2019-2020学年江苏省沭阳县高二下学期期中调研测试数学试题有答案

2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1234,,,,3579⋯的通项公式n a 是()A ．21n n -B ．23n n -C ．21n n +D ．23n n +2．已知数据1x ，2x ，⋯，10x 的均值为2，那么数据123x +，223x +，⋯，1023x +的均值为()A ．2B ．5C ．7D ．43．已知0a <，0b >，那么下列不等式中一定成立的是()A ．0b a -<B ．||||a b >C ．2a ab<D ．11a b<4．某市的A ，B ，C 三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4．如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C 应抽取的学生数为()A ．60B ．70C ．80D ．305．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S a =+，则2a 的值为()A ．4-B ．2-C ．6-D ．8-6．已知各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，则公比(q =)A ．4B ．3C ．2D7．不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b -的值为()A ．14B ．14-C ．10D ．10-8．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①2n a 是等比数列；②1n n a a +是等比数列；③1{}na 是等比数列；④||n lg a 是等比数列．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．49．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =-，则2019(a =)A ．12-B ．23C ．3D ．201910．若3()1f x x =+，2()g x x x =+，则1x >-时，()f x 与()g x 的大小关系为()A ．()()f x g xB ．()()f x g xC ．()()f xg x <D ．随x 值变化而变化11．放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录是容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5个小时，则物质B 的半衰期为()A ．10小时B ．8小时C ．12小时D ．15小时12．正数a ，b 满足21a b +=，且22142a b t --- 恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(-∞，22B ．2[2，)+∞C ．2[2，22D ．1[2，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60]的汽车大约有辆．14．已知数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则数列{}n a 的通项公式为n a =．15．已知函数22,(1)()69,(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩，则不等式()f x f >（1）解集是．16．设正实数a ，b 满足11b a b+=，则2a b +的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．17．甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷点数相同的概率；（2）求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知324a =，110S =．（1）求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．19．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y （单位：万元）与日产量x （单位：吨）之间的函数关系式为22(154)1202y x k x k =+-++，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k 万元，除尘后当日产量1x =时，总成本253y =．（1）求k 的值；（2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？20．（文科做）数列{}n a 中，31a =，1(1n n S a n +==，2，3)⋯．()I 求1a ，2a ；()II 求数列{}n a 的前n 项和n S ；()III 设2log n n b S =，存在数列{}n ð使得341n n n b b ++= ð，试求数列{}n ð的前n 项和．21．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌x 与身高y 进行测量，得到数据（单位：)cm 作为样本如表所示：脚掌长()x 20212223242526272829身高()y 141146154160169176181188197203（Ⅰ）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（Ⅱ）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（Ⅲ）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人进行进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：1011021()(ii i ii xx y y b xx ∧==--=-∑∑，101()577.5i i i x x y y =--=∑，1021()82.5i i x x =-=∑，24.5x =，171.5)y =22．已知函数2()2()f x x x a a R =-+∈的值域为[0，)+∞，记函数()()f x g x x=．（1）求实数a 的值；（2）存在[1x ∈-，1]使得不等式1(2)2x x g m + 成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程(|()1|)|()1|kg f x k f x -=--有5个不等的实数根，求实数k 的取值范围．2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1234,,,,3579⋯的通项公式n a 是()A ．21n n -B ．23n n -C ．21n n +D ．23n n +【解答】解：依题意，数列{}an 的前几项为：1113211a ==⨯+；2225221a ==⨯+；3337231a ==⨯+；⋯⋯则其通项公式21n na n =+．故选：C ．2．已知数据1x ，2x ，⋯，10x 的均值为2，那么数据123x +，223x +，⋯，1023x +的均值为()A ．2B ．5C ．7D ．4【解答】解：由数据1x ，2x ，⋯，10x 的均值为2x =，则数据123x +，223x +，⋯，1023x +的均值为232237X x =+=⨯+=．故选：C ．3．已知0a <，0b >，那么下列不等式中一定成立的是()A ．0b a -<B ．||||a b >C ．2a ab<D ．