【西城学探诊】人教B版高中数学选修4-4导学案：1.2.(1、2)极坐标系

1.2.2极坐标与直角坐标的关系学习目标：1.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式.2.会实现极坐标和 直角坐标之间的互化.学习重点：理解极坐标和直角坐标的互化．学习难点：互化公式的掌握．【任务一】复习引入情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？【任务二】学习新知以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： x y =⎧⎨=⎩ t a n ρθ=⎧⎨=⎩ 说明1.上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式.2.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2.3.互化公式的三个前提条件.①极点与直角坐标系的原点重合;②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;③两种坐标系的单位长度相同.例1.把下列点的极坐标化成直角坐标：（1）A (2，34π) (2)B (4，143π) (3)M (-5，6π) (4)N (-3，π-).x变式1.在极坐标系中，已知(2,),(3,),66A B ππ-求A,B 两点的距离例2.在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，54π为等腰直角三角形ABC 的两个顶点，求直角顶点C 的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．变式2. 在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上．例3.在极坐标系中求下列两点之间的距离．(1)A ⎝⎛⎭⎫3，－π3，B ⎝⎛⎭⎫1，23π； (2)A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫4，π3； (3)A ⎝⎛⎭⎫1，π3，B ⎝⎛⎭⎫2，23π.答：（1） （2） （3）例2.在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，54π为等腰直角三角形ABC 的两个顶点，求直角顶点C 的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解析：设直角顶点C 的极坐标为(ρ，θ)，由题意可知||AC ＝||BC ＝22||AB ， 故22＋ρ2－2×2×ρ×cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝22＋ρ2－2×2×ρ×cos ⎝⎛⎭⎫θ－5π4＝22||AB ＝2 2. 所以θ＝74π或θ＝34π，ρ＝2. 所以直角顶点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，34π或⎝⎛⎭⎫2，74π. 变式2. 在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上．解析：(1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M 的直角坐标为(1，－3)； N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3， ∴k MN ＝k NP ，∴M ，N ，P 三点在一条直线上．例3.在极坐标系中求下列两点之间的距离．(1)A ⎝⎛⎭⎫3，－π3，B ⎝⎛⎭⎫1，23π； (2)A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫4，π3； (3)A ⎝⎛⎭⎫1，π3，B ⎝⎛⎭⎫2，23π.答：（1） （2） （3）解析：(1)∵A ⎝⎛⎭⎫3，－π3，B ⎝⎛⎭⎫1，23π∴∠AOB ＝23π－⎝⎛⎭⎫－π3＝π，即A 与B 在一条直线上．∴|AB |＝3＋1＝4. (2)∵A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，∴∠AOB ＝π3－π4，cos ∠AOB ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝cos π3cos π4＋sin π3sin π4＝12×22＋32×22＝6＋24. ∴|AB |＝22＋42－2×2×4cos ∠AOB ＝4＋16－16× 6＋24＝20－46－4 2. (3)∵A ⎝⎛⎭⎫1，π3，B ⎝⎛⎭⎫2，23π ∴∠AOB ＝23π－π3＝π3， ∴|AB |＝12＋22－2×1×2×cos ∠AOB ＝1＋4－4×cos π3＝ 3.。

极坐标系[对应学生用书][读教材·填要点]．平面上点的极坐标()极坐标系的建立：在平面内取一个定点，由点出发的一条射线，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．点称为极点，称为极轴．()点的极坐标：平面上任一点的位置可以由线段的长度ρ和从到的角度θ来，称为点的极坐标，ρ(刻画，这两个数组成的有序数对ρ)θ称为称为θ极，极径角．．极坐标与直角坐标的关系()极坐标和直角坐标变换的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．()极坐标和直角坐标的变换公式：(\\(＝ρ θ，＝ρ θ；))或(\\(ρ＝＋，θ＝()(≠(.))[小问题·大思维]．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋π)或(－ρ，θ＋(＋)π)(其中∈)．．若ρ>≤θ<π，则除极点外，点(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞≤θ＜π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．．若点的极坐标为(ρ，θ)，则点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点的极坐标是(ρ，θ)，则点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．[对应学生用书][例]已知定点.()将极点移至′处，极轴方向不变，求点的新坐标；()极点不变，将极轴顺时针转动，求点的新坐标．[思路点拨]本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析]()设点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知′＝，＝，∠＝，∠′＝，∴∠′＝.在△′中，ρ＝＋()－···＝＋－＝，∴ρ＝.即′＝.∴＝′＋′，∠′＝.∴∠′＝.∴∠′＝π－－＝.∴∠′＝.∴∠′′＝.∴点的新坐标为.()如图，设点新坐标为(ρ，θ)，。

