上海市虹口区2014届高三5月模拟考试(三模)数学(理)试题

上海市虹口区2014年高三英语三模试题2014.5 考生注意:1. 考试时间120分钟，试卷满分150分。

2. 本考试设试卷和答题纸两部分。

试卷分为第Ⅰ卷（第1—10页）和第Ⅱ卷（第10页），全卷共10页。

第I卷第1-16小题、第41-77小题采用多项选择题形式，答题必须涂写在答题纸相应位置，写在试卷上无效。

第I卷第17-40小题、第78-81小题的答案和第II卷的答案必须写在答题纸相应位置，写在试卷上无效。

3．答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

第 I 卷 (共103分)I. Listening ComprehensionSection ADirections：In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. At a car shop. B. In a garage. C. At a gas station. D. In a parking lot.2. A. Guest and receptionist. B. Passenger and air hostess.C. Customer and shop assistant.D. Guest and waitress.3. A. Writing his term paper. B. Having a coffee break.C. Playing computer games.D. Attending an online school.4. A. To the bank. B. To a book store. C. To a shoe store. D. To the grocery.5. A. Touring around. B. Looking for a job.C. Visiting a couple.D. Attending a meeting.6. A. He’s better. B. He’s feeling worse. C. He’s sick in bed. D. He has recovered.7. A. He works as a gardener. B. He is too busy at work to play.C. He prefers sports to gardening.D. He lives in the countryside.8. A. Buy a road map. B. Drive to the beach.C. Go back home.D. Ask the way.9. A. The film was disappointing. B. The leading actor was outstanding.C. The acting was worth seeing.D. The plot was attractive.10. A. He is always late for work. B. He is having some financial problem.C. He is not careful enough with his work.D. He loses his temper easily.Section BDirections: In section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. Its variety. B. Its quality. C. Its price. D. Its taste.12. A. Inside the restaurant. B. Outside the restaurant.C. On the menu.D. Not mentioned.13. A. Coffee. B. Beer. C. Coke. D. Wine.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. Offering additional detail, comment or information.B. Printing completely different stories from TV.C. Finding new angles on the day’s major stories.D. Causing some kind of conflict or danger.15. A. Because they are quite familiar to people.B. Because they agree with people’s interests.C. Because they are always new and different.D. Because they are dramatic and feature conflict.16. A. The key factors in making a good newspaper.B. The main differences between TV and newspapers.C. The common ways to meet people’s interests in newspapers.D. The importance of familiarity to editor’s making newspapers.Section CDirections: In section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you have heard. Write your answers on your answer sheet.Blanks 17 through 20 are based on the following conversation.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.Complete the form. Write NO MORE THAN THREE WORDS for each answer.II. Grammar and VocabularySection ADirections: After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.(A)George Dawson was born in the state of Texas. He was the grandson of slaves. He began working on the family farm when he was four. When he was twelve, he worked 25 a nearby farm to help feed his parents and four younger brothers and sisters. For the next eighty-five years, he held a number of different jobs, most of them involving hard labor.George Dawson lived a happy life 26 ______ conditions were difficult. When he was ten years old, he saw a young African-American man 27 (murder). He would have told people about it, but he said his 28 (big) problem was his inability to read and write.George Dawson kept it a secret that he could not read. But he said he always dreamed that he would learn. Although he had no education, he taught his children 29 (work) hard in school.George Dawson’s life changed in 1996. A man came to his house in Texas, and told him that adult education classes were being taught at a nearby school. So the man who 30 (sign) his name with an “X” for almost one-hundred years went to school.People wondered 31 Mr. Dawson did not go to school earlier. He said he never had the time because of his farm work. And he never knew about adult education programs.George Dawson did all he 32 to learn to read, which influenced students of all ages. He spoke to young people about the importance of learning to read and write.(B)Americans and Arabs are different 33 it comes to their space habits. Arabs would rather have close contact. Dr. Hall has explained that 34 (belong) to a touch culture and in conversation, the Arabs always envelop（包裹）the other person. They hold his hand, look into his eyes, and bathe him in their breath.Dr. Hall’s interest in man’s use of space developed in the early nineteen fifties when he was Director of the Point Four training program at the Foreign Service Institute. In talking with Americans who had lived overseas, he found that many of 35 had been highly uncomfortable 36 ______ culture differences. Such discomfort is usually referred to as culture shock.The problem is that, relatively speaking, Americans live in 37 noncontact culture. Partly, this is a product of our puritan heritage (清教徒文化遗产). Dr. Hall points out that we spend years 38 (teach) our children not to crowd in and lean on us. And in situations 39 we ourselves are forced to stand close to another person on crowded subways, for example, we turn our eyes away, and if actual body contact 40 (involve), tense the muscles on the contact side. Most of us feel very strongly that this is the only proper way to behave.Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.With only about 1,000 pandas left in the world, China is desperately trying to clone the animal and save the endangered species. That’s a move similar to what a Texas A&M University researchers have 41 for the past five years in a project called “Noah’s Ark.”Noah’s Ark is aimed at collecting eggs, embryos (胚胎), semen and DNA of endangered animals and storing them in liquid nitrogen. If certain species should become 42 , Dr. Duane Kraemer, a professor in Texas A&M’s College of V eterinary Medicine, says there would be enough of the basic building blocks to 43 the species in the future.It is estimated that as many as 2,000 species of mammals, birds, reptiles will face extinction in over 100 years. The panda, 44 only to China, is in danger of extinction in the next 25 years.This week, Chinese scientists said they grew an embryo by introducing cells from a dead female panda into the egg cells of a Japanese white rabbit. They are now trying to 45 the embryo into a host animal.The entire 46 could take from three to five years to complete.“The nuclear transfer of one species to another is not easy, and the lack of available panda eggs could be a major problem,”Kraemer believes. “They will probably have to do several hundredtransfers to result in one pregnanc y (怀孕). It takes a long time and it’s difficult, but this could be47 science if it works. They are certainly not putting any live pandas at risk, so it is48 the effort,”adds Kraemer, who is one of the leaders of the project at Texas A&M, the first-ever 49 at cloning a dog.“They are trying to do something that’s never been done, and this is very similar to our work in Noah’s Ark. We’re both trying to save animals that face extinction. I certainly 50 their effort and there’s a lot we can learn from what they are attempting to do. It’s a research that is very much needed.”III. Reading ComprehensionSection ADirections:For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.It can be hard to decide which food to buy in an American grocery store these days. The information on many products makes 51 claims.The label “organic (有机的)”52 that the United States Department of Agriculture recognized the product was grown under special conditions. The department says foods that meet requirements of it National Organic Programme can use an official label. It shows the words “USDA Organic”inside a(n) 53 . USDA organic food does not contain genes that have been 54 changed. The food is grown without chemical treatment against insects or diseases. It is grown without chemical fertilizers. Before a product can be 55 “organic,” a(n) 56 visits the farm where the food is produced to make sure the farm meets USDA standards. Organic meat, poultry, eggs and dairy products come from animals that are given no antibiotics (抗生素), must be fed organic food and have 57 to the outdoors.No conclusive 58 shows that organic food is more nutritious than traditionally grown food. And the USDA—even if it proves organic food—doesn’t claim that these products are safer or more nutritious. Organic foods meet the same quality and safety standards as traditional foods. The difference 59 how the food is produced, processed and handled. Some people buy organic food for 60 reasons. Organic food is produced by farmers who 61 the use of renewable resources and the conservation of soil and water to enhance quality for future generations. The prices between most organic food and traditional food products 62 . Higher prices are due to more expensive farming practices and tighter government regulations.The new USDA’s national organic programme for labeling are aimed at enabling consumers to make a(n) 63 choice among the foods they purchase and also include the safeguard of fines for 64 . People who sell or label a product “organic”when they know it does not meet USDA standards can be 65 up to $11,000 for each violation.51. A. unbelievable B. familiar C. different D. flexible52. A. predicted B. guaranteed C. proposed D. doubted53. A. circle B. operation C. activity D. service54. A. scientifically B. skillfully C. vividly D. deeply55. A. presented B. confirmed C. registered D. labeled56. A. protector B. reminder C. inspector D. individual57. A. solution B. access C. entrance D. direction58. A. agreement B. concept C. expectation D. evidence59. A. lies in B. consists of C. turns down D. holds back60. A. financial B. social C. cultrual D. environmental61. A. replace B. overlook C. emphasize D. realize62. A. vary B. last C. exist D. work63. A. unique B. potential C. casual D. sensible64. A. limitation B. misrepresentation C. reservation D. reaction65. A. awarded B. developed C. fined D. sparedSection BDirections:Read the following three passages. Each passage is Followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)Indian’s snake charmers are to be retrained as wildlife teachers under a plan to prevent their unique skills and knowledge from being lost. The charmers, who make snakes dance to the sound of flutes (笛子), used to be a traditional feature of Indian life, performing in towns and villages, until they were banned in 1972 to control the trade in snake skins.The government is now considering a plan to train the saperas, as they are known, to visit schools and zoos to tell children about forests and wildlife. There is also a proposal to set up a “dial a snake charmer” service to help householders to deal with unwelcome intruders.