湖南省2014年高中数学竞赛

2014年湖南高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.设22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，则 ( )A ．9,10M M ∈∈B ．9,10M M ∉∈C ．9,10M M ∈∉D ． 9,10M M ∉∉2. 设条件p ：实数,m n 满足24,03;m n mn <+<⎧⎨<<⎩条件q ：实数,m n 满足01,2 3.m n <<⎧⎨<<⎩则 ( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件又不是q 的必要条件3. 若{}n a 是等差数列，若120132014201320140,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A ．4025B ．4026C ．4027D ．40284. 给定平面向量(1,1)a =，平面向量131(22b -=是向量a 经过 ( ) A ．顺时针旋转60所得 B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得5. 在如图所示的三棱柱中，点A 、1BB 的中点M 及11B C 的中点N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )A ．2336B ．1336C ．1323D ．12236. 已知圆222:C x y r +=，两点*P P 、在以O 为起点的射线上，并且满足*2||||OP OP r ⋅=，则称*P P 、关于圆对称，那么双曲线221x y -=上的点(,)P x y 关于圆22:1C x y +=的对称点*P 所满足的方程是 ( )A ．2244x y x y -=+B ．22222()x y x y -=+C ．22442()x y x y -=+D ．222222()x y x y -=+二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）7.已知22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(20)(14)f f +=________________.8.已知0,sin cos ,24x x x ππ<<-=若1tan tan x x +可以表示成ca b π-的形式(,,a b c 为正整数)，则a b c ++=_______________.9.不等式32||24||30x x x --+<的解集是__________________.10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.11.随机摸选一个三位数I ，则I 含有因子5的概率为_______________.12.已知实数,x y 满足05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若不等式222()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是_____________.三、解答题（本大题共4小题，共72分）*13.（本小题满分16分）已知O 为ABC ∆的内部一点，BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，试研究ABC ∆的三边满足的关系，并证明你的结论.14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()100[cos()]f n A n k ωα=++来刻画，其中正整数n 表示月份且*n N ∈.例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0,(0,)2πωα>∈.统计发现，该地区每年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.15.（本小题满分20分）若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为函数()f x 的一个不动点.已知32()3f x x ax bx =+++（其中,a b 为常数）有互异的两个极值点1x 和2x .试判断是否存在实数组(,)a b ，使得1x 和2x 皆为不动点，并证明你的结论.16.（本小题满分20分）已知数列{}n x 满足21122,2,6n n n x x x x x ++=+==，数列{}n y 满足21122,3,9n n n y y y y y ++=+==，求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >.。

湖南省2014年高中数学竞赛
湘西自治州赛区学生获奖情况通报
湖南省2014年高中数学竞赛分为高二年级和高三年级两个组别于六月二十八日进行。

湘西自治州赛区的有关工作已经完成。

本次竞赛实行交叉巡考，集中评卷，各项工作认真、严格、有序。

全州评出高三年级一等奖32人，二等奖 50人，三等奖 80人；高二年级一等奖 52人，二等奖 74人，三等奖 132人。

现将学生获奖情况（见附件）通报如下，望获奖同学再接再厉。

湘西州教育科学研究院
2014年7月5日
附件：2014年湖南省高中数学竞赛湘西自治州赛区学生获奖情况通报
高三组
一等奖（32人）
二等奖（50人）
三等奖（80人）
高二组
一等奖（52人）
三等奖（132人)。