第二课时 点的极坐标与直角坐标的互化一、教学目标一知识与技能目标掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法．二过程与方法目标能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题．三情感态度与价值观目标极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育．二、教学重难点1．重点：点的极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法；2．难点：直角坐标化为极坐标时极角的取值范围。

三、教学过程一知识回顾、引入新课知识回顾:1什么是极坐标系（如图所示）及其四要素①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位（弧度）及它的正方向（逆时针方向）。

2点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应 的限制条件),(θρM ,πθρ20,0<≤>限制条件引入新课:思考：平面内一点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么这 两种坐标之间有什么关系呢？（二）新课讲授1、探讨极坐标与直角坐标的关系互化的前提：①极点与直角坐标系的原点重合;②极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合；③两种坐标系的单位长度相同。

思考1：平面内的一个点的直角坐标是A （1，1），则该点极坐标为______思考2：平面内的一个点的极坐标是)2,2(πB ，则该点直角坐标为______2 极坐标与直角坐标的互化如图1，设点M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，若把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设点M 的极角为θ，极径为ρ，则点M 的极坐标为),(θρ，图1问题一：点M 的两种坐标之间有什么关系？答：从图1可知θρθρsin ,cos ==y x ，①说明：已知平面内任意一点M 的极坐标),(θρ可化成直角坐标),(y x问题二：如何将点M 的直角坐标),(y x 化成极坐标呢？答：由①可知：22(0),tan (0)yx y x x ρρθ=+>=≠②②说明：已知平面内任意一点M 的直角坐标),(y x 可化成极坐标),(θρ综上可知: 1互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合;②极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合；③两种坐标系的单位长度相同。

《平面上点的极坐标》教学设计教材版本：人民教育出版社数学B 版选修4-4坐标系与参数方程第一章坐标系平面上点的极坐标 一. 教材的地位与作用本专题《坐标系与参数方程》是解析几何中的一个重要内容，而坐标系是解析几何的基础，现阶段学生应用最多的坐标系是平面直角坐标系，但在某些生产生活领域中，应用平面直角坐标系来刻画点的位置效果并不理想，比如在气象监测中对台风位置的预测、航海中对目标位置的描述、军事演习中对射击目标的刻画等，都要运用方向和距离，这就是建立极坐标系的基本思路极坐标系不仅在生活中具有广泛的应用，也是高考选做题的必考题目本课内容是极坐标知识中的基础知识，更是极坐标系的重点内容二学情分析学生具有熟练应用平面直角坐标系刻画点位置的能力,并掌握直线与圆的直角坐标方程,对生活中用距离和角度刻画点位置的实例并不陌生,并积累了一定的数学活动经验,具有一定的自主探究能力三教学目标知识与技能:了解极坐标系的概念，会用极坐标表示平面上的点，掌握极坐标系中一点关于极点、极轴及过极点且垂直于极轴的直线的对称点，理解方程0ρρ=与0θθ=的意义过程与方法:经历由具体事例引入极坐标系的过程,体会极坐标系在生活中的广泛应用和在平面内描述点位置时建立极坐标系与平面直角坐标系的区别，进一步加强学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力情感、态度与价值观:通过自主探究发现点对称的规律和两族坐标曲线0ρρ=与0θθ=,加深对点的极坐标的理解,体会数学中的图形美,培养学生的创新意识和善于发现问题的敏锐感知；通过课前小组探究，体会数学文化的魅力，激发学习兴趣四教学重点与难点重点: 极坐标系的概念及平面内点的极坐标 难点:发现点对称的规律和理解方程0ρρ=与0θθ=的意义五教学方法结合教学内容与教学实际，本节课采用教师引导与学生自主学习相结合的教学方法通过引入用距离和角度描述点位置的实际情境，引发学生体会极坐标系在生活中的应用与作用在定义平面上点的极坐标后，通过作图，让学生进一步体会极坐标中ρ,θ的意义，突出教学重点；经历由特殊到一般的过程，使学生对点对称的规律和两族坐标曲线由感性认识上升到理性认识，突破教学难点结合本节知识，鼓励学生利用网络资源拓展视野，激发学习兴趣，感受数学文化在课后作业中既体现了对学生双基的培养，又为有能力的学生提供发展自我的空间，同时引导预学，使新旧知识得以更好地衔接六教学过程七教学反思“平面直角坐标系与极坐标系的对比”这一问题可以调整到例2之前进行，这样更有利于学生理解极坐标系。

