北师大版数学必修五：《不等式的性质》导学案(含答案)

§3 基本不等式 第1课时 基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值. 难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件. 学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b 都是非负数，那么2ba +≥ab ,当且仅当a=b 时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中2ba +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，取"＝"）. 证明：a 2+b 2-2ab =(a-b ) 2,当a ≠b 时，（a-b ）2>0；当a=b 时，（a-b ）2＝0. 所以（a-b ）2≥0,即a 2+b 2≥2ab .3.基本不等式的几何解释： 基本不等式一种几何解释如下：以a+b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连结AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ,则CD ２=CA ·CB ,即CD =ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即2ba +≥ab ， 其中，当且仅当点C 与圆心重合，即a=b 时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式ab ≤2ba +（a ≥0,b ≥0）. 其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4.关于a 2+b 2≥2ab 和2ba +≥ab （a,b >0） （1）两个不等式：a 2+b 2≥2ab 与2ba +≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a,b 都是实数，后者则要求a,b 都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的， 而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件. (2)两个不等式：a 2+b 2≥2ab ，2ba +≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b 时取‘＝’”这句话的含义是“a=b ”时，a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 中只有等号成立，反之，若a 2+b 2≥2ab , 2b a +≥ab 中的等号成立时,必有“a=b ”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值 利用基本不等式2ba +≥ab ，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，（1）若x+y=S （和为定值），则当x=y 时，积xy 取得最大值42S ;（2）若xy=p （积为定值），则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .证明：∵x,y 都为正数， ∴2yx +≥xy (1)和式为定值S 时，有xy ≤2S ， ∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“＝”号，因式当x=y 时，积xy 有最大值41S 2；(2)积式xy 为定值p 时，有2yx +≥p ,∴x+y ≥2p .上式当“x=y ”时取“＝”，因此，当x=y 时，和x+y 有最小值2p .注意：（1）在应用均值不等式ab ≤2ba +求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b 都是非负数，那么 ，当且仅当 时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中 称为a,b 的算术平均数， 称为a,b 的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有 ，即若a >0,b >0,且a+b=M,M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a=b 时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有 ，即若a >0,b >0,且ab=P,P 为定值，则a+b ≥ ,等号当且仅当a=b 时成立.［答案］ 1.2b a +≥ab a=b 2ba + ab2.(1)最大值 42M (2)最小值 2p思路方法技巧命题方向 利用基本不等式比较代数式的大小［例1］ 已知0＜a ＜1,0<b <1,则a+b ,2ab ,a 2+b 2,2ab 中哪一个最大？［分析］ 由已知a,b 均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决.［解析］ 方法一：∵a >0,b >0,∴a+b ≥2ab ,a 2+b 2≥2ab ,∴四个数中最大数应为a+b 或a 2+b 2. 又∵0＜a ＜1,0<b <1,∴a 2+b 2-(a+b )=a 2-a+b 2-b=a (a -1)+b (b -1)<0, ∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大．方法二：令a=b =21, 则a+b =1,2ab =1,a 2+b 2=21, 2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯＝21， ∴a+b 最大.［说明］ 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性. 变式应用1已知m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),则m 、n 的大小关系是（ ）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定［答案］ A∵a >2,∴a -2>0,又∵m=a +21-a =(a -2)+ 21-a +2≥２()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即（a -2）2=1,又a -2>0，∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0, ∴b 2≠0, ∴2-b 2<2, ∴22-b2<4,即n <4，∴m>n .