《函数的极大值与极小值》

§5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时）一、内容和内容解析内容：极值的概念，了解函数的极值与导数的关系，运用导数方法求函数极值.内容解析：（1）极值的概念：函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.教学时可以用高台跳水实例引入函数极值的讨论，先让学生结合实际经验，通过观察图形直观形象的得到“局部最值"的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念.（2）函数的极值与导数的关系：学生对函数的极值有了初步的了解后，学生就会面临难题，如何利用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但教师在教学中依然要符合学生的认知规律，要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的.先让学生观察函数极值附近两侧的图像变化，认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的.学生知道图象的上升与下降是用单调性来刻画的，而函数单调性又可以用导数来刻画的.从而，学生自然而然地就明白函数的极值可以借助导数来求解.二、目标和目标解析目标：结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值.通过观察具体的函数图像，学生直观感知极值这一概念的生成过程，并积极主动地参与探索函数的极值与导数值变化之间的关系的活动，亲身经历用导数研究极值方法的过程.通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，增强数形结合的意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过规范地表达求函数极值的过程，养成缜密的思维习惯.目标解析：达成上述目标的标志是：能够通过函数图象判断函数的极值点和极值.能够通过导函数的图象判断函数的极值点.能够利用导数研究解一元三次函数的极值.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：为何可以利用导数直接判断极值是第一个教学问题，也是教学难点，在没有教师的引导下，导数介入函数的极值中是很难理解.因此，探究的起点应从学生熟悉的公式或概念开始.学生对函数的极值有了初步的了解后，那么困惑产生了：如何求函数的极值呢?2.教学问题二：函数在某点处的导数值为0是可导函数取得极值的必要条件，而非充分条件.这个第二个教学问题，也是教学难点.基于以上分析，确定本节课的教学重难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，求可导函数的极值的步骤.四、教学策略分析t a =时，运动员距水面的高度h t=a 附近函数导数值的正负性变化，教学时可以采用信息技术工具，放大函数在t a =t=a 的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从t a =的左侧移动至右侧时，切线斜率由正数变到为0，再由0变到负数. 五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图情景 引入观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？师生活动：学生间激烈地争论着这个问题，教师再给出这节课要研究的角度，结合苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”，描述的是庐山的连绵起伏.由此联想庐山的连绵起伏形成好多的"峰点" 与''谷点"，这就象数学上要研究的函数的极值.将学生从"要我学"被动学习情绪激发到“我要学”的积极主动的学习欲望上来，学生能够自觉地参与课堂教学的过程中来.探究新知[问题1]观察下图，图1和图2，函数在点x a =处的函数值与它附近的函数值之间有什么关系？ayxO[问题2] 观察图像，找出图中的极值点，并说明哪些为极大值点，哪些为极小值点？教师1：提出问题1. 学生1：学生观察分析后发表自己的见解.师生共同总结：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都大，它是一个局部的概念，不同于函数的最值，为了区分函数的最值，我们要加以新的定义.教师引导学生，给出极大值的概念：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都大，我们把a 叫做函数()y f x =的极大值点，()f a 叫做函数()y f x =的极大值.学生通过类比，给出极小值的概念：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值. 教师再强调：让学生将观察分析得到的结论用科学严谨的数学语言表达出来，有利于学生思维从感性层面提升到理性层面，培养归纳概括能力.fed cb O xyay=f'(x )O a b x 1x 2x 3x 4x 5x 6。

函数的极值与最大小值第1课时函数的极值与导数1．极值点与极值1极小值点与极小值假设函数＝f 在点＝a的函数值f a比它在点＝a附近其他点的函数值都小，f ′a＝0，而且在点＝a附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，就把点a叫做函数＝f 的极小值点，f a叫做函数＝f 的极小值．2极大值点与极大值假设函数＝f 在点＝b的函数值f b比它在点＝b附近其他点的函数值都大，f ′b＝0，而且在点＝b附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，就把点b叫做函数＝f 的极大值点，f b叫做函数＝f 的极大值．3极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f ＝3，f ′0＝0，但＝0不是f ＝3的极值点．所以，当f ′0＝0时，要判断＝0是否为f 的极值点，还要看f ′在0两侧的符号是否相反．2．求可导函数＝f 的极值的方法解方程f ′＝0，当f ′0＝0时：1如果在0附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，那么f 0是极大值；2如果在0附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，那么f 0是极小值．