008-函数A

二次函数的特殊性质与公式解析与归纳二次函数是数学中的一种常见函数形式，由形如y = ax^2 + bx + c 的方程所表示。

在二次函数中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。

本文将就二次函数的特殊性质进行探讨，并对其公式进行解析与归纳。

一、二次函数的图象特殊性质1. 对称轴：二次函数的图象总是关于一条垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为二次函数的对称轴。

对称轴的方程可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)2. 零点：二次函数在坐标系中与x轴相交的点称为零点。

求二次函数的零点可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)其中，b^2-4ac被称为判别式，当判别式大于0时，函数有两个不相等的零点；当判别式等于0时，函数有一个唯一的零点；当判别式小于0时，函数没有实数解。

3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数a所决定。

当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

4. 最值点：二次函数的最值点就是函数的最大值或最小值点。

最值点的纵坐标称为二次函数的最值。

当二次函数的开口向上时，最值为最小值；当二次函数的开口向下时，最值为最大值。

最值点的横坐标可以通过对称轴的x坐标计算得出。

二、二次函数的公式解析与归纳1. 一次项系数的影响：在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中，一次项系数b确定了对称轴的位置。

当b>0时，对称轴向右平移；当b<0时，对称轴向左平移。

2. 二次项系数的影响：二次项系数a决定了二次函数的开口方向。

当|a|>1时，开口较为陡峭；当0<|a|<1时，开口较为平缓；当a=1时，开口最为平缓；当a=0时，函数退化为一次函数。

3. 常数项的影响：常数项c表示二次函数与y轴的交点，也即函数在x=0时的取值。

当c>0时，函数在原点下方与y轴相交；当c<0时，函数在原点上方与y轴相交。

001双峰曲线图：z=peaks(40);mesh(z);surf(z)002解方程：A=[3,4,-2;6,2,-3;45,5,4];>> B=[14;4;23];>> root=inv(A)*B003傅里叶变换load mtlb ;subplot(2,1,1);plot(mtlb);>> title('原始语音信息');>> y=fft(mtlb);>> subplot(2,1,2);>> yy=abs(y);>> plot(yy);>> title('傅里叶变换')004输入函数：a=input('How many apples\n','s')005输出函数a=[1 2 3 4 ;5 6 7 8;12 23 34 45;34 435 23 34]a =1 2 3 45 6 7 812 23 34 4534 435 23 34disp(a)a =1 2 3 45 6 7 812 23 34 4534 435 23 34b=input('how many people\n' ,'s')how many peopletwo peopleb =two people>> disp(b)two people>>006求一元二次方程的根a=1;b=2;c=3;d=sqrt(b^2-4*a*c);x1=(-b+d)/(2*a)x1 =-1.0000 + 1.4142i>> x2=(-b-d)/(2*a)x2 =-1.0000 - 1.4142i007求矩阵的相乘、转置、存盘、读入数据A=[1 3 5 ;2 4 6;-1 0 -2;-3 0 0];>> B=[-1 3;-2 2;2 1];>> C=A*BC =3 142 20-3 -53 -9>> C=C'C =3 2 -3 314 20 -5 -9>> save mydat C>> clear>> load mydat C008编写数学计算公式：A=2.1;B=-4.5;C=6;D=3.5;E=-5;K=atan(((2*pi*A)+E/(2*pi*B*C))/D) K =1.3121009A=[1 0 -1;2 4 1;-2 0 5];>> B=[0 -1 0;2 1 3;1 1 2];>> H=2*A+BH =2 -1 -26 9 5-3 1 12>> M=A^2-3*BM =3 3 -62 13 -2-15 -3 21>> Y=A*BY =-1 -2 -29 3 145 7 10>> R=B*AR =-2 -4 -1-2 4 14-1 4 10>> E=A.*BE =0 0 04 4 3-2 0 10>> W=A\BW =0.3333 -1.3333 0.66670.2500 1.0000 0.25000.3333 -0.3333 0.6667 >> P=A/BP =-2.0000 3.0000 -5.0000-5.0000 3.0000 -4.00007.0000 -9.0000 16.0000>> Z=A.\BWarning: Divide by zero.Z =0 -Inf 01.0000 0.2500 3.0000-0.5000 Inf 0.4000>> D=A./BWarning: Divide by zero.D =Inf 0 -Inf1.0000 4.0000 0.3333-2.0000 0 2.5000010a=4.96;b=8.11;>> M=exp(a+b)/log10(a+b)M =4.2507e+005011求三角形面积：a=9.6;b=13.7;c=19.4;>> s=(a+b+c)/2;>> area=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))area =61.1739012逻辑运算A=[-1 0 -6 8;-9 4 0 12.3;0 0 -5.1 -2;0 -23 0 -7]; >> B=A(:,1:2)B =-1 0-9 40 00 -23>> C=A(1:2,:)C =-1.0000 0 -6.0000 8.0000 -9.0000 4.0000 0 12.3000>> D=B'D =-1 -9 0 00 4 0 -23>> A*Bans =1.0000 -184.0000-27.0000 -266.90000 46.0000 207.0000 69.0000>> C<Dans =0 0 1 01 0 0 0>> C&Dans =1 0 0 00 1 0 1>> C|Dans =1 1 1 11 1 0 1>> ~C|~Dans =0 1 1 11 0 1 0013矩阵运算练习：A=[8 9 5;36 -7 11;21 -8 5]A =8 9 536 -7 1121 -8 5>> BB =-1 3 -22 0 3-3 1 9>> RT=A*BRT =-5 29 56-83 119 6-52 68 -21>> QW=A.*BQW =-8 27 -1072 0 33-63 -8 45>> ER=A^3ER =6272 3342 294415714 -856 52608142 -1906 2390 >> BF=A.^3BF =512 729 12546656 -343 13319261 -512 125 >> A/Bans =3.13414.9634 -0.4024-1.2561 12.5244 -3.2317-1.9878 6.4512 -2.0366>> EKV=B\AEKV =10.7195 -1.2683 3.52449.4756 1.5854 3.71954.8537 -1.4878 1.3171>> KDK=[A,B]KDK =8 9 5 -1 3 -236 -7 11 2 0 321 -8 5 -3 1 9 >> ERI=[A;B]ERI =8 9 536 -7 1121 -8 5-1 3 -22 0 3-3 1 9014一般函数的调用：A=[2 34 88 390 848 939];>> S=sum(A)S =2301>> min(A)ans =2>> EE=mean(A)EE =383.5000>> QQ=std(A)QQ =419.3794>> AO=sort(A)AO =2 34 88 390 848 939 >> yr=norm(A)yr =1.3273e+003>> RT=prod(A)RT =1.8583e+012>> gradient(A)ans =32.0000 43.0000 178.0000 380.0000 274.5000 91.0000 >> max(A)ans =939>> median(A)ans =239>> diff(A)ans =32 54 302 458 91>> length(A)ans =6>> sum(A)ans =2301>> cov(A)ans =1.7588e+005>>015矩阵变换：A=[34 44 23;8 34 23;34 55 2]A =34 44 238 34 2334 55 2>> tril(A)ans =34 0 08 34 034 55 2>> triu(A)ans =34 44 230 34 230 0 2>> diag(A)ans =34342norm(A)ans =94.5106>> rank(A)ans =3>> det(A)ans =-23462>> trace(A)ans =70>> null(A)ans =Empty matrix: 3-by-0>> eig(A)ans =80.158712.7671-22.9257>> poly(A)ans =1.0e+004 *0.0001 -0.0070 -0.1107 2.3462>> logm(A)Warning: Principal matrix logarithm is not defined for A with nonpositive real eigenvalues. A non-principal matrixlogarithm is returned.> In funm at 153In logm at 27ans =3.1909 + 0.1314i 1.2707 + 0.1437i 0.5011 - 0.2538i0.4648 + 0.4974i 3.3955 + 0.5438i 0.1504 - 0.9608i0.2935 - 1.2769i 0.8069 - 1.3960i 3.4768 + 2.4663i>> fumn(A)Undefined command/function 'fumn'.>> inv(A)ans =0.0510 -0.0502 -0.0098-0.0326 0.0304 0.02550.0305 0.0159 -0.0343>> cond(A)ans =8.5072>> chol(A)Error using ==> cholMatrix must be positive definite.>> lu(A)ans =34.0000 44.0000 23.00000.2353 23.6471 17.58821.0000 0.4652 -29.1816>> pinv(A)ans =0.0510 -0.0502 -0.0098-0.0326 0.0304 0.02550.0305 0.0159 -0.0343>> svd(A)ans =94.510622.345611.1095>> expm(A)ans =1.0e+034 *2.1897 4.3968 1.93821.31542.6412 1.16431.8782 3.7712 1.6625>> sqrtm(A)ans =5.2379 + 0.2003i 3.4795 + 0.2190i 1.8946 - 0.3869i0.5241 + 0.7581i 5.1429 + 0.8288i 2.0575 - 1.4644i3.0084 - 1.9461i4.7123 - 2.1276i 2.1454 + 3.7589i >>016多项式的计算：A=[34 44 23;8 34 23;34 55 2]A =34 44 238 34 2334 55 2>> P=poly(A)P =1.0e+004 *0.0001 -0.0070 -0.1107 2.3462>> PPA=poly2str(P,'X')PPA =X^3 - 70 X^2 - 1107 X + 23462017多项式的运算：p=[2 6 8 3];w=[32 56 0 2];>> m=conv(p,w)m =64 304 592 548 180 16 6 >> [q,r]=deconv(w,p)q =16r =0 -40 -128 -46>> dp=polyder(w)dp =96 112 0>> [num,den]=polyder(w,p)num =80 512 724 312 -16den =4 24 68 108 100 48 9>> b=polyfit(p,w,4)Warning: Polynomial is not unique; degree >= number of data points. > In polyfit at 74b =-0.6704 9.2037 -32.2593 0 98.1333>> r=roots(p)r =-1.2119 + 1.0652i-1.2119 - 1.0652i-0.5761018求多项式的商和余p=conv([1 0 2],conv([1 4],[1 1]))p =1 5 6 10 8>> q=[1 0 1 1]q =1 0 1 1>> [w,m]=deconv(p,q)w =1 5m =0 0 5 4 3>> cq=w;cr=m;>> disp([cr,poly2str(m,'x')])5 x^2 + 4 x + 3>> disp([cq,poly2str(w,'x')])x + 5019将分式分解a=[1 5 6];b=[1];>> [r,p,k]=residue(b,a)r =-1.00001.0000p =-3.0000-2.0000k =[]020计算多项式：a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];>> p=[3 0 2 3];>> q=[2 3];>> x=2;>> r=roots(p)r =0.3911 + 1.0609i0.3911 - 1.0609i-0.7822>> p1=conv(p,q)p1 =6 9 4 12 9>> p2=poly(a)p2 =1.0000 -15.0000 -18.0000 -0.0000 >> p3=polyder(p)p3 =9 0 2>> p4=polyval(p,x)p4 =31021求除式和余项：[q,r]=deconv(conv([1 0 2],[1 4]),[1 1 1])022字符串的书写格式：s='student's =student>> name='mary';>> s1=[name s]s1 =marystudent>> s3=[name blanks(3);s]s3 =marystudent>>023交换两个数：clearclca=[1 2 3 4 5];b=[6 7 8 9 10];c=a;a=b;b=c;ab24If语句n=input('enter a number,n=');if n<10nend025 if 双分支结构a=input('enter a number ,a=');b=input('enter a number ,b=');if a>bmax=a;elsemax=b;endmax026三个数按照由大到小的顺序排列：A=15;B=24;C=45;if A<BT=A;A=B;B=T;elseif A<CT=A;A=C;C=T;elseif B<CT=B;B=C;C=T;endABC027建立一个收费优惠系统：price=input('please jinput the price : price=') switch fix(price/100)case[0,1]rate =0;case[2,3,4]rate =3/100;case num2cell(5:9)rate=5/100;case num2cell(10:24)rate=8/100;case num2cell(25:49)rate=10/100;otherwiserate=14/100;endprice=price*(1-rate)028：while循环语句i=0;s=0;while i<=1212s=s+i;i=i+1;ends029，用for循环体语句：sum=0;for i=1:1.5:100;sum=sum+i;endsum030循环的嵌套s=0;for i=1:1:6;for j=1:1:8;s=s+i^j;end;end;s031continue 语句的使用：for i=100:120;if rem(i,7)~=0;continue;end;iend032x=input ('输入X的值x=')if x<1y=x^2;elseif x>1&x<2y=x^2-1;elsey=x^2-2*x+1;endy033求阶乘的累加和sum=0;temp=1;for n=1:10;temp=temp*n;sum=sum+temp;endsum034对角线元素之和sum=0;a=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16]; for i=1:4;sum=sum+a(i,i);endsum035用拟合点绘图A=[12 15.3 16 18 25];B=[50 80 118 125 150.8];plot(A,B)036绘制正玄曲线：x=0:0.05:4*pi;y=sin(x);plot(x,y)037绘制向量x=[1 2 3 4 5 6;7 8 9 10 11 12;13 14 15 16 17 18] plot(x)x=[0 0.2 0.5 0.7 0.6 0.7 1.2 1.5 1.6 1.9 2.3]plot(x)x=0:0.2:2*piy=sin(x)plot(x,y,'m:p')038在正弦函数上加标注：t=0:0.05:2*pi;plot(t,sin(t))set(gca,'xtick',[0 