命题方向 利用基本不等式求最值［例2］ （1）若x >0，求函数f (x )=x12+3x 的最小值；（2）若x <0，求函数f (x )=x12+3x 的最大值. ［分析］ 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对（1），由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为 x 12·3x =36为定值，且x12=3x (x >0)时，x =2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x <0，得x 12<0,3x <0,所以-x 12>0,-3x >0,所以对 (-x12)+(-3x )可利用基本不等式求最值.［解析］ （1）因为x >0，所以x12>0,3x >0, 所以f (x )=x 12+3x ≥2x x312⋅=236=12. 当且仅当x12=3x ,即x =2时，等号成立. 所以当x =2时，f (x )取得最小值12. （2）因为x <0,所以-x >0, 所以-f (x )= (-x 12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,所以f (x )≤-12 . 当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时，等号成立. 所以当x =-2时，f (x )取得最大值-12.［说明］ 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解. 变式应用2设x >0，求y =2-x -x4的最大值. ［解析］ ∵x >0,∴x +x 4≥2x x 4⋅=4,∴y =2- (x +x 4)≤2-4=-2.当且仅当x =x 4，即x =2时等号成立，y 取最大值-2.［例3］ （1）已知x <45，求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（2）已知0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值. ［分析］ 此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值. ［解析］ （1）因为x <45，所以4x -5<0,即5-4x >0, 所以y =4x -2+541-x =- (5-4x +x 451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2,所以y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立，所以当x =1时，函数y 取得最大值1.（2）因为0<x <31，所以1-3x >0,所以y=x (1-3x )=31·3x (1-3x )≤31 [()2313x x -+]2=121. 当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立， 所以当x =61时，函数y 取得最大值121. ［说明］ 解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值. 变式应用3求函数y =31-x +x (x >3)的最小值. ［解析］ y =31-x +x =31-x +(x -3)+3, ∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x -3)≥2()331--x x =2, 当且仅当31-x =x -3,即x -3=1, x =4时，等号成立.∴当x =4时，函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5. 命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题［例4］ 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售的件数为p =()254010-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？ ［分析］ 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×（销售价格-进货价格）.再应用基本不等式解决最值问题.［解析］ 解法一：由题意知利润S =（x -50）·()254010-x =(x -50)·()()1005020501025+-+-x x =()()205010050105+-+-x x .x -50≥0，∴（x -50）+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+＝2500，当且仅当（x -50）＝()5010-x ，即x =60或x =40（不合题意舍去）时取=. 解法二：由题意知利润S =（x -50）·()254010-x令x －50＝t ，x =t +50（t >0），则S =()251010+t t =100201025++t t t =20100105++tt ≤2020105+＝2500.当且仅当t =t100，即t =10时取等号，此时x =60. 答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多.［说明］ 1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值； （4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q ＝xx 23- (x >0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P （万元）表示为年广告费x (万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？［解析］ （1）P =(32Q +3)·150％＋x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0)； （2）P ＝- (2x ＋x 32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时，即x =8时，P 有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］ 已知a >0,b >0,且a 1+b9=1,求a+b 的最小值.∵a >0,b >0∴a 1+b 9≥2ab 9=6ab1,∴6ab1≤1， ∴ab 1≤361， ∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12. ∴a+b 的最小值为12.［辨析］ 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为a 1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ，故a+b 取不到最小值12. ［正解］ ∵a >0,b >0，a 1+b9＝1， ∴a+b =(a 1+b9)(a+b ) =1+9+b a a b 9+≥10+2ba ab 9⋅=10+2×3＝16.当且仅当ba ab 9=，即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12.故当a =4,b =12时，a+b 取最小值16.课堂巩固训练一、选择题 1.