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1极大值一定比极小值大．2每一个函数都至少有一个极大值或极小值．3假设f ′0＝0，那么0一定是极值点．4单调函数不存在极值．[提示]1极大值不一定比极小值大，∴1错误；2有的函数可能没有极值．∴2错；3假设f ′0＝0，只有导函数的变号零点，0才是极值点，故3错误；4正确．[答案]1×2×3×4√2．函数f 的定义域为R，导函数f ′的图象如下图，那么函数fA．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设＝f ′的图象与轴的交点从左到右横坐标依次为1，2，3，4，那么f 在＝1，＝3处取得极大值，在＝2，＝4处取得极小值．]3．多项选择题以下四个函数中，在＝0处取得极值的函数是A．＝3B．＝2＋1C．＝|| D．＝2BC[对于A，′＝32≥0，∴＝3单调递增，无极值；对于B，′＝2，＞0时′＞0，＜0时′＜0，∴＝0为极值点；对于C，根据图象，在0，＋∞上单调递增，在－∞，0上单调递减，∴C符合；对于D，＝2单调递增，无极值．应选BC]4．函数f ＝＋2co 在错误!上的极大值点为A．0B．错误!C．错误!D．错误!B[f ′＝1－2in ．令f ′＝0，∵∈错误!，∴＝错误!，∈错误!时f ′＜0，∈错误!时，f ′＞0∴＝错误!是f 在错误!上的极大值点．]不含参数的函数求极值【例1】求以下函数的极值：1＝3－32－9＋5；2＝3－52[解]1∵′＝32－6－9，令′＝0，即32－6－9＝0，解得1＝－1，2＝3当变化时，′，的变化情况如下表：－∞，－1－1－1，333，＋∞′＋0－0＋↗极大值↘极小值↗∴当＝－1时，函数＝f 有极大值，且f －1＝10；当＝3时，函数＝f 有极小值，且f 3＝－222′＝32－52＋23－5＝52－3－5．令′＝0，即52－3－5＝0，解得1＝0，2＝3，3＝变化时，′与的变化情况如下表：－∞，000，333，555，＋∞′＋0＋0－0＋↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴＝0不是的极值点；＝3是的极大值点，极大值＝f 3＝108；＝5是的极小值点，极小值＝f 5＝0一般地，求函数＝f的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′；2解方程f′＝0，得方程的根0可能不止一个；3用方程f′＝0的根，顺次将函数的定义域分成假设干个开区间，可将，f′，f 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′在各个开区间内的符号，判断f在f′＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点[跟进训练]1．求函数f ＝33－3＋1的极值．[解] f ′＝92－3，令f ′＝0，得1＝－错误!，2＝错误!当变化时，f ′，f 的变化情况如下表：错误!－错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗1错误!3错误!错误!＝错误!为函数f ＝33－3＋1的极小值点，极小值为f 错误!＝1－错误!2含参数的函数求极值[思路探究]错误!―→错误!―→错误!―→错误![解]∵f ＝163－2021＋8a2－a3，其中a≠0，∴f ′＝482－40a＋8a2＝862－5a＋a2＝82－a3－a，令f ′＝0，得1＝错误!，2＝错误!①当a＞0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗错误!错误!错误!当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝0②当a＜0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗∴当＝错误!时，函数f 取得极大值，为f 错误!＝0；当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝错误!综上，当a＞0时，函数f 在＝错误!处取得极大值错误!，在＝错误!处取得极小值0；当a＜0时，函数f 在＝错误!处取得极大值0，在＝错误!处取得极小值错误!函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，假设异号，那么该点是极值点，否那么不是极值点2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′的零点有影响，假设有影响，那么需要分类讨论；二是看f′在其零点附近的符号确实定是否与参数有关，假设有关，那么需要分类讨论[跟进训练]2．假设函数f ＝－a n a∈R，求函数f 的极值．[解]函数f 的定义域为0，＋∞，f ′＝1－错误!＝错误!1当a≤0时，f ′＞0，函数f 在0，＋∞上单调递增，函数f 无极值．2当a＞0时，令f ′＝0，解得＝a当0＜＜a时，f ′＜0；当＞a时，f ′＞0∴f 在＝a处取得极小值，且f a＝a－a n a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f 无极值；当a＞0时，函数f 在＝a处取得极小值a－a n a，无极大值．由极值求参数的值或取值范围A．4或－3B．4或－11C．4 D．－32假设函数f ＝错误!2＋a－1－a n 没有极值，那么A．a＝－1 B．a≥0C．a＜－1 D．－1＜a＜0[思路探究]1由f ′1＝0且f 1＝，b，注意检验极值的存在条件．2求导分解因式主要对参数分类讨论．按根的大小1C2A[1∵f ＝3＋a2＋b＋a2，∴f ′＝32＋2a＋b由题意得得即错误!解得错误!，或错误!当错误!，时，f ′＝32－6＋3＝3－12≥0，故函数f 单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝2f ′＝－1错误!，＞0，当a≥0时，错误!＋1＞0，令f ′＜0，得0＜＜1；令f ′＞0，得＞在＝1处取极小值．当a＜0时，方程错误!＋1＝0必有一个正数解＝－a，①假设a＝－1，此正数解为＝1，此时f ′＝错误!≥0，f 在0，＋∞上单调递增，无极值．