“For generations they have been a feature of Indian life but now they can’t earn a living for fear of arrest,” said Behar Dutt, a conservationist behind the plans, “if a policeman doesn’t catch them, animal rights activists report them.”Many snake charmers have continued to work clandestinely since the ban, despite the threat of up to three years in jail. But their trademark cloth-covered baskets, hung from a bamboo pole carried across their shoulders, make them an easy target for police.The fate of Shisha Nath, 56, from Badarpur, a village just outside of Delhi, is typical of practitioners (从业者) of the dying art. “I used to earn enough to support my family and send my children to school,” he said. “Now it’s hard to earn even £1 a day. My children want to be snakecharmers. It’s our identity. We love the work. But it’s become impossible.”Next month Dutt’s project to train 30 snake charmers will begin at a snake park in Pune, western India, where experts will enrich their home-grown skills with some formal knowledge.More than the law, though, it is the dishonest attitude of their fellow countrymen that angers many snake charmers.“We’re disturbed all the time but when people want a snake removed from the house, they rush to us,”said Prakash Nath, who was ordered recently to the home of Sonia Gandhi, the Congress party leader.66. Snake charmers will be retrained as wildlife teachers mainly because ______.A. schools need large numbers of such teachersB. most of them cannot support their familiesC. their performances on the street are bannedD. the government plans to save the dying art67. The purpose of the proposed “dial a snake charmer” telephone service is ______.A. to give performance of snake dancingB. to teach householders how to catch and kill snakesC. to offer cleaning service to wealthy householdersD. to help remove unwanted snakes from the houses68. The word “clandestinely” in paragraph 4 can be best replaced by the word “_____”.A. secretlyB. publiclyC. subconsciouslyD. diligently69. Which of the following statements is NOT true according to the passage?A. Snake charmers can easily be recognized by the police on the street.B. Children of snake charmers would not like to continue their fathers’ job.C. Snake charmers are quite angry with the attitude of their fellow countrymen.D. The animal rights activists take a negative attitude towards snake charmers.(B)We have designed all our bank cards to make your life easier.How to use your NatWest ServicecardAs a Switch card, it lets you pay for all sorts of goods and services, wherever you see the Switch logo. The money comes forthright out of your account, so you can spend as much as you like as long as you have enough money to cover it. It is also a cheque guarantee card for up to the amount shown on the card. And it gives you free access to your money from over 31,000 cash machines across the UK.How to use your NatWest CashcardYou can use your Cashcard as a Sulo card to pay for goods and services wherever you see the Solo logo. It can also give you access to your account and your cash from over 31,000 cash machines nationwide. You can spend or withdraw what you have in your account.Using your cards abroadYou can also use your Servicecard and Cashcard when you’re abroad. You can withdraw cash at cash machines and pay for goods and services wherever you see the Cirrus or Maestro logo displayed.How to use your NatWest Credit CardWith your credit card you can do the following:●Pay for goods and services and enjoy up to 56 days’ interest-free credit.●Pay in over 24 million shops worldwide that display the Mastercard or Visa logos.●Collect one AIR MILE for every ￡20 of spending that appears on your statement(结算单).70. If you carry the Servicecard or the Cashcard, _______.A. you can use it to guarantee things as you wishB. you can spend as much money as you like without a limitC. you can draw your money from cash machines convenientlyD. you have to pay some extra money when you pay for services in the UK71. The word “forthright” in Para. 2 can be understood as “______”.A. unexpectedlyB. logicallyC. properlyD. directly72. Which of the following is TRUE about using your NatWest Credit Card?A. You will be charged some interest beyond two months.B. You have to pay back with interest within 56 days.C. You can use the card in any shop across the world.D. You will gain one air mile if you spend ￡20 on traveller’s cheques.73. The purpose of the passage is to show you how to ______.A. play your cards rightB. use your cards abroadC. draw cash with your cardsD. pay for goods with your cards(C)Imagine you’re at a party full of strangers. You’re nervous. Who are these people? How do you start a conversation? Fortunately, you’ve got a thing that sends out energy at tiny chips in everyone’s name tag. The chips send back names, jobs, hobbies, and the time available for meeting-whatever. Making new friends becomes simple.This hasn’t quite happened in real life. But the world is already experiencing a revolution using RFID technology.An RFID tag with a tiny chip can be fixed in a product, under your pet’s skin, even under your own skin. Passive RFID tags have no energy source-batteries because they do not need it. The energy comes from the reader, a scanning device, that sends out energy (for example, radio waves) that starts up the tag immediately.Such a tag carries information specific to that object, and the data can be updated. Already, RFID technology is used for recognizing each car or truck on the road and it might appear in your passport. Doctors can put a tiny chip under the skin that will help locate and obtain a patient’s medical records. At a nightclub in Paris or in New York the same chip gets you into the VIP (very important person) section and pays for the bill with the wave of an arm.Take a step back: 10 or 12 years ago, you would have heard about the coming age of computing. One example always seemed to surface: Your refrigerator would know when you needed to buy more milk. The concept was that computer chips could be put everywhere and send information in a smart network that would make ordinary life simpler.RFID tags are a small part of this phenomenon. “The world is going to be a loosely coupled set of individual small devices, connected wirelessly,” predicts Dr. J. Reich. Human right supporters are nervous about the possibilities of such technology. It goes too far tracking school kids through RFID tags, they say. We imagine a world in which a beer company could find out not only when you bought a beer but also when you drank it. And how many beers. Accompanied by how many biscuits.When Marconi invented radio, he thought it would be used for ship-to-shore communication, not for pop music. Who knows how RFID and related technologies will be used in the future. Here’s a wild guess: Not for buying milk.74. The article is intended to .A. warn people of the possible risks in adopting RFID technologyB. explain the benefits brought about by RFID technologyC. convince people of the uses of RFID technologyD. predict the applications of RFID technology75. We know from the passage that with the help of RFID tags, people .A. will have no trouble getting data about othersB. will have more energy for conversationC. will have more time to make friendsD. won’t feel shy at parties any longer76. Why are some people worried about RFID technology?A. Because children will be tracked by strangers.B. Because market competition will become more fierce.C. Because their private lives will be greatly affected.D. Because customers will be forced to buy more products.77. The last paragraph implies that RFID technology .A. will not be used for such matters as buying milkB. will be widely used, including for buying milkC. will be limited to communication usesD. will probably be used for pop musicSection CDirections: Read the passage carefully. Then answer the questions or complete the statements in the fewest possible words.Too much eating. Too many unhealthy foods. Too many advertisements for food. Too little activity. Different explanations are offered for America’s weight problem — a problem increasingly shared by other countries. Almost one-fifth of American children and teenagers are overweight.Schools have been urged to increase physical education, an important tool for public health. And many have. Yet now comes a study showing an increase in the number of injuries in “phys ed”class. Injuries increased one hundred fifty percent between nineteen ninety-seven and two thousand seven.The study involved injuries treated in hospital emergency departments. Only two percent were serious.The researchers did not try to identify the causes of the increase, but they have some theories. Lara McKenzie from Ohio State University was the lead researcher. She says one possibility is a decrease in the number of school nurses during the period they studied. For example, a two thousand four study showed that the number of school nurses nationally failed to meet federal guidelines. Schools without a nurse on duty may be more likely to send an injured child to a hospital.Another possible reason for more injuries is a change in the traditional idea of physical education. This “New P.E.”expands the kinds of sports that are taught. But activities that some schools offer now, like rock climbing and skateboarding, can also expand the risks, says Cheryl Richardson. She is with the National Association for Sport and Physical Education.Also, she says not all states require P.E. teachers to be specially trained. Untrained teachers could be less likely to recognize unsafe conditions.Cheryl Richardson also points to one of the study’s findings — that injuries are often the result of contact with a person or a structure. This tells her that the teachers were not giving each student enough space to move around safely.Six activities produced seventy percent of all injuries: running, basketball, football, volleyball, soccer and gymnastics.The researchers say larger class sizes are another possible reason for the increase in injuries. Larger classes can mean less supervision. The National Association for Sport and Physical Education says twenty to thirty students in a P.E. class should be the limit.(Note: Answer the questions or complete the statements in NO MORE THAN TEN WORDS)78. Many schools deal with the problem that more children are overweight by .79. What’s the result of expanding the kinds of sports taught in school?80. P.E. teachers without special training are more likely to .81. After reading the passage, could you give at least two suggestions to an American school on howto reduce injuries in “phys ed” classes?第 II 卷 (共47分)I. TranslationDirections: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.1. 你介意回答一些关于购物习惯的问题吗？（mind）2. 这些信息有助于我们决定是否要举行告别会。

