ,使得111sin a b a -=，∴2111sin ab a a =+=，∴1nn a a +=，故1211sin sin n n n n n nbaa a ab ++++-=-=，∴{}nb 是常数列，综上“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ” 的充要条件为“{}nb 是常数数列”．。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京市西城八中2017届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知全集U =R ，若集合{}2|0A x x x =-<，则U A =ð（）．A ．{|0x x ≤或}1x ≥B ．{|0x x <，或}1x >C ．{}|01x x <<D ．{}|1x x ≥【答案】A【解析】∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<，∴{|0U A x x =ð≤或1}x ≥，故选A ．2．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（）．A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】1i z =-，z ．故选B ．3．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数是（）．A ．ln(2)y x =+B ．y =．12xy = D ．1y x x=+【答案】A【解析】A 选项，ln(2)y x =+在(2,)-+∞上是增函数，所以在(0,)+∞上为增函数，故A 正确；B 选项，y =(1)-+∞上是减函数，故B 错误；C 选项，12xy =在R 上是减函数，故C 错误； D 选项在(,1)-∞-和(1,)+∞上是增函数，在(1,0)-和(0,1)上是减函数，故D 错误．综上，故选A ．4．在数列{}n a 中，“对任意的n *∈N ，212n n n a a a ++=”是数列“{}n a 为等比数列”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件． 【答案】B【解析】充分性：若0n a =，那么数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，但是{}n a 不是等边数列，故充分性不成立；必要性：若数列{}n a 是等比数列，那么根据等比数列的性质可知212n n n a a a ++=成立，故必要性成立．所以在数列{}n a 中，“对任意*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是数列{}n a 为等比数列的必要不充分条件，故选B ．5．将函数()sin2f x x =的图像向左平移π6个单位后，与函数()g x 的图像重合，则函数()g x =（）． A ．πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可知πππ()sin 2sin 2663g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D ．6．已知A ，B 为双曲线E 的左、右定点，点M 在E 上，ABM △为等腰三角形，且顶角为120︒，则E 的离心率是（）．AB ．2CD【答案】C 【解析】设双曲线方程为22221x y a b-=，（0a >，0b >），如图所示，||||AB BM =，120ABM ∠=︒，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，则60MBN ∠=︒，在Rt BMN △中，||||2BM AB a ==，60MBN ∠=︒，即有||2cos60BN a a =︒=，||2sin 60MN a =︒=，故(2)M a ，将M 坐标代入双曲线方程得2222431a a a b -=，故22a b =，222c a =，所以ce a==C ．7．函数1()cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ππx -≤≤且0x ≠）的图像可能为（）．A ．B ．C ．D．【答案】D【解析】∵11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于原点对称，故排除A ，B ，又当πx =时，11(π)πcos ππ0ππf ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除C ，故选D ．8．某市乘坐出租车的收费办法如下：收费用，用[]x 表示不大于x 的最大整数，则图中1处应填（）．A ．1242y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦B ．1252y x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦C ．1242y x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦D ．1252y x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米，则不收费，若其大于或等于0.5千米，则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当4x >时，所收费用11124212522y x x ⎡⎤⎡⎤=+-+⨯+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故选D ．二、填空题（每小题5分，共30分） 9．抛物线22y x =-的焦点坐标为__________． 【答案】1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】抛物线22y x =-，开口向左，1p =，故焦点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．已知向量(,3)a k =r ，(1,4)b =r ，(2,1)c =r ，且(23)a b c -⊥r r r ，则实数k =__________．【答案】3【解析】232(,3)3(1,4)(23,6)a b k k -=-=--r r，∵(23)a b c -r r r ⊥， ∴2(23)(6)0k -+-=， 解得3k =．11．圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角大小为__________． 【答案】90︒【解析】由题可知，根据圆的标准方程22:(2)(2)8C x y -+-=，令0x =， 解得10x =，24x =，因此，(0,0)A ，(0,4)B ，||4AB =，在OAB △中，||OB =||OA =||4AB =， 因此OAB △为直角三角形，即90AOB ∠=︒， 故弦AB 所对的圆心角的大小为90︒．12．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是___________，四棱锥侧面中最大侧面积是__________．