极坐标系一、教学目标知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别；过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活又服务于生活，体会数学的应用价值，激发学生的学习数学的热情。

二、教学重难点重点：理解并能用极坐标刻画点的位置。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。

三、学法指导：认真阅读教材是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ以极轴O为始边,射线OM为终边的角OM叫做点M的极角,记为θ；有序实数对（ρ，θ）叫做点M的极坐标,记为M（ρ，θ）；注：一般地,不做特殊说明时,我们认为ρ>0例1如图，在极坐标系中，写出各点的极坐标。

X（三）点的极坐标的表达式的研究想一想①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 思考：这些极角有何关系？例2．在极坐标系里描出下列各点（四）负极径1、负极径的定义2、负极径的实例3、负极径的实质（五）极坐标系下点的极坐标探索点M （3，π/4）的所有极坐标 (3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3A B CD E F G ππππππ[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：（六）极坐标系下点与它的极坐标的对应情况如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了例31 在极坐标系中，与点－3, 6π重合的点是2在极坐标系中,与ρ,θ关于极轴对称的点是3在极坐标系中,与点－8, 6π关于极点对称的点 的一个坐标是小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向。

[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。

1.2 极坐标系 1.2.1 平面上点的极坐标 1.2.2 极坐标与直角坐标的关系1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向.(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.O 点称为极点，Ox 称为极轴.(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从射线Ox 到射线OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标. 2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位. (2)互化公式：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 【思维导图】【知能要点】1.极坐标系的四要素.2.点的极坐标的写法.3.极坐标和直角坐标的互化.知识点1极坐标系的概念与点的极坐标1.极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.2.点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋2kπ) (k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π) (k∈Z).在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定.给定点的极坐标(ρ，θ)可唯一地确定了平面上的一个点.但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系，这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.【例1】已知最内层的圆的半径为1，且各圆间等距离，距离为1.写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π).解：对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E (9，0)，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2.【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了.(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.1.已知最内层的圆的半径为1，且各圆间等距离，距离为1.写出下列图中各点的极坐标.解：A (4，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，1312π，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，53π.【例2】 在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B (6，－120°)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，180°). 解：各点描点如图所示.【反思感悟】知道点的极坐标(ρ，θ)，我们可以先根据极角θ确定方向(射线)，然后根据ρ来确定距离，进而描出(ρ，θ)的对应点.2.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0))解：以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得|AB |＝300 m ，|OA |＝3003m ，同样求得|OD |＝2|OF |＝3002，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4. 【例3】 在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4C.(23，π)D.(3，π)答案：B解析：如图所示，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，|OC |＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.【反思感悟】 (1)在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的. (2)极坐标系中的有关对称问题：点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，关于过极点与极轴垂直的直线的对称点是(ρ，π－θ)，关于极点O 的对称点是(ρ，π＋θ).3.已知点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6 答案：B解析：描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边.又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2，就是由极角为π2的点的集合.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选择项没有这样的坐标.又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.知识点2 两点间的距离公式一般地，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.【例4】 已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积.解：求两点间的距离可用如下公式：|AB |＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.【反思感悟】 求两点间距离可以直接套用公式，求三角形面积时可以结合公式S ＝12ab sin θ考虑.4.在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，则△ABC 是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 答案：C解析：在△AOB 中，|OA |＝5，|OB |＝8，∠AOB ＝5π6－π2＝π3，由余弦定理得|AB |2＝25＋64－2×5×8×cos π3＝49，在△AOC 中，|OA |＝5，|OC |＝3，∠AOC ＝7π6－π2＝2π3，由余弦定理得 |AC |2＝25＋9－2×5×3×cos 2π3＝49，在△BOC 中，|OB |＝8，|OC |＝3，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3， 由余弦定理得|BC |2＝64＋9－2×8×3×cos π3＝49， ∴|AB |＝|AC |＝|BC |＝7，即△ABC 为等边三角形. 知识点3 极坐标与直角坐标的互化我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任一点，如图所示，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.①从①可得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. ② ①与②是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)之间的换算公式.【例5】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标. 解：(1)x ＝－5cos π6＝－523， y ＝－5sin π6＝－52.∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tan θ＝－1－3＝33.又∵点N 在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝76π. 故点N 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.【反思感悟】 把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般只要取θ∈[0，2π)，ρ>0即可.5.(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标.