已知ab >0，则baa b +的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞)［答案］ B［解析］ ∵ab >0, ∴a b >0,b a>0,∴b a a b +≥2baa b ⋅=2. 当且仅当baa b =，即a=b 时，等号成立. 2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是（ ）A.a =±2B.a =2C.a =-2D.a =4［答案］ B［解析］ 因为a 2-4a +4=(a -2) 2≥0, 当且仅当a =2时取“＝”，所以a =2. 3.如果a,b 满足0<a<b ,a+b =1,则21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是（ ）A.21B.aC.2abD.a 2+b 2［答案］ D［解析］ 解法一：∵0<a<b , ∴1=a+b >2a ,a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab ,又a 2+b 2=(a+b ) 2-2ab =1-2ab , ∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21. 解法二：特值检验法：取a =31,b =32,则2ab =94,a 2+b 2=95, ∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大. 二、填空题4.若x >0,则x +x2的最小值为 . ［答案］ 22 ［解析］ ∵x >0,∴x +x 2≥2xx 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时，等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,则3x+3y的最小值是 . ［答案］ 183［解析］ 3x>0,3y>0.∴3x+3y≥2y x 33⋅=2y x +3=2·（3）5＝183,当且仅当x=y =25时等号成立. 课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（ ）A.y=x +x 1B.y =sin x +x sin 1,x ∈ (0,2π) C.y =2322++x x D.y =x +x1［答案］ D［解析］ A 中，不满足正数这一条件；B 中，∵x ∈ (0,2π), ∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立； C 中，y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时，x 2+2=1,x 2=-1(不成立)；D 中x >0,y=x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时，取最小值2. 2.a,b ∈R +，则2b a +,ab ，ba ab+2三个数的大小顺序是（ ） A.2b a +≤ab ≤ba ab +2 B. ab ≤2b a +≤ba ab+2 C.b a ab +2≤ab ≤2b a + D. ab ≤b a ab +2≤2ba +［答案］ C［解析］ 解法一：取a =2,b =8,则2b a +=5，ab =4，b a ab +2=3.2,∴选 C.解法二：已知2ba +≥ab， 又ab -b a ab +2=()b a ab b a ab +-+2 =()2b a b a ab +-≥0 ∴ab ≥b a ab+2. 也可作商比较ab ba ba ab ab 22+=+≥1.3.(2011·上海理，15)若a,b ∈R ，且ab >0,则下列不等式中，恒成立的是（）A.a 2+b 2>2abB.a+b ≥2abC.b a 11+ >ab 2D.b aa b +≥2［答案］D［解析］ 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断.用排除法：A:a=b 时不满足；B:a<0,b <0时不满足；C:a <0,b <0时不满足； D:a b >0,b a >0, a b +b a≥2b aa b⋅=2.4.设x +3y =2,则函数z =3x +27y 的最小值是（ ） A.32B.22C.3D.6［答案］D［解析］ ∵x +3y =2,∴x =2-3y .∴z =3x +27y =32-3y +27y ＝y 279+27y ≥2y y 27279⋅＝6，当且仅当y 279=27y ,即27y =3,∴33y =3,∴3y =1,∴y =31.即x =1,y =31时，z =3x +27y 取最小值6. 5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a , 第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则（ ）A.x =2b a +B.x ≤2b a + C.x ＞2b a + D.x ≥2b a +［答案］ B［解析］ ∵这两年的平均增长率为x ， ∴A (1+x ) 2=A (1+a )(1+b )，∴(1+x ) 2=(1+a )(1+b ),由题设a ＞0,b ＞0.∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++=1+2b a +，∴x ≤2b a +. 等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.若x >4，则函数y=x +41-x （ ）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2［答案］ B［解析］ ∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4＝6. 当且仅当x -4=41-x ，即x -4=1，x =5时，取等号. 7.若a>b >1,P =b a lg lg ⋅,Q =21 (lg a +lg b ),R =lg (2b a +),则（ ） A.R<P<Q B.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q［答案］ B［解析］ 由a ＞b ＞1,得lg a ＞lg b ＞0，Q =21 (lg a +lg b )＞b a lg lg ⋅=P ， R=lg(2b a +)＞lg ab =21 (lg a +lg b )=Q ， ∴R ＞Q ＞P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是（ ）A.40B.10C.4D.2［答案］ B ［解析］ ∵x +4y ≥2y x 4⋅＝4xy , ∴xy ≤44y x + =440=10, 当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“＝”，∴xy ≤100,即（xy ）max =100,∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2. 二、填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为 .