②假设a≠－1，此正数解为≠1，f ′＝0必有2个不同的正数解，f 存在2个极值．综上，a＝－]函数极值求参数的方法对于可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号1可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f′；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件2对于函数无极值的问题，往往转化为f′≥0或f′≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立[跟进训练]3．假设＝2是函数f ＝－m2的极大值点，求函数f 的极大值．[解]∵f ′＝－m3－m，且f ′2＝0，∴m－2m－6＝0，即m＝2或m＝61当m＝2时，f ′＝－23－2，由f ′＞0得＜错误!或＞2；由f ′＜0得错误!＜＜2∴＝2是f 的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．2当m＝6时，f ′＝－63－6，由f ′＞0得＜2或＞6；由f ′＜0得2＜＜6∴＝2是f 的极大值，∴f 2＝2×2－62＝32即函数f 的极大值为321．如何画出函数f ＝23－32－36＋16的大致图象．[提示] f ′＝62－6－36＝62－－6＝6－3＋2．由f ′＞0得＜－2或＞3，∴函数f 的递增区间是－∞，－2和3，＋∞．由f ′＜0得－2＜＜3，∴函数f 的递减区间是－2，3．由得f －2＝60，f 3＝－65，f 0＝16∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f 大致图象如下图．2．当a变化时，方程23－32－36 ＋16＝a有几解？[提示]方程23－32－36＋16＝a解的个数问题可转化为函数＝a与＝23－32－36＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：1当a＞60或a＜－65时，方程23－32－36＋16＝a有且只有一解；2当a＝60或a＝－65时，方程23－32－36＋16＝a有两解；3当－65＜a＜60时，方程23－32－36＋16＝a有三解．【例4】函数f ＝3－3＋aa为实数，假设方程f ＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f ＝0有三个不同实根，那么应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f ′＝32－3＝3＋1－1＝0，解得1＝－1，2＝1当0；当－11时，f ′>0所以当＝－1时，f 有极大值f －1＝2＋a；当＝1时，f 有极小值f 1＝－2＋a因为方程f ＝0有三个不同实根，所以＝f 的图象与轴有三个交点，如图．由应有错误!解得－2<a<2，故实数a的取值范围是－2，2．1．改变条件本例中，假设方程f ＝0恰有两个根，那么实数a的值如何求解？[解]由例题知，函数的极大值f －1＝2＋a，极小值f 1＝－2＋a，假设f ＝0恰有两个根，那么有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝22．改变条件本例中，假设方程f ＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解]由例题可知，要使方程f ＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞23．变条件、变结论讨论方程错误!＝a的根的情况．[解]令f ＝错误!，那么定义域为0，＋∞，f ′＝错误!令f ′＝0，得＝e当变化时，f ′与f 的变化情况如下表：因此，＝e是函数f 的极大值点，极大值为f e＝错误!，函数f 没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a＜错误!时，错误!＝a有两个不同的根；当a＝错误!或a≤0时，错误!＝a只有一个根；当a＞错误!时，错误!＝a没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性；2研究函数的极值情况；3在上述研究的根底上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与轴的交点或两个图象的交点的个数假设含有参数，那么需要讨论极值的正负1．假设函数＝f 在区间a，b内有极值，那么＝f 在a，b内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．2．函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：1常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．3．函数零点方程根的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：1直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2别离参数法，先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数＝g，＝h的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为＝a，＝g的图象的交点个数问题．1．函数f 的定义域为R，它的导函数＝f ′的局部图象如下图，那么下面结论错误的选项是A．在1，2上函数f 为增函数B．在3，4上函数f 为减函数C．在1，3上函数f 有极大值D．＝3是函数f 在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜＜2时，f ′＞0，当2＜＜4时，f ′＜0，当4＜＜5时，f ′＞0，∴＝2是函数f 的极大值点，＝4是函数f 的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．设函数f ＝e，那么A．＝1为f 的极大值点B．＝1为f 的极小值点C．＝－1为f 的极大值点D．＝－1为f 的极小值点D[令f ′＝e＋·e＝1＋e＝0，得＝－＜－1时，f ′＜0；当＞－1时，f ′＞＝－1时，f 取得极小值．]3．函数f ＝3＋3a2＋3a＋2＋1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是________．－∞，－1∪2，＋∞[f ′＝32＋6a＋3a＋2，∵函数f 既有极大值又有极小值，∴方程f ′＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36a＋2＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1]4．函数f ＝2e f ′en －错误!，那么函数f 的极大值为________．2n 2[f ′＝错误!－错误!，故f ′e＝错误!－错误!，解得f ′e＝错误!，所以f ＝2n －错误!，f ′＝错误!－错误!由f ′＞0得0＜＜2e，f ′＜0得＞在0，2e单调递增，在2e，＋∞单调递减，故f 的极大值为f 2e＝2n 2e－2＝2n 2]。