虹口区2014届高三5月模拟考试（三模）数学学科（理科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、θ是第二象限角，则2θ是第 象限角． 分析： 一或三2、复数z 满足1z z i -=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是 . 分析：0x y -=．3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+, 若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 . 分析：[]1,3U C A =-，则2m =4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都 与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .分析： 设底面半径为r ，则它们的高2h r =23122V r r r ππ=⋅=，23212233V r r r ππ=⋅=，3343V r π=， 则123::3:1:2V V V =. 5、已知1tan 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 分析： 设6t πα=-，即6t πα=-，1tan 3t = 则()222tan 3cos 2cos 2cos 231tan 5t t t t παπ⎛⎫+=-=-=-=-⎪+⎝⎭. 6、定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时， ()()22xf x a x b =+++（,a b为常数），则()10f -的值为 .分析：()010f b =+=，b a f f +++=-=--=222)1()1(，则1-=b ,5-=a ，当0x ≥时，132)(--=x x f x，993)10()10(-=-=-f f .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则1213b b b ⋅等于 .分析： 等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，则27720a a -=，70,2a =取772b a ==，13131213728192b b b b ⋅===.8、已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项．分析： 209、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.若直线l 的极坐标方程为3πθ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且)R θ∈，则直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为 .分析：0,0)（；注意参数方程中22x -≤≤10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 分析：设取红球x 个，白球y 个，则5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，取法为233241464646186C C C C C C ++=. 11、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为 .分析： 221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= .12、P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，21max +=PF PM ，22max -=PF PN ，再根据双曲线的定义得 PM PN -的最大值等于9.13、设,x y 为实数，且满足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，则x y += .分析：()()()()332014201320142014201320142013x x y y -+-=-+-=-，令()()32013f t t t t R =+∈，则()f t 是递增函数，且()()20142014f x f y -=- 则20142014x y -=-，即4028x y +=.14、在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 分析：令5cos 5sin x y αα=⎧⎨=⎩，[]0,απ∈，则2225x y +=，[]0,5y ∈5sin 45cos 2αα+=+化为24y x =+-考察2225x y +=的上半圆与函数24y x =+-的图象可知有一个公共点， 故关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+有1个解. 二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、已知θ为实数，若复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ ）A 、2B 、0C 、2-D 、2i -分析：sin 21sin 210410cos 2,2244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-，选C . 16、“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )xA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件分析：1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A .17、如果函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M 、m ，那么()()()b a m b a f x M b a -≤∆≤-.根据这一结论求出2212x--∆的取值范围（ ）. A 、[0,3] B 、3[,3]16 C 、33[,]162 D 、3[,3]2分析：求22x -在[]2,1-上的最值，选B .18、如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（ ）A、[1,1]- B 、[C 、[2,2]- D 、[22-分析：OM ON ⊥ 且长度为1，可设)sin ,cos (ααM )cos ,sin (αα-N ，然后用坐标求解.也可以OP OM PM -=，答案选C . 三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角； （2）求证：PB ⊥平面11BCC B .解：（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、yPDCBAD 1C 1B 1A 1轴、z 轴建立空间直角坐标系.则10,3)A ，(0,1,0)P，20B ，），1(0,4,3)C .………………3分于是1(2,1,3)PA =-,1(2,3)BC =-,1111cos 612PA BC PA BC θ⋅===⋅,∴异面直线1A P 与1BC 所成的角的大小等于arccos 6.…………6分（2）过B 作BM CD ⊥交CD 于M，在Rt BMC ∆中，21PC PB =1B B ⊥平面20、（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2213a a a =,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以123,,a a a 不成等比数列.…………………………6分（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭y22(1)(321)33n n n a n b =--+=-……………………9分又1(18)b λ=-+,所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列：……11分当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ， 故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列.…………14分21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC BA解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-.……………………3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=. 依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-，21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x x παβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， ………………12分747455274663tt ≤+<+=，74118183t t ∴≤+-<，当7418180tt -≤+-<，所张的角为钝角，最大角当即6x =时取得，故点Q 应选在距A 点6-km 处.………………14分 22、（本题满分16分）阅读：应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++. 解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………………………2分而6b a c a c ba b a c b c+++++≥， 当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9.…………………………5分（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭， ………………………………7分而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x x x x-⋅+⋅≥=-， 当且仅当12228212x xx x-⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥， 所以函数1812y x x=+-的最小值为18.……………………10分 （3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n ====时取到等号，则12S ≥.………………16分 23、（本题满分18分）已知函数2()5b f x ax x=++(常数,a b R ∈）满足(1)(1)14f f +-=.（1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性；（2）若()f x 在区间-∞（，上单调递减，求b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++++成立.解：（1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2()25bf x x x=++，定义域为00-∞⋃+∞（，）（，）当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数……2分 当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶.………………4分（2）对于任意的12x x <<，总有12()()0f x f x ->恒成立，即2212122525b b x x x x ++-++（）（）>0，得1212122()0x x x x b x x -++>.…………6分12x x <<2312(xx >，122x x +<-12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b 的最小值等于2-.………………10分 （3）在（2）的条件下，22()25f x x x=-+. 当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点.…………12分当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有212121121()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>， 即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0∞（，+）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>，∴()f x 在114（，）是有一个零点q . 综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈……………………15分22()250f q q q =-+=，得3251q q =-， 又473231n q q q q q q -=+++++-，故473225n q q q q -=+++++，取32n a n =-…………………………18分。