年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。

2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。

3、解题书写不要超出装订线。

4、不能使用计算器。

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。

）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。

2014年长沙市首届中学数学教师解题能力大赛 高中组个人获奖光荣榜姓名 学校 等第于杰延 长沙市第一中学 壹等李 操 麓山国际实验学校 壹等谢卫平 明德中学 壹等杨章远 湖南师大师大附中 壹等伍泰锦 湖南广益实验中学 壹等赵攀峰 长郡中学 壹等李永久 浏阳田家炳实验中学 壹等刘 军 明德中学 壹等莫跃武 雅礼中学 壹等张全意 长郡中学 壹等陈家烦 长郡中学 壹等宋德军 长沙市第二十六中学 壹等陶双喜 长沙县第一中学 壹等王清民 长沙市第一中学 壹等范宗良 湖南大学附中 壹等刘 杨 湖南广益实验中学 壹等陈亚凡 明德中学 壹等柳 叶 湖南师大附中 壹等朱修龙 湖南师大附中 壹等欧新华 南雅中学 贰等卓金良 长沙市第三十七中学 贰等汤志宏 长沙县第一中学 贰等刘志华 南雅中学 贰等王正飞 明德中学 贰等董文斌 长沙市第六中学 贰等伍 岭 南雅中学 贰等刘 瑶 长沙市第一中学 贰等吴志华 浏阳市第九中学 贰等罗清芳 周南中学 贰等邓晨亮 宁乡县第一中学 贰等黄知清 南雅中学 贰等王 毅 长郡中学 贰等黄 科 长沙市第一中学 贰等刘龙辉 望城六中 贰等殷 文 天心一中 贰等陈菊珍 浏阳三中 贰等田志坚 浏阳五中 贰等 刘 伟 湖南师大附中梅溪湖中学 贰等 王辉沅 浏阳六中 贰等 叶运平 浏阳一中 贰等 谭泽阳 长郡中学 贰等 华接春 长郡中学 贰等 唐智明 湖南师大附中梅溪湖中学 贰等 汪光俊 浏阳市第十一中学 贰等 杨振新 周南中学 贰等 钟升阳 长沙县第六中学 贰等 刘文通 浏阳市第六中学 贰等 谢 娇 宁乡县第一中学 贰等 郭义生 长沙市第六中学 贰等 卢 琼 宁乡县第一中学 贰等 刘 超 长沙铁路第一中学 贰等 李碧涛 周南中学 贰等 蔡章平 长沙铁路第一中学 贰等 李 鑫 长沙市第一中学 贰等 王京臣 湘府中学 贰等 杨耀平 长沙外国语学校 贰等 吴 杰 望城一中 贰等 刘 琼 麓山滨江实验学校 贰等 陈湘栋 宁乡四中 贰等 刘 杰 浏阳六中 贰等 陈一星 湖南广益实验中学 贰等 易长保 周南中学 贰等 冷志强 长沙县三中 贰等 刘东红 湖南师大附中 贰等 汤礼达 湖南师大附中 贰等 黄爱钦 浏阳六中 贰等 李益保 浏阳三中 贰等 张家红 浏阳九中 贰等 袁立新 长沙县第一中学 贰等 朱学军 宁乡县第一中学 贰等 谢大寨 长沙县第六中学 贰等 陈淼君 湖南师大附中 贰等 邓有英 宁乡县实验中学 贰等 黄文辉 雅礼中学 贰等 罗跃东 长沙市第十一中学 贰等 罗 雄 浏阳田家炳实验中学 贰等 彭小平 浏阳八中 贰等沈望喜 浏阳八中 贰等 李双翔 长沙外国语学校 贰等 潘映山 浏阳五中 贰等 胡 玲 长沙县第七中学 贰等 蒋建平 湘府中学 贰等 张 勇 周南中学 贰等 李 论 长沙市第十九中学 贰等 罗定汩 浏阳三中 贰等 李 飞 长沙县第一中学 贰等 袁怀庆 浏阳一中 贰等 周江红 浏阳田家炳实验中学 贰等 周佳华 天心一中 叁等 胡 蓉 宁乡县第一中学 叁等 王忠富 湖南广益实验中学 叁等 杨庆芬 湖南师大附中梅溪湖中学 叁等 黄 刚 湖南师大附中 叁等 廖娟利 长沙市第十一中学 叁等 李毓安 浏阳一中 叁等 彭水珍 湖南师大附中梅溪湖中学 叁等 宋旭辉 长郡中学 叁等 胡安明 艺术学校 叁等 周春华 金桥学校 叁等 吴中华 宁乡十三中 叁等 戴志勇 宁乡四中 叁等 段 峰 长沙市第七中学 叁等 阳 松 麓山滨江实验学校 叁等 严文鸳 望城一中 叁等 阳才福 宁乡四中 叁等 张 蓉 长沙市第十一中学 叁等 林曙光 长沙县第九中学 叁等 罗春才 长沙大学附中 叁等 张台坡 地质中学 叁等 王华海 浏阳一中 叁等 钟建国 长沙市第一中学 叁等 黎尚青 浏阳二中 叁等 欧家祥 浏阳五中 叁等 许 敏 稻田中学 叁等 罗秋红 长沙县实验中学 叁等 付建军 长沙县实验中学 叁等 程广宇 望城六中 叁等 彭志中 麓山滨江实验学校 叁等陶玉玲 稻田中学 叁等 唐 强 麓山滨江实验学校 叁等 段建红 长沙市第十五中学 叁等 颜新国 长沙市实验中学 叁等 杨海艳 宁乡县第一中学 叁等 张先祥 浏阳一中 叁等 邓永生 周南中学 叁等 林海峰 周南中学 叁等 马远征 宁乡县第一中学 叁等 邹辉煌 浏阳六中 叁等 郭应兰 金桥学校 叁等 龙 航 长沙县九中 叁等 曾召勇 长沙市实验中学 叁等 张海江 长沙市第三十七中学 叁等 邱 勇 浏阳三中 叁等 曾 敏 浏阳三中 叁等 沈申文 浏阳田家炳实验中学 叁等 张在强 浏阳九中 叁等 张 强 浏阳十一中 叁等 唐 枫 长沙市第六中学 叁等 罗 敏 长沙市第十五中学 叁等 李撩原 宁乡一中 叁等 唐伯良 长沙市第十九中学 叁等 姚 蹈 湖南师大附中星城实验中学 叁等 罗志恒 长铁一中 叁等 曾 平 望城一中 叁等 陈红水 天心一中 叁等 吴向军 长沙县第六中学 叁等 李 义 长沙大学附中 叁等 甘林蛟 湖南师大附中梅溪湖中学 叁等 疗海伟 宁乡县第一中学 叁等 旷有元 周南梅溪湖中学 叁等 曹海军 长沙县第六中学 叁等 陈和珍 浏阳二中 叁等 袁满发 浏阳四中 叁等 谭建锋 湖南师大附中梅溪湖中学 叁等 向彩金 长沙市实验中学 叁等 吴 浩 湖南师大附中星城实验中学 叁等 肖海错 雅礼中学 叁等 袁跃良 长沙县第三中学 叁等 钟 波 长沙市第六中学 叁等罗瑞坤 长沙大学附中 叁等黎忐忑 浏阳二中 叁等长沙市教育科学研究院长沙市数学学会长沙市教育学会中学数学专业委员会二零一四年 十二月。

