函数的极大值与极小值PPT优秀课件

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5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)

最小值．
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值

0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1

所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1

所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结求函数在某区间上的最大（小）值，

人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件

根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.

函数的极值-最大值与最小值省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 鉴定每个驻点和导数不存在旳点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小旳邻域内)
f (x)旳符号, 依定理鉴定xi 是否为f(x)旳极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题旳实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点又唯一, 所以他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
特殊情况下旳最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限开或闭)内可导且
有且只有一种驻点x0 则：当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上旳
可导且
(2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 )
f (x) 不可导 0
f(x) ↗
0
↘
↗
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数, 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0, 则
(1)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极大值点，
例4. 求 y 2x3 3x2 12x 14 在 [3,4] 上旳最大值与最小值. 解: y 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1),
令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1.
因为
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
所以
M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
极小值, 称 x0为f(x)旳极小值点；

高数函数的极值与最大最小值PPT课件

(3)检查 f(x)在驻点和不可的导正点负 , 左号右判断极; 值点
(4) 求出各极值点的函数值, 就得函数 f (x)的全部极值.
8
例求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
极
f (x)
大
值
(1,3) 3
0
极
小值
(3,)
极大f(值 1)10, 极小值 f(3)2.2
9
2
例. 求函数 f(x)(x1)x3的极值 .
解: 1) 求导数
2
f (x) x3
(x1)32x13
5 3
x
2 5
3x
2) 求极值可疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ) 0, 故 f(x 0 x )f(x 0)与 x 异号，当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0, 所以，函数 f( x ) 在 x 0 处取得极大值．同理可证(2).
o
U
(x0)内的任一x,
有
f (x) < f (x0) (或 f (x) > f(x0)),
那么就称 f (x0) 是函数 f (x) 的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得
极值的点称为极值点.
3
函数的极大值、极小值只是一点附近的最大值与最小值, 是局部性的.在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 有的极小值可能大于某个极大值.

5.3.2 函数的极值与最大(小)值(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

令f '(x) 0解得x 2或x 0. 令f '(x) 0解得 2 x 0. f (x)在[2,0)上递减, 在[0,2]上递增. f (x)有极小值f (0) 0. 又 f (2) 4e2, f (2) 4e2.
f (x)max f (2) 4e2. m 4e2.
[变式]函数f (x) ex ax a(a 0), 若f (x) 0在(1,)上恒成立,求a的范围.
问题2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上不述一图定, y x3在R上无极值.
问题3：一个函数的极小值一定小于极大值吗？不一定 y x 1 的极小值2大于极大值 2. x
问题4：极值点可能是区间端点吗？不可能
问题5：若f '(x0)=0，则x0一定是极值点吗？不一定 f (x) x3满足f '(0) 0, 但x 0不是极值点.
极大值f (1) 5 a 0 a 5
[变2] f (x) 3a 1有3个不同的实数根
极小值f (3) 27 a 0 a 27 析 :即y f (x)与y 3a 1有3个交点
f (3) 3a 1 f (1)
2.函数的最值
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值比它附近点的函数值大或小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
(法1) : ex ax a 0 a ex . x 1
求g(x) ex 在(1,)的最小值. x 1
(法2) : 令f '(x) ex a 0,得x ln a;
令f '(x) ex a 0,得x ln a; f (x)在(, ln a)递减, 在(ln a,)递增; ①a e时, f (x)min f (ln a) a a ln a a 2a a ln a 0,得e a e2. ②0 a e时, f (x)在(1,)递增, f (x) f (1) e 0, 符合题意.

极大值与极小值-高考数学复习PPT

解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由 a≠23知－2a≠a－2. 分以下两种情况讨论： ①若 a>32，则－2a<a－2.
索引
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xFra bibliotek(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
3
从表中可以看出，当 x＝1 时，函数 f(x)有极小值，为 f(1)＝3，f(x)无极大值.
索引
思维升华
求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以 f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数 f(x)在 x＝－2a 处取得极大值 f(－2a)，且 f(－2a)＝3ae－2a，函数 f(x)在 x＝a －2 处取得极小值 f(a－2)，且 f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
索引
(2)求函数f(x)的极值. 解 f′(x)＝1－ax＝x－x a，x>0. ①当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a; ∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－ aln a，无极大值.