1.4 3.14 56.28])xlabel('t(deg)')ylabel('magnitude(v)')title('this is a example ()\rightarrow 2\pi')text(3.14,sin(3.14),'\leftarrow this zero for\pi')039添加线条标注x=0:0.2:12;plot(x,sin(x),'-',x,1.5*cos(x),':');legend('First','Second',1)040使用hold on 函数x=0:0.2:12;plot(x,sin(x),'-');hold onplot(x,1.5*cos(x),':');041一界面多幅图x=0:0.05:7;y1=sin(x);y2=1.5*cos(x);y3=sin(2*x);y4=5*cos(2*x);subplot(221);plot(x,y1);title('sin(x)')subplot(222);plot(x,y2);title('cos(x)')subplot(223);plot(x,y3);title('sin(2x)')subplot(224);plot(x,y4);title('cos(2x)')042染色效果图x=0:0.05:7;y1=sin(x);y2=1.5*cos(x);y3=sin(2*x);y4=5*cos(2*x);subplot(221);plot(x,y1);title('sin(x)');fill(x,y1,'r') subplot(222);plot(x,y2);title('cos(x)');fill(x,y2,'b') subplot(223);plot(x,y3);title('sin(2x)');fill(x,y3,'k') subplot(224);plot(x,y4);title('cos(2x)');fill(x,y4,'g')043特殊坐标图clcy=[0,0.55,2.5,6.1,8.5,12.1,14.6,17,20,22,22.1] subplot(221);plot(y);title('线性坐标图');subplot(222);semilogx(y);title('x轴对数坐标图');subplot(223);semilogx(y);title('y轴对数坐标图');subplot(224);loglog(y);title('双对数坐标图')t=0:0.01:2*pi;r=2*cos(2*(t-pi/8));polar(t,r)044特殊函数绘图：fplot('cos(tan(pi*x))',[-0.4,1.4])fplot('sin(exp(pi*x))',[-0.4,1.4])045饼形图与条形图：x=[8 20 36 24 12];subplot(221);pie(x,[1 0 0 0 1]);title('饼图');subplot(222);bar(x,'group');title('垂直条形图');subplot(223);bar(x,'stack');title('累加值为纵坐标的垂直条形图'); subplot(224);barh(x,'group');title('水平条形图');046梯形图与正弦函数x=0:0.1:10;y=sin(x);subplot(121);stairs(x);subplot(122);stairs(x,y);047概率图x=randn(1,1000);y=-2:0.1:2;hist(x,y)048向量图：x=[-2+3j,3+4j,1-7j];subplot(121);compass(x);rea=[-2 3 1];imag=[3 4 -7];subplot(122);feather(rea,imag);049绘制三维曲线图：z=0:pi/50:10*pi;x=sin(z);y=cos(z);plot3(x,y,z)x=-10:0.5:10;y=-8:0.5:8;[x,y]=meshgrid(x,y);z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2); subplot(221);mesh(x,y,z);title('普通一维网格曲面');subplot(222);meshc(x,y,z);title('带等高线的三维网格曲面'); subplot(223);meshz(x,y,z);title('带底座的三维网格曲面'); subplot(224);surf(x,y,z);title('充填颜色的三维网格面')050 带网格二维图x=0:pi/10:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,'r+-',x,y2,'k*:')grid onxlabel('Independent Variable x') ylabel('Dependent Variable y1&y2') text(1.5,0.5,'cos(x)')051各种统计图y=[18 5 28 17;24 12 36 14;15 6 30 9]; subplot(221);bar(y)x=[4,6,8];subplot(222);bar3(x,y)subplot(223);bar(x,y,'grouped') subplot(224);bar(x,y,'stack')052曲面图x=-2:0.4:2;y=-1:0.2:1;[x,y]=meshgrid(x,y);z=sqrt(4-x.^2/9-y.^2/4); surf(x,y,z)grid on053创建符号矩阵e=[1 3 5;2 4 6;7 9 11];m=sym(e)符号表达式的计算问题因式分解：syms xf=factor(x^3-1)s=sym('sin(a+b)'); expand(s)syms x tf=x*(x*(x-8)+6)*t; collect(f)syms xf=sin(x)^2+cos(x)^2; simplify(f)syms xs=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1); simplify(s)通分syms x yf=x/y-y/x;[m,n]=numden(f)嵌套重写syms xf=x^4+3*x^3-7*x^2+12; horner(f)054求极限syms x a;limit(exp(-x),x,0,'left')求导数syms xdiff(x^9+x^6)diff(x^9+x^6,4)055求不定积分与定积分syms x ys=(4-3*x^2)^2;int(s)int(x/(x+y),x)int(x^2/(x+2),x,1,3) double(ans)056函数的变换：syms x ty=exp(-x^2);Ft=fourier(y,x,t)fx=ifourier(Ft,t,x)057求解方程syms a b c xs=a*x^2+b*x+c;solve(s)syms x y zs1=2*x^2+y^2-3*z-4;s2=y+z-3;s3=x-2*y-3*z;[x,y,z]=solve(s1,s2,s3)058求微分方程：y=dsolve('Dy-(t^2+y^2)/t^2/2','t')059求级数和syms x ksymsum(k)symsum(k^2-3,0,10)symsum(x^k/k,k,1,inf)060泰勒展开式syms xs=(1-x+x^2)/(1+x+x^2);taylor(s)taylor(s,9)taylor(s,x,12)taylor(s,x,12,5)061练习syms x a;s1=sin(2*x)/sin(5*x);limit(s1,x,0)s2=(1+1/x)^(2*x);limit(s2,x,inf)syms xs=x*cos(x);diff(s)diff(s,2)diff(s,12)syms xs1=x^4/(1+x^2);int(s1)s2=3*x^2-x+1int(s2,0,2)syms x y zs1=5*x+6*y+7*z-16;s2=4*x-5*y+z-7;s3=x+y+2*z-2;[x,y,z]=solve(s1,s2,s3)syms x yy=dsolve('Dy=exp(2*x-y)','x')y=dsolve('Dy=exp(2*x-y)','y(0)=0','x')n=sym('n');s=symsum(1/n^2,n,1,inf)x=sym('x');f=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3);taylor(f,6)062求于矩阵相关的值a=[2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 5 -3 4;3 3 -2 2]adet=det(a)atrace=trace(a)anorm=norm(a)acond=cond(a)arank=rank(a)eiga=eig(a)063矩阵计算A=[0.1389 0.6038 0.0153 0.9318;0.2028 0.2772 0.7468 0.4660;0.1987 0.1988 0.4451 0.4186]B=var(A)C=std(A)D=range(A)E=cov(A)F=corrcoef(A)064求根及求代数式的值P=[4 -3 2 5];x=roots(P)x=[3 3.6];F=polyval(P,x)065多项式的和差积商运算：f=[1 2 -4 3 -1]g=[1 0 1]g1=[0 0 1 0 1]f+g1f-g1conv(f,g)[q,r]=deconv(f,g)polyder(f)066各种插值运算：X=0:0.1:pi/2;Y=sin(X);interp1(X,Y,pi/4)interp1(X,Y,pi/4,'nearest')interp1(X,Y,pi/4,'spline')interp1(X,Y,pi/4,'cubic')067曲线的拟合：X=0:0.1:2*pi;Y=cos(X);[p,s]=polyfit(X,Y,4)plot(X,Y,'K*',X,polyval(p,X),'r-')068求函数的最值与0点x=2:0.1:2;[x,y]=fminbnd('x.^3-2*x+1',-1,1) [x,y]=fzero('x.^3-2*x+1',1)069求多项式的表达式、值、及图像y=[1 3 5 7 19]t=poly(y)x=-4:0.5:8yx=polyval(t,x)plot(x,yx)070数据的拟合与绘图x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);p=polyfit(x,y,5);y1=polyval(p,x)plot(x,y,'b',x,y1,'r')071求代数式的极限：syms xf=sym('log(1+2*x)/sin(3*x)');b=limit(f,x,0)072求导数与微分syms xf=sym('x/(cos(x))^2');y1=diff(f)y2=int(f,0,1)078划分网格函数[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2,-3:0.01:5); t=x.*exp(-x.^2-y.^2);[px,py]=gradient(t,0.05,0.1);td=sqrt(px.^2+py.^2);subplot(221)imagesc(t)subplot(222)imagesc(td)colormap('gray')079求多次多项方程组的解：syms x1 x2 a ;eq1=sym('x1^2+x2=a')eq2=sym('x1-a*x2=0')[x1 x2]=solve(eq1,eq2,x1,x2)v=solve(eq1,eq2)v.x1v.x2an1=x1(1),an2=x1(2)an3=x2(1),an4=x2(2)080求解微分方程：[y]=dsolve('Dy=-y^2+6*y','y(0)=1','x')s=dsolve('Dy=-y^2+6*y','y(0)=1','x')[u]=dsolve('Du=-u^2+6*u','u(0)=1')w=dsolve('Du=-u^2+6*u','z')[u,w]=dsolve('Du=-w^2+6*w,Dw=sin(z)','u(0)=1,w(0)=0','z') v=dsolve('Du=-w^2+6*w,Dw=sin(z)','u(0)=1,w(0)=0','z')081各种显现隐含函数绘图：f=sym('x^2+1')subplot(221)ezplot(f,[-2,2])subplot(222)ezplot('y^2-x^6-1',[-2,2],[0,10])x=sym('cos(t)')y=sym('sin(t)')subplot(223)ezplot(x,y)z=sym('t^2')subplot(224)ezplot3(x,y,z,[0,8*pi])082极坐标图：r=sym('4*sin(3*x)')ezpolar(r,[0,6*pi])083多函数在一个坐标系内：x=0:0.1:8;y1=sin(x);subplot(221)plot(x,y1)subplot(222)plot(x,y1,x,y2)w=[2 3;3 1;4 6]subplot(223)plot(w)q=[4 6:3 5:1 2]subplot(224)plot(w,q)084调整刻度图像：x=0:0.1:10;y1=sin(x);y2=exp(x);y3=exp(x).*sin(x);subplot(221)plot(x,y2)subplot(222)loglog(x,y2)subplot(223)plotyy(x,y1,x,y2)085等高线等图形，三维图：t=0:pi/50:10*pi;subplot(2,3,1)plot3(t.*sin(t),t.*cos(t),t.^2) grid on[x,y]=meshgrid([-2:0.1:2])z=x.*exp(-x.^2-y.^2)subplot(2,3,2)plot3(x,y,z)box offsubplot(2,3,3)meshz(x,y,z)subplot(2,3,4)surf(x,y,z)contour(x,y,z)subplot(2,3,6)surf(x,y,z)subplot(2,3,5)contour(x,y,z)box offsubplot(2,3,6)contour3(x,y,z)axis off086统计图Y=[5 2 1;8 7 3;9 8 6;5 5 5;4 3 2]subplot(221)bar(Y)box offsubplot(222)bar3(Y)subplot(223)barh(Y)subplot(224)bar3h(Y)087面积图Y=[5 1 2;8 3 7;9 6 8;5 5 5;4 2 3];subplot(221)area(Y)grid onset(gca,'Layer','top','XTick',1:5)sales=[51.6 82.4 90.8 59.1 47.0];x=90:94;profits=[19.3 34.2 61.4 50.5 29.4];subplot(222)area(x,sales,'facecolor',[0.5 0.9 0.6], 'edgecolor','b','linewidth',2) hold onarea(x,profits,'facecolor',[0.9 0.85 0.7], 'edgecolor','y','linewidth',2) hold offset(gca,'Xtick',[90:94])set(gca,'layer','top')gtext('\leftarrow 销售量') gtext('利润')gtext('费用')xlabel('年','fontsize',14)088函数的插值：x=0:2*pi;y=sin(x);xi=0:0.1:8;yi1=interp1(x,y,xi,'linear')yi2=interp1(x,y,xi,'nearest') yi3=interp1(x,y,xi,'spline')yi4=interp1(x,y,xi,'cublic')p=polyfit(x,y,3)yy=polyval(p,xi)subplot(3,2,1)plot(x,y,'o')subplot(3,2,2)plot(x,y,'o',xi,yy)subplot(3,2,3)plot(x,y,'o',xi,yi1)subplot(3,2,4)plot(x,y,'o',xi,yi2)subplot(3,2,5)plot(x,y,'o',xi,yi3)subplot(3,2,6)plot(x,y,'o',xi,yi4)089二维插值计算：[x,y]=meshgrid(-3:0.5:3);z=peaks(x,y);[xi,yi]=meshgrid(-3:0.1:3); zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline') plot3(x,y,z)hold onmesh(xi,yi,zi+15)hold offaxis tight090函数表达式;function f=exlin(x)if x<0f=-1;elseif x<1f=x;elseif x<2f=2-x;elsef=0;end091：硬循环语句:n=5;for i=1:nfor j=1:nif i==ja(i,j)=2;elsea(i,j)=0;endendendwhile 循环语句：n=1;while prod(1:n)<99^99;n=n+1endn:092 switch开关语句a=input('a=?')switch acase 1disp('It is raning') case 0disp('It do not know')case -1disp('It is not ranging')otherwisedisp('It is raning ?')end093画曲面函数：x1=linspace(-3,3,30)y1=linspace(-3,13,34)[x,y]=meshgrid(x1,y1);z=x.^4+3*x.^2-2*x+6-2*y.*x.^2+y.^2-2*y; surf(x,y,z)。

