高中数学必修五导学案-等差数列前n项和的性质

《等差数列前n 项和公式》导学案【学习材料】必修五第二章第三节（第42-45页）【学习目标】1.掌握等差数列前n 项和的两个公式及使用条件；2.掌握等差数列前n 项和公式的推导过程；3.能够结合梯形面积推导思想来识记等差数列前n 项和的两个公式；4.能够灵活选择等差数列前n 项和公式来求解等差数列的前n 项和问题；5.会运用等差数列的前n 项和公式与通项公式来求解基本量，即“知三求二”问题。

【学习重点】1.探索并掌握等差数列前n 项和公式的推导；2.能够灵活选择等差数列前n 项和公式来求解等差数列的前n 项和问题；3.学会将一些实际问题转化为等差数列求和问题. 【学习难点】1.运用倒叙相加法推导等差数列前n 项和公式；2.应用等差数列前n 项和公式及方程 思想解决“知三求二”问题3.从实际问题中形成等差数列前n 项和模型【预习导学】 1.数列前n 项和概念一般地，我们称 为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即n S = . 2.等差数列的前n 项和公式（1）如果等差数列{}n a 的通项为n a ，首项为1a ，项数为n ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .（2）如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .3.自主探究 （1）1239899100++++++= . （2）1239899+++++= .（3）1231n n ++++-+= . （4）13521n ++++-= .【我的问题】【学习过程】 （一）引入新课1.复习旧知（1）等差数列的定义或者 （2）等差数列通项公式（3）在等差数列{}n a 中, (),,,m n p q m n p q N *+=+∈，则 2.创设情境问题1：泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？问题2：高老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。

2.3.1 等差数列的前n项和导学案【学习目标】1．理解等差数列前n项和公式的推导方法．2．掌握等差数列前n项和公式.3．能利用等差数列前n项和公式解决实际问题．【自主预习】1．数列的前n项和(1)定义：对于数列{a n}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋a n为数列{a n}的．(2)表示：常用符号表示，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n. 2．等差数列的前n项和公式【互动探究】1. (1)设S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________；(2)已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．2.在等差数列{a n}中，(1)已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16；(2)已知a6＝20，求S11；(3)已知前4项之和是40，最后4项之和为80，所有项之和是210，求项数n．3.某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150 元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？【课堂练习】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4＝18－a 5，则S 8等于( ) A ．72 B ．54 C ．36 D ．18 答案：A2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案：B3．等差数列{a n }中，a 3＝－5，a 6＝1，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 8＝________． 答案：－164．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项公式为a n ＝________________________． 答案：2n5．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ．。

一、有关复习复习 1：等差数列 { a n } 中，a4＝－15，公差d＝3，求 S5.复习 2：等差数列 { a n中，已知a 3511，求n8} 1 ， a a和 S .二、新课导学◆ 典型例题例 1 已知等差数列5，42，34，....的前n项和为S n，求使得S n最大的序号n的值. 77变式：等差数列 { a n } 中，a4＝－15，公差d＝3，求数列{ a n}的前n项和 S n的最小值 .例 2 数列｛ a n｝是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负 .(1)求数列的公差 .(2)求前 n 项和 S n的最大值 .(3)当 S n＞0 时，求 n 的最大值 .变式：等差数列 {a n } 中， a10, s8s12，该数列的前多少项和最小？小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法 .（ 1）利用 a n : 当 a n >0，d<0，前 n 项和有最大值，可由 a n ≥0，且 a n 1 ≤0，求得 n 的值；当 a n <0， d>0，前 n 项和有最小值，可由 a n ≤0，且 a n 1 ≥0，求得 n 的值 （ 2）利用 S n ：由 S n d n 2 (a 1d)n ，利用二次函数配方法求得最大（小）值时 n22的值 .例 3.在等差数列｛ a n ｝中，已知第１项到第 10 项的和为 310，第 11 项到第 20 项的和为 910，求第 21 项到第 30 项的和。