(ρ>0，0≤θ<2π)解：(1)x＝8cos 2π3＝－4，y＝8sin2π3＝43，因此，点M的直角坐标是(－4，43).(2)ρ＝（6）2＋（－2）2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝11π6.因此，点P的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，11π6.课堂小结1.建立极坐标系可以确定点的位置，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面直角坐标系内的点和极坐标一一对应.2.利用极坐标可以刻画点的位置，有时比直角坐标方便，在台风预报、测量、航空、航海中主要采用这种方法.3.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并且取相同的长度单位，平面内一点的直角坐标和极坐标可以进行互化.随堂演练1.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________.答案：x2＋y2－2y＝0解析：利用直角坐标与极坐标的互化公式转化即可.∵ρ＝2sin θ，∴ρ2＝2ρsin θ，∴x2＋y2＝2y，即x2＋y2－2y＝0.2.在直角坐标系中，已知点A(－3，33)，B(33，3).将A，B两点的直角坐标化为极坐标.解：直接根据互化公式，可得A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23π，B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π6.3.中央气象台在2010年7月15日发布的一则台风消息：今年第2号热带风暴“康森”的中心今天晚上八点钟已经移到了距离万宁市东南方大约380千米的南海海面上，中心附近最大风力有12级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(ρ≥0，0≤θ<2π).解：以万宁市所在地为极点，正东方向为极轴(单位长度为1千米)建立极坐标系，则该台风中心的位置的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫380，74π. 4.已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标. (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点.解：(1)由于P 、Q 关于极点对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z ).所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z ). (2)由P ，Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )，所以点P 的坐标为 (ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z ).基础达标1.已知点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4 答案：B解析：直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.2.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P 1(－5，109°)，P 2(4，49°)，则这个三角形P 1OP 2的面积为( )A.5 3B.10 3C.52 3 D.10 答案：A解析：点P 1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P 1OP 2＝120°，S △P 1OP 2＝12×4×5sin 120°＝5 3.3.在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π，若P 的极角满足－π<θ<π，ρ∈R ，则下列点中与点P 重合的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3答案：D解析：利用极角的意义设点A (P ，θ)与A ′(－ρ，θ)关于极点对称解题.4.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3解析：如下图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4. 点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.5.在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________. 答案：6解析：将极坐标方程化为直角坐标方程求解.圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0，即x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3(ρ∈R )化为直角坐标方程为y ＝3x ，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径.圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为4（3）2＋12＝2，又圆的半径r ＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.6.在极坐标系中，已知三点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，－π4，R (6，2π).(1)将P 、Q 、R 三点的极坐标化为直角坐标； (2)求△PQR 的面积.解：(1)P (23，2)，Q (4，－4)，R (6，0).(2)直线PQ 的方程为y ＋4＝6（x －4）23－4，与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋43，0，S △PQR ＝14－4 3.综合提高7.在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π3答案：A解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB |＝22×2＝1， 设线段AB 的中点为C ，则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π12， 所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.8.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案：A解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程即可.A 中，由ρ＝1cos θ＋sin θ，得ρcos θ＋ρsin θ＝1，∴x ＋y ＝1，∴y ＝1－x (0≤x ≤1).B 中，由ρ＝1cos θ＋sin θ，得y ＝1－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤22.C 中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x 2＋y 2＝x ＋y (0≤x ≤1).D 中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得x 2＋y 2＝x ＋y ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤22.9.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________.答案：1解析：借助极坐标与直角坐标互化求解.由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ知极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3可化为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6可化为x ＋3y －6＝0.故所求距离为d ＝|1＋3×3－6|12＋（3）2＝22＝1.10.已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________. 答案：522解析：根据极坐标方程与普通方程的互化及点到直线的距离公式求解.由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，∴d ＝|2＋2＋1|2＝522. 11.在极坐标系中，(1)求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π36，B ⎝⎛⎭⎪⎫12，43π36两点间的距离； (2)已知点P 的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R ，求满足条件的点P 的轨迹. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴成7π36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ， 因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上.12.已知△ABC 三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3，极点O (0，0).(1)判断△OAB 的形状； (2)求△ABC 的面积.解：所给各点的直角坐标分别为A (0，2)，B (－3，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，O (0，0).(1)∵|AB |＝（－3－0）2＋（1－2）2＝2，|OA |＝|OB |＝2，∴△OAB 为等边三角形.(2)∵|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－32－22＝13，|BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＝13，|AB |＝2，∴△ABC 为等腰三角形. ∵AB 的中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－322＝23，∴S △ABC ＝12|AB ||CD |＝12×2×23＝23(面积单位).。