［答案］ 42 l ［解析］ 设矩形长为a ,宽为b ,则a+b =21,∵(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2，∴a 2+b 2≥()22b a +， ∴对角线长22b a +≥()22b a + =42l . 当且仅当a=b 时，取"＝".10.若a >0,b>0,a+b =2，则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）.①ab ≤1； ②b a +≤2;③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤ba 11+≥2. ［答案］ ①③⑤ ［解析］ ①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2，即2ab ≤0,显然不成立.③欲证a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ≥2,即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立.④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔ (a+b ) 2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知，ab ≤65不恒成立.⑤欲证a 1+b 1≥2,即证abb a +≥2, 即证ab ≤1,由①知成立.11.(2010·山东·文)已知x ，y ∈R +，且满足43y x +=1，则xy 的最大值为 .［答案］ 3 ［解析］ ∵x >0,y >0,且1=43y x +≥212xy , ∴xy ≤3,当且仅当43y x =,即x =23,y =2时，等号成立. 12.(2011·浙江文，16)若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x+y 的最大值是［答案］ 332［解析］ 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力. 由x 2+y 2+xy =1可得，（x+y ）2=xy +1而由均值不等式得xy ≤（2y x +）2 ∴（x+y ）2≤（2y x +）2+1整理得，43（x+y ）2≤1∴x+y ∈［-332，332］ ∴x+y 的最大值为332. 三、解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立，t >0，比较21log a t 与log a 21+t 的大小. ［解析］ ∵a 2+a -2＞0,∴a ＜-2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1,∴a ＞1，∵t ＞0,∴21+t ≥t ,∴log a 21+t ≥log a t =21log a t , ∴21log a t ≤log a 21+t . 14.已知a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a 1，β=b +b 1,求α+β的最小值. ［解析］ 因为a,b 的等差中项是21,所以a+b =1,α+β= (a +a 1)+ (b +b 1)=(a+b )+ (a 1+b1)=1+ab b a +=1+ab1, ∵ab ≤ (2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5 (当且仅当a=b =21时取等号)，故α+β的最小值为5.15.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x 2+y 5的最小值. ［解析］ 方法一：由已知条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10.则x 2+y 5=1052x y +≥10102xy =2， 所以 (x 2+y5)min =2,方法二：由已知条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10, x 2+y 5≥2yx 52⋅=21010=216.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？［分析］ 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］ 设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则ab =9000. ①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025 =18500+2ab 1000=24500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =85a,代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm 时，可使广告的面积最小.。

2.2 不等式的基本性质学习目标：1.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式.一、复习导入还记得等式的基本性质吗？如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？一、要点探究知识点一：分式的概念根据图片你能得出什么不等关系吗？教师追问：请举几例试一试，并与同伴交流.思考用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律：(1) 5＞3，5＋2 ___ 3＋2，5 - 2 ___ 3 - 2；(2) -1＜3，-1＋2 ___ 3＋2 ，-1 - 3 ___ 3 - 3.根据发现的规律填空：当不等式两边加或减同一个数(正数或负数) 时，不等号的方向______.【归纳总结】做一做完成下列填空：2＜32×5 ____ 3×5；2×12 ____ 3×12；2×(-1)____ 3×(-1)；2×(-5)____ 3×(-5)；2×(-12)____ 3×(-12)；你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流.思考：完成下列填空：(1) 6＞2， 6×5 ____ 2×5， 6×(-5)____ 2×(-5)；(2) -2＜3，(-2)×6____3×6，(-2)×(-6)____3×(-6).根据发现的规律填空：当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向_____；而乘同一个负数时，不等号的方向_____.【归纳总结】练一练(1) a - 3 ____ b - 3；(2) a ÷3 ____ b ÷3；(3) 0.1a ____ 0.1b ；(4) -4a ____ -4b ；(5) 2a + 3 ____ 2b + 3；(6) (m 2 + 1)a ____ (m 2 + 1)b (m 为常数)2. 