2014年上海市青浦区高考数学三模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 若复数z =(x 2+2x −3)+(x +3)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．2. 已知全集U ={−1, 0, 1, 2}，A ={−1, 2}，B ={0, 2}，则∁U (A ∩B)=________．3. 已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9=8π，则cos(a 2+a 8)的值为________．4. 已知向量a →=(1−sinθ, 1)，b →=(12, 1+sinθ)，且a → // b →，则钝角θ等于________．5. 若(1−ax)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是________．6. 已知函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +5)−f(x)=0，若y =f(x)的图象关于y 轴对称，且f(−4)=−3，则f(2014)=________．7. △ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 是△ABC 的面积，且4S =a 2+b 2−c 2，则tan(π−C)=________．8. 某产品经过4次革新后，成本由原来的120元下降到70元．若每次革新后，成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率为________ （精确到0.1%）． 9. 平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 、C 三点满足OC →=23OA →+13OB →，则|AC →||CB →|=________．10. 设地球半径为R ，北纬30∘圈上有A ，B 两地，它们的经度相差120∘，则这两地间的纬度线的长为________．11. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 参数方程为{x =cosαy =1+sinα（α为参数），α∈[0, 2π)．点M 为曲线C 上任一点，点N 满足OM →=2ON →，若以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点N 所在曲线的极坐标方程为________．12. 平面直角坐标系中，方程|x −1|+|y −1|=1的曲线围成的封闭图形绕y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为________．13. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2．若椭圆上存在点P ，使得|PF 1→+PF 2→|=|F 1F 2→|成立，则ba 的取值范围为________．14. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为( ) A100101B99101C99100D10110016. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，K 分别是棱A 1B 1、AB 、CD 的中点，动点P 在M ，N ，K 所确定的平面上．若动点P 到直线C 1D 1的距离等于到面ABCD 的距离，则点P 的轨迹为（ ）A 椭圆B 抛物线C 双曲线D 直线17. 若数列{a n }满足当a n >n 2(n ∈N ∗)成立时，总可以推出a n+1>(n +1)2成立，研究下列四个命题：①若a 3≤9，则a 4≤16； ②若a 3=10，则a 5>25； ③若a 5≤25，则a 4≤16；④a n ≥(n +1)2，则a n+1>n 2． 其中错误的命题有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个18. 甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）A s 甲<s 乙<s 丙B s 甲<s 丙<s 乙C s 乙<s 甲<s 丙D s 丙<s 甲<s 乙三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 已知a →=(sinx,−cosx)，b →=(cosx,√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →+√32（1）求f(x)的最小正周期；（2）当0≤x ≤π2时，求函数f(x)的值域．20.如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知∠ABC =90∘，AB =BC =4，BB 1=3，M 、N 分别是B 1C 1和AC 的中点． （1）求三棱锥B 1−ABC 1的体积； （2）求MN 与底面ABC 所成的角． 21. 在△ABC 中，已知∠A 为锐角，f(A)=(cos2A+1)sinA2(cos 2A 2−sin 2A2)+cos2A+12．（1）将f(A)化简成f(A)=Msin(ωA +φ)+N(M >0, N ∈R)的形式； （2）若f(A −524π)≥√22+12恒成立，BC =2，求b +c 的取值范围？22. 曲线C ：(5−m)x 2+(m −2)y 2=8(m ∈R)． （1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围； （3）设m =4，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），y =kx +4与曲线C 交于不同两点M ，N ，y =1与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线．23. 若对任意的n ∈N ∗，存在正常数M ，恒有|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|≤M 成立，则{b n }叫做Γ数列．（1）若公差为d 的等差数列{a n }是Γ数列，求d 的值；（2）记数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：若{S n }是Γ数列，则{b n }也是Γ数列；（3）若首项为1，公比为q 的等比数列{b n }是Γ数列，当M ＝2时，求实数q 的取值范围．2014年上海市青浦区高考数学三模试卷（理科）答案1. 12. {−1, 0, 1}3. −124. 34π5. −26. −37. −18. 12.6%9. 12 10.√3πR3 11. ρ=sinθ 12. 4π 13. (0, √22]14. 3,当n 为偶数时，S n =52n ；当n 为奇数时，S n =52n −12 15. A 16. B17. A 18. D19. f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32． =12sin2x −√32(cos2x +1)+√32=12sin2x −√32cos2x =sin(2x −π3)．所以f(x)的最小正周期为π． ∵ 0≤x ≤.π2．∴ −π3<2x −π3≤2π3∴ −√32≤sin(2x −π3)≤1，即f(x)的值域为[−√32,1] 20. 解：（1）V B 1−ABC 1=V C 1−ABC =13⋅12⋅4⋅4⋅3=8． （2）取BC 的中点P ，连接MP 、NP ，则MP // BB 1，∴ MP ⊥平面ABC ，又NP ⊂平面ABC ， ∴ MP ⊥NP ，MN 与底面所成的角为∠MNP ∵ PN =2，MP =3， ∴ MN =√4+9=√13． ∵ NP =2， ∴ tan∠MNP =32， ∴ ∠MNP =arctan 32．21. 解：（1）f(A)=(cos2A+1)sinA2(cos 2A 2−sin 2A2)+cos2A+12=sin2A 2+cos2A+12=√22sin(2A +π4)+12．（2）由条件及（1）得：sin(2A −π6)≥1， A =π3，由余弦定理得：4=b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc ， 由b +c ≥2√bc ， 所以：bc ≤(b+c)24，代入上式解得：b +c ≤4， 又因为：b +c >a =2， 因此，b +c ∈(2, 4]．22. 解：（1）若曲线C 表示双曲线， 则：(5−m)(m −2)<0，解得：m ∈(−∞, 2)∪(5, +∞)； （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 则：m −2>5−m >0． 解得：m ∈(72, 5)…证明：（3）当m =4，曲线C 可化为：x 2+2y 2=8， 当x =0时，y =±2，故A 点坐标为：(0, 2)，B(0, −2)将直线y =kx +4代入椭圆方程x 2+2y 2=8得：(2k 2+1)x 2++16kx +24=0， 若y =kx +4与曲线C 交于不同两点M ，N ， 则△=32(2k 2−3)>0，解得：k 2>32，…由韦达定理得：x m +x n =−16k2k 2+1 ①， x m ⋅x n =242k 2+1 ②…设N(x N , kx N +4)，M(x M , kx M +4)，G(x G , 1)， MB 方程为：y =kx M +6x Mx −2，则G(3x M kx M +6, 1)，…∴ AG →=(3x MkxM +6, −1)，AN →=(x N , kx N +2)，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证AG →，AN →共线， 即3x M kx M +6(kx N +2)=−x N ，将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．23. 由题意|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|＝(n −1)d ≤M ， 由n 的任意性，得d ＝0，由{S n }是Γ数列得，存在正常数M ，恒有|S n −S n−1|+|S n−1−S n−2|+...+|S 2−S 1|≤M 成立， 即|b n |+|b n−1|+...+|b 2|≤M ，所以|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1| ≤|b n |+2|b n−1|+2|b n−2|+...+2|b 2|+|b 1| ≤2|b n |+2|b n−1|+2|b n−2|+...+2|b 2|+|b 1| ＝2M +|b 1|，因为2M +|b 1|是正常数，所以{b n }是Γ数列． 由（1）知当q ＝1时{b n }是Γ数列， 显然当q ＝−1时{b n }不是Γ数列．|b n −b n−1|+|b n−1−b n−2|+...+|b 2−b 1|＝|q|n−2⋅|q −1|+|q|n−3⋅|q −1|+...+|q −1| ＝|q −1|1−|q|n−11−|q|，若对任意的n∈N∗，|q−1|1−|q|n−11−|q|≤2成立，则必有|q|<1，所以|q−1|1−|q|n−11−|q|<|q−1|1−|q|≤2，当0<q<1时，上式恒成立；当−1<q<0时，上式化为1−q1+q ≤2，解得−13≤q<0．所以，q的取值范围是[−13, 0)∪(0, 1]．。