函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩＜则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞）， 由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四 函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。

【巩固练习】1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．无法判断D．等于零2．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是()3．方程x 3＋3x－3＝0的解在区间()A．(0,1)内B．(1,2)内C．(2,3)内D．以上均不对4．已知f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是()x －10123f(x)－0.677 3.011 5.432 5.9807.651g(x)－0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A .(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)5.若方程0xa x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(0,)+∞6．3()21f x x x =--零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．若方程310x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a b +的值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-8．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2008年的湖水量为m，从2008起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系式为()A ．y＝0.950x B ．y＝(1－0.150x)m C ．y＝0.950x·m D ．y＝(1－0.150x )m9．若函数f(x)＝x 2－ax－b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax－1的零点是________．10．若一元二次方程f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝0(a>0)的两根x 1、x 2满足m<x 1<n<x 2<p ，则f(m)·f(n)·f(p)________0.(填“>”、“＝”或“<”)11．下表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高h 米处落下，弹跳高度d 与下落高度h 的关系.h(米)5080100150…d(米)25405075…写出一个能表示这种关系的式子为________．12．我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是________．13．用二分法求方程x 3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)．14．若方程x 2－ax ＋2＝0有且仅有一个根在区间(0,3)内，求a 的取值范围．15．已知函数f (x )＝1x ＋212x －2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．16．某农产品从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (时间：天)的数据如下表：时间t 50110250种植成本Q 150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝ab t，Q ＝a log b t ；(2)利用你选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．【答案与解析】1.【答案】C【解析】由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．2.答案C【解析】把y=f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点．3.【答案】A【解析】将函数y 1＝x 3和y 2＝3－3x 的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在(0,1)内．4.【答案】B【解析】令φ(x)＝f(x)－g(x)，φ(0)＝f(0)－g(0)<0.φ(1)＝f(1)－g(1)>0且f(x)，g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，所以φ(x)的图象．在[－1,3]上也连续不断，因此选B .5．【答案】A【解析】作出图象，发现当1a >时，函数xy a =与函数y x a =+有2个交点6．【答案】A【解析】令3221(1)(221)0x x x x x --=-++=，得1x =，就一个实数根7．【答案】C【解析】容易验证区间(,)(2,1)a b =--8.【答案】C【解析】设湖水量每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9150，即x 年后湖水量为y＝0.950x·m.9.【答案】－12和－13【解析】2和3是方程x 2－ax－b＝0的两根，所以a＝5，b＝－6，∴g(x)＝－6x 2－5x－1.令g(x)＝0得x 1＝－12，x 2＝－13.10.【答案】<【解析】∵a>0，∴f(x)的图象开口向上，∴f(m)>0，f(n)<0，f(p)>0，∴f(m)·f(n)·f(p)<0.11.【答案】d＝2h 12.【答案】跌了1.99%【解析】(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.9801，而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%.13.解f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31.所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x 0.区间中点m f(m)的符号区间长度(1,2) 1.5＋1(1,1.5) 1.25＋0.5(1,1.25) 1.125－0.25(1.125,1.25) 1.1875＋0.125(1.125,1.1875)0.0625∵|1.875－1.125|＝0.0625<0.1，∴x 0可取为1.125(不唯一)．14.【解析】令f (x )＝x 2－ax ＋2，则方程x 2－ax ＋2＝0有且仅有一个根在区间(0,3)内⇔203280a a ⎧<<⎪⎨⎪∆=-=⎩或f (0)·f (3)<0⇔a 或a >113.15.【解析】由f(x)=0，得21122x x =-+，令11y x =，22122y x =-+，分别画出它们的图象如图，其中抛物线顶点为(0,2)，与x 轴交于点(-2,0)、(2,0)，y 1与y 2的图象有3个交点，从而函数y=f(x)有3个零点．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(-∞，0)和(0，+∞)上分别是连续不断的曲线，且f(-3)=613>0，f(-2)=21-<0，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛21=81>0，f(1)=21-<0，f(2)=21>0，即f (－3)·f (－2)<0，1(2f ·f (1)<0，f (1)·f (2)<0，∴三个零点分别在区间(－3，－2)、1,12⎛⎫⎪⎝⎭、(1,2)内．16.【解析】(1)由表中提供的数据知道，描述该农产品种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝ab t，Q ＝a log b t 中的任一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，应选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，当a＝0时，为单调函数)进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，得到：150250050 10812100110 150********a b ca b ca b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩.解上述方程组得a＝1200，b＝－32，c＝4252，所以，描述该农产品种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝1200t2－32t＋4252.(2)当t＝－3212200-⨯＝150(天)时，该农产品种植成本最低为Q＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/102kg)．所以，该农产品种植成本最低时的上市时间为150天，最低种植成本为100元/102kg.。

高二常考的三角函数的试题整理经典数学题【例一】1.(2009·江苏常州一模)已知角α是第三象限角，则角-α的终边在第________象限. 2.(2010·连云港模拟)与610°角终边相同的角表示为______________.1sin 2θ3.(2010·浙江潮州月考)已知2<1，则θ所在象限为第________象限.π3π4.(2010·南通模拟)已知角θ的终边经过点P(-4cos α，3cos α)(<α<，则sin θ+cos θ=________.22ππ-且sin θ+cos θ=a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正5.(2010·福州调研)已知θ∈22111确的是________(填序号).①-3 ②3或③- ④-3或-3336.(2009·江西九江模拟)若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|10，则m-n=________.|sin α||cos α|7.(2010·山东济南月考)已知角α的终边落在直线y=-3x (x<0)上，则=________.sin αcos α8.(2010·南京模拟)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0,60].π49.(2010·泰州模拟)若0”，“<”或“=”填空).2π210.(2010·镇江模拟)已知角θ的终边上一点P(3，m)，且sin θm，求cos θ与tan θ的值.411.(2010·江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：31(1)sin α;(2)cos α.2212.(2010·佳木斯模拟)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0)，角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin α·cos α+sinβ·cosβ+tan α·tan β的值.同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2010·南通模拟)cos(-174-sin(-174π)的值为___________________________.2.(2010·江苏镇江一模)设tan(5π+α)=m，则sin(α-3π)+cos(π-α)sin(-α)-cos(π+α)的值为__________.3.(2009·辽宁沈阳四校联考)已知sin α+cos αsin α-cos α=2，则sin αcos α=________.4.(2008·浙江理，8)若cos α+2sin α=-，则tan α=__________.5.(2008·四川理，5)设0≤α<2π，若sin α3cos α，则α的取值范围是____________.6.(2010·吉林长春调研)若sin α+cos α=tan α0<α<π2，则α的取值范围是__________. 7.(2009·苏州二模)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________.8.(2010·浙江嘉兴月考)已知f(x)= 1-xπ1+xα∈(2，π)，则f(cos α)+f(-cos α)=________.9.(2009·北京)若sin θ=-45tan θ>0，则cos θ=____________________________________.10.(2010·泰州模拟)化简：(1)1-cos4α-sin4α1-cosα-sinα2sin(π4x)+6cos(π; 4-x).11.(2010·盐城模拟)已知sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值.12.(2009·福建宁德模拟)已知0<α<π52sin αcos α-cos α+12cos α-sin α=-5，试求1-tan α和差倍角的三角函数1.(2010·山东青岛模拟)cos 43°cos 77°+sin 43°·cos 167°的值为________. 2.(2010·南京模拟)已知α、β均为锐角，且cos(α+β)=sin(α-β)，则tan α=________.3.(2009·湖北四校联考)在△ABC中，3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1，则∠C的大小为________.4.(2009·湖南长沙调研)在锐角△ABC中，设x=sin A·sin B，y=cos A·cos B，则x，y的大小关系是________.5.(2009·广东韶关模拟)已知tan α=2，则sin 2α-cos 2α1+cosα________.6.(2010·无锡模拟)1+tan x1-tan x2 010，则1cos 2x+tan 2x的值为________.7.(2010·苏州调研)若锐角α、β满足(1+3tan α)·(13tan β)=4，则α+β=________. 8.(2009·江苏南通二模)已知sin αcos β=12，则cos αsin β的取值范围是____________.9.(2010·苏、锡、常、镇四市调研)若tan(α+β)=2π1π5，tan(β-4)=4，则tan(α+4=________.10.(2008·广东)已知函数f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π) (x∈R)的最大值是1，其图象经过点Mπ13，2. (1)求f(x)的解析式;(2)已知α、β∈0，π2，且f(α)=3125，f(β)=13，求f(α-β)的值.11.(2010·宿迁模拟)已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=41313(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α<π2，-π42β<0，且sin β=-5，求sin α的值.三角函数的图象与性质1.(2009·大连一模)y=sin(2x+π6)的最小正周期是_____________________________.2.(2010·扬州模拟)y=2-cos__________，此时x=________.3π3.(2010·盐城模拟)函数y=tan(x)的定义域是________________.4.(2009·牡丹江调研)已知函数y=2cos x(0≤x≤1 000π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________5.(2010·江苏盐城月考)已知函数y=tan ωx在(-，内是减函数，则ω的取值范围是________________.7.(2009·浙江宁波检测)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周8.(2010·连云港模拟)sin 2，cos 1，tan 2的大小顺序是________________.9.(2008·全国Ⅱ理)若动直线x=a与函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_______.11.(2008·陕西)已知函数f(x)=2sincos+3cos.12.(2010·山东济宁第一次月考)设a=sin2b. ，cos x+sin x，b=(4sin x，cos x-sin x)，f(x)=a·4(1)求函数f(x)的解析式(3)设集合A=x6x≤3，B={x||f(x)-m|<2}，若A⊆B，求实数m的取值范围.三角函数的`最值及应用1.(2010·连云港模拟)函数y3sin(2x)-cos 2x的最小值为________.2.(2010·泰州模拟)若函数y=2cos ωx在区间[0，上递减，且有最小值1，则ω的值可以是________.3.(2010·湖北黄石调研)设函数f(x)=2sin(+.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为____.4.(09·湖南株州模拟)函数y=sin 2x按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos 2x+1，则模最小的一个向量a=__.5.(2009·广东惠州二模)函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<在同一单调区间内的x=x29291小值-________________________.2a+b，ab≤0，6.(2010·广西南宁检测)定义运算a*b=a则函数f(x)=(sin x)*(cos x)的最小值为________.， ab>0，b7.(2010·苏州调研)一半径为10的水轮，水轮的圆心距水面7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ω+φ)+7(A>0，ω>0)，则A=________，ω=________. 8.(2009·徐州二模)函数y=(sin x-a)2+1，当sin x=a时有最小值，当sin x=1时有最大值，则a的取值范围是_______. 9.(2009·江苏)函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示，则ω=10.(2010·镇江模拟)已知函数f(x)=cos(2ωx+2φ) (A>0，ω>0,0<φ<)，且y=f(x)的最大值为2，其图象上相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ;(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 008).11.( 10·辽宁瓦房店月考)如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.12.(2010·吉林延吉模拟)如图，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为3 m的球形工件吊起平放到6 m高的平台上，工地上有一个吊臂长DF=12 m的吊车，吊车底座FG高1.5 m.当物件与吊臂接触后，钢索CD的长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上?解三角形1.(2010·江苏靖江调研)在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A=________.2.(2010·宿迁模拟)在△ABC中，已知acos A=bcos B，则△ABC的形状为____________. 3.(2010·江苏淮阴模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为____________. 4.(2010·浙江绍兴模拟)△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=__________.25b，A=2B，则cos B=________. 26.(2010·南通模拟)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.7.(2009·福建泉州二模)如图所示，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD=6 000 m，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°，∠BDC=15°，则炮兵阵地到目标的距离是________________(结果保留根号).8.(2009·江西宜泰模拟)线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小. 9.(2009·广东改编)已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=c=6+2，且∠A=75°，则b=________.10.(2009·安徽)在△ABC中，C-A=sin B=23(1)求sin A的值;(2)设AC=6，求△ABC的面积.11.(2009·山东泰安第二次月考)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处3-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间.5.(2008·四川，7)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=三角函数的综合应用1.(2009·济宁期末)已知a=(cos 2α，sin α)，b=(1,2sin α-1)，α∈π)，若a·b=，则25πtan(α+的值为________.2.(2008·江苏)若AB=2，AC2BC，则S△ABC的最大值是________.3.(2009·肇庆期末)定义运算a*b=a2-ab-b2，则sin=________.4.(2009·广州第二次联考)已知a，b，x，y∈R，a2+b2=4，ax+by=6，则x2+y2的最小值为________.5.(2010·宿州模拟)若函数f(x)=sin(x+α)-2cos(x-α)是偶函数，则cos2α=________.6.(2010·泰州调研)函数f(x)=(sin2x+(cos2x+)的最小值是________. 2 009sinx2 009cosx7.(2009·福建文)已知锐角△ABC的面积为33，BC=4，CA=3，则角C的大小为________.8.(2010·苏南四市模拟)俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧.现在一个圆形2π波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1=sin t和y2=sin(t+来描3述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式______________. 9.(2010·南通模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____________.经典数学题【例二】知识考点：本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sina、cosa、tana、cota准确表示出直角三角形中两边的比(a为锐角)，考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。