§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数)(x f 在点),(0b a x ∈连续.若有足够小的正数δ，使)||0()()(00δ<-<<x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点0x 取到极大值)(0x f ，并称点0x 为函数)(x f 的极大值点.同理，使 )||0()()(11δ<-<>x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点1x 取到极小值)(1x f ，并称点1x 为函数)(x f 的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数()f x 在某区间内的点0x 处取到极值且有导数'0()f x ，则'=0()0f x .因此，0()0f x '=是可微函数．．．．在点0x 取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条．．．．．．．．．．．．．．．．件．! 例如函数3)(x x f =，尽管有0)0(='f ，但0不是它的极值点(图2-22).以后，就把使0()0f x '=的点0x 称为函数)(x f 的驻点(可能不是极值点．．．．．．．).需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数()f x x =(图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的临界点.一般情形下，求连续函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值时，一般步骤是：第一步，求出)(x f 在区间),(b a 内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法Ⅰ 设0x 为连续函数)(x f 在区间),(b a 内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数δ，使(见图2-24)⑴)(x f 在),(00x x δ-内是增大的且在),(00δ+x x 内又是减小的，则)(0x f 是极大值； 图2-23x图2-21[或] [或]⑵)(x f 在),(00x x δ-内是减小的且在),(00δ+x x 内又是增大的，则)(0x f 是极小值；[或0)(<'x f ] [或0)(>'x f ]⑶)(x f 在),(00δδ+-x x 内是增大的或是减小的，则)(0x f 不是极值.当0x 为函数)(x f 的驻点且0)(0≠''x f 时，就用下面的判别法Ⅱ.判别法Ⅱ 设0x 为函数)(x f 在区间),(b a 内的驻点[即0)(0='x f ].若有二阶导数0)(0≠''x f ，则⑴ 当0)(0<''x f 时，)(0x f 是极大值； ⑵ 当0)(0>''x f 时，)(0x f 是极小值.[当0)(0=''x f 时，函数)(x f 在点0x 是否取到极值，需要做进一步的讨论]证 根据例22（§2-5），则有222200000011()()()()()()()()22f x h f x f x h f x h o h f x f x h o h '''''+=+++=++于是得 20001()()[()(1)]2f x h f x f x o h ''+-=+ 因为0)(0≠''x f ，所以当||h 足够小时，)]1()([0o x f +''与)(0x f ''同符号.因此，有正数δ，使当0||h δ<≤时，0()f x h +0()f x -=000,()00,()0f x f x ''<<⎧⎨''>>⎩ 这就是要证的结论.例23 求函数1323-+=x x y 的极值.解 2363(2)y x x x x '=+=+，666(1)y x x ''=+=+由0='y 得驻点122,0x x =-=.因为2060,60x x y y =-=''''=-<=>，所以31)2(3)2(232=--+-=-=x y 是极大值； 01x y ==-是极小值.【注】若函数()f x 在点0x 没有导数或二阶导数0()0f x ''=，就去用上面的判别法Ⅰ.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出)(x f 在开区间),(b a 内的临界点；并求出)(x f 在所有临界点上的函数值.(1) 0图2-24 (2)(3)第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值)(a f 和)(b f 放在一起做比较，其中最大者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如，⑴ 函数)(x f 在区间),[b a 上增大(减小)时，)(a f 就是最小值(最大值)；⑵ 函数)(x f 在区间],(b a 上增大(减小)时，)(b f 就是最大值(最小值)；⑶ 设有点),(b a c ∈. 若函数)(x f 在区间],(c a 上增大且又在区间),[b c 上减小，则)(c f 就是最大值；若函数)(x f 在区间],(c a 上减小且又在区间),[b c 上增大，则)(c f 就是最小值.例24 证明不等式：)0(1e >+>x x x .证 令)0()1(e )(≥+-=x x x f x ，则)(x f 在),0[+∞上是连续函数.