2014年隆回县第二中学竞赛考试卷数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若22{228}{log 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()AB R ð的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．在四边形ABCD 中，120A =︒，90B =︒，3AD =，BC =7BD =，求CD =（ ）A ．3 B． C ．7 D． 3．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥4．函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．35．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） A1B1- C．1 D16．若锐角α满足2sin 3αα+= ，则2tan 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是 A．- B． C．7D．7-7．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ． 1C ．3D ．58．已知等差数列{}n a 中，27a =，4a 15= ，则前10项的和10S = （ ） A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 9. 若等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，则常数a 的值等于（ ） A ．13- B ．1- C ．13D ．3- 10.()f x =的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共102分）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．下列命题：①a c b c ⋅=⋅，则a b =；②若a 与b 是共线向量，c 与b 是共线向量，则a与c 也是共线向量；③若a b a b +=-，则0a b =；④若a 与b 是单位向量，则 1a b =12．在四面体O ABC -中，OA OB OC D ===，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用，，a b c 表示）．13．如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ， 将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121n P P P -，，，， 过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 121n Q Q Q -，，，，从而得到1n -个直角三角形11Q OP △，212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当n →∞时，这些三角形 的面积之和的极限为 ．yx1Q 2Q1n Q +21y x =+1P 2P2n P - 1n P - O第14题图14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，3c 成等比数列，则cos cos A B =15. 设a ，b ，c 满足1a =，3b =，32a b =-，,60a b b c --=︒，则c 的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且m =∙．求22cos sin2()cos sin ααβαα++-的值．16．（本小题满分14分）已知向量 )1,1(=m 和向量 和的夹角为43π，1-=∙。