已知 a ＜0，用“＜”“＞”填空： (1) a + 2 ____ 2； (2) a - 1 _____-1；(3) 3a _____ 0； (4) -a4 ____ 0；(5) a 2 ____ 0； (6) a 3 ____ 0；(7) a - 1 ____ 0； (8) | a | ____ 0．思考：上节课，我们猜想，无论绳长l 取何值，所围成的圆的面积总大于正方形的面积，即. 你相信这个结论吗？你能用不等式的性质证明吗？知识点二： 利用不等式的性质把不等式化成x ＞a 、x ＜a 的形式【典例精析】将下列不等式化成“x ＞a ”，“x ＜a ”的形式.(1) x - 5＞-1；(2) -2x ＞3.【针对训练】1. 将下列不等式化成“x＞a”，“x＜a”的形式.(1) x- 7＜8；(2) 3x＜2x- 3.2. (温州·期中) 当x > y时，(1) 请比较-3x + 5与-3y + 5的大小，并说明理由.(2) 若(a- 3)x < (a- 3)y，则a的取值范围为. (直接写出答案)1. 已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：(1) a + 12 b + 12；(2) b- 10 a- 10.2. 把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式：(1) 5＞3 + x；(2) 2x＜x + 6.参考答案复习导入还记得等式的基本性质吗？式的基本性质1：在等式两边都加上 (或减去) 同一个数或整式，结果仍相等． 等式的基本性质2：在等式两边都乘或除以同一个数 (除数不为 0)，结果仍相等．合作探究一、要点探究知识点一：不等式的性质思考：用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律：(1) 5＞3，5＋2 _＞_ 3＋2，5 - 2 _＞_ 3 - 2；(2) -1＜3，-1＋2 _＜_ 3＋2 ，-1 - 3 _＜_ 3 - 3.根据发现的规律填空：当不等式两边加或减同一个数 (正数或负数) 时，不等号的方向_不变_.做一做完成下列填空：2＜32×5 _＜_ 3×5；2×12 _＜_ 3×12；2×(-1)_＞_ 3×(-1)；2×(-5)_＞_ 3×(-5)；2×(-12)_＞_ 3×(-12)；思考：完成下列填空：(1) 6＞2， 6×5 _＞_ 2×5， 6×(-5)_＜_ 2×(-5)；(2) -2＜3，(-2)×6_＜_3×6，(-2)×(-6)_＞_3×(-6).根据发现的规律填空：当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向__不变__；而乘同一个负数时，不等号的方向改变__.练一练1. 设 a ＞b ，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不等式的哪一条基本性质. (1) a - 3 ____ b - 3； ＞ 不等式的性质 1(2) a ÷3 ____ b ÷3； ＞ 不等式的性质 2(3) 0.1a ____ 0.1b ； ＞ 不等式的性质 2(4) -4a ____ -4b ； ＜ 不等式的性质 3(5) 2a + 3 ____ 2b + 3； ＞ 不等式的性质 1，2(6) (m 2 + 1)a ____ (m 2 + 1)b (m 为常数) ＞ 不等式的性质 22. 已知 a ＜0，用“＜”“＞”填空： (1) a + 2 ____ 2； (2) a - 1 _____-1；(3) 3a _____ 0； (4) -a 4 ____ 0；(5) a 2 ____ 0； (6) a 3 ____ 0；(7) a - 1 ____ 0； (8) | a | ____ 0．答案：< < < > > < < >思考：上节课，我们猜想，无论绳长l 取何值，所围成的圆的面积总大于正方形的面积，即. 你相信这个结论吗？你能用不等式的性质证明吗？知识点二： 利用不等式的性质把不等式化成x ＞a 、x ＜a 的形式例 将下列不等式化成“x ＞a ”，“x ＜a ”的形式.(2) x - 5＞-1；(2) -2x ＞3.针对训练：1. 将下列不等式化成“x ＞a ”，“x ＜a ”的形式. (1) x - 7＜8； (2) 3x ＜2x - 3.2. (温州·期中) 当x > y时，(1) 请比较-3x + 5与-3y + 5的大小，并说明理由.(2) 若(a- 3)x < (a- 3)y，则a的取值范围为. (直接写出答案)a < 3.当堂检测1. 已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：(1) a + 12 ＜b + 12；(2) b- 10 ＞a- 10.2. 把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式：(1) 5＞3 + x；解：x＜2.(2) 2x＜x + 6. 解：x＜6.。

不等式的性质导学案以下是查字典数学网为您推荐的不等式的性质导学案，希望本篇文章对您学习有所帮助。

不等式的性质导学案[学习目标]1. 理解不等式的性质,掌握不等式的解法2. 培养学生的数感，渗透数形结合的思想.[学习重点与难点]重点:不等式的性质和解法.难点:不等号方向的确定.[学习过程]一.春耕(问题探知发现规律) :问题1 用填空并总结规律: 请1)53 , 5+2 3+2, 5-2 3-22)-13, -1+2 3+2, -1-3 3-33)62, 65 25, 6(-5) 2(-5)4)-23, (-2)6 36, (-2)(-6) 3(-6)由上面规律填空:(1)当不等式两边加上或减去同一个数(正数或负数)时,不等号的方向 ;(2)当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 .不等式性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 .(2)不等式两边乘(或除以)同一个 ,不等号的方向不变.(3)不等式来年改变乘(或除以)同一个 ,不等号的方向二.夏耘(举例):例1 利用不等式的性质，填,:(1)若ab,则2a+1 2b+1;(2)若-1.25y10,则y -8;(3)若a(4)若a0,c0,则(a-b)c 0.例2 利用不等式性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.(1)x-7 (2)3x(3) x (4)-4 x 3.三秋收(课堂巩固):1.下列哪些是不等式x+3 6的解?哪些不是?-4，-2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，122. 判断(1)∵a b a-b b-b(2)∵a b(3)∵a b -2a -2b(4)∵-2a 0 a 0(5)∵-a 0 a 33.填空(1)∵ 2a 3a a是数(2)∵ a是数(3)∵ax a且 x 1 a是数4.根据下列已知条件，说出a与b的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。

(1)a-3 b-3 (2)(3)-4a -4b5.直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：(1)x+3 6 (2)2x 8 (3)x-2 0(4)-4x-2 x+3。