11a b<【解答】解：若0a <，0b >，则0a ->，则0b a ->，故A 错误，||||a b >不一定成立，2a ab >，则C 不成立，10a <，10b >，则11a b<，成立，故D 正确，故选：D ．4．某市的A ，B ，C 三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4．如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C 应抽取的学生数为()A ．60B ．70C ．80D ．30【解答】解：学校C 中的学生占的比例为423345=++，故学校C 应抽取的人数为2200805⨯=，故选：C ．5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S a =+，则2a 的值为()A ．4-B ．2-C ．6-D ．8-【解答】解：依题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1n =时，1112(1)a S a ==+，解得12a =-，当2n =时，22122(2)S a a a =+=+，解得24a =-，故选：A ．6．已知各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，则公比(q =)A ．4B ．3C ．2D【解答】解： 各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，∴13511164a q a q a q =⎧⎨=⎩ ，且0q >，解得112a =，2q =，∴公比2q =．故选：C ．7．不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b -的值为()A ．14B ．14-C ．10D ．10-【解答】解：不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，可得12-，13是一元二次方程220ax bx ++=的两个实数根，∴1123b a -+=-，11223a-⨯=，解得12a =-，2b =-，12(2)10a b ∴-=---=-，故选：D ．8．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①2n a 是等比数列；②1n n a a +是等比数列；③1{}na 是等比数列；④||n lg a 是等比数列．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：{}n a 是等比数列可得()1nn a q q a -=为定值①222211nn n n a a q a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭为常数，故①正确②21111n n n n n n a a a q a a a ++--==，故②正确③11111n n n n a a a q a --==为常数，故③正确④1n n lg a lg a -不一定为常数，故④错误故选：C ．9．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =-，则2019(a =)A ．12-B ．23C ．3D ．2019【解答】解：依题意，112a =-，则212131()2a ==--；313213a ==-；411132a ==--；所以数列{}n a 以3为周期的数列，所以3112k a +=-，3223k a +=，33k a =，所以201936733a a ⨯==．故选：C ．10．若3()1f x x =+，2()g x x x =+，则1x >-时，()f x 与()g x 的大小关系为()A ．()()f x g xB ．()()f x g xC ．()()f xg x <D ．随x 值变化而变化【解答】解：3222()()1(1)(1)(1)(1)f x g x x x x x x x x -=+--=--=-+，1x >- ，10x ∴+>，且2(1)0x - ，2(1)(1)0x x ∴-+ ，()()f x g x ∴ ．故选：A ．11．放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录是容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5个小时，则物质B 的半衰期为()A ．10小时B ．8小时C ．12小时D ．15小时【解答】解：120167.5=．设1B m =．则2A m =．设物质B 的半衰期为t ．由题意可得：12016112()()22t ⨯=，解得8t =．故选：B ．12．正数a ，b 满足21a b +=，且22142a b t --- 恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(-∞，22B ．2[2，)+∞C ．2[2，22D ．1[2，)+∞【解答】解：0a > ，0b >，21a b +=，22414a b ab ∴+=-，22142a b t ∴---恒成立，转化为142t ab +- 恒成立，令(f a ，21113)44(2844b ab ab =+-=+-=+-，又由0a >，0b >，21a b +=得：12a b =+ 18ab ∴ （当且仅当14a =，12b =时取“=”)；(f a ∴，213))44max b =+-=．22t ．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60]的汽车大约有60辆．【解答】解：由已知可得样本容量为200，又 数据落在区间的频率为0.03100.3⨯=∴时速在[50，60]的汽车大约有2000.360⨯=故答案为6014．已知数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则数列{}n a 的通项公式为n a =n ．【解答】解：数列{}n a 满足1111,n n n a a a n++==，则当2n 时，11n n a na n -=-，2121a a ⋯=，所有的式子相乘得1na n a =，整理得n a n =（首项符合通项）．故n a n =．故答案为：n15．已知函数22,(1)()69,(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩ ，则不等式()f x f >（1）解集是{|1x x <或2}x >．【解答】解： 22,(1)()69,(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩ ，f ∴（1）4=．由124x x >⎧⎨>⎩解得2x >．由21694x x x ⎧⎨-+>⎩ 解得1x <．故不等式()f x f >（1）的解集是{|1x x <或2}x >，故答案为：{|1x x <或2}x >16．设正实数a ，b 满足11b a b+=，则2a b +的最小值为5+【解答】解：设2(0)t a b t =+>，所以2b t a =-，带入11b a b+=，得2112t a a t a-+=-，化简得226(15)0a t a t +-+=，方程有根，△22(15)240t t =-- ，化简21010t t -+，解得5t +5t -由11b a b += 4a ，所以24a b t +=>所以5t +故答案为：5+三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．17．甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷点数相同的概率；（2）求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率．