上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014学年联合高考模拟考试理科数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .理6文7.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .理7文8.已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.理8文10. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．9．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．12．（理）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.第10题图已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .13.（理）已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S l i m . （其中*N n ∈）14．（理）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. （理）在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是…………………（ ）.)(A [0,2] )(B [2,1)(1,0]---)(C [0,1)(1,2] )(D [2,0]- 16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118.（理）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是…………………………………………（ ）.ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ )(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；ADC F PB(第20题图)（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x恒成立，求实数k 的取值范围. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n nn a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．229．37； 10. 41 11. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴所求二面角的余弦值为5. 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， 令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++.所以MN ===2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32nn n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．。

虹口区2021届高三5月模拟考试（三模）数学学科（理科）（时刻120分钟，总分值150分）一、填空题（每题4分，总分值56分） 一、θ是第二象限角，那么2θ是第 象限角． 分析： 一或三二、复数z 知足1z z i -=-，那么此复数z 所对应的点的轨迹方程是 . 分析：0x y -=．3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，那么实数m 的值为 . 分析：[]1,3U C A =-，则2m =4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .分析： 设底面半径为r ，那么它们的高2h r =23122V r r r ππ=⋅=，23212233V r r r ππ=⋅=，3343V r π=， 则123::3:1:2V V V =. 五、已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 分析： 设6t πα=-，即6t πα=-，1tan 3t = 那么()222tan 3cos 2cos 2cos 231tan 5t t t t παπ⎛⎫+=-=-=-=-⎪+⎝⎭. 六、概念在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时， ()()22xf x a x b =+++（,a b 为常数），那么()10f -的值为 .分析：()010f b =+=，b a f f +++=-=--=222)1()1(，则1-=b ,5-=a ，当0x ≥时，132)(--=x x f x ，993)10()10(-=-=-f f .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，那么1213b b b ⋅等于 .分析： 等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，那么27720a a -=，70,2a =取772b a ==，13131213728192b b b b ⋅===.八、已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，那么5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项． 分析： 20九、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.假设直线l 的极坐标方程为3πθ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且)R θ∈，那么直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为 .分析：0,0)（；注意参数方程中22x -≤≤10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分很多于7分的取法有多少种 . 分析：设取红球x 个，白球y 个，那么5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，取法为233241464646186C C C C C C ++=. 1一、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,那么集合Q 组成的几何体表面积为 .分析： 221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= . 1二、P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 别离是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，那么PM PN -的最大值等于 .分析：两个圆心正好是双曲线的核心，21max +=PF PM ，22max -=PF PN ，再依照双曲线的概念得PM PN -的最大值等于9.13、设,x y 为实数，且知足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，那么x y += .分析：()()()()332014201320142014201320142013x x y y -+-=-+-=-，令()()32013f t t t t R =+∈，那么()f t 是递增函数，且()()20142014f x f y -=- 则20142014x y -=-，即4028x y +=.14、在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 分析：令5cos 5sin x y αα=⎧⎨=⎩，[]0,απ∈，那么2225x y +=，[]0,5y ∈5sin 45cos 2αα+=+化为24y x =+-考察2225x y +=的上半圆与函数24y x =+-的图象可知有一个公共点， 故关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+有1个解. 二、选择题（每题5分，总分值20分） 1五、已知θ为实数，假设复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，那么z 的虚部为（ ）A 、2B 、0C 、2-D 、2i -分析：sin 21sin 210410cos 2,2244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-，选C . 1六、“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )A 、充分没必要要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也没必要要条件分析：1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，那么1a ≤，应选A .17、若是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值别离为M 、m ，那么()()()ba mb a f x M b a -≤∆≤-.依照这一结论求出2212x--∆的取值范围（ ）. A 、[0,3] B 、3[,3]16 C 、33[,]162 D 、3[,3]2分析：求22x -在[]2,1-上的最值，选B .1八、如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 别离为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（ ）A 、[1,1]- B 、[C 、[2,2]- D 、[22-分析：OM ON ⊥ 且长度为1，可设sin ,cos (ααM )cos ,α，然后用坐标求解.也能够OP OM PM -=，答案选C . 三、解答题（总分值74分）1九、（此题总分值12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角； （2）求证：PB ⊥平面11BCC B .轴、z 轴成立解：（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 别离为x 轴、y空间直角坐标系.那么10,3)A ，(0,1,0)P ，20B ，），1(0,4,3)C .………………3分于是1(2,1,3)PA =-,1(2,3)BC =-,1111cos 12PA BC PA BC θ⋅===⋅,∴异面直线1A P 与1BC 所成的角的大小等于arccos 6.…………6分（2）过B 作BM CD ⊥交CD 于M ，在Rt BMC ∆中，PDCBAD 1C 1B 1A1y，PC 21PC PB =1B B ⊥平面20、（此题总分值14分）已知数列{}n a 和{}n b 知足：()()11,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判定数列{}n b 是不是为等比数列，并证明你的结论.解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，那么有2213a a a =,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 因此123,,a a a 不成等比数列.…………………………6分（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭22(1)(321)33n n n a n b =--+=-……………………9分又1(18)b λ=-+,因此当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，现在{}n b 不是等比数列：……11分当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ， 故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列.…………14分 2一、（此题总分值14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离别离为1CA =km ，2DB =km ，AB 两头之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确信点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处置厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确信点Q 的位置.解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-.……………………3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=. 依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x xπαβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， ………………12分747455274663tt ≤+<+=，74118183t t ∴-≤+-<，当7418180t t -≤+-<，所张的角为钝角，最大角当6x =-时取得，故点Q 应选在距A 6km 处.………………14分2二、（此题总分值16分）阅读：应用上述解法，求解以下问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++.解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………………………2分而6b a c a c ba b a c b c+++++≥， 当且仅当13a b c ===时取到等号，那么9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9.…………………………5分（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭， ………………………………7分而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x x x x-⋅+⋅≥=-， 当且仅当12228212x xx x-⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，那么18y ≥， 因此函数1812y x x=+-的最小值为18.……………………10分 （3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭当且仅当121n a a a n ====时取到等号，那么12S ≥.………………16分 23、（此题总分值18分）已知函数2()5b f x ax x=++(常数,a b R ∈）知足(1)(1)14f f +-=.（1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性；（2）假设()f x 在区间-∞（，上单调递减，求b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++++成立.解：（1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2()25bf x x x=++，概念域为00-∞⋃+∞（，）（，）当0b =时，关于概念域内的任意x ，有2()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数……2分当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶.………………4分（2）关于任意的12x x <<12()()0f x f x ->恒成立，即2212122525b b x x x x ++-++（）（）>0，得1212122()0x x x x bx x -++>.…………6分12x x <<2312(xx >，122x x +<-12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b 的最小值等于2-.………………10分 （3）在（2）的条件下，22()25f x x x=-+. 当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点.…………12分当0x >时，关于任意的210x x >>，恒有212121121()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>， 即21()()f x f x >，因此函数()f x 在0∞（，+）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>， ∴()f x 在114（，）是有一个零点q . 综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈……………………15分22()250f q q q =-+=，得3251q q=-， 又473231n qq q q q q -=+++++-，故473225n q q q q -=+++++，取32n a n =-…………………………18分。

虹口区2013学年高三年级二模数学答案（理科）D O C B A MP一、填空题（每小题4分，满分56分）1、(1,2)-；2、4；3、43π； 4、2()log f x x =； 56、3；7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α； 111； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又PO ==MD ∴=43OC OM ==，． //MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos 13MD DMC MC ∠==，∴arccos 13DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos MD DMC MC ∠==∴DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO所成的角等于arccos 13或arccos 37．………………8分 （2）三棱锥M ACO -的高为MD，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分 又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分21、（14分）解：（1）110a =29.5a = 3a = 9 4a = 8.5 ………… 12b = 2b =33b = 4.5 4b = 6.75 ………… ………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =． ∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n N b n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++--216843444n n =-+- ………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得31316.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M ≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分（2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………7分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0bx M >．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00b x k =-≠，有00()0<M b f x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分x23、（18分）解：（1）由222202y k x b x p k x p b x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分 设切线方程为y kx m =+，由222202y k x m x p k x p m x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p -=．………8分 232211122216ABC pk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分 （本小题也可以求AB h =，切点到直线l 的距离2d ==（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p ∆∆==⋅．……14分记3116ABC h a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积3114131214a hS ap===-…………………………18分。