9.1.2不等式的性质一一导学案学习目标：理解不等式的性质，并能利用性质解简单的不等式 学习过程: 一、知识回顾1、回忆等式的性质，并完成下列填空:用式子表示为：如果 a b ，那么-，依据是3依据是二、自学探究••• 5+2___3+2，5+ ( — 4) ___3+ (— 4)，5— 2___3—2，5—(— 2)___3 —(— 2) (2)3+2， — 1 — 3.观察上面的填空，你能仿照等式的性质 1，总结出不等式的性质 1吗?不等式的性质1:不等式两边都用式子表示为：如果 a > b ,那么 探究2:不等式的性质2、 3请用“<”、“ >”填空：(3)v 6 > 46 X 5 4X 5， 6 X(- -5) 4X(- -5)，6 - 2 4十2， 6十（一 -2) 4+(— -2)(4)•••— 2< 4 （1）等式的性质1:等式两边都加上（或减去），等式仍成立; （2）等式的性质2：等式两边都乘以 （或除以），等式仍成立。

用式子表示为: 如果 a b ，那么2、 a b , b c ，依据是探究 1:不等式的性质请用 “<”、“〉”填空:(1) •/ 5 > 3，不等号的方向不变。

•••— 2X 6___4X 6, — 2 X(— 6) ___4X(— 6),—2-2___4-2, — 2-(— 2) ___4+(— 2)观察上面的填空，你能仿照等式的性质 2，总结出不等式的性质 2、3吗?课堂展示1：(1 )设 a>b,用 “v”(2)利用不等式的性质填(3)判断正误:②•/ a < b ••• - v -3 3③-a < b — — 2a < — 2b三、合作探究探究3:利用不等式的性质解不等式利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集:不等式的性质 2:不等式两边都，不等号的方向不变。

用式子表示为: 如果 a > b , c > 0，那么不等式的性质 3:不等式两边都，不等号的方向改变。

（新教材）北师大版精品数学资料第5课时基本不等式1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.2.能够利用基本不等式求最大(小)值.3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有当且仅当时,等号成立.我们也可以通过作差法来证明:-=(a-b)2≥0,所以,当且仅当a=b时取等号.问题2:基本不等式若a,b∈(0,+∞),则,当且仅当时,等号成立.问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.(1)基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上.在圆中,半径不小于半弦长.(2)如果把看作正数a、b的,看作正数a、b的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的.(3)在数学中,我们称为a、b的,称为a、b的.因此,两个正数的不小于它们的.问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最值,当且仅当x=y时,取“=”.(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最值,当且仅当x=y时,取“=”.即“积为常数,;和为常数,”.概括为:一正二定三相等四最值.1.在下列不等式的证明过程中,正确的是().A.若a,b∈R,则+≥2=2B.若a,b∈R+,则lg a+lg b≥2C.若x为负实数,则x+≥-2=-2D.若x为负实数,则3x+3-x≥2=22.下列不等式一定成立的是().A.lg(x2+)>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.>(b>a>0)D.>1(x∈R)3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,则+的最小值为.4.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.基本不等式求最值(1)已知x>,求函数y=4x-2+的最小值.(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.利用基本不等式证明不等式已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.单调性与基本不等式设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,求函数f(x)的最小值.(1)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值.(2)若-4<x<1,求的最值.设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.求函数y=的值域.1.下列不等式中恒成立的是().A.≥B.x+≥2C.≥3D.2-3x-≥22.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为().A.3B.5C.1D.73.已知0<x<,则x(1-3x)取得最大值时,x的值是.4.已知a、b、c是不全相等的正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.(2011年·重庆卷)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于().A.1+B.1+C.3D.4考题变式(我来改编):第5课时等差数列的应用知识体系梳理问题1:(1)a m+a n=a p+a q a m+a n=2a p(2)kd(3)cd1d1pd1+qd2问题2:(1)最大最小(2)m2d(3)nd a n+1问题3:(1)a n-a n-1(2)a n+a n-2(3)pn+q(4)an2+bn(a,b为常数)问题4:(2)y=x2+(a1-)x(3)基础学习交流1.B因为2a4=a3+a5,所以3a4=12,即a4=4,所以a1+a2+…+a6+a7=7a4=28.2.B∵2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a10=24,∴a4+a10=4,∴S13===26.3.130设公差为d,则a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得a1+6d=10,所以S13=13a1+d=13(a1+6d)=130.4.解:由已知得,{a n}是首项为正,公差为负的递减等差数列.由<-1得a10+a11<0且a10>0,a11<0,∴S20===10(a10+a11)<0.而S19=19a10>0,∴S n取最小正值时n=19.重点难点探究探究一:【解析】(法一)设所求的通项公式为a n=a1+(n-1)d,则即把①代入②得(a1+2d)(a1+12d)=7,③∵a1=4-7d,代入③,∴(4-5d)(4+5d)=7,即16-25d2=7,解得d=±.当d=时,a1=-,a n=-+(n-1)·=n-;当d=-时,a1=,a n=+(n-1)·(-)=-n+.