俯视图正视图侧视图【解析】CBAPO D根据三视图画出该四棱锥的直观图， 可知，底面ABCD 是边长为1的正方形，PAD △是边长为1的正三角形， PO AD ⊥于O ，O 为AD 中点，所以四棱锥的体积为1113V =⨯⨯ 四棱锥中最大的侧面是PBC △，PB PC ==1BC =，112S =⨯．13．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()1010V t H t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（H 为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /h)v ．那么1t ，2t ，3t ，4t 中，瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻是图中的__________． 【答案】3t 【解析】(100)(0)1000v v v -=-，反映的是()v t 图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知3t 处瞬时速度（即切线的斜率）与平均速度一致．14．区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定，若(,)M x y 为D上的动点，点A ，O 为坐标原点，则OM OA ⋅u u u u r u u u r的最大值为__________．【答案】4 【解析】由不等式组确定的平面区域如图所示，z DM DA y =⋅=+u u u u r u u u r，即y z =+，首先做出直线y =，将直线y =平行移动， 当经过点B 时y 轴上的截距最大，从而z 最大．因为B ，故z 的最大值为4．三、解答题（共80分）15．已知函数2()(1)cos f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域和最小正周期． （Ⅱ）当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，∵22()(1)cos cos cos n f x a x x x x x ==+11cos2222x x =+ π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∴()f x 的最小正周期πT =． （Ⅱ）∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ7π2666x <+<， ∴1πsin 2126x ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭≤，∴π30sin 262x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭≤，故当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 的值域为30,2⎛⎤⎥⎝⎦．16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足432n n a S -=，其中n *∈N ． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等比数列．（Ⅱ）设142n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）432n n a S -=，① ∴当1n =时，11432a S -=，解得12a =； 当2n ≥时，11432n n a S ---=，② 由①-②得11443()0n n n n a a S S -----=， ∴14430n n n a a a ---=， ∴14n n a a -=， 由12a =得0n a ≠，故{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，124n n a -=⨯，∴114442n n n b a n n -=-=-，则{}n b 的前n 项和，0121(4444)4(123)n n T n -=++++-++++L L14(1)4142n n n -+=-⨯- 2412233n n n =---．17．如图，椭圆22:14x C y +=的左顶点为A ，M 是椭圆上C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）求点A 的坐标和椭圆C 的离心率．（Ⅱ）若椭圆C 上是否存在点M ，使得OP OM ⊥，若存在，求出M 横坐标的取值；若不存在，说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）椭圆22:14x C y +=，∴2a =，1b =，c故A 点坐标为(2,0)-，离心率c e a =． （Ⅱ）在椭圆C 上不存在点M ，使DP OM ⊥，理由如下：假设存在点M 使OP OM ⊥，设M 点00(,)x y ，则00(22,2)P x y +且220014x y +=， ∵OP OM ⊥，∴0000(22)20x x y y ++⋅=，化简得2003104x x ++=，∵314204∆=-⨯=-<，∴方程无解．故在椭圆C 上不存在点M ，使得OP OM ⊥．18．某中学有初中生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a 的值．（Ⅱ）试估计该校学生中，阅读时间不小于30小时的学生人数．（Ⅲ）从阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1一名高中生的概率． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得： (0.0050.0200.0400.005)101a ++++⨯=，∴0.03a =．（Ⅱ）由分层抽样可以知道：抽取的初中生有60名，高中生有40名， ∵初中生中，阅读时间不少于30小时的学生的频率为 (0.030.005)100.25+⨯=，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.251800450⨯=人；同理，高中生阅读时间不少于30小时的学生的频率为： (0.030.005)100.35+⨯=，∴所有的高中生阅读时间不少于30小时的学生有：0.351200420⨯=人，故所有的学生阅读时间不少于30小时的学生约有450420870+=人．（Ⅲ）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=， 样本人数为0.05603⨯=人，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=， 样本人数为0.05402⨯=人．故从阅读时间不足10小时的样本中随机抽取2人，至少抽到一名高中生的概率是2325C 71C 10P =-=．19．已知函数321()13f x x x ax =+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,1)处切线的斜率为3-，求函数()f x 的单调区间． （Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2()2f x x x a '=++， ∵()y f x =在点(0,1)处的切线斜率为3-， ∴(0)3f a '==-， ∴2()23f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或1x >， 令()0f x '<，解得31x -<<．