一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2.已知函数()x x x f ωω44cos sin -=()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3.向量在向量方向上的投影为 ．【答案】2- 【解析】试题分析：向量投影的定义是，向量a 在向量b 方向上的投影是cos ,a a b <>，它还等于a bb⋅，故所求投影为(3,4)(1,1)(1,1)⋅-==-. 考点：向量的数量积与投影.4.已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．5.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ．考点：程序框图与函数的定义域.6.设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．7.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=．若“a ＝1”是“A B φ≠ ”的充分条件， 则实数b 的取值范围是 ．8.已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为(0,1)A -，其右焦点到直线0x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为 ．9.在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a 、b 、c ．若tan 210tan A cB b++＝，则A = ．10.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ．若121n n S S +=+，则n a = ．11.某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30︒东经30︒对应点A 与北纬30︒东经90︒对应点B 之间的球面距离为 cm （精确到0.01）．22258=，,A B 两点间的球面距离即AOB ∠所对的大圆弧长为5arccos 8OA ⋅约等于37.23考点：球面距离．12.已知直线()2+=x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．考点：直线和圆锥曲线相交问题.13.将()22xx af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >a 的取值范围为 ．14.已知“,,,,,a b c d e f ”为“1,2,3,4,5,6”的一个全排列．设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,,,a b c d e f ”共有__________个．下面我们用列举法列举出各种可能：这样所有的排列数为48281232224⨯+⨯+= 考点：排列、不等式的解等综合问题．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是 （） (A) 3)y x ≤<． (B) 3)y x >． (C) 3)y x =≤<． (D)3)y x =>．16.直线l 的法向量是(),n a b =. 若0ab <，则直线l 的倾斜角为( )(A)arctan b a ⎛⎫-⎪⎝⎭ (B)arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭(C)arctan a b π+ (D)arctan b a π+17.已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若||||AB AC =，则AB AC 的最小值是（ ）(A)0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18.等差数列{}n a 的公差0d ≠，a n ÎR ，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中：（1）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，也可能成等比数列； （2）232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，但不可能成等比数列； （3）23,,m m m S S S 可能成等比数列，但不可能成等差数列； （4）23,,m m m S S S 不可能成等比数列，也不可能成等差数列； 正确的是（ ）(A)（1）（3）. （B ）（1）（4）. （C ）（2）（3）. （D ）（2）（4）.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB=BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．（2）因为11B C //平面1ABC考点：(1)异面直线所成的角；(2)直线到平面的距离．20.(本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中b 是常数．（1）若()x f y =是奇函数，求b 的值；（2）求证：()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．考点：(1)函数的奇偶性；(2)函数的单调性与方程的解．21.（本题满分14分；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ）如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．22.（本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，求证：2AB OM = ．试题解析：（1）设2,F M 的坐标分别为0)y因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22MF b =在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = ……2分由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= ……4分考点： (1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件．23.（本题满分18分；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由．（2）当b 取偶数(2,*)b k k N =∈时，{}n b 中所有项都是{}n a 中的项． …………8分 证: 由题意：b 1,b 2均在数列a n {}中，。

上海市上海大学附属中学2014届高考三模数学理试题考生注意：答案在题后一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、不等式的解集为2、已知直线的参数方程是，则在轴上的截距为 -63、已知是纯虚数，则 - .4、若方程组有唯一解，则实数的取值范围5、某学生参加2门课程的考试，取得合格水平的概率依次为、，且不同课程是否取得合格水平相互独立．则该生只取得一门课程合格的概率为6、已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 27、某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，。