极坐标系导学案心学习目标1、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。

2、体会在极坐标系和平面直角坐标系屮刻画点的位置的区别。

3、掌握直角坐标与极坐标的相互转化。

一、极坐标的概念（预习教材，找出疑惑之处）情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一-确定吗?（2）如呆有人打听体冇馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻1師这些点的位置？定义新知1：极坐标的概念1＞如右图，在平面内取一个定点O,叫做____________ ;自极点O引一条射线Ox ,叫做_____________ ;再选定_个___________ , _个 __________ （通常取）及其_______ （通常取 _________ 方向），这样就建立了一个__________ O2、设M是平而内一点，极点0与M的距离I0MI叫做点M的 ____________ ,记为____ ;以极轴Or为始边，射线0M为终边的角xOM叫做点M的________ ,记为 _____ 有序数对_______ 叫做点M的________ ,记作________________ o3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同?♦应用示例例题1：⑴写出图中A, B, C, D, E, F, G 各点的极坐标（°〉0,05&<2兀）.（2）：思考下列问题，给出解答。

① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？③ 坐标不唯一是由谁引起的？④ 不同的极处标是否可以写出统一表达式?⑤ 本题点G 的极坐标统一表达式。

二、与直角坐标的转化直角坐标系的原点0为极点，兀轴的正半轴为极轴，月•在两 坐标系中取相同的t 度单位。

辽宁省北票市高中数学第一章坐标系1.2 极坐标系导学案（无答案）新人教B版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省北票市高中数学第一章坐标系1.2 极坐标系导学案（无答案）新人教B版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为辽宁省北票市高中数学第一章坐标系1.2 极坐标系导学案（无答案）新人教B版选修4-4的全部内容。

1。

2极坐标系一、 学习目标及学法指导1．学习目标：了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化2．重、难、考点：点的极坐标，极坐标和直角坐标的互化 二、预习案预习教材6-9页并完成下列问题：1. 极坐标系的概念:（1） 在平面上取一定点O,由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向），合称为一个____________。

O 点称为________，Ox 称为________.平面上任一点M 的位置可以由_____________和________________来刻画。

这两个数组成的有序数对_______称为点M 的__________。

ρ称为_________，θ称为__________。

（2） 在极坐标），（θρ中，一般限定_________.当0=ρ时，就与________重合,此时θ________。

给定点的极坐标_________,就________地确定了平面上的一个点。

但是,平面上一个点的极坐标并不是_________,它有_____________表示形式。

事实上，），（θρ和____________代表同一个点，其中k 为整数.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是_________对应关系。

极坐标系——教学设计一教学背景分析一本课时教学内容的功能和地位:极坐标系是高中新教材人教B版选修4-4第一章第二节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并表示点的极坐标。

为后面学习直角坐标与极坐标的互化，简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。

二学生情况分析:授课班级为平行班。

通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解;极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。

三教学资源分析:多媒体演示PPT文件二指导思想和理论依据1 必须把培养学生的创新精神和实践能力作为出发点和归宿。

2 必须强化应用意识，把学科教学置身于家庭生活、社会生活、科技生活的广阔背景之中。

3 必须强化情感体验，鼓励学生亲身参与实践的积极体验和丰富经验。

4 课堂教学应该努力实现培养目标与学科教学目标的统一。

5 人文素养的培养与情感体验的统一。

6 知识技能的传授与综合素质培养的统一。

7 传统的媒体教学与现代技术整合的统一。

8 研究性问题设计与学生民主参与的统一。

9 个体自主学习与小组合作学习的统一。

三教学目标1知识与技能目标:利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的极坐标;理解点的极坐标的不惟一性。

2过程与方法目标:通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。

通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

情感态度价值观目标:用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感觉数学源于生活用于生活。

采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。

3教学重点、难点教学重点:运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。

教学难点:对点的极坐标的不惟一性极角的不惟一的理解四教学策略本节课涉及的知识点少且简单，就一个极坐标系的建立，但为了能更好的完成自主探究和节约时间，故本节课采取用多媒体课件进行辅助展示，师生共同合作交流来突出重点、突破难点。