因为)0(01e )(>>-='x x f x [即函数()f x 是增函数]所以(0)0f =是最小值.因此，()0(0)f x x >>，即)0(1e >+>x x x .例25 证明：函数)10()(<<-=αααx x x f 在区间),0(+∞内有最大值α-=1)1(f . 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H ölder)不等式:11110,0,0,0;1p q ab a b a b p q p qp q ⎛⎫≤+>>>>+= ⎪⎝⎭ 证 由0)1()(11=-=-='--αααααx x x f 得驻点1=x . 因为 当10<<x 时， 0)1()(1>-='-ααx x f [即)(x f 增大]，当+∞<<x 1时， 0)1()(1<-='-ααx x f [即)(x f 减小]，所以α-=1)1(f 是最大值.其次，令q p b a x p ==-,1α，则111qp p p p p q p q q q a a a f ab a b b b p b p --⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而根据上述结论，即α-≤1)(x f ，则得不等式111(1)11q p q p aba b f p p q α---≤=-=-= 两端同乘q b ，并注意1=-p q q ，则得要证的不等式q p b qa p ab 11+≤. 在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长l 为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？”或“当矩形面积S 为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为x ，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积)()2l S x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 02l x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长)()2S l x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ )0(+∞<<x 这样，问题就变成求函数)(x S 的最大值或求函数)(x l 的最小值.例26 设有闭合电路如图2-25. 它由电动势E 、内阻r 和纯电阻负载E 所构成.若E 和r 是已知常数，问负载R 为何值时，电流的电功率最大？解 根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为R I P 2=(I 为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度R r E I +=. 因此，电功率为 22)(R r R E P += (自变量为R ) 由0='P ，即由0)()()()(2)(324222=+-=++⋅-+⋅='R r R r E R r R r R E R r E P 得r R =. 因此，当负载r R =(内阻)时，电功率取到最大值r E P 4/2=.例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是2h x k =ε(k 为比例系数，x 为矩形的宽，h 为矩形的高)今要将一根横截面直径为d 的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？解 如图2-26，因为222x d h -=，所以22()(0)kx d x x d ε=-<<.令0='x ε，即22222()2(3)0x k d x x k d x ε'=--=-=⎡⎤⎣⎦ 则得驻点x d=根据实际问题的提法，当矩形的宽/x d =强度ε取到最大值.此时，因为d dd x d h 32)3(2222=-=-= 所以2/=x h .图2-26在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径AB 分成三等份(如图2-27)，再分别自分点C 和D 向相反方向作直径AB 的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是2.例28 已知某工厂生产x 件产品的成本为21()2500020040C x x x =++(元) 问：⑴ 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ ⑵ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 ⑴ 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++==(元/件) 让040125000)(2=+-='x x C ，则得1000=x (件).因此，生产1000件产品时平均成本最小. ⑵ 售出x 件产品时，收入为x 500(元)，而利润为=)(x L (收入)x 500-(成本))40120025000(500)(2x x x x C ++-= 212500030040x x =-+- 让020300)(=-='x x L ，则得6000=x (件).因此，生产6000件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为900000)6000(=L (元). 习 题1.求下列函数的极值(极大值或极小值)：求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值.⑴x x x f -=3)(； ⑵242)(x x x f -=； ⑶122)(2-+-=x x x x f ；⑷()f x x = ⑸x x x f -=e )(； ⑹x x x f ln )(=； ⑺x x x f -+=e )1()(3； ⑻3231)1()(x x x f -=.