则该校学生上学所需时间的均值估计为__34________。

（精确到分钟）8、函数表示振动时，请写出在内的初相9、已知函数则其反函数为10、若函数经过的定点恰为抛物线的焦点，则实数的值为11、已知的周期为的函数，当，则的解集=12、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则13、已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为14、已知全集集合，则集合的个数二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、在中，是的（）A（A）充要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件16、下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是( ) DA． ; B． ; C．D．17、已知数列是等差数列,若，，且数列{a n}的前n项和S n 有最大值,那么当S n取得最小正值时,n等于（）CA．18 B．19 C．20 D．2118、若，设函数的零点为，函数的零点为，则的取值范围是…（）DA．B． C． D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1．已知集合，则A∩B=．2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ．3．在二项式的展开式中，常数项等于．4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z| ．5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是．6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是．（用反三角函数表示结果）7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ．10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是．14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B． [4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）A． 2sinx B． 2cosx C． sin2x D． cos2x18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④三、解答题19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a=1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．解答：解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，∴A=[﹣1，4）；由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，∴B=（﹣3，3），则A∩B=[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）点评：此题属于以其他不等式的解法及函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ﹣1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．解答：解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题．3．在二项式的展开式中，常数项等于160 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求解答：解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z| ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用行列式偶的运算性质可得zi﹣2=1+i，化简再利用模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i，∴zi﹣2=1+i，化为zi=3+i，∴﹣i•iz=﹣i（3+i），∴z=1﹣3i．∴|z|==．故答案为：．点评：本题考查了行列式的运算性质、复数的运算性质、模的计算公式，属于基础题．5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜3} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．解答：解：由x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1移项得：x2﹣2x+3﹣a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为∅，所以△=4﹣4（3﹣a2+2a+1）＜0，即a2﹣2a﹣3＜0，分解因式得：（a﹣3）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜3，则实数a的取值范围是：{a|﹣1＜a＜3}．故答案为：{a|﹣1＜a＜3}点评：此题考查学生掌握二次函数与x轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题．6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是π﹣arctan4 ．（用反三角函数表示结果）考点：直线的倾斜角；等差数列的性质；反三角函数的运用．专题：计算题．分析：由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得 a1=3，d=4，直线的斜率为=﹣d=﹣4，由tanθ=﹣4，和θ的范围，求出θ值．解答：解：设公差为d，由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得 a1=3，d=4．则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的斜率为=﹣d=﹣4，设直线的倾斜角是θ，则 tanθ=﹣4，又0≤θ＜π，∴θ=π﹣arctan4，故答案为π﹣arctan4．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出首项a1和公差d的值，是解题的关键．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为16π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．分析：根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．解答：解：∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，母线与底面所成的角为，可得①∵侧面积是20π，∴πrl=20π，②由①②解得：r=4，l=5，故圆锥的高h===3则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π故答案为：16π．点评：本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是正确的进行圆锥与扇形的转化．8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于 4 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a 即可得出．解答：解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．联立，解得．∴4=|AB|=，解得a2=4．∴a=2．∴双曲线C的实轴长等于4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ﹣9 ．考点：等比数列的性质；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：根据B n=A n+1可知 A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B n=A n+1 A n=B n﹣1则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除=﹣=﹣=﹣=﹣很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项q=﹣或 q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）∴q=﹣∴6q=﹣9故答案为：﹣9点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，由此求得三本数学书排在一起的概率．解答：解：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，故三本数学书排在一起的概率为=，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，相邻问题的排列，属于基础题．11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是 2 ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），从而得到关于 a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．解答：解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），∴2（a+b）﹣2=2，⇒a+b=2，∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，则a2+b2的最小值是2．故答案为：2．点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合．分析：将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视．13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是2．考点：解三角形；平面向量数量积的运算．专题：综合题；平面向量及应用．分析：根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．解答：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，则y′=令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC=时，取得最大值为∴的最小值是故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为 2 ．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：与函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，画出图象，看交点个数．解答：解：函数y=log4（x+1）可以由对数函数y=log4x的图象向左平移1个单位得到，则函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，图象如下：其中虚的曲线部分为函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象，此部分与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数是2个，所以，函数g（x）关于原点的中心对称点的组数为2组，故答案为：2．点评：本题考查分段函数的图象，涉及分段函数与对数函数的图象，注意其图象中的特殊点进行分析即可．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B． [4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式．专题：计算题．分析：解不等式我们可以求出命题A与命题B中x的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，结合A是B的充分不必要条件，则A⊊B，将问题转化为一个集合关系问题，分析参数a的取值后，即可得到结论．解答：解：由|x﹣1|＜3，得﹣2＜x＜4，∴命题A：﹣2＜x＜4．命题B：当a=2时，x∈φ，当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，当a＞2时，﹣a＜x＜﹣2．∵A是B的充分而不必要条件，∴命题B：当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，∴﹣a＞4，∴a＜﹣4，综上，当a＜﹣4时，A是B的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件与集合之间的关系，其中根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，将充要条件问题转化为集合关系问题是解答本题的关键．16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”可判断①是否正确；根据分别位于两个平行平面的直线的位置关系是平行或异面，可判断②是否正确；根据直线有可能在平面内，可判断③是否正确；利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”和“两个平行平面中的一个垂直于直线，则另一个平面也垂直于直线”，可判断④是否正确．