∴函数()f x 的单调递增区间是(,3)-∞-和(1,)+∞， 单调递减区间是(3,1)-．（Ⅱ）∵函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，∴()0f x '≥时，[2,]x a ∈-恒成立，故只需2()2f x x x a '=++在[2,]a -上的最小值大于等于零即可．∵函数2()20f x x x a '=++≥的对称轴为1x =-， ∴当21a --≤≤时，()f x '在[2,]a -的最小值为()f a '， 令2()30f a a a '=+≥，解得0a ≥或3a -≤，不符合；当1a >-时，()f x '在[2,]a -的最小值为(1)f '-，令(1)120f a '-=-+≥得1a >，∴1a ≥，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≥．20．已知椭圆C的左、右焦点坐标为别为1(F，2F．椭圆C 的左、右顶点分别记为A ，B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10:3l x =-分别交于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）求线段MN 长度的最小值． （Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上的点T 满足：TSA △的面积为15．试确定点T 的个数．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵c a =c ∴2a =，1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）易知椭圆C 的左、右顶点坐标为(2,0)A -，(2,0)B ，直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+， 从而104,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)161640k x k x k +++-=． 设11(,)S x y ，则212164214k x k --=+，得2122814k x k -=+， 从而12414k y k =+，即222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 又(2,0)B ，故直线BS 的方程为1(2)4y x k=--，由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得10343x y k⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴104,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故448||333kkMN k =+≥， 当且仅当4433kk =，即1k =时等号成立．故当1k =时，线段MN 的长度取最小值83．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当线段MN 的长度最小值时，1k =， 此时AS 的方程为20x y -+=，64,55S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴||AS =要使TSA △的面积为15，只需点T 到直线AS，所以点T 在平行于AS 且与AS的直线l '上．设:0l x y t '-+=4=，解得32t =或52t =． ①当32t =时，由221432x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩得251250x x ++=，∵440∆=>，故直线l '与椭圆C 有两个不同交点． ②当52t =时，由221452x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩得2520210x x ++=，∵200∆=-<，故直线l '与椭圆C 没有交点． 综上所述，点T 的个数为2．。

北京市第十四中学2017~2018学年度第一学期高三 数学学科期中试卷第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上．1．设集合{}2|340M x x x =--<，{}|05N x x =≤≤，则M N = （）． A ．(0,4] B ．[4,0) C ．[1,0)- D ．(1,0]-【答案】B【解析】∴2340x x --<，解得14x -<<， ∴{}|14M x x =-<<， ∴{}|04M N x x =< ≤．故选B ．2．复数i(i 2)-在复平面内所对应的点落在第（）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】i(i 2)12i -=--， ∴应落在第三象限．故选C ．3．下列极坐标方程表示圆的是（）． A ．1ρ= B ．π2θ=C ．sin 1ρθ=D ．(sin cos )1ρθθ+=【答案】A【解析】A 选项1ρ=，2221x y ρ==+表示圆． 故选A4．下列说法中正确的是（）．A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若0:p x ∃∈R ，2010x x -->，则:p x ⌝∀∈R ，210x x --< C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若π6α=，则1sin 2α=”的否命题是“若π6α≠，则1sin 2α≠”【答案】D【解析】A ．()f x 是奇函数，(0)f 不一定存在，如1()f x x=，错； B ．p ⌝应为x ∀∈R ，210x x --≤，错；C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 中有一个为假即可，错．故选D ．5．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）．A ．14B ．π8C ．12D ．π4【答案】B【解析】由图可知，黑色图形面积占圆的一半， 设正方形边长为2x ，则r x =， ∴22ππ248x p x ==． 故选B ．6．若实数x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤，则2x y +的最大值为（）．A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】D【解析】如图所示，x ，y 满足阴影部分，2z x y =+，122zy x -+，当直线过C 时，z 最大，∴max 9z =． 故选D ．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）． A．2B．4C．2+D ．5【答案】C【解析】如图所示，图形为D ABC -，侧视图正(主)视图侧(左)视图12222ABC S =⨯⨯=△，112DAC DAB S S ==△△，BD CD =∴122BCD S =⨯△∴表面积为222++ 故选C ．