【解答】解：（1）甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子，基本事件：共有36个，用(,)a b 来表示两枚骰子向上的点数记“他们抛掷点数相同”为事件A ，则A 包含基本事件：(1,1)；(2,2)；(3,3)；(4,4)；(5,5)；(6,6)，共6种，故1()6P A =．（2）记“他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数”为事件B ，则B 包含基本事件有：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(4,5)，(5,4)，(3,6)，(6,3)，(6,6)共12种．故1()3P B =．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知324a =，110S =．（1）求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解答】解（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由324a =，110S =，得1122411101102a d a d ⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1408a d =⎧⎨=-⎩，∴488n a n =-；（2）由140a =，8d =-，得2(1)40(8)4442n n n S n n n -=+⨯-=-+．19．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y （单位：万元）与日产量x （单位：吨）之间的函数关系式为22(154)1202y x k x k =+-++，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k 万元，除尘后当日产量1x =时，总成本253y =．（1）求k 的值；（2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【解答】解：（1）由题意，除尘后222(154)12022(153)1202y x k x k kx x k x k =+-+++=+-++， 当日产量1x =时，总成本253y =，故21531202253k k +-++=，解得2k =．（2）由（1）229242y x x =++，总利润225929242502242L x x x x x =---=--，(0)x >，每吨产品的利润121502()506L x x x ==-+-= ，当且仅当121x x=，即11x =时取等号，∴除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元．20．（文科做）数列{}n a 中，31a =，1(1n n S a n +==，2，3)⋯．()I 求1a ，2a ；()II 求数列{}n a 的前n 项和n S ；()III 设2log n n b S =，存在数列{}n ð使得341n n n b b ++= ð，试求数列{}n ð的前n 项和．【解答】解：12()I a a = ，123a a a +=，1321a a ∴==，∴1211,22a a ==．2⋯分11()n n n n II S a S S ++==- ，∴112,2n n n nS S S S ++==，6⋯分∴{}1112n S S a ==是首项为，公比为2的等比数列．∴121222n n n S --== ．*()n N ∈．9⋯分2()log n n III b S = ，22n n S -=，2n b n ∴=-，31n b n +=+，42n b n +=+，∴111(1)(2)1,(1)(2)12n n c n n c n n n n ++===-++++ ．11⋯分∴1211111111(()()2334122224n nc c c n n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=-=++++．14⋯分21．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌x 与身高y 进行测量，得到数据（单位：)cm 作为样本如表所示：脚掌长()x 20212223242526272829身高()y 141146154160169176181188197203（Ⅰ）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（Ⅱ）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（Ⅲ）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人进行进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．（参考数据：1011021()(ii i ii xx y y b xx ∧==--=-∑∑，101()577.5i i i x x y y =--=∑，1021()82.5i i x x =-=∑，24.5x =，171.5)y =【解答】解：()I 由题意知，1011021()()577.5782.5()ii i ii xx y y b xx ∧==--===-∑∑，171.5724.50a y b x ∧∧=-=-⨯=，2⋯⋯⋯⋯'y ∴关于x 的线性回归方程为7y x ∧=；4⋯⋯⋯⋯'（Ⅱ）当26.5x =时，726.5185.5y ∧=⨯=，即脚长为26.5cm 的人，身高约为185.5cm ；7⋯⋯⋯⋯'（Ⅲ）记身高在180cm 以上的4人为A ，B ，C ，D ，其中C ，D 为身高190cm ，从这4人中随机抽取2人的情形有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，其中有C 或D 的有5种，∴所求概率为56P =．12⋯⋯⋯⋯'22．已知函数2()2()f x x x a a R =-+∈的值域为[0，)+∞，记函数()()f x g x x=．（1）求实数a 的值；（2）存在[1x ∈-，1]使得不等式1(2)2x x g m + 成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程(|()1|)|()1|kg f x k f x -=--有5个不等的实数根，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）因为22()2(1)1f x x x a x a =-+=--+，即有1x =时，f （1）0=，即10a -=，解得1a =．（2）由已知可得()1()2f x g x x x x==+-，由1(2)2x x g m + 可转化为，存在[1x ∈-，1]，2111[1()2222x x m +- 成立，令11[22x t =∈，2]，则问题转化为存在1[2t ∈，2]不等式21(1)2m t - 成立，记21()(1)2h t t =-，则()min h t h =（1）0=，0m ∴ ．（3）当0x =，2时，()10f x -=，所以0x =，2不是方程的根；当0x ≠，2时，令2|()1||2|t f x x x =-=-，则当(,0)x ∈-∞时，22t x x =-单调递减，且(0,)t ∈+∞，当(0x ∈，1]，22t x x =-单调递增，且(0t ∈，1]，当(1,2)x ∈时，22t x x =-单调递减，且(0,1)t ∈，当(2,)x ∈+∞时，22t x x =-单调递增，且(0,)t ∈+∞，故原方程有5个不等实根可转化为2(2)(1)0t k t k -+++=即为(1)[((1)]0t t k --+=，所以1t =或1t k =+，当1t =，方程有3个不等根，故要使得原方程有5个不等实根，只要11t k =+>，即0k >，所以k 的取值范围是0k >．。