解答：解：①，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，∴①正确②，α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m、n异面，∴②不正确；③，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，∴③不正确；④，α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，∴④正确．故选A．点评：熟练掌握线线、线面、面面的平行与垂直的性质与判定定理是解题的关键．17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）A． 2sinx B． 2cosx C． sin2x D． cos2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：化简变换后的函数解析式，结合函数的变换，逆推求出函数的解析式即可．解答：解：y=2sin2x=1﹣cos2x，要求函数f（x），函数y=f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到y=sin2（x﹣）=﹣cos2x，故所求函数解析式为y=sin2x．故选：C．点评：本题考查了三角函数图象的平移，三角函数的化简，属于中档题．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：阅读型；新定义．分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．解答：解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以集合M是好集合；对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．故选B．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．三、解答题19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，可得，于是四边形AMCN是平行四边形，可得CN∥AM，因此∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可．解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；（2）由PA垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．解答：解：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，∴，∴四边形AMCN是平行四边形，∴CN∥AM，∴∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角．因为PA垂直于底面，所以PA⊥AM，点M分别是DC的中点，DC=6，∴．在Rt△PAM中，PA=8，，∴，∴，即异面直线PM与CN所成角的大小为．解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），∴，，直线PM与CN所成角为θ，向量的夹角为ϕ，∵，又，，即异面直线PM与CN所成角的大小为．（2）因为PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PAD，又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PDC，∵底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S底=36又S侧=S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD=．S表=108+36=144所以四棱锥P﹣ABCD的表面积是144．点评：本题综合考查了利用“平移法”和通过建立空间直角坐标系利用向量的方向向量的夹角求异面直线的夹角、线面垂直的判定与性质、四棱锥的表面积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．解答：解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．…3分又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．…6分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN 是关键．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C 于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由于C的焦点在x轴上且长轴为4，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），把点代入椭圆的方程可得，解出即可．（2）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），由于直线l方向向量，可得直线l的方程是．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵点在椭圆C上，∴，解得b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∵直线l方向向量，∴直线l的方程是，联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，，∴===（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a=1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=，由此作出函数的图象．（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，分a=0、a＜0、、、这几种情况，结合函数的图象，利用函数的单调性，求出g（a）的解析式．（3）根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，h（x2）﹣h（x1）＞0，可得ax1x2＞2a﹣1，分a=0、a＞0、a＜0分别求得实数a的取值范围，再取并集即得所求．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=．作图（如图所示）（4分）（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1．若a=0，则f（x）=﹣x﹣1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=﹣分）若a≠0，则，f（x）图象的对称轴是直线．当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）当，即时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a﹣分）当，即时，，（8分）当，即时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）综上可得．（10分）（3）当x∈[1，2]时，，在区间[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，则=．（12分）因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x2）﹣h（x1）＞0，因为x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2﹣（2a﹣1）＞0，即ax1x2＞2a﹣1，当a=0时，上面的不等式变为0＞﹣1，即a=0时结论成立．（14分）当a＞0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得0＜a≤1，（16分）当a＜0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得，（17分）综上，实数a的取值范围为．（18分）点评：本题主要考查带有绝对值的函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类讨论的层次，这是解题的难点，属于中档题．23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用=计算即可；（2）通过b1=b及（1）可知b n=，进而只需解不等式b2k﹣1≤b2k≤b2k+1即可；（3）通过（2）分别计算出n=2k﹣1（k∈N*）、n=2k（k∈N*）时的表达式并令两者相等，通过方程有无解即可判断．解答：（1）证明：∵b n•b n+1=2n+1，∴b n+1•b n+2=2n+2，∴===2，∴数列{b n}是“类等比数列”；（2）解：∵b1=b，b n•b n+1=2n+1，∴b2==，∴b n=，∵数列{b n}是单调递增数列，∴b2k﹣1≤b2k≤b2k+1，即b•2k﹣1≤•2k﹣1≤b•2k，整理得：b≤≤2b，解得：≤b≤2，∴实数b的取值范围为：[，2]；（3）结论：当b=±时=，否则不存在．理由如下：由（2）可知b n=，①当n=2k﹣1（k∈N*）时，b n+b n+1=b2k﹣1+b2k=b•2k﹣1+=（b+）•2k﹣1，S n=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）=+=（2b+）•2k﹣1﹣（b+），∴===2﹣；②当n=2k（k∈N*）时，b n+b n+1=b2k+b2k+1=+b•2k=（2b+）•2k﹣1，S n=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）+b2k=（2b+）•2k﹣1﹣（b+）+=2（b+）•2k﹣1﹣（b+），∴===1+；令2﹣=1+，化简得：b4=8，解得：b=±，综上所述，当b=±时=，否则不存在．点评：本题考查数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，考查极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。

虹口区2014学年第一学期高三期终教学质量监测试卷2015.1.8一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、椭圆2214x y +=的焦距为 .2、在91x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为 .3、若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z = . 4、若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 .5、行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为 .6、在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b=︒=︒，则c = .7、若()22sin 00x x f x x x π≤≤⎧=⎨<⎩，，，，则方程()1f x =的所有解之和等于 .8、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= .9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q = .10、已知12,l l 是分别经过()()2102A B ,，,两点的两条平行直线，当12,l l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 .11、若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）13、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .E14、右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且28MD MN π⋅=，则函数()f x 的解析式为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15、设全集(){}{},ln 1,11U R A x y x B x x ===-=-<，则()U C A B = （ ）.A.()2,1-B.(]2,1-C.[)1,2D.()1,216、设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使a b ab=成立的必要条件是 （ ）.A.a b =-B.//a bC.2a b =D.//a b 且a b =17、关于曲线42:1C x y +=，给出下列四个命题：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称 ③曲线C 围成的面积大于π ④曲线C 围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为 （ ）A.①②③B.①②④C.①④D.①③18、若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是 （ ）.A.11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.19、（本题满分12分）已知3cos ,41024x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分 已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；（2）若()()()3h x g x m f x =-⋅+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()121n b nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.已知12F F 、为为双曲线22221x y C a b-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.。