(法二)∵a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4,代入已知得解得或由a3=1,a13=7得d===.∴a n=a3+(n-3)·=n-.由a3=7,a13=1,同理可得:a n=-n+.【小结】注意到等差数列中,若m,n,p,q∈N+且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q,而a3,a8,a13中的下标3,8,13间的关系:3+13=8+8,从而得到a3+a13=a8+a8=2a8.探究二:【解析】由数列{a n}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∵S3=9,S6=36,S6-S3=27,∴a7+a8+a9=S9-S6=45.【小结】数列{a n}是等差数列,前n项和是S n,那么S m,S2m-S m,…,S(k+1)m-S km,…(k∈N+)是等差数列.探究三:【解析】(1)依题意有:解之得公差d的取值范围为-<d<-3.(2)(法一)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此,在S1,S2,…,S12中S k为最大值的条件为:a k≥0且a k+1<0,即∵a3=12,∴∵d<0,∴2-<k≤3-.∵-<d<-3,∴<-<4,得5.5<k<7.∵k是正整数,∴k=6,即在S1,S2,…,S12中,S6最大.(法二)由d<0得a1>a2>…>a12>a13,因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得a k≥0,且a k+1<0,则S k是S1,S2,…,S12中的最大值.又∵2a7=a1+a13=S13<0,∴a7<0,a7+a6=a1+a12=S12>0,∴a6>-a7>0,故在S1,S2,…,S12中S6最大.(法三)依题意得:S n=na1+(n-1)d=n(12-2d)+(n2-n)=[n-(5-)]2-(5-)2,∵d<0,∴[n-(5-)]2最小时,S n最大;∵-<d<-3,∴6<(5-)<6.5.从而,在正整数中,当n=6时,[n-(5-)]2最小,∴S6最大.【小结】熟练应用前n项和公式及其函数意义解题.思维拓展应用应用一:∵a1+a2+a3=12,∴a2=4.∵a8=a2+(8-2)d,∴16=4+6d,∴d=2,∴a n=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n.应用二:∵===,∴====.应用三:(1)设等差数列的公差为d,则由a5+a7=4,a6+a8=-2,得解得所以数列{a n}的通项公式为a n=20-3n.(2)由解得≤n≤.因为n∈N+,所以n=6,故前n项和S n的最大值为S6=6×17+×(-3)=57.基础智能检测1.D由++2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,∵a n<0,∴a3+a8=-3,∴S10==5(a3+a8)=5×(-3)=-15.2.A由题意,得:-a m<a1<-a m+1⇔易得S m=·m>0,S m+1=·(m+1)<0.3.2n+3由题意得=n+4,即S n=n2+4n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+4n-[(n-1)2+4(n-1)]=2n+3,当n=1时,a1=S1=5符合上式,∴a n=2n+3.4.解:∵a n=2n+1,∴a1=3,∴S n==n2+2n,∴=n+2,∴{}是公差为1,首项为3的等差数列,∴前10项和为T10=3×10+×1=75.全新视角拓展A根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.思维导图构建2a n=a n-1+a n+1等差m2d。

课题：不等式的性质（2） 主备人： 审核：【学习目标】：1、理解不等式的性质及其证明；2、培养严谨的逻辑推理能力和习惯.【预习检测】：1、若a<b<0,则下列关系中不能成立的是（ ） A.11a b> B. 11a b a >- C.|a|>|b| D.a 4>b 4 2、已知a,b ，c,d 都是实数，且ab>0, c d a b->-,则（ ） A.bc<ad B.bc>ad C. a b c d > D. a b c d < 3、已知a<b<|a|,则下列不等式恒成立的是（ ）A.|b|<-aB.ab>0C.ab<0D.|a|<|b|4、下列命题中，正确命题的序号是____________(1)、若22a b c c <，则a>b (2)、若a<b<0,则11a b a>-（3）、若11122x x x +>+--，则x>1 (4)>a>b(5)、若>x>1 (6)、若a>b,则a 3>b 3【课内探究】问题1、已知a,b,c R ∈,下列说法中正确的个数是（ ）（1）若a>b>0,则11a b <；（2）、若c>a>b>0,则a b c a c b >--；（3）、若a>b, 11a b>,则a>0>b A.0 B.1 C.2 D.3【真题回放】【09全国】设a=lge,b=(lge)2,c=则（ ）A ．a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a【08全国】若1(,1)x e -∈,a=lnx, b=2lnx, c=(lnx)3,则（ ）A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a问题2：证明下列不等式：（1）、已知a<b<0,求证：b a a b <；（2）、已知a>b>0,>变式训练：ABC ∆为直角三角形，090C ∠=，其三边分别为a,b,c,求证：a b +≤问题3、甲、乙二人沿着同一条路同时从A 地出发走向B 地.甲用速度1212()v v v v ≠与各走路程的一半，乙用速度12v v 与各走全程所需时间的一半.试判断甲、乙两人谁先到达B 地，并证明你的结论.【当堂检测】1、ABC ∆的三边分别为a,b,c ，则下列结论成立的是（ ）A ．1b c a a +< B. < C. D. >2、令0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是（ ）A ．12B ．a C.2ab D. 22a b + 【课后拓展】1、已知a<b<0,c>0,在下列空格中填入适当的不等号或等号.(1)、ad>bd,则d____0; (2)、c a _____c b(3)（4）、22___ca cb （5）、(2)__(2)a c b c -- (6)、____||||b a a b --2、某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“若领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属全体票，按原价的8折优惠”.这两队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.。