指数基本公式
指数基本公式包括指数运算法则和指数函数运算公式。

指数运算法则是一种数学运算规律，包括加法、减法和乘法等规则。

具体来说，两个或者两个以上的数、量合并成一个数、量的计算叫加法，例如
a+b=c；同底数幂相除，底数不变，指数相减，例如(a^m)÷(a^n)=a^(m-n)；幂的乘方，底数不变，指数相乘，例如(a^m)^n=a^(mn)。

指数函数运算公式包括指数函数的基本性质和运算性质。

指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1)，函数图形下凹，a大于1时指数函数单调递增，若0<a<1，则为单调递减的。

同时，还有换底公式等运算性质。

综上所述，指数基本公式包括指数运算法则和指数函数运算公式，它们是数学运算中常用的规则和性质。

高二2023-2024学年度上期期末能力测评数学（答案在最后）满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置；2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相应题目答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净；3.回答非选择题时，在答题卡上作答.写在本试卷上无效；4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.直线:l 2310x y +-=的一个方向向量为（）A.()2,3- B.()3,2- C.()2,3 D.()3,2【答案】B 【解析】【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.【详解】由2310x y +-=得，2133y x -+，所以直线的一个方向向量为2(1,)3-，而2(3,2)3(1,)3-=--，所以(3,2)-也是直线的一个方向向量.故选：B.2.对于变量x ，条件:p Q x ∈，条件:q R ，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分必要条件的要求，分别判断p 能否推出q ，以及q 能否推出p 即得.【详解】由Q x ∈，若取=1x -R ，即p 不是q 的充分条件；R ，若取πx =，显然不满足Q x ∈，即p 不是q 的必要条件.3.对某社团进行系统抽样，编号为001，002，⋯，120，则抽取的序号不可能是（）A.001，004，⋯，117B.008，020，⋯，116C.005，015，⋯，115D.014，034，⋯，114【答案】A 【解析】【分析】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同，序号构成等差数列，逐项验证.【详解】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同,序号构成等差数列，对A ：121,4,3,32n a a d a n ====-，令32117n -=此方程没有正整数解，故A 不可能；对B ：128,20,12,124n a a d a n ====-，令124116n -=得10n =满足要求，故B 可能；对C ：125,15,10,105n a a d a n ====-，令105115n -=得12n =满足要求，故C 可能；对D ：1214,34,20,206n a a d a n ====-，令206114n -=得6n =满足要求，故D 可能；故选：A4.若直线:l 260x y m -+-=平分圆:C 22240x mx y +++=，则实数m 的值为（）A .2- B.2 C.3 D.2-或3【答案】C 【解析】【分析】列出22240x mx y +++=所满足的条件，由直线l 过圆心求得m 的值.【详解】22240x mx y +++=可化为()2224x m y m ++=-，则240m ->，直线260x y m -+-=始终平分圆22240x mx y +++=的周长,则直线l 经过圆心(,0)m -.代入直线得260m m --=，解得3m =或2m =-.因为2m =-不满足240m ->，故3m =故选：C.5.若数列{}n a 满足12a =，1123n nn S S n a +++=+，则88S a +的值为（）A.9B.10C.11D.12【解析】【分析】由n S 与n a 的关系求得()()112n n S n S n +=++，从而1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，得到1n S n =+，即可求88S a +的值.【详解】由11n n n S S a ++-=及1123n nn S S n a +++=+得()()1123n n n n S S n S S +++=+-，即()()112323n n n n S S n S n S ++-+=++，即()()112n n S n S n +=++，所以112n n S S n n +=++，即1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，又11221S a ==，所以11n Sn =+，即1n S n =+，所以878879,81,S S a S S ===-=，所以8810S a +=.故选：B6.已知实数,x y28x y =+-，则点(),P x y 的轨迹为（）A.抛物线B.双曲线C.一条直线D.两条直线【答案】D 【解析】【分析】将已知方程等价变形为()()334170x x y -⋅+-=，即可判断点(),P x y 的轨迹.28x y =+-，所以两边平方得()()22223246443216x y x y xy x y -+-=+++--，化简整理得2351426120x xy x y ++--=，所以()()334170x x y -⋅+-=，所以30x -=或34170x y +-=，即点(),P x y 的轨迹方程为30x -=或34170x y +-=，所以点(),P x y 的轨迹为两条相交直线.故选：D7.若复数z 满足()24z z z ⋅+=，则23z z +的最小值为（）A .16B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，利用复数的乘法运算及模的公式得422491016x x y y ++=，所求式子为()2244x y +，令224t x y =+，则利用422152160x tx t --+=有解求得t ≥，即可得解.【详解】设i z x y =+，则()()()()222i 3i 34i 4z z z x y x y x yxy ⋅+=+⋅+=-+=，所以()()22223416x y xy -+=，即422491016x x y y ++=，而()()()2222222333i i 42i 16444z zx y x y x y x y x y +=++-=+=+=+，令224t x y =+，则224y t x =-，所以()()242229104416x x t x t x +-+-=，即422152160x tx t --+=，记20m x =≥，则22152160m tm t --+=，由题意，该方程存在非负根，且二次函数对称轴015tm =>，所以()()22Δ2415160t t =-⨯⨯-+≥，所以215t ≥，又0t >，所以t ≥，所以234z z t +=≥，即23z +的最小值为.故选：C8.计算：cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20-+= （）A.12B.23C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.【详解】()()()()11cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20cos 4020cos 4020cos 8040cos 804022⎡⎤⎡⎤-+=++--++-⎣⎦⎣⎦()()1cos 8020cos 80202⎡⎤+++-⎣⎦111131cos 20cos 40cos100cos 202cos 40cos100222242112⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++=+⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣-⎦+()()3131cos 20cos 40cos100cos 3010cos 3010sin104242⎡⎤⎡⎤=+=+--+-⎣⎦-+⎦⎣3132sin 30sin10sin10424⎡⎤=+-=⎣⎦，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设集合A ={|αα为两个非零向量可能的夹角}，集合B ={|ββ为两条异面直线可能的夹角}，则下列说法错误的是（）A.4π3A ∉ B.2π3B ∈C.ππ2A B θθ⎧⎫⊆≤≤⎨⎬⎩⎭ð D.ππ2A B θθ⎧⎫⊇≤≤⎨⎬⎩⎭ð【答案】BCD 【解析】【分析】由向量夹角定义和异面直线所成角取值范围求出集合A ，B ，再结合集合相关概念即可求解.【详解】由题集合[]0,πA =，π0,2B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，所以4π3A ∉，2π3B ∈，故A 对，B 错；由上{}π0,π2A B ⎛⎤=⋃ ⎥⎝⎦ð，故C 、D 错.故选：BCD.10.已知曲线:Γ1x x y y +=-，将曲线Γ用函数()f x 表示，则下列说法正确的是（）A.()f x 在R 上单调递减；B.()y f x =的图象关于34y x =对称；C.()22fx x +的最小值为9；D.若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点，则实数k 为定值.【答案】ACD 【解析】【分析】分段讨论确定Γ所表示的曲线方程作出图象，由图象判断A ，B ，D 选项；求出()22f x x +的表达式求其最小值判断C 选项；【详解】当0,0x y >≥时，221916x y+=-不存在，故在第一象限内无图象；当0,0x y <≥时，221916x y-+=-，在第二象限内为双曲线的一部分，其渐近线为43y x =-，此时2216169x y =-，即()()221616,39x f x x =-≤-，所以()222251699x f x x +=-≥；当0,0x y ≤<时，221916x y +=，在第三象限内为椭圆的一部分；此时2216169x y =-，即()()221616,309x f x x =--<≤，所以()22271699x f x x +=->当0,0x y ><时，22916x y -=-，在第四象限内为双曲线的一部分，其渐近线为43y x =-；此时2216169x y =+，即()()221616,09x f x x =+>，所以()2222516169x f x x +=+>；综上：()22fx x +的最小值为9，故C 正确；()y f x =图象如图所示：对于A ：由图象可得()f x 在R 上单调递减，故A 正确；对于B ，由图象可得()f x 图象不关于直线34y x =成轴对称图形，也可以求得()3,0-关于直线34y x =对称的点2172,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭不在()f x 图象上，故B 错误；对D ：若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点，则直线l 与渐近线平行，即43k =-为定值，否则直线l 与渐近线相交，则一定会与()y f x =的图象相交，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.11.已知独立的事件A 、B 满足()()0P A P B <<，则下列说法错误的是（）A.()()P A P AB +一定小于()2P B ；B.()()P A B P AB +可能等于()2PB ；C.事件AB 和事件AB 不可能相互独立；D.事件AB 和事件A B +可以相互独立.【答案】BC 【解析】【分析】利用独立事件的定义和性质可判断A 正确，B 错误；根据事件A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立，利用相互独立事件概率公式计算即可.【详解】()()P A P B <且,A B 相互独立，则()()P AB P B <，()()2()P A P AB P B +<,A 正确.∵A B +表示事件,A B 至少发生一个，AB 表示事件,A B 同时发生，∴()(),()()()()P A B P B P AB P A P B P B +>=<，∴()()P A B P AB +不能等于()2P B ，B 错误.若1()2P B =，则1()2P B =，此时()()P AB P AB =，∵AB AB A = .∴()(()(()()()P A P AB AB P AB P AB P A P B P AB ==+=+ .∴移项得(()()()()()()(1())()()P AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=-=.∴事件A 与B 相互独立，同理可知事件A 与B ，A 与B 也都相互独立.∴事件AB 和AB 可能相互独立，事件AB 和A B +可能相互独立，C 错误，D 正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：解题的关键是已知独立事件A 、B ，可推出事件A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立.12.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -上，点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点，点E F 、为棱AB 、1CC 的中点，点P 在平面MEF 上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（）A.平面MEF 与底面ABCD 的夹角余弦值为77；B.点D 到平面MEF 的距离为11； C.点D 到点P 的距离最大值为6345；D.设平面MEF 与正方体棱的交点为1T 、…、n T ，则n 边形1n T T ⋯最长的对角线的长度大于172.【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，即可利用法向量的夹角求解A ，根据点面距离的向量法即可求解B ，根据面面平行的性质可得截面为六边形EQFNKT ，即可根据点点距离公式求解CD.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,2,4,6,3,0,0,6,3M E F ,()()4,1,4,2,4,1ME MF =-=--,设平面MEF 法向量为(),,m x y z =，440240ME m x y z MF m x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取4y =，则()5,4,6m = ，而平面ABCD 的一个法向量为()10,0,6AA =，所以平面MEF 与底面ABCD的夹角余弦值为1677cos ,77m AA ==.故A 错误，()2,2,4,DM = 所以点D 到平面MEF的距离为11DM m m ⋅==，故B正确，延长EM 交11D C 于点N ,连接NF 交DC 延长线于点H ,连接EH 交BC 于Q ，由于点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点，所以1111322D M D N D N MB EB ==⇒=,11912C N C F CH CH CF ==⇒=,9612235CH CQ BQ BQ EB BQ BQ -=⇒=⇒=,在棱11A D 上取K ，使得165D K =,由于11116124455,35352D K D KBQ BQ D N EB EB D N==⇒=⇒=,故//KN EQ ，连接,,TE TK FQ ,故六边形EQFNKT 即为平面MEF 上与正方体所截得的截面，由于1121863,6,555FC AE CQ D K ===-==113//,2932C F AT ATNF TE AT NC AE ∴=⇒=⇒= ,由于CQ 最大，故DQ为最大值5DQ =，故当P 在Q 处时，DP最大为5,C正确，由于()()()1863,6,0,6,3,0,0,6,3,6,0,2,,0,6,0,,6,552Q E F T K N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭172NE ==>,因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度不小于NE 的长度，因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度大于172，故D 正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()f x =的定义域为______.【答案】()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据根式函数和对数函数及分式函数定义域法则列不等式求解即可.【详解】由题意2100ln 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪>⎩或2100ln 0x x x -=⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得1x >或12x =，所以函数()f x =的定义域为()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭14.已知某平面内三角形ABC 为等腰三角形，AB AC =，点D 为AC 中点，且3BD =，则ABC 面积的最大值为____________.【答案】6【解析】【分析】根据向量的模长公式可得259cos 4A x=-，即可利用面积公式得()()2229203664ABC S x =--+ ，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设AB AC x==由于12BD AC AB =- ,所以2222215cos 44BD AC AB AC AB x x A =+-⋅=- ,故259cos 4A x=-,()()222424211159sin 1cos 12444ABC S AB AC A x A x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()24229458192036648464x x x =-+-=--+故当220x =时，此时()2ABC S 取最大值36，故面积的最大值为6，故答案为：615.已知锐角α，β满足2tan cos αβ=，2tan tan2αβ=，则sin sin βα的值为______.