8．若函数()f x 满足：“对于区间(1,2)上的任意实数1x ，212()x x x ≠，2121|()()|||f x f x x x -<-恒成立”，则称()f x 为完美函数．给出以下四个函数①1()f x x =②()||f x x =③1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭④2()f x x =．其中是完美函数的是（）． A ．①B ．②③C ．①③D ．②③④【答案】C【解析】①1221211211|()()|x xf x f x x x x x --=-=， ∵1x ，2(1,2)x ∈， ∴12122112||||x x x x x x x x -<-=-， ∴①符合；②212121|()()|||||||||f x f x x x x x -=-=-，∴不符合；③21212111|()()|||22x xf x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合；④2221212121|()()||||()()|f x f x x x x x x x -=-=-+， ∵1x ，2(1,2)x ∈， ∴121x x +>，∴21212121|()()||()||[]f x f x x x x x x x -=+->-，不符合． 故选C ．第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在答题纸上． 9．在5(2)x +的展开式中，3x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】90212D AB C【解析】二项展开式中含3x 的项为323353C 240x x =，∴系数为40．10．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为__________． 【答案】4 【解析】166()6482a a S +⨯==， ∴1616a a +=， ∵4524a a +=，∴451628a a a a d +-+==，∴4d =．11．阅读程序框图，该程序输出的结果是__________．【答案】(4,0)-【解析】1x =，1y =，0k =时，0S =，2t =，0x =，2y =，1k =，2S =-，2t =， 2x =-，2y =，2k =，4S =-，0t =， 4x =-，0y =，3k =，∴输出(4,0)-．12．若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2【解析】e 21a =，2b m =，21c m =+，∴e c a ===， ∴2m =．13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC = ．若M N x A B y A C =+，则x y +=__________．【答案】23【解析】如图：MN MC CN =+2132AC CB =+21()32AC AB AC =+-1126AB AC =+， ∴12x =，16y =，∴23x y +=．14．定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(,)a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭，则称这两个不等式为相连不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin 210x x θ++<为相连不等式，且π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ=__________．【答案】5π6【解析】设2cos220x θ-+=的两根a ，b ， 则224sin 210x x θ++=的两根为1a ，1b，∴112sin 2a b a b ab θ++=-==，即tan 2θ= ∵π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5π6θ=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或证明过程． 15．（13分）已知函数2()sin cos 2cos 1f x a x x x =-+的图象经过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求实数a 的值．（2）若[0,π)x ∈，求()f x 的值域． 【答案】（1）2a =．（2）[．【解析】（1）()sin2cos22af x x x =-，经过π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭∴πππsin cos 08244af ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴2a =．（2）π()sin 2cos224f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当[0,π)x ∈时，ππ72,π444x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，∴当ππ242x -=时，即3π8x =时，max ()f x当π32π42x -=，即7π8x =时，min ()f x =∴()f x值域为[．16．（13分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84 乙：92，95，80，75，83，80，90，85 （1）用茎叶图表示这两组数据．（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由．（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）（2）派甲． （3）9()4E ξ=． 【解析】（1）茎叶图如下：2503500884215789935甲乙2503500884215789935甲乙（2）派甲1(7978888482819593)8x =⨯+++++++甲【注意有文字】85=，1(7580808583909295)8=⨯+++++++乙【注意有文字】85=，235.5S =甲，241S =乙，x x =甲乙，22S S <甲乙，【注意有文字】∴派甲合适．（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， 63()84p A ==， 则ξ可能为0，1，2，3，且ξ服从33,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴31333()C 144kkP k ξ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2，3，分布列为：∴39()344E ξ=⨯=．17．（14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ==︒∠∠，O 为EF 的中点．（1）求证：AO BE ⊥．（2）求二面角F AE B --的余弦值． （3）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．【答案】（1）见解析．