2019-2020年高二年级第二学期期中考试数学（文）试卷 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2、设集合{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I AC B 等于（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 3、下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是（ ） A.1+=x y B.2)1(-=x y C.x y -=2 D.)1(log 5.0+x4、已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则( )A.4-B.3-C.-2D.-15、设n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α//m ,α//n ,则n m // B ．若α//m ,β//m ,则βα// C ．若n m //,α⊥m ,则α⊥nD ．若α//m ,βα⊥,则β⊥m6、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 ( ). A ．3 B ．4 C ．6 D ．87、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A.1a b +＞B.1a b -＞C.22a b ＞D.33a b ＞8、已知曲()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A.9B.6C.-9D.-6 9、在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为（ ） A.41 B.43 C.94 D.169 10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0,1p q ==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2③若1,2p q ==，则“距离坐标”为()1,2的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11. 如图2，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD ）的面积为12．若实数,x y 满足2221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则22(1)x y -+的最小值为 ．13．已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在不同的两项m a 和n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值是__________. （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .15．（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O 的半径是__________.PB =三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分），q ）已知函数()cos2cos f x x x x =-⋅． (1)求()f x 最小正周期及最值； (2)若2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且()2f α=，求()3f πα+的值.17.（本小题满分12分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（1）写出M 、N 、p 、q （直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（2）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数； （3）现从第（Ⅱ）问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.18．（本题满分14分）如图，圆O 为三棱锥P-ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点． （1）求证 BC ⊥PB ；（2）设PA ⊥AC ，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P －MBC 的体积；（3）在∆ABC 内是否存在点N ，使得MN ∥平面PBC ？请证明你的结论.欢迎访问“高中试卷网”—— 19、（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a满足214n n n a a a +++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．（1）证明：数列是等差数列；（2）设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．20． (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=.（1）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数xax f x h ++=1)()(，求函数()h x 的单调区间； （3）若xax g +-=1)(，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，求a 的取值范围.C2014-2015学年高二年级第二学期期中考试文科数学参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11.【答案】2 12.【答案】1/5 13.【答案】3/214.【答案】1 15.【答案】216．（本小题满分12分）解：（1）1()cos2cos=2sin2cos2=2sin226f x x x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…3分所以2=2Tππ=．………………………………………………………………4分()max2f x=⎡⎤⎣⎦;()min2f x=-⎡⎤⎣⎦………………………………………………6分（2）由（1）得，()2sin2=26fπαα⎛⎫=--⎪⎝⎭，得：sin2=16πα⎛⎫--⎪⎝⎭，即32=2,62k k Zππαπ-+∈．得：5=,6k k Zπαπ+∈…8分又因为2παπ<<，所以5=6πα.……………………………………………10分577()()=()=2sin 2363666f f f ππππππα⎛⎫+=+-⋅- ⎪⎝⎭=132sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭=2sin6π-=12=12-⋅-……………………………………………………………………12分 17.