【答案】56【解析】【分析】根据已知结合同角关系消去β得1tan tan2tan ααα-=，再根据二倍角公式化弦为切得1sin 2cos αα+=，然后利用同角三角函数关系求得33sin ,tan 54αα==，然后代入sin sin βα==计算可得.【详解】因为2tan cos αβ=，2tan tan 2αβ=，所以22sin 1tan tan 2cos tan αβαβα-==，又2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===，所以1cos 1tan cos sin sin tan sin ααααααα---==，所以1cos cos sin ααα-=-，即1sin 2cos αα+=，又22sin cos 1αα+=，所以25sin 2sin 30αα+-=，又α为锐角，解得3sin 5α=，或sin 1α=-（舍去），所以43cos ,tan 54αα==，所以sin 5sin 6βα==.故答案为：5616.假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像.思考如下成像原理:如图，地面内有圆1O ，其圆心在线段MB 上，且与线段MB 交于不与,M B 重合的点A ，PM ⊥地面，且24BM PM ==，P 点为人眼所在处，视网膜平面与直线BM 垂直.过A 点作平面α平行于视网膜平面.科学家已经证明，这种情况下圆1O 上任意一点到P 点的直线与平面α交点的轨迹（令为曲线C ）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线C 与圆1O 在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆1O 的影像为圆时，圆1O 的半径r 为____________.当圆1O 的半径r 满足112r ≤≤时，视网膜平面上的圆1O 的影像的离心率的取值范围为____________.【答案】①.32②.26,23⎣⎦【解析】【分析】使用空间向量方法可以验证曲线C 的两条半轴（半长轴和半短轴，但顺序可能不对应）的长分别为2r和，然后根据题设求解.【详解】由于视网膜平面与直线BM 垂直，平面α平行于视网膜平面，故平面α与直线BM 垂直.设地面平面为β，则据已知条件有PM β⊥.从而在β内可过M 作MA 的垂线MD ，使得,,MA MD MP 可分别作为以M为原点的一个右手坐标系的,, x y z轴正方向.由已知有4BM=，2PM=，故()0,0,0M，()4,0,0B，()0,0,2P.而42MA MB AB r=-=-，故()42,0,0A r-.再由1O A r=，知()14,0,0O r-.由于平面α与直线BM垂直，即平面α与x轴垂直，从而平面α上每一点的坐标的x轴分量都是定值42r-.再根据点A在线段MB内部及4BM=，又有0424r<-<，得02r<<.此时，地面平面即平面xOy，故圆1O的方程为()2224x r y rz⎧+-+=⎪⎨=⎪⎩.据此可设圆1O上的一点Q的坐标为()4cos,sin,0r r t r t-+，故()4cos,sin,2PQ r r t r t=-+-.设直线PQ和平面的交点为R，则,,P Q R三点共线，且R的坐标的x轴分量是42r-.故()22sin424842,,4cos4cos4cosr r tr rPR PQ rr r t r r t r r t⎛⎫---==-⎪-+-+-+⎝⎭，这得到R的坐标为()()22sin21cos42,,4cos4cosr r t r trr r t r r t⎛⎫-+-⎪-+-+⎝⎭.设()22sin4cosr r tyr r t-=-+，()21cos4cosr tzr r t+=-+，则()222221682242r ry zrr r-⎛⎫⎛⎫⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()()22222242142r ry zrr r--⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭-()()()222168sin41cos14cos4cosr t tr r tr r t⎛⎫-+=+-⎪-+-+⎝⎭()()()()()()22221681cos4cos4cos4cosr t r t rr r t r r t---+=+-+-+()()()()()2221681cos 4cos 4cos r t r t r r r t --+-+=-+()()()()()22222168168cos 168cos 24cos 4cos r r t r r t r r t r r r t ---+-++-+=-+()()()222216824cos cos 4cos r r r r t r tr r t -++-+=-+()()224cos 4cos r r t r r t -+=-+1=.所以我们得到点R 的轨迹为()222224216821242x r r r y z r r r =-⎧⎪-⎛⎫⎛⎫⎨⋅+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎩.由此可知，曲线C 是位于平面α内，以42,0,2r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心，半长轴和半短轴分别（顺序可能不对应）为2r22-=的椭圆（或者是圆，因为在二者相等时是圆）.而曲线C 和视网膜平面上的圆1O 的影像相似，故其中一个是圆当且仅当另一个是圆，且二者离心率相等.当曲线C 是圆时，有2r=12=，两边平方可得32r =.当112r ≤≤时，2r>=>，故和2r分别（顺序对应）是半长轴和半短轴的长，从而离心率e =再由112r≤≤,23⎣⎦.故答案为：32，26,23⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，利用已知的坐标，采取适当的配凑得到类似椭圆的方程，从而得到相应曲线的性质.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点是双曲线2241x y -=的右顶点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:l 2x y +=与抛物线相交于A 、B 两点，解决下列问题：（i ）求弦长AB ；（ii ）求证：OA OB ⊥.【答案】（1）22y x =；（2）（i）；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出双曲线右顶点，再求出抛物线的方程即得.（2）把直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得.【小问1详解】双曲线2241x y -=，即22114x y -=，其右顶点为1(,0)2，则抛物线C 的焦点为1(,0)2，而抛物线C 的顶点是坐标原点O ，所以抛物线C 的方程：22y x =.【小问2详解】（i ）设211)1(,2A y y ，222)1(,2B y y ，由222y xx y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得：2240y y +-=，则122y y +=-，124y y =-，于是12y y -==所以12AB y y =-==.（ii ）显然211)1(,2OA y y = ，222)1(,2OB y y = ，则221212121211(1)044OA OB y y y y y y y y ⋅=+=+= ，显然0,0OA OB ≠≠ ，即OA OB ⊥ ，所以OA OB ⊥.18.已知递增数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列，且113=a b ，422a b =，73a b =，126a b +=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若ln ln n nb n a ac b =，证明：1211nc c c n 迹+.【答案】（1）2n a n =+，13n n b -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差和等比数列的性质结合题意列方程组，解出11,,,a d q b ，再由基本量法求出通项即可；（2）由对数的运算性质化简再简单放缩可得()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+，最后利用累乘法可证明.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可得：11112111133266a b a d b q a d b q a b q =⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，前两式化简后有1111131322a b a d b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由上述式子可得：()21111136322a a d a d ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得：()()11930a d a d +-=，则19a d =-或13a d =，若19a d =-，可得1233b b b d ===-，数列{}n b 为常数列，故舍去；若13a d =，带入得3q =，又由116a b q +=，解得1d =，13a =，11b =，于是得到数列{}n a 的通项公式为2n a n =+，数列{}n b 的通项公式为13n n b -=.【小问2详解】由题可得()113ln log log 32ln n n a n nnb n n b b a ac a b +-===+，由于N n *∈时，()()113322310nn n ---+=-≥，则1332n n -³+（当且仅当1n =时取等号），所以()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+，则121212311nn c c c n n 迹创即=++（当且仅当1n =时取等号）.所以1211n c c c n 迹+.19.如图，1111ABCD A B C D -为一个平行六面体，且12AB AD AA ===，1BAA ∠=23πBAD ∠=，13DAA π∠=.（1）证明：直线AB 与直线1AC 垂直；（2）求点1B 到平面ABCD 的距离；（3）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）3【解析】【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求1AB AC即可证明.（2）由已知条件得三棱锥1B ABC -为正四面体，再利用正四面体结构特征即可求解得到点1B 到平面ABCD 的距离.（3）由（1）可得1AC，再由（2）得点1C 到平面ABCD 的距离，进而可求出线面角的正弦值，再结合同角三角函数平方和为1求解余弦值即可.【小问1详解】由题可得111AC AC CC AB AD AA =+=++，所以()2111····AB AC AB AB AD AA AB AB AD AB AA =++=++ 2π2π422cos 22cos 033=+⨯+⨯=，则1AB AC ⊥，于是得证：1AB AC ⊥.【小问2详解】连接11,,AB CB AC ，则由题意可知1113DAA CBB ABC ABB π∠=∠=∠=∠=，且1AB BB BC ==，所以三棱锥1B ABC -为正四面体，所以由正四面体结构性质1B 在底面ABC 的投影O 在BG （G 为AC 中点）上，且1112333GO BO BG ====，所以1B O ⊥平面ABC ，且1263B O ==，即点1B 到平面ABCD 的距离为3.【小问3详解】设直线1AC 与平面ABCD 的夹角为θ，由于1111ABCD A B C D -为一个平行六面体，则点1C 到平面ABCD 的距离等于点1B 到平面ABCD 的距离为3d =，由（1）中11AC AB AD AA =++，得到：1AC === ，则1sin 3d AC θ== ，显然π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3θ==.20.已知圆1:O 224x y +=，圆2:O ()221x y m +-=()01m ≤<，点P 为圆2O 上的一点.（1）若过P 点作圆2O 的切线l 交圆1O 于A 、B 两点，且弦AB长度最大值与最小值之积为m 的值；（2）当0m =时，圆1O 上有C 、D 两点满足PC PD ⊥，求线段CD 长度的最大值.【答案】（1）12（21【解析】【分析】（1）画出图形，得出AB =，进一步由三角形三边关系得出1O Q 的最值，由此即可顺利得解.（2）由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于CD 的不等式，解不等式即可得解.【小问1详解】设AB 中点为Q 点，连接12O O 、1O Q 、2O Q 、2O P ，由01m ≤<，得12211O O <-=，则圆1O 内含圆2O ，由垂径定理得：AB =，1AB O Q ⊥，由切线l 可得2AB O P ⊥，可得112121O Q O P O P O O m ≤≤+=+（当且仅当直线AB 为1y m =+时都取等），12121121O Q O P O O O P O O m ≥-≥-=-（当且仅当直线AB 为1y m =-+时都取等），所以111m O Q m -≤≤+，于是=，解得12m =.【小问2详解】取CD 中点T ，连接1O T 、TP 、1O P .当0m =时，1O 和2O 重合，由于PC PD ⊥，则12PT CD =，而11112O T PT O P CD ≥-=-，221144O T CD +=，则22114142CD CD ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，解得：1CD ≤，当且仅当1O 在线段TP 上时取等，所以CD 1.21.请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.（1）已知圆:M ()22224x y a ++=()02a <<，圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切.设P 点的轨迹为曲线E .①已知曲线Γ:x yλ=()R λ∈与曲线E 无交点，求λ的最大值（用a 表示）；②若记（2）中题①的λ最大值为0λ，圆:Q ()2211x y -+=和曲线00Γ:x y λ=相交于A 、B 两点，曲线E 与x 轴交于K 点，求四边形OAKB 的面积的最大值，并求出此时a 的值.（参考公式：322223a b c abc ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，其中,,0a b c >，当且仅当a b c ==时取等号）（2）如图，椭圆:C 22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，其上动点M 到1F 的距离最大值和最小值之积为1，且椭圆C 的离心率为2.①求椭圆C 的标准方程；②已知椭圆C 外有一点P ，过P 点作椭圆C 的两条切线，且两切线斜率之积为12-.是否存在合适的P 点，使得123F PF π∠=？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1；②四边形OAKB 的面积的最大值为839，实数a的值为3（2）①2214x y +=；②不存在P 点使得123F PF π∠=，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据已知条件求出点P 的轨迹方程E ，再将两个曲线无交点转化为对应的方程组无解即可.②根据已知条件求出,A B 两点坐标，表示出所求四边形的面积结合参考的不等式求解即可.（2）①根据焦点弦的范围和离心率列方程组求解即可.②由点P 和椭圆关系可以求出点P 的轨迹方程；再根据123F PF π∠=也以确定点所在圆弧的轨迹方程；根据联立两个方程有没有解来判断是否存在这样的点P 即可.【小问1详解】由圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切可得：2P P M P ON R OM R R R a ⎧=⎪⎨=+=+⎪⎩，所以有24OM ON a MN -=<=，则点P 的轨迹为以M 、N 为左右焦点，实轴长为2a 的双曲线右支，所以曲线:E 222214x y a a-=-()0x >.①显然，当0λ≤时，曲线Γ与曲线E 无交点，当0λ>时，()222Γ:Γ:0x y x y x λλ=⇔=≥，于是令2222222014x x y a a x y λ>⎧⎪⎪-=⎨-⎪=⎪⎩，得222241a a x λ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，若该方程在()0,∞+上无实数解，则22240a a λ--≤，解得λ≤所以λ.②将0λ=曲线00Γ:x y λ=得：曲线0Γ:x =22224a x y a ⇔=-()0x ≥，不妨令()222222411a x y a x y ⎧=⎪-⎨⎪-+=⎩，得0x =或212a ，于是212A B x x a ==，则四边形OAKB的面积12OAKB S a ==根据参考公式将该式化为32222228283269OAKB a a a S a ⎛⎫⎛⎫++-=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2a =取等号，解得263a =或3-，负值舍去）所以四边形OAKB 的面积的最大值为839，此时实数a 的值为263.【小问2详解】①由焦点弦取值范围1a c MF a c -≤≤+，离心率c e a =得：()()21c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.②设00(,)P x y ，过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，由对称性不妨令00≥y ，()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消元得()()()2220000418440k x k y kx x y kx ++-+--=，令Δ0=，化简得：()()22200004210x k x y k y --+-=，由于两切线斜率之积为12-，则202020401142x y x ⎧-≠⎪-⎨=-⎪-⎩，化简得：2200163x y +=()02x ≠±，由于123F PF π∠=，则点P 在以12F F 为弦所对圆心角为23π的圆的优弧 12F F 上，当00≥y 时，易得该圆的方程为()2214x y +-=，不妨令()22221631420x y x y x y ⎧+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠±⎪⎪≥⎩，解得该方程组无实数解，则当00≥y 时，不存在P 点使得123F PF π∠=，由对称性可知，当00≤y 时也不存在P 点使得123F PF π∠=，综上，不存在P 点使得123F PF π∠=.。