不等式的性质〔2〕教案教学目的：1理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；3理解证明不等式的逻辑推理方法．4通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a＞b⇔b＜a和a＞b，b＞c⇒a＞c〞的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法那么2定理3的推论，即“a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d〞是同向不等式相加法那么的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：a>bab-⇔>aa=bb⇔=-aba<b-<⇔2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l 没有必要证明，那么问题：假设a>b ，那么a 1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a 、b 的大小〞与“a-b 与零的关系〞是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l ，定理2还可以表示为：c<b ，b<a ⇒c<a点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形．定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c证明：∵a>b ，∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c ，那么a>c-b ，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法那么)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d 点评：〔1〕这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；〔2〕两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解X 例：例a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法那么)分析：思路一：证明“a －c ＞b －d 〞，实际是根据条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法那么来确定差的符号，最后达到证题目的证法一：∵a ＞b ，c ＜d∵a －b ＞0，d －c ＞0∴〔a －c 〕－〔b －d 〕＝〔a －b 〕＋〔d －c 〕＞0(两个正数的和仍为正数)故a －c ＞b －d思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d又∵a ＞b∴a ＋〔－c 〕＞b ＋〔－d 〕∴a －c ＞b －d四、课堂练习： 1判断以下命题的真假，并说明理由：(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c a c 分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真 答案：(1)真因为推理符号定理3 (2)假由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c ＜0时，c a c 即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负 2回答以下问题：〔1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明；(2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明 答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜3⇒2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0８⇒2－1＞1－0８不等式作加法没定论(2)不能断定例如a ＞b ，c ＝1＞d ＝－1⇒a －2c ＝a －2，b ＋2＝b －2d ，其大小不定＝８＞1＝b 时a －2c ＝６＞b ＋2＝3而a ＝2＞1＝b 时a －2c ＝0＜b ＋2＝3 3求证：(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a －d ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c －2a ＜c －2b证明：(1).c b d a d b c b d c d c d b d a b a ->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<-⇒-<-⇒>->-⇒>(2)a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b 4已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c 证明：∵dc b a = ∴dd c b b a -=- ∴〔a －b 〕d ＝〔c －d 〕b 又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且db ＞1 ∴db dc b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c 评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法那么〔a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d 〕，并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法六、课后作业：1．如果R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件．解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 2．R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证：0111>++c b a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++1110<abc 且0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 3．||||,0b a ab >>比较a 1与b1的大小． 解：a 1-b 1ab a b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a >0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b1 4．如果0,>b a 求证：a b ab >⇔>1 证：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>a b 七、板书设计〔略〕八、课后记：。