答案：⑴max minf f ⎛= ⎝；⑵1)1(,0)0(m in m ax -=±=f f ； ⑶2)2(,2)0(m in m ax =-=f f ；⑷min 34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑸1m ax e )1(-=f ；⑹12m in e 2)e (---=f ；⑺2m ax e 27)2(-=f ；⑻max min 1(1)03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值：⑴];2,2[,1823-+--=x x x y ⑵];1,1[,15-++=x x y⑶];2,1[,13--=x x y ⑷511,,1;12y x x ⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦ ⑸211,1,12x y x +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦. 答案：⑴;11,27203-⑵;1,3-⑶;443,23-⑷;31,1532⑸0,2242-. 3.设n a a a <<< 21. 当x 为何值时，函数∑=-=ni i a x x f 12)()(取最小值？答案：n a a a x n +++=21(算术平均值). 4.设.0>a 求函数||11||11)(a x x x f -+++=的最大值. 提示：把区间),(+∞-∞分成三个区间(,0),(0,),(,)a a -∞+∞. 答案：21a a++. 5.证明下面的不等式： ⑴ );01(2)1ln(2<<--<+x x x x ⑵ 12ln 1(0);21x x x ⎛⎫+>> ⎪+⎝⎭ ⑶ );0(arctan 33><<-x x x x x ⑷ 1e 1(0)x x x -≥>. 6.设有方程033=+-c x x (c 为常数).问：当c满足什么条件时，方程有:⑴三个实根，⑵两个实根，⑶一个实根？ [提示：分别研究下图⑴，⑵，⑶]答案：⑴22<<-c ；⑵2±=c ；⑶2-<c 或2>c .7.在什么条件下，方程()300x px q pq ++=≠有：⑴一个实根，⑵三个实根？提示：参考上一题的做法. 答案：⑴042723>+q p ；⑵042723<+q p . 8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间：⑵ 第6题图⑴ 0109623=-+-x x x ； ⑵ 020********=-+--x x x x ；⑶ )0(ln ≠=k kx x ； ⑷2e (0)x ax a =>.答案：⑴一个实根，在)5,4(内；⑵两个实根，32,1221<<-<<-x x ；⑶当0<k 时有一个实根，在)1,0(内；当1e0-<<k 时有两个实根，+∞<<<<21e ,e 1x x ； 当1e -=k 时有一个实根e =x ；当1e ->k 时没有实根.⑷当4e 02<<a 时有一个实根，在)0,(-∞内；当4e 2>a 时有三个实根， 1230,02,2x x x -∞<<<<<<+∞.9.设有二阶导数)(a f ''. 证明：⑴ 若函数)(x f 在点a 取到极大值，则0)(≤''a f ；⑵ 若函数)(x f 在点a 取到极小值，则0)(≥''a f .10.设函数21()22sin (0),(0)2f x x x f x ⎛⎫=-+≠= ⎪⎝⎭. 证明：)(x f 有最大值2)0(=f ，但)(x f 在点0的左旁附近不是增大的，而且在点0的右旁附近不是减小的(这说明判别法Ⅰ中的条件不是必要的).11.应用题 ⑴设两正数x 与y 的和等于常数a (a y x =+).求)0,0(>>n m y x n m 的最大值.⑵设两正数x 与y 的乘积等于常数a (a xy =).求)0,0(>>+n m y x n m 的最小值.⑶在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？⑷用薄钢板做一个容积为定值v 的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底半径r 与高h 各为多少时，用料最省？⑸从半径为R 的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角θ为何值时，卷成漏斗的容积最大？第11⑸题图⑵ ⑴ 第11⑹题图x⑹(反射定律) 如图示，由点A 经点B ，再到点C . 证明：当入射角α等于反射角β时，折线ABC 的长度最短.⑺一商家销售某种商品的价格为x p 2.07-=(万元/T)，其中x 为销售量(单位:T)；商品的成本为13+=x C (万元).（i ）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求商家获最大利润时的销售量；（ii ）t 为何值时，政府税收的总额最大？答案：⑴n m n m n m n m n m a +++)(；⑵n m n m mn n m a n m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(；⑶1∶2；⑷r h ==⑸2θ=弧度)；⑺（i ）t x 5.210-=；（ii ）2=t .。

函数的极值与导数一．教材分析本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性二．教学目标1 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质；2 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；3 会用导数求函数的极值；4 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力；5 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用三．重点与难点重点：会用导数求函数的极值．难点：导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解四．学情分析基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数．五．教具教法多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学六．学法分析借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤．七．教学过程、创设情景，导入新课【问题情景】我们学过毛泽东的诗《清平乐·六盘山》，请同学们一起背诵。

[生]：背诵《清平乐·六盘山》：天高云淡，望断南飞雁。

不到长城非好汉，屈指行程二万。