函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．【复习指导】本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念(1)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则这个函数叫做偶函数．(3)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称．(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数．即非奇非偶函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)．那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中，其中是偶函数的是( )．A．f(x)＝x＋1x B．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝1x2D．f(x)＝x4＋x3解析由奇、偶函数的定义知，A，B为奇函数，C为偶函数，D为非奇非偶函数．答案 C2．(2011·)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )．A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 13解析 函数为偶函数，则f (－x )＝f (x )，故排除掉B ，D.C 选项中y ＝x 2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意．故选A.答案 A3．“函数f (x )为奇函数”是“f (0)＝0”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D4．(2011·XX 调研)若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析 由已知，得b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx .∴g (－x )＝－(ax 3＋cx )＝－g (x )．∴g (x )为奇函数．答案 A5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________.解析 依题意，得⎩⎨⎧a －1＝－2a ，b ＝0，∴a ＝13，b ＝0，∴a ＋b ＝13. 答案 13考向一 函数奇偶性的判断【例1】►判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3. [审题视点] 先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再由奇、偶函数的定义判断．解 (1)由⎩⎨⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)由⎩⎨⎧ 1＋x 1－x≥0，1－x ≠0，得－1≤x ＜1.∵f (x )的定义域[－1,1)不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(3)由⎩⎨⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0. ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(1)首先考虑定义域是否关于原点对称，再根据f (－x )＝±f (x )判断，有时需要先将函数进行化简．(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]；(2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解 (1)∵f (x )的定义域[－1,4]不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数f (x )的定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝log 2(x 2＋1＋x )－1＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．考向二 函数的奇偶性与单调性【例2】►(2012·XX 模拟)(1)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x －1，求f (x )的解析式；(2)设a ＞0，f (x )＝e x a ＋a ex 是R 上的偶函数，XX 数a 的值； (3)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值X 围．[审题视点] (1)f (x )是一个分段函数，当x ＜0时，转化为f (x )＝－f (－x )．(2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如f (1)＝f (－1)，再验证．(3)可考虑f (x )在[－2,2]上的单调性．解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，当x ＜0时，－x ＞0，由已知f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1＝－f (x )．∴f (x )＝－x 2－x ＋1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －1，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x ＜0.(2)法一 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立．即e －x a ＋a e －x ＝e xa ＋a ex ，(a 2－1)(e 2x －1)＝0，对任意的x 恒成立， ∴⎩⎨⎧ a 2－1＝0，a ＞0，解得a ＝1. 法二 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)，∴1a ·1e ＋a e ＝e a ＋a e ， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a －1a e ＋1e (1a －a )＝0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a －1a (e 2－1)＝0，∴a －1a ＝0. 又a ＞0，∴a ＝1.经验证当a ＝1时，有f (－x )＝f (x )．∴a ＝1.(3)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m ＞m 2－1，即－2＜m ＜1.②综合①②，可知－1≤m ＜1.(1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【训练2】 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值X 围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23.故选A. 答案 A考向三 函数的奇偶性与周期性【例3】►设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)．[审题视点] ①根据周期函数的定义证明；②由函数的周期性与奇偶性综合解题；③函数周期性的应用．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0.判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是近年高考考查的重点问题．【训练3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数，可以推知f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．答案 D规X解答2——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f－x与f x 的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f x ＋T与f x的关系，它们都与f x有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.【示例】►(本题满分12分)(2011·XX模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．第(1)问，先求函数f(x)的周期，再求f(π)；第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出．[解答示X] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(4分)(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(6分)又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．(8分)当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(10分) (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【试一试】 (2011·潍坊模拟)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f x ，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( )．A ．10 B.110C ．－10 D ．－110解析 由于f (x ＋3)＝－1f x ，所以f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )的周期等于6，又因为函数f (x )是偶函数，于是f (107.5)＝f (6×17＋5.5)＝f (5.5)＝f (3＋2.5)＝－1f 2.5＝－1f －2.5＝－14×－2.5＝110. 答案 B。

变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：如果当Δx →0时，Δy Δx→常数A ，就说函数y ＝f (x )在x 0处可导，并把A 叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.(2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数：如果函数f (x )在开区间(a ，b )内每一点都可导，其导数值在(a ，b )内构成一个新的函数，叫做f (x )在开区间(a ，b )内的导函数，记作f ′(x )；(4)瞬时速度是位移函数S (t )对时间t 的导数，即v (t )＝S ′(t )；瞬时加速度是速度函数v (t )对时间t 的导数，即a (t )＝v ′(t )．2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x )′＝a x ln_a ，(e x )′＝e x ，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x. 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．简单复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝f ′(u )·u x ′，即y ′x ＝f ′(u )·a .1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[试一试]1．曲线C ：y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线方程为__________________．解析：因为y ′＝ln x ＋1，故点M (e ，e)处的切线的斜率为2，所求切线方程为y ＝2x －e.答案：y ＝2x －e2．过坐标原点作函数y ＝ln x 图像的切线，则切线斜率为________．解析：设切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝1x ，所以切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过原点，故y 0＝1.又y 0＝ln x 0，得x 0＝e ，所以所求斜率为1e. 答案：1e考点一导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝ln(2x －5)． [解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. (3)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5， 即y ′＝22x －5. [类题通法]1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．[针对训练]已知f (x )＝sin 2x ，记f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N *)，则f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 013⎝⎛⎭⎫π6＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：由题意，可知f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin 2x )′＝2cos 2x ；f 3(x )＝f 2′(x )＝(2cos 2x )′＝－4sin 2x ；f 4(x )＝f 3′(x )＝(－4sin 2x )′＝－8cos 2x ；f 5(x )＝f 4′(x )＝(－8cos 2x )′＝16sin 2x ；…故f 4k ＋1(x )＝24k sin 2x ，f 4k ＋2(x )＝24k ＋1cos 2x ，f 4k ＋3(x )＝－24k ＋2sin 2x ，f 4k ＋4(x )＝－24k ＋3cos 2x (k ∈N )．所以f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π6 ＝20sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋21cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－22sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－ 23cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋24sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋…－22 010sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－22 011cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋22 012sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋22 013cos ⎝⎛⎭⎫2×π6 ＝(20－22＋24－26＋…＋22 008－22 010＋22 012)sin π3＋(21－23＋25－27＋…＋22 009－22 011＋22 013)cos π3＝1×[1－(－22)1 007]1－(－22)×32＋2×[1－(－22)1 007]1－(－22)×12 ＝1＋22 0145×32＋2×(1＋22 014)5×12＝(3＋2)(1＋22 014)10答案：(3＋2)(1＋22 014)10考点二导数的几何意义导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义等问题.归纳起来常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值.角度一 求切线方程。

§2.1.2 指数函数及其性质【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎． 撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹． x ＝1为判底线，交点y 标看小大． 重视数形结合法，横轴上面图象察．此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了．对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实．当a >1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y ＝a x 是增函数；当0<a <1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是下降的，类似于汉字的捺，这时，指数函数y ＝a x 是减函数．由y ＝2x 和y ＝(12)x 的图象，可以看出它们是关于y 轴对称的．而底数2与12是倒数，所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”，这也可以从y ＝3x 和y ＝(13)x 的图象中得到充分的体现．解读指数函数图象的应用 一、要点扫描学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a 对于函数值变化的影响，对于a >1与0<a <1时函数值变化的情况不同，不能混淆，为此必须利用图象，数形结合．二、指数函数的图象及性质 a >10<a <1图象图 象图象分布在一、二象限，与y 轴相交，落在x 轴的上方都过点(0,1)特 征第一象限的点的纵坐标都大于1； 第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1； 第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降性 质定义域为R值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1x >0⇔y >1； x <0⇔0<y <1 x >0⇔0<y <1； x <0⇔y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数三、图象应用 1．比较大小例1 若a <0，则2a ，(12)a,0.2a 的大小顺序是________．解析 分别作出函数y ＝2x ，y ＝(12)x 和y ＝0.2x 的图象，如图所示，从图象可以看出，当a <0时，有0.2a >(12)a >2a .答案 0.2a >(12)a >2a点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y ＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a >1时，底数a 越大图象越陡；当0<a <1时，底数a 越小图象越陡．2．求解方程根的问题例2 确定方程2x ＝－x 2＋2的根的个数．解 根据方程的两端分别设函数f (x )＝2x ，g (x )＝－x 2＋2.在同一坐标系中画出函数f (x )＝2x 与g (x )＝－x 2＋2的图象，如图所示． 由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程2x ＝－x 2＋2的根的个数为2.点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．3．求解参数问题例3 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|＋1(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 当a >1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a <2， 即12<a <1与a >1矛盾．当0<a <1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象， 则由图可知1<2a <2， 即12<a <1，即为所求． 答案 12<a <1点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；(2)根据条件确定直线y ＝2a 与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．指数函数定义学习中的两个注意点定义：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R . 注意点1：为什么要规定a >0且a ≠1呢？ (1)若a ＝0，则当x >0时，a x ＝0； 当x ≤0时，a x 无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x ，这时对于x ＝14，x ＝12，…在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈R ，a x ＝1是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1.在规定以后，对于任意x ∈R ，a x 都有意义，且a x >0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(0，＋∞)．注意点2：函数y ＝3·(12)x 是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式y ＝a x 中，a x 的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y ＝a x ＋k (a >0且a ≠1，k ∈Z )；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y ＝a －x (a >0且a ≠1)，因为它可以化为y ＝(1a )x ，其中1a >0，且1a≠1.习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点．(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a ≥0时，n a m ＝(na )m ，而当a <0时，则不一定可换，应视m ，n 的情况而定．(2)分数指数幂不能对指数随意约分．(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析 例4 设f (x )＝x 2－4，且0<a ≤1，求f (a ＋1a )的值．错解 f (a ＋1a)＝（a ＋1a）2－4＝（a －1a ）2＝a －1a.剖析 在开方运算中忽视根式的两个重要性质： (1)当n 为奇数时，na n ＝a ； (2)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n 为偶数，所以不论a 取怎样的值，na n总有意义．因此在上面的解答中应有：由0<a ≤1，得1a ≥1，所以1a －a ≥0，从而（a ＋1a）2－4＝ (a －1a )2＝|a －1a |＝1a－a .教材中，规定了正分数指数幂的意义a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且mn 为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数．这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述．三、指数函数图象出错例5 根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？错解由方程|2x－1|＝m可得2x＝1±m，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x＝1±m≤0，即m≤－1或m≥1时，方程|2x－1|＝m无解；当2x＝1±m>0，即－1<m<1时，方程|2x－1|＝m有一解；不存在实数m使方程|2x－1|＝m有两解．剖析不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系．没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答．可以把这个问题加以转换，将求方程|2x－1|＝m的解的个数转化为求两个函数y＝|2x－1|与y＝m的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误．正解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．点评由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析．一、逆用公式例1 已知a ＝5，b ＝311，c ＝6123，试比较a ，b ，c 的大小． 解 因为a ＝5＝653＝6125， b ＝311＝6112＝6121，c ＝6123， 而121<123<125，所以a >c >b . 即5>6123>311.例2 计算(3－2)2 008·(3＋2)2 009.分析 注意到两个底数3＋2与3－2互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算．解 原式＝(3－2)2 008·(3＋2)2 008·(3＋2) ＝[(3－2)·(3＋2)]2 008·(3＋2) ＝12 008·(3＋2)＝3＋ 2. 五、化负为正例3 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2.解 方法一 原式＝4x4x ＋2＋41－x ·4x 41－x ·4x ＋2·4x＝4x 4x ＋2＋44＋2×4x ＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝4x ＋24x ＋2＝1. 方法二 原式＝4x4x ＋2＋4·4－x 4·4－x ＋2·4x ·4－x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝1. 点评 对于式子41－x41－x ＋2，方法一是利用分子分母同时乘4x 化简，而方法二是把2写成2·4x ·4－x ，通过约分化简，两种方法都是巧用4x ·4－x ＝1实现化简的．数函数常见题型解法探究 一、指数函数的定义例4 已知指数函数f (x )的图象经过点(2,4)，试求f (－12)的值．解 设指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，由已知得f (2)＝4，即a 2＝4(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.故f (－12)＝2－12＝22.二、考查指数的运算性质例5 若f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝e x ＋e －x2，则f (2x )等于( )A ．2f (x )B ．2g (x )C ．2[f (x )＋g (x )]D ．2f (x )·g (x )解析 f (2x )＝e 2x －e－2x 2＝(e x ＋e －x )(e x －e －x )2＝2·(e x ＋e －x )(e x －e －x )4＝2f (x )·g (x )．故选D. 答案 D三、指数函数的单调性例6 设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5.由于指数函数f (x )＝2x 是R 上的增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2，选D.答案 D四、定义域和值域例7 已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x )的定义域为________． 解析 由函数的定义，得1<2x <2⇒0<x <1. 所以应填(0,1)． 答案 (0,1)五、图象过定点问题例8 已知不论a 为何正实数，y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析 因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案 (－1，－1) 六、图象依据：(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝f (x ＋a )、y ＝f (x )＋b 、y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝|f (x )|、y ＝f (|x |)的图象之间的关系．例9 利用函数f (x )＝2x 的图象，作出下列各函数的图象： (1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)；(3)y ＝f (x )－1； (4)y ＝－f (x )；(5)y ＝|f (x )－1|.解 利用指数函数y ＝2x 的图象及变换作图法可作所要作的函数图象．其图象如图所示：点评 函数y ＝2|x |，y ＝2－|x |，y ＝|2x －1|的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例10 已知函数y ＝a a 2－2(a x －a －x )(a >0，a ≠1)在(－∞，＋∞)上递增，求a 的取值范围．解 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)<0， 即aa 2－2(ax 1－a －x 1)－aa 2－2(ax 2－a －x 2) ＝a a 2－2(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2)<0， 所以(a 2－2)(ax 1－ax 2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2>0ax 1－ax 2<0.或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2<0，ax 1－ax 2>0.解得a >2或0<a <1. 异底指数比大小五法 一、化同底例11 比较20.6，(12)－0.7,80.3的大小．解 化同底得20.6，(12)－0.7＝20.7,80.3＝20.9.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，且0.6<0.7<0.9， 所以20.6<20.7<20.9，即20.6<(12)－0.7<80.3.点评 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二、商比法例12比较下列两个数的大小：1.1－0.2与1.3－0.1.解 因为1.1－0.21.3－0.1＝(1.211.3)－0.1＝(1.31.21)0.1>(1.31.21)0＝1，所以1.1－0.2>1.3－0.1.点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负．三、取中间值例13下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<π0 B ．0.43<π0<30.4 C ．30.4<0.43<π0D ．π0<30.4<0.43解析 因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1， 所以0.43<π0<30.4，故选B. 答案 B点评 不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0或1比较大小，再间接地得出所求解．四、估算法例14 若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1]，则k ＝________. 解析 因为k ≤a ≤k ＋1，所以3k ≤3a ≤3k ＋1. 把3a ＝0.618代入得3k ≤0.618≤3k ＋1.估算得13≤0.618≤1，即3－1≤0.618≤30.解得k ＝－1.答案 －1点评 估算法既可快速达到比较大小的目的，又可培养同学们的估算能力，它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用．五、图解法例15 已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0<b <a ； ②a <b <0； ③0<a <b ； ④b <a <0； ⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 在同一坐标系中，分别画出函数y ＝(12)a ，y ＝(13)b 的图象．由图观察可知，当b <a <0时，等式(12)a ＝(13)b 不可能成立；又当0<a <b 时，等式(12)a ＝(13)b 也不可能成立，故选B.答案 B点评 把所要比较的指数化为指数函数，在同一坐标系中画出它们的图象，可以直观地看出其中的大小关系．指数函数考什么？1．(福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1， ∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. 答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知函数f (x )＝a －12x ＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________.解析 ∵定义域为R ，且函数为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －12＝0，∴a ＝12.答案 123．(全国高考)函数y ＝－e x 的图象( ) A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B ．与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 C ．与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的自变量x 取相反数时，函数值y 也为相反数，所以其图象关于原点对称．答案 D4．(湖北高考)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则必有( )A ．a >0，b <1B ．0<a <1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．a >1，b <0解析 数形结合是解题中常用的方法之一，熟练掌握基本初等函数的图象及性质是利用数形结合法解题的前提．由指数函数y ＝a x 向下平移1－b 个单位，使1－b >1即可得知．答案 B5．(湖北高考)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又∵f (x )＋g (x )＝e x ，∴g (x )＝e x －e －x 2. 答案 D。