【解析】（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，=0.04， …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为604.0150=⨯（人）……7分 （Ⅲ）记获一等奖的6人为E D C B A A ,,,,,21，其中21,A A 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：()21,A A ，()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，()C B ,，()D B ,， ()E B ,， ()D C ,， ()E C ,， ()E D ,， ………9分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，0.000.010.020.030.040.010.020.020.030.00所以恰有1名女生接受采访的概率158=P ………12分 18、（Ⅰ）证明：如图，因为，AC 是圆O 的直径，所以BC ⊥AB......1分因为，BC ⊥PA ，又PA 、AB ⊂平面PAB ，且PA AB=A....2分所以，BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB....3分 所以，BC ⊥PB....4分（Ⅱ）如图，在Rt ∆ABC 中，AC=2，AB=1所以，ABC S ∆=....6分 因为，PA ⊥BC ，PA ⊥AC ，所以PA ⊥平面ABC所以，112133P MBC P ABC M ABC V V V ---=-=-= (9)（Ⅲ）如图，取AB 得中点D ，连接OD 、MD 、OM ，则N 为线段OD （除端点O 、D 外）上任意一点即可，理由如下： ········································································· ··············· 10分 因为，M 、O 、D 分别是PA 、AC 、AB 的中点 所以，MD ∥PB,MO ∥PC因为，MD ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC 所以，MD ∥平面PBC ······················································································· ············· 12分 同理可得，MO ∥平面PBC因为，MD 、MO ⊂平面MDO ，MD MO=M 所以，平面MDO ∥平面PBC ············································································ ············· 13分 因为，MN ⊂平面MDO 故，MN ∥平面PBC ． ······················································································· ············· 14分 19.（Ⅰ）2124n n n a a a +++=且0n a >22∴= = …………3分 ∴1=的等差数列 ………… 5分21(1)1,n n n a n =+-⨯== …………8分()()2222211111n n b n n n n +∴==-++ ……………………10分 2221111223n S ∴=-+-+…()22111n n +-+ ……………………12分 ()21111n =-<+ ……………………14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分C∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．-------14分20.解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分xx f 21)('-=∴，121)1('-=-==∴f k ， ……3分 ∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=. ……4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=-+，定义域为),0(+∞， 2222')]1()[1()1(11)(xa x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--= ……5分 ①当01>+a ，即1->a 时，令0)('>x h ，a x x +>∴>1,0令0)('<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分 ②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ， 即函数1()ln ah x x a x x+=-+在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，01)()]([min≤-++==∴a e ae e h x h ，112-+≥∴e e a ，1112->-+e e e ，112-+≥∴e e a ； ……10分②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分③当e a <+<11，即10-<<e a 时，0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……13分综上可得所求a 的范围是：112-+≥e e a 或2-≤a ． ………………14分。

江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数1iz i-=（其中i 是虚数单位）的虚部是（ ）. A. 1 B. iC. 1-D. i -【答案】C 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 【详解】解：()111i i i z i i i i---===---⋅，故复数z 的虚部为1-， 故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 2.下列求导数运算正确的是（ ） A. ()cos sin x x '=B. ()33ln 3x x '=C. ()ln ln -1x x x '=D.sin cos 33x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于(cos )sin x x '=-，故选项A 不正确； 由于()3=3ln 3x x '，故选项B 正确；由于(ln )ln 1x x x '=+，故选项C 不正确； 由于1sin cos 333x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选项D 不正确. 故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3.棣莫弗公式(cos sin )cos sin nx i x nx i nx +=+（i 是虚数单位），是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据公式(cos sin )cos sin nx i x nx i nx +=+化简6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,进而得出象限即可.【详解】由题, 666cos sin cos sin7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭,因为66cos 0,sin 077ππ<>. 故复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断,属于基础题. 4.函数5()ln f x x x=+的单调减区间为（ ）. A. (,5)-∞ B. (0,5)C. (5,)+∞D. (0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可． 