结论：数列 {an } 是等差数列 前 n 项和是 S n , 那么,S m , S 2m S m , , Sk 1 mS km ,kN 仍成等差数列 ,公差为 m 2d ( m 为确立的正整数 ) ◆ 着手试一试练 1 数列 a n 是等差数列， a 1 50,d0.6 .（ 1）从第几项开始有 a n 0 ；（ 2）求此数列的前 n 项和的最大值 .练 2 在等差数列 {a n } 中，已知前 4 项和是 1，前 8 项和是 4，则 a 17+a 18+a 19+a 20 等于 ______.例 4 在项数为 2n+1 的等差数列中，全部奇数项和为 165，全部偶数项和为 150，求 n 的值 .小结：等差数列奇数项与偶数项的性质以下：1°若项数为偶数 2n，则S偶－S奇＝n d ；S奇＝a n (n 2)；S偶a n 12°若项数为奇数 2n＋1，则S奇－＝an 1； S偶＝；S偶na n 1； S奇( n 1)a n 1S偶＝n .S奇n 1例 5 已知两个等差数列｛ a n｝｛、b n｝，它们的前 n 项和分别是 S n、S n′，若Sn2n3,S n'3n1求a 9 . b9例 6 已知数列 { a n} 的前 n 项和S n12n n2，求数列{| a n|}的前n项和T n.三、学习小结1.数列通项 a n和前n项和 S n关系；2.等差数列前项和最大（小）值的两种求法 .3.等差数列奇数项与偶数项的性质◆ 当堂检测1.以下数列是等差数列的是（） .A. a n n2B. S n2n1C. S n2n21D.S n2n2n2.等差数列 { a n } 中，已知S1590 ，那么 a8（）.A. 3B. 4C. 6D. 125.在等差数列｛ a n｝中，已知 a14＋a15＋a17＋ a18＝ 82，则 S31＝ __________.6. 在等差数列中，公差 d＝1，S100145 ，2则 a1 a3 a5 (99)7.已知数列｛ a n｝的前 n 项和是 S n=32n－ n2,求数列｛｜ a n｜｝的前 n 项和 S n′ .。

§2.3 等差数列的前n 项和(1)复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？三、课前预习（自学教材4342-P ）探究：等差数列的前n 项和公式一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 由高斯算法，对于公差为d 的等差数列，我们用两种方式表示n S ①②由 ①+②).()()()()(211n a a a a S n n n n =++++++=个{}a 的前n 项的和的公式如果带人公式表示，即与公差也可以用首项d a S d n a a n n 11,)1(-+=自测（1）计算1+2+ (100)（2）计算1+2+…+ n = （用n 表示）.四、典型例题1.在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，求5S .2.在等差数列{}n a 中，31,41-=-=d a ，求10S .)()()()(21+++++=-a a a S n n n )()()()(121+++++=-n n a a a S3.在等差数列{}n a 中，的公式项和求前n S n S S ,1220,3102010==.4.等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .5.数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝10，前n 项和n S ＝22，求n 和3a .6.等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .7.等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .8.已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.9.在等差数列{}n a 中，10120S =，求110a a +=A. 12B. 24C. 36D. 4810. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．456611. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）A. 24B. 26C. 27D. 28。

2.3 等差数列的前n 项和（二）【教学目标】1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.会解等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3 等差数列的前n 项和（二）》课件“复习回顾”部分，通过四个问题对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理 等差数列前n 项和的性质阅读教材P 44例3～P 45，完成下列问题．1．S n 与a n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1.(n ≥2) 2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．三、合作探究问题1已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n?提示：a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.问题2我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？ 提示：由二次函数的性质可以得出：当a 1＜0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1＞0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．探究点1 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？提示：根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列． 变式探究例1中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式． 提示：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋12n ＋1)－[(n －1)2＋12(n －1)＋1]＝2n －12. ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式． ∴a n＝⎩⎨⎧ 52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.探究点2 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值． 提示：方法一 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57， 所以S n ＝5n ＋n (n －1)2(－57)＝－514(n －152)2＋112556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值． 方法二 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57 ＝－57n ＋407. 令a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8， 且a 8＝0，a 9<0.故前n 项和是从第9项开始减小，又S 7＝S 8，所以前7项或前8项和最大．探究点3 求等差数列前n 项的绝对值之和例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 提示：∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2； 当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *. 四、当堂检测1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a n 等于( )A ．4n －2B ．n 2C ．2n ＋1D ．2n2．已知数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n .提示：1．D 2.B 3.5或64．解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5.当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，又S n ＝3＋2n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.又当n ＝1时，a 1＝5≠21－1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *. 五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1.因为a n ＝S n －S n －1只有n ≥2时才有意义.所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.2.求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观. (2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n取得最小值.3.求等差数列{a n}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{a n}的正负项的分界点.。

2.3 等差数列前n 项和(1)【学习目标】1.探索等差数列的前n 项和公式的推导方法；2.能应用等差数列的前n 项和公式解决等差数列的问题. 【重点难点】1．重点:等差数列的前n 项和公式的推导过程和思想.2．难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题 【学习过程】 一、自主学习：任务1: 等差数列的通项公式 和其变形公式 . 任务2: 等差数列重要推广公式 二、合作探究归纳展示探究1：等差数列的前n 项和公式 问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =? 新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 反思：① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和? ② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和? 试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵114.50.715a d n ===，，. 小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件：三、讨论交流点拨提升例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：①从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解.例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.． 四、学能展示课堂闯关 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k kk N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（..）. A ．5880..B ．5684..C ．4877..D ．45663.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = 五、学后反思1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.【课后作业】1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？。