（2）（3）43a =．【解析】（1）证明：∵AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点， ∴AO EF ⊥， ∵AEF ⊥面EFCB ， ∴AO ⊥面EFCB ， ∴AO BE ⊥．（2）取BC 中点G ，连结OG ，EFCB 为等腰梯形， ∴OG EF ⊥，F E CBAO∵AO ⊥面EFCB ，OG EFCB ⊂， ∴AO OG ⊥，如图建系：∴(,0,0)E a ，)A，),0)B a -，()EA a =-，(2),0)BE a a =--，设AEB 法向量(,,)n x y z =，则(2)2)0ax a x a y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩， ∴1z =，x =1y =-，∴1,1)n =-，面AEF 法向量为(0,1,0)P =，∴cos ||||n P n P n P ⋅<⋅>==∴余弦为 （3）∵BE ⊥面AOC ，∴BE OC ⊥，即0BE OC ⋅=，∵(2),0)BE a a =--，(),0)OC a =--， ∴22(2)3(2)0BE OC a a ⋅=----=，且02a <<， ∴43a =．18．（13分）设0a >，函数ln ()a xf x x=． （1）讨论()f x 的单调性．（2）求()f x 的区间[,2]a a 上的最小值． 【答案】（1）增区间(0,e)，减区间[e,)+∞．（2）当02a <<时，min ()ln f x a =，当2a ≥时，min 1()ln22f x a =【解析】（1）ln ()(0)a xf x x x=>， ∴2(1ln )()a x f x x -'=，∵0a >，∴当(0,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 单增，当[e,)x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 单减， ∴()f x 的单调增区间为(0,e)， 单调减区间为[e,+)∞．（2）当2e a ≤时，()f x 在[,2]a a 上单增， min ln ()()ln a af x f a a a===， 当e a ≥时，()f x 在[,2]a a 上单减， ∴min ln21()(2)ln222a a f x f a a a ===， 当e 2a a <<时，即ee 2a <<时，()f x 在(,e)a 上单增，在(e,2)a 上单减，∴{}min ()min (),(2)f x f a f a =， ()ln f a a =，1(2)ln22f a a ==a ，当2e a <≤时，0a ，即()(2)f a f a >， ∴min 1()(2)ln22f x f a a ==，当e22a <<时，()(2)f a f a <，min ()()ln f x f a a ==， ∴综上所述：当02a <<时，min ()()ln f x f a a ==， 当2a ≤时，min ()(2)f x f a ==19．（13分）已知椭圆2222:1()x y C a b c a b +=>>A ⎛ ⎝⎭在椭圆上． （1）求椭圆C 的方程．（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交于两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP 、2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214x y +=．（2）圆方程为225x y +=，斜率之积14-．【解析】（1）223141c aab ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =，∴椭圆方程为2214x y +=．（2）设存在，且圆方程为222x y r +=， 当k 存在时，设l 方程y kx m =+，2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：222(41)8440k x kmx m +++-=， 2221(8)4(1)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+，222y kx mx y r=+⎧⎨+=⎩，得：2222(1)20k x kmx m r +++-=， 22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->，设1(,)P x y ，222(,)P x y ，∴12221m x x k -+=+，221221m r x x k -=+，12221212121212()()OP OP y y k x x km x x m k k x x x x +++⋅== 22222m r k m r-=-， ∵2241m k =+， ∴122222(4)14(1)OP OP r k k k k r -++⋅=+-， 要为定值，则224141r r-=+，即25r =， ∴当225x y +=时，1214OP OP k k ⋅=-，当k 不存在时，2x =±，225x y +=的交点1P ，2P ， 满足1214OP OP k k ⋅=-，∴成立．20．（14分）已知函数()e x f x kx =-． （1）若e k =，确定函数()f x 的单调区间．（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，(||)0f x >恒成立，求实数k 的取值范围． （3）求证：不等式15e (1)4i nni n =>+∑对任意正整数n 恒成立．【答案】（1）增区间(1,)+∞，减区间(,1)-∞． （2）0e k <<． （3）见解析． 【解析】（1）e k =，∴()e e x f x x =-，()e e x f x '=-，∴当1x >时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<， ∴()f x 单调增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞．（2）(|1|)(||)f x f x -=，∴(||)f x 为偶函数，∴(||)0f x >对x ∈R 恒成立，等价于()0f x >， 对0x ≥恒成立，∴()e 0x f x k '=-=，解得lnk x =， 当(0,1]k ∈时，()0f x '>，在0x ≥时成立， ∴()f x 在[0,)+∞上为增函数，∴()(0)10f x f =>≥，符合题意，当(1,)k ∈+∞时，ln 0k >，∴(0,ln )x k ∈时，()0f x '<，()f x 减， (ln ,)x k ∈+∞时，()0f x '>，()f x 增， ∴()(ln )ln (1ln )0f x f k k k k k k =-=->≥， ∴1e k <<，综上0e k <<．（3）证明：由（2）可知，当0e k <<时，()0f x >恒成立， 即e x kx >恒成立，12112ee e e in n n n n n i n k k k n n n==+++>++∑ 1n k nn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (1)2(1)2n nk k n n +==+，当52k =时，15e 4i n n i =>∑，得证．。