青少年软件编程（Python）等级考试试卷（四级）一、单选题(共25题，共50分)Python 中函数不包括？（）1.A. 标准函数B. 第三库函数C. 内建函数D. 参数函数试题编号：20200316-ysy-008试题类型：单选题标准答案：D试题难度：一般试题解析：考生答案：B考生得分：0是否评分：已评分评价描述：以下关于函数参数和返回值的描述，正确的是？（）2.A. 关键字传递是根据每个参数的名字传递参数，实参的顺序需要和形参的顺序一致。

B. 可选参数传递指的是没有传入对应参数值的时候，就不使用该参数。

C. 函数能同时返回多个值，需要形成一个列表来返回。

D. 给参数赋予默认值，如果该参数最终没有被传递值，将使用该默认值。

试题编号：20200316-ysy-010试题类型：单选题标准答案：D试题难度：一般试题解析：考生答案：D考生得分：2是否评分：已评分评价描述：3关于 import 引用，以下选项中描述错误的是？（）.A. 使用 import turtle 引入turtle 库。

B. 可以使用 from turtle import setup 引入 turtle 库。

C. 使用 import turtle as t 引入 turtle 库，取别名为 t。

D. import 保留字用于导入模块或者模块中的对象。

试题编号：20200317-ysy-001试题类型：单选题标准答案：B试题难度：一般试题解析：考生答案：B考生得分：2是否评分：已评分评价描述：关于算法的描述，以下选项中错误的是？（）4.A. 算法是指解题方案的准确而完整的描述。

B. 算法的复杂度主要包括时间复杂度和数据复杂度。

C. 算法具有可行性、确定性、有穷性的基本特征。

D. 算法的基本要素包括数据对象的运算和操作及算法的控制结构。

试题编号：20200325-ysy-002试题类型：单选题标准答案：B试题难度：一般试题解析：算法复杂度是指算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，资源包括时间资源和内存资源。

=!A乙£ P=旷S奚報洱封去、09乙x9乙+ 0Lx9+ O^xC+ 8x U ——= L刊U]xu Z-= X 诲切去尅去：搦2A S 0 = x s乙乙乙(A-尸！U心Z~ =U K(A-尸！UAo+e =尸！u!A Z- +e = f十u(Ao- 尸！U(Ao 一8一=F!U广尸！U'Ao eu -= 、/丿L□ u(!Ao+e) m =U KI U!x 7 - = x；・-尸！U忆=001=9901+ 901+ CO 1+ >6+26T ! U=z Z/= x u i —i^ 童#说圧最新精品文档，知识共享 1!1-1 /6 1 -303 1 0 30 4 24 20 £ 09 1 85 20 3 1 0yy i 9n y=240.4441 2 2 _61 -240.444「吃—303-240.4441030-240.44492 2 2424 —240.444］亠［20 — 240.444］亠〔909 — 240.444 222 n(—185—240.444)+(20—240.444)+(310—240.444) = 197032.247利用3题的结果可知x 二 2000 y = 2240.444 s" =s y =197032.247i123 4 5678910 11 1213X79. 80. 80. 80. 80. 80. 80. 79. 80. 80. 80. 80. 80.09804 02 04 03 03 04 97 05 03 02 00 2 y-2424334-35322i1 2 3 4 5 6 7 8 9 X i193 169303242202 290 181 202 2397 0 49510 y i-30103 42-1831-6134209095204.解：变换y 二 N -2000i^ 盍#说曲'韓爼習黯堆窖g 乙 0"=920^ =[g9J + t^)+ 乙(9J + 乙 Jxt7+』9J+6—)>;£+ ^9L + 9S-)x2^ —=(H989乙二比+下=19'V- =「 OL (K + ^X 3L + C X 6-乙 x9£—)— = k尸！U!A !LU kP£ 乙 tuZV 6- 9£- !A17'0£乙8乙I/9乙9£2k*(z 乙-Moi 竭靠：搦-g0000 LAs =乙00 L乙 008= 08+ —圧巨畜彩轴雷£宙吐OOZ —乙)x£+ ( 00 3-3-)1 —= 乙 _ lx亍！U(A- !A)右=$ 乙— U L00乙= SL尸！U:<z(A-z —口U!A y !LU M _ = :S(HX ZZ0£'9 =00x乙ZZ0£'9 =最新精品文档，知识共享 1!2Ix 丄Fjxn i 41 156 10 160 14 164 26 172 12 168 28 176 8 180 2 100-166i二1' m i X j -xn i 11帀0 汉(156 —166 $ 2 2 214 160-16626 164-16628 168-1661002 2 2 112 172 -166 8 176 -166 2180 -166= 33.448解：将子样值重新排列（由小到大） -4, -2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2, 3.21 M^Xm =X 7 =0R = X n - X 1 - 3.21 - _4 - 7.21 M e =XX (8 厂1*2n i 9 解:1 11n x i n 2X j一n2 j mn 2最新精品文档，知识共享 1!n £2x 2 _x 2n i亠口 2 i 丄环数 109 87 6 54 频数2 30 942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形 解: 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 频率0.10.150.450.20.10.14^xc60.3 6兰xv7F20（X ）=* 0.75 7 兰 x£9 0.99 兰 xv10Jx^10区间划分频数频率密度估计值154口158100.10.025ni n2X i --二’Xj i Aj 1n i X i亠 n 2 X 2n n 2m 亠n^i亠2222 比 s }亠x_, ［亠n 2 s2）$ n i X i + n2 X 2|'u U 匸！U 口U-=^-= !xa m—!x Zr a=xaY "fU u L u L —u F ! U 芳！ U7= =^<3 7 = 7 3= X30 / ? L - 飞=々］7 = !X3 ( ?)d q !x最新精品文档，知识共享 1!3.313•解：Xi L U a,b EXiDX i12i =12 ,n在此题中x 丄 U -1,11 Dx i3— 1 EX 二 E —'n i 4 _ 1n 丄Exn i £. 1 DX 二 D x i 八 Dx i~n i 二14.解：因为XiL N *2所以由2分布定义可知丫二'i -1X ii£I a所以 Y L 2 n15.解: 因为XiL N 0,1E X 1 X 2 X 3=°.3所以X1X2X 3L N0」.3iX +X 2 +X 3£V3.丿同理X 4 X 5 X 6b 2(1)由于2分布的可加性，故1YX 1 X 2 X 3 =I ----------- = -------可知16•解:（1）因为XiL N OF 2辿 N 0,1CT=3nE Xi —=0i =12 ,n服从2分布,12 ,n D X 1 X 2 X 3D X^.1X 1 X 2 X 3L N 0,3=1+ ['X4+X 5 + X 6j 2口i =1,2, ,n所以F”)”讣P弄韶y—JZx d xfY iy二 f y =因为所以(2)因为所以y2n /"2 "fY (y )=<2Z r '-L_ ye^2(3)因为x 0x _0x丄N 0,；「2i =1,辿N 0,1CT飞工L 2.i ■■-F Y2 y P nY2% y卡 2 y…学芈n2 2 _nx____ 戸nXjL N 0,二2y 0y乞02,…,nnyF.f 2 x dxy 0y乞01,2,…,n故17•解：因为所以故(4)因为所以21X亠一；F Y 3 y = p 沁匸罕二fY 3y=F Y 3y二x 0 x _ 0y 0 y _oX i L N Of 2i =1,2, ,n£ 非L N （o,1）i =1 •、n ；・yF Y 4 y =P 「Y 4 冷乞吕「f 21 xdx'f y ） 1 f 2 y二 F Y 4 y =f 217 77存在相互独立的u , VU L N 0,1VL 2 nUy 乞0xLt n19•解：用公式计算富01 (90)=90 +J2P0U 0.01查表得U 0.01 =2.33代入上式计算可得 鼻爲(90 ) = 90 + 31.26 = 121.2620.解：因为 XL 2 nE 2 = nD 2 由2分布的性质3可知则由定义可知 18解：因为所以(2)因为所以u 2L 21 u 221V n2L F 1,n、n X i i \ n ”_' XiL N 0—i =12 ,nL N 0,1V]2u i :n 1；-n\ m l ： X ii 4Y = r . _____ 1n ： D m丘「人2F i =n 1J Xi牙Lt mX^L N 0,1zf X .lL ；「m卷 2Li”二i =1,2, , n mnm l X i 2 Y 2 -n imn' x ：i -1• j Xi_i.工n{ CT 丿n m z i士 1mL F n,m=2n最新精品文档，知识共享1!X -n |X - n c - nPXx ；=P —-lx/2n V2n Jc _nt2l n m[ V2n ^2^ J VV2n JP^X <c)1.x) x)0, x+□0f:::0 0 _OCixe -■x +□0+x)1xdx-，x d-xe从而有2. 1).E(x)i+oOoO、k(1、k -1p)p' k(1 -、k丄x =1P _1 一1 一p 令P= XL(P)汕(1-P)"p=p n(1-p)u nX i -n最新精品文档，知识共享 1!X解之得解：因为总体X 服从U( a , b )所以_a b D( X )( a-b )2 n!2 12 r ! (n _r ] X ) =X D ( X ) =S 2,n 2解之得:nnIn x i i 4nnIn x ii -1(2)母体X 的期望而样本均值为:-1 nX =—区 X in y令E(x)二X 得1 - X5•。