2. 3 .2等差数列的前n 项和（二）学案编号：GYBX5T2-3-2[学习目标]1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 [自主学习]1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1， n ≥2.2．等差数列前n 项和公式 S n ＝ ＝ .3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 探究点一 数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系问题 我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和S n ，能否求出它的通项公式a n?探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n 项 和S n 取到最值时序号n 的规律. 序号 等差数列 基本量 前n 项和S nS n 的最值 11,3,5,7,9，…，a 1＝ ，d ＝ .S n ＝(S n )min ＝1，此时n ＝ . 2－5,－3，－1,1,3，…， a 1＝ ，d ＝ . S n ＝(S n )min ＝ ，此时n ＝ 34,2,0,－2，－4，…，a 1＝ ，d ＝ .S n ＝(S n )max ＝ ，此时n ＝4 －1,－2，－3,－4，－5，…，a 1＝ ， d ＝ .S n ＝ (S n )max ＝ ，此时n ＝通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最值．(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最值；特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{S n}的最值;若a1＜0，d＜0，则S1是{S n}的最值．【典型例题】例1已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2－3n，求通项公式a n.跟踪训练1已知数列{a n}的前n项和S n＝3n，求a n.例2在等差数列{a n}中，a n＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和S n的最小值．跟踪训练2在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值例3若等差数列{a n}的首项a1＝13，d＝－4，记T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.跟踪训练3已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n 项和T n .[达标检测]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －12．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．13．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________.4．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．2.3.2 等差数列的前n 项和(二) 练习题一、基础过关1．若数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－1，则a4等于( )A ．7B ．8C ．9D ．17 2．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n3，则a5＋a6的值为( )A ．91B ．152C ．218D ．279 3．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12 4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( )A.310B.13C.18D.195．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n(n ∈N*)，则通项an ＝________.6．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn 取得最大值时，n 的值为________．7．已知数列{an}的前n 项和公式为Sn ＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an ； (2)求Sn 的最小值及对应的n 值．8．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n 项和Sn 及使得Sn 最大的序号n 的值．二、能力提升9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为()A．9 B．8 C．7 D．610．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是() A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn ＞0成立的最大自然数n是________．12．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.三、探究与拓展13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．。

2.3 等差数列的前n 项和（一）【学习目标】1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．【学习过程】一、自主学习教材整理 等差数列的前n 项和阅读教材P 42～P 44例2，完成下列问题．1．数列的前n 项和的概念一般地，称 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝2．等差数列的前n 项和公式问题1 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？问题2等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？问题3我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n (n －1)2d 吗？问题4如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？探究点1 等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？探究点2 等差数列前n 项和的性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．三、当堂检测1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．482．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.4．已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求d .四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。

高一数学必修5导学案13 编制：涂汉军审核：杨小玉高一—班第_ 组姓名等差数列的前n项和学习目标(1)探索等差数列的前n项和公式的推导方法；(2)掌握等差数列的前n项和公式；(3)能运用公式解决一些简单问题。

【课前导学】1、复习等差数列概念、通项公式a n= )2、等差数列｛a n｝中，若m • n = p q ( m, n, p,q 为常数)则有：_____________________________一般地，ai ■ Oi = _________ = _____________ ……3、阅读课本P42-43页思考完成下面问题(1 )、高斯的算法体现等差数列什么性质？他抓住了问题的什么特征?(2 )、如果换成1+2+3+…+n=?结果如何?(3 )、探究：已知等差数列｛a n｝中，首项为31;公差为d,第n项为a n，如何计算前n项和S n?S n p (c d)⑻2d) ...-⑻(n -1)d],①又S n=_____________________________________ ._________________ ②(上式倒序相加的和) b5E2RGbCAP 由① +②，得2& = (Q•a n) + ( a“ •a n) + ( @ a n) +...+ ( @ a n) = ____________________ •、Ln个新知：等差数列前n项和公式：公式一：__________________________________ ；公式二：________________________________________ 【知识应用】1.已知等差数列｛a n｝中，(1) a^75, a7 =105,则S = _______________ ；(2 ) a^ -10 , d = 4 , S n = 54 ,则n = _________ ；( 3 ) S5 = 25 , 0。