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f(x) +
0
-
0
(2,+∞) +
f(x)
极大值28/3
极小值- 4/3
∴ 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3.
2019/5/22
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课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
渐入佳境篇
若寻找可导函数极值点,可否
只由f(x)=0求得即可? • 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值
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课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
小试牛刀篇(数学运用)
例 :求数函 f(x)1x34x4的极值 3
解: ∵ f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2
课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y = f(x) 的定义域D
(2)求导数 f (x).
(3)解不等式
;或解不等
(式4)与定义域. 求交f集x0
(5)写出单调区间
fx0
2019/5/22
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课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
2019/5/22
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课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
（问题情境）
观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、
P点的函数值以及点P位置的特点
y
y=f(x)
P(x1,f(x1))
Q(x2,f(x2))
o
a x1 x2
x3 x4 b x
函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为
“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点
点?f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，
而x =0不是该函数的极值点.
y f (x)x3
Ox
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
2019/5/22
2019/5/22
8
求f（x）＝x２－x－２的极值.
解： f(x)2x1,令 f(x)0,解x 得 1.列表
x ( , 1 )
f (x)
2
1 2
0
(2 1 , )
2
f (x)
极小值f (1) 2
因此当 , x12时,f(x)有极小值 12)f(49.
2019/5/22
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课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
一览众山小
请思考求可导函数的极值的步骤:
① 确定函数的定义域；
② 求导数 f (x)
③ 求方程 f (x)=0的根,这些根也称为可能极值点； ④ 检查 f (x) 在方程 f (x)＝0的根的左右两侧的
符号，确定极值点。(最好通过列表法)
极大值与极小值同称为极值.
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课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
学生活动
（1）极值是某一点附近的小区间而言
的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （（12））极函值数是的函极数值的不最一值定吗唯？一,在整个定
义（区2间）内函可数能的有极多值个只极有大一值个和吗极？小值；（（33））极极大大值值一与定极比小极值小没值有还必大然吗关？系，
B、 a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11 ， D、以上都不对
解:由题设条件得：

f f
(1) 10 / (1) 0
1aba2 10
32ab0
解之得
ba33或ab141
注意代入检验
极大值可能比极小值还小.
y P(x1,f(x1))
y=f(x)
o
Q(x2,f(x2))
a x1 x2
x3 x4 b x
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课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
数学建构
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?
y
x x0左侧
x0 x0右侧
oa
y
x0 b x
f(x)
f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
f(x) 增
极大值减
x x0左侧
x0 x0右侧
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0
oa x0
bx
f(x) 减
极小值增
请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
左正右负为极大，右正左负为极小
附近，P点的位置最高，函数值最大
2019/5/22ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
函数的极大值与极小值
高二数学备课组
2019/5/22
5
课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
数学建构
函数极值的定义
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记作 y = 极大值 f (x0)；如果对x0附近的所有的点,都有 f(x)﹥f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f (x0).
知识回顾：导数与函数的单调性的关系
一般地，设函数y＝f（x）， 1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x）为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x）为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
oa
bx
20课19题/5/2：2 导数的应用－－极值点
oa
bx
我行我能我要成功我能成功 1
• 强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值
点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号.
2019/5/22
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课题：导数的应用－－极值点
我行我能我要成功我能成功
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2在 x 1时有极值10，则a，
b的值为（）
A、 a3,b3或 a4,b11
忆一忆
基本求导公式:
(1 )k( xb)k,特殊 C 0 的 (C 为： )常
(2)(x)' x1(为常数）
(3)a(x)' axln a0(且 ,a1)
(4)l(oaxg )' x1l(na a0,且 a1)
(5)(ex)' ex
(6)(lnx' ) 1
(7)(sinx)' cosx (8)(co' sxxs)inx