人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列第1课时同步作业（原卷版）1．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617B.1819C.2021D.22232．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的应当有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．2n 是数列1，2，4，…，2n ，…的第几项()A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．都不是4．已知数列{a n }前三项分别为－1，0，1，下列各式：①a n ＝n －2；②a n ＝（－1）n －12；③a n ＝(n －2)5；④a n ＝(n －2)＋(n －1)(n －2)(n －3)．其中，能作为数列{a n }的通项公式的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．数列12，16，112，120，…的一个通项公式是()A ．a n ＝1n （n －1）B ．a n ＝12（2n －1）C ．a n ＝1n －1n ＋1D ．a n ＝1－1n6．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列各项中最小项是()A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项7．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键()A ．6n 个B ．4n ＋2个C ．5n －1个D ．5n ＋1个8．【多选题】下列说法中，正确的是()A ．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C k 项为1＋1kD ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n －2}9．已知下列数列：①2000，2004，2008，2012；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤1，0，－1，…，sin n π2，…；⑥6，6，6，6，6，6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并画出它的图象；(2)88是否是数列{a n }中的项？11．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式a n ＝()A.19(10n －1) B.13(10n －1)D.310(10n －1)12．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，则a n ＋1－a n ＝()A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋213．数列{a n}的通项公式为a n＝log n＋1(n＋2)，则它前14项的积为________．14．数列{a n}的通项公式为a n＝30＋n－n2.(1)－60是否是{a n}中的一项？(2)当n分别取何值时，a n＝0，a n>0，a n<0?15．已知数列{a n}，a n＝cosnθ，0<θ<π6，a5＝12，则a10＝________．16．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，画出该数列的图象．人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列第1课时同步作业（解析版）1．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617B.1819C.2021D.2223答案C2．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列中某一项值的应当有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案C 解析0.96＝96100＝2425，0.98＝98100＝4950，0.99＝99100.3．2n 是数列1，2，4，…，2n ，…的第几项()A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．都不是答案B4．已知数列{a n }前三项分别为－1，0，1，下列各式：①a n ＝n －2；②a n ＝（－1）n －12；③a n ＝(n －2)5；④a n ＝(n －2)＋(n －1)(n －2)(n －3)．其中，能作为数列{a n }的通项公式的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案C5．数列12，16，112，120，…的一个通项公式是()A ．a n ＝1n （n －1）B ．a n ＝12（2n －1）C ．a n ＝1n －1n ＋1D ．a n ＝1－1n答案C解析联系基本数列：2，6，12，20，…的通项为a n ＝n(n ＋1)，而1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.6．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列各项中最小项是()A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项答案B解析a n ＝3n 2－28n ＝－1963，5离143最近．7．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键()A ．6n 个B ．4n ＋2个C ．5n －1个D ．5n ＋1个答案D解析每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有5n ＋1个化学键．8．【多选题】下列说法中，正确的是()A ．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C k 项为1＋1kD ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n －2}答案CD解析A 中，{1，3，5，7}表示集合，所以A 不正确；B 中，数列中的各项是有顺序的，所以B 不正确；D 中，数列应记为{2n －2}，所以D 正确；很明显C 正确．9．已知下列数列：①2000，2004，2008，2012；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤1，0，－1，…，sin n π2，…；⑥6，6，6，6，6，6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)答案①⑥②③④⑤①②③⑥④⑤⑤10．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是项数n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并画出它的图象；(2)88是否是数列{a n }中的项？解析(1)设a n ＝an ＋b ，∴a 1＝2＝a ＋b ，a 17＝17a ＋b ＝66.∴a ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2(n ∈N ＋)．图象如图所示．(2)令4n －2＝88，得n ＝452∉N ＋，故88不是{a n }中的项．11．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式a n ＝()A.19(10n －1) B.13(10n －1)D.310(10n －1)答案C12．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，则a n ＋1－a n ＝()A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案D 解析∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.13．数列{a n }的通项公式为a n ＝log n ＋1(n ＋2)，则它前14项的积为________．答案4解析log 23·log 34·log 45·…·log 1516＝log 216＝4.14．数列{a n }的通项公式为a n ＝30＋n －n 2.(1)－60是否是{a n }中的一项？(2)当n 分别取何值时，a n ＝0，a n >0，a n <0?解析(1)假设－60是{a n }中的一项，则－60＝30＋n －n 2.解得n ＝10或n ＝－9(舍去)．∴－60是{a n}的第10项．(2)当n＝6时，a n＝0；当0<n<6时，a n>0；当n>6时，a n<0.15．已知数列{a n}，a n＝cosnθ，0<θ<π6，a5＝12，则a10＝________．答案－1 216．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，画出该数列的图象．解析将A，B之间所有站按1.2，3，4，5，6，7，8依次编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7，12，10，16，15，12，7，0.根据题意，列表，如下表．站号12345678剩余邮件数7121516151270该数列的图象如下图所示．。

第一章§11证明：都是的倍数。

n a a a ,,21 m 存在个整数使∴n n p p p ,,21nn n m p a m p a m p a ===,,,222111 又是任意个整数n q q q ,,,21 n mp q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即是的整数n n a q a q a q +++ 2211m 2证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知)12)(1(/6++n n n 3证： 不全为b a , 0在整数集合中存在正整数，因而∴{}Z y x by ax S ∈+=,|有形如的最小整数by ax +00by ax + ，由带余除法有Z y x ∈∀,00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则，由是中的最小整数知S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(0000by ax +S 0=r 下证第二题by ax by ax ++∴/008P （为任意整数） by ax by ax ++/00 y x ,b by ax a by ax /,/0000++∴ 又有).,/(00b a by ax +∴bb a a b a /),(,/),( 故00/),(by ax b a +∴),(00b a by ax =+4证：作序列则必在此序列的某两项之间,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---a即存在一个整数，使成立q b q a b q 212+<≤ 当为偶数时，若则令，则有)(i q .0>b b qa bs a t q s 2,2-=-==22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤ 若 则令，则同样有0<b b qa bs a t q s 2,2+=-=-=2b t <当为奇数时，若则令，则有)(ii q 0>b b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=2021212b t b q a b q a bs a t b≤∴<+-=+-=-=≤-若 ，则令0<b b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当为奇数时，设则b 11t bs t bs a +=+=bs s b t t >-=-)(11而 矛盾 故b t t t t bt bt ≤+≤-∴≤≤1112,211,t t s s ==当为偶数时，不唯一，举例如下：此时为整数b t s ,2b2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1）令S=，取M=这里k 是使最n14131211+++++p k 75321⋅⋅⋅-n k ≤2大整数，p 是不大于n 的最大奇数。

第十四章　整式的乘法与因式分解一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)1.(2024·遵义绥阳县期末)下列计算正确的是(A)A.(-2a)2=4a2B.x3·x3=x9C.(-b)7÷b5=b2D.(m2)3·m4=m92.(2024·黔南州期末)式子(-ab)4·a2化简后的结果是(B)A.a2b4B.a6b4C.a8b4D.a16b43.(2024·黔南州期末)下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是(D)A.a(a-3)=a2-3aB.(a+1)2=a2+2a+1)　D.a2-9=(a+3)(a-3)C.a+2=a(1+2a4.(2024·遵义红花岗区期中)若(x+4)(x-2)=x2+mx+n,则m,n的值分别是(C)A.2,8B.-2,-8C.2,-8D.-2,85.(2024·遵义播州区期末)已知实数n满足n2-n+1=0,则4n3-5n2+5n+11的值为(A)A.12B.10C.8D.66.(2024·黔南州期末)若x2-nx+36是关于x的完全平方式,则n的值为(C)A.6B.12C.±12D.367.若a+b=-5,ab=3,则a2+b2的值为(B)A.25B.19C.31D.168.(2023·六盘水期中)小明在做作业的时候,不小心把墨水滴到了作业本上,■×3ab=6ab-3ab3,阴影部分即为被墨汁弄污的部分,那么被墨汁遮住的是(D)A.(2ab+b2)B.(3ab+2b2)C.(2+2b)D.(2-b2)9.如图,两个正方形边长分别为a,b,已知a+b=7,ab=9,则阴影部分的面积为(B)A.10B.11C.12D.1310.已知a,b,c为△ABC的三边长,且a2+ac=b2+bc,则△ABC是(D)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形11.(2023·黔西南州期末)在日常生活中取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理是:对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x+y)(x-y)(x2+y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=20,y=10,用上述方法产生的密码不可能是(C)A.102030B.103020C.305010D.20103012.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”,比如8=32-12,16=52-32,即8,16均为“和谐数”.在不超过2 023的正整数中,所有的“和谐数”之和为(A)A.255 024B.253 008C.257 048D.255 054二、填空题(每小题4分,共16分)13.(2024·遵义绥阳县期末)计算:(2a)3·(-3a2)=　-24a5　.14.(2023·沈阳中考)因式分解:a3+2a2+a=　a(a+1)2　.　.15.(2024·遵义红花岗区期中)若x m=5,x n=10,则x2m-n=5216.如图,点C 是线段BG 上的一点,以BC ,CG 为边向两边作正方形,面积分别是S 1和S 2,两正方形的面积和S 1+S 2=20,已知BG =6,则图中阴影部分面积为　4　.三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算下列各题:(1)-12x 2y ·(13x 3y 2-34x 2y +16);(2)(x +3y -2z )(x -3y +2z );(3)(2x -1)2-(2x +5)(2x -5).【解析】(1)原式=-12x 2y ·13x 3y 2+12x 2y ·34x 2y -12x 2y ·16=-4x 5y 3+9x 4y 2-2x 2y.(2)原式=(x +3y -2z )[x -(3y -2z )]=x 2-(3y -2z )2=x 2-9y 2+12yz -4z 2.(3)原式=4x 2-4x +1-(4x 2-25)=4x 2-4x +1-4x 2+25=-4x +26.18.(10分)分解因式:(1)9a2(x-y)+4b2(y-x);(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2.【解析】(1)9a2(x-y)+4b2(y-x)=9a2(x-y)-4b2(x-y)=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b);(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2=[a-(b+c)]2=(a-b-c)2.19.(10分)(2024·遵义红花岗区期中)先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2.【解析】3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a,当a=-2时,原式=-20×4-9×2=-98.20.(10分)(2023·毕节七星关区期中)如图所示,某地区有一块长为(2a+3b)米、宽为(2a-b)米的长方形地块,角上有四个边长均为(a-b)米的小正方形空地,开发商计划将阴影部分进行绿化.(1)用含a,b的代数式表示绿化的面积是多少平方米?(2)若a=20,b=10,求出绿化面积.【解析】(1)绿化的面积:(2a-b)(2a+3b)-4(a-b)2=4a2+6ab-2ab-3b2-4(a2-2ab+b2)=4a2+4ab-3b2-4a2+8ab-4b2=(12ab-7b2)平方米.答:绿化的面积是(12ab-7b2)平方米.(2)当a=20,b=10时,原式=12×20×10-7×102=1 700(平方米),答:绿化面积为1 700平方米.21.(10分)(2024·上海期中)已知x-y=-5,xy=3,求下列各式的值:(1)x2+y2;(2)(3x+2)(3y-2);(3)(x+y)2.【解析】(1)∵x-y=-5,xy=3,∴x2+y2=(x-y)2+2xy=(-5)2+2×3=25+6=31;(2)∵x-y=-5,xy=3,∴(3x+2)(3y-2)=9xy-6x+6y-4=9xy-6(x-y)-4=9×3-6×(-5)-4=27+30-4=57-4=53;(3)∵x-y=-5,xy=3,∴(x+y)2=(x-y)2+4xy=(-5)2+4×3=25+12=37.22.(12分)(2024·黔西南州期末)先阅读材料,再解答问题:材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.解:将“x+y”看成整体,令x+y=m,则原式=m2+2m+1=(m+1)2.再将x+y=m代入,得原式=(x+y+1)2.上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:(1)因式分解:1-2(x-y)+(x-y)2= ;(2)因式分解:9(x-2)2-6(x-2)+1.【解析】(1)将“x-y”看成整体,令x-y=m,则原式=1-2m+m2=(m-1)2.再将x-y=m代入,得原式=(x-y-1)2;答案:(x-y-1)2(2)将“x-2”看成整体,令x-2=t,则原式=9t2-6t+1=(3t-1)2.再将x-2=t代入,得原式=[3(x-2)-1]2=(3x-7)2.23.(12分)甲、乙两人共同计算一道整式乘法题(2x+a)(3x+b).甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“-a”,得到的结果为6x2+11x-10.乙由于漏抄了第二个多项式中x 的系数,得到的结果为2x2-9x+10.(1)求正确的a,b的值;(2)计算出这道整式乘法题的正确结果.【解析】(1)由题意得(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10,∴2b-3a=11①,∵乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10,∴(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2-9x+10,∴2b+a=-9②,由①②联立方程组,解得a=-5,b=-2;(2)(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10.24.(12分)(2023·铜仁石阡县期中)阅读下面的材料:材料一:比较322和411的大小.材料二:比较28和82的大小.解:因为411=(22)11=222,且3>2,所以322>222,即322>411.解:因为82=(23)2=26,且8>6,所以28>26,即28>82.小结:指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小.小结:底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小.解决下列问题:(1)比较344,433,522的大小;(2)比较8131,2741,961的大小.【解析】(1)∵344=(34)11=8111, 433=(43)11=6411,522=(52)11=2511,81>64>25,∴344>433>522;(2)∵8131=(34)31=3124,2741=(33)41=3123,961=(32)61=3122,124>123>122,∴8131>2741>961.25.(12分)(2023·贵阳南明区期中)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:将2a-3ab-4+6b因式分解.【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:解法一:原式=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2);解法二:原式=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b);【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解;【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2因式分解;(3)将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解.【解析】(1)原式=(x2-a2)+(x+a)=(x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1);(2)原式=(ax-bx)+(a2-2ab+b2)=x(a-b)+(a-b)2=(a-b)(x+a-b);(3)原式=(a4+2a2b2+b4)-(2ab3+2a3b) =(a2+b2)2-2ab(a2+b2)=(a2+b2)(a2+b2-2ab)=(a2+b2)(a-b)2.。

物理中的“零点”
张兆明
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2006(000)008
【摘要】若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,并有f(a) f(b)＜0,则函数f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使 f(c)=0.
【总页数】1页(P)
【作者】张兆明
【作者单位】山东省枣庄八中南校;277000
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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