【详解】解：因为5()ln f x x x=+，所以函数的定义域为()0,∞+， 所22515()x f x x x x-'=-+=， 令()0f x '<，解得05x << 故函数的单调递减区间为()0,5 故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题． 5.函数1()21f x x x=+-在区间(,0)-∞上（ ）. A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值【答案】A 【解析】 【分析】结合基本不等式即可求解． 【详解】解：因为函数1()21f x x x=+-，0x <； 11()21[(2)]12(2)11f x x x x x x∴=+-=--+----=---；当且仅当12x x -=-即2x =-时等号成立； ∴函数1()21f x x x=+-在区间(,0)-∞上有最大值：1--，无最小值． 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题． 6.设()()0ln ,2f x x x f x '==，则0x = （ ） A. 2e B. eC.ln 22D. ln 2【答案】B【分析】 求得导函数()'fx ，由此解方程()02f x '=求得0x的值.【详解】依题意()'1ln f x x =+，所以()0001ln 2,f x x x e '=+==.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.7.已知函数()()2f x x x c =-在1x =处有极大值，则常数c 的值为（ ）. A. 1或3 B. 3 C. 1 D. -1【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在1x =处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的c 值舍去． 【详解】解：函数2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，它的导数为22()34f x x cx c '=-+，由题意知，在1x =处的导数值为2340c c -+=，3c ∴=，或1c =，又函数2()()f x x x c =-在1x =处有极大值，故导数值在1x =处左侧为正数，右侧为负数． 当3c =时，2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--，满足导数值在1x =处左侧为正数，右侧为负数．当1c =时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--，导数值在1x =处左侧为负数，右侧为正数． 故3c =． 故选：B ．【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数，属于中档题．8.已知函数()ln 1xf x ae x =--，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ）.A. 1[,)e+∞B. [1,)+∞C. [2,)+∞D. [),e +∞【答案】A【分析】 依题意可得ln 1x x a e +≥在()0,x ∈+∞上恒成立，构造函数()ln 1xx g x e+=，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为()ln 1xf x ae x =--，定义域为()0,∞+，因为()0f x ≥恒成立，即ln 1xx a e +≥在()0,x ∈+∞上恒成立， 令()ln 1x x g x e+=，则()1ln 1xx x g x e --'=， 令()1ln 1h x x x =--，则()2110h x x x '=--<恒成立，即()1ln 1h x x x=--在定义域上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时()0h x >，当()1,x ∈+∞时()0h x <，即当()0,1x ∈时()0g x '>，当()1,x ∈+∞时()0g x '<，即()ln 1xx g x e +=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故()ln 1xx g x e+=在1x =处取得极大值，即最大值， ()()max 11g x g e ∴==，所以1a e ≥，即1,a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9.对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A. 若0a =，则a bi +为纯虚数 B. 若32a bi i -=+，则3,2a b == C. 若0b =，则a bi +为实数 D. 纯虚数z 的共轭复数是z -【答案】AB 【解析】 【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ； 故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 10.直线12y x b =+能作为下列（ ）函数的图像的切线. A. 1()f x x=B. 4()f x x = C. ()cos f x x = D. ()ln f x x =【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线12y x b =+能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．【详解】解：函数12y x b =+，可得211()2f x x '=-=不成立；所以A 不正确；4()f x x =，31()42f x x '==可以成立；所以B 正确；()cos f x x =，1()sin 2f x x '=-=，可以成立；所以C 正确；()ln f x x =，11()2f x x ==可成立．所以D 正确；故直线12y x b =+能作为BCD 函数图象的切线， 故选：BCD ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题．11.如图是()y f x =的导函数()f x '的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）.A. ()f x 在[2,1]-上是增函数；B. 当4x =时，()f x 取得极小值；C. ()f x 在[1,2]-上是增函数、在[2,4]上是减函数； D. 当1x =时，()f x 取得极大值. 【答案】BC 【解析】 【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值． 【详解】解：由图象可以看出，在[2-，1]-上导数小于零，故A 不对；1x =-左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以1x =-是()f x 的极小值点,故B 对；在[1-，2]上导数大于零，在[]2,4上导数小于零，故C 对；1x =左右两侧导数的符号都为正，所以1x =不是极值点，D 不对． 故选：BC ．【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题．12.若函数()ln f x x ⋅在定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数为（ ）.A. 1()f x e=B. ()1f x xC. 1()x f x e=D.()x f x e =【答案】AD 【解析】【分析】根据已知中函数()f x 具有M 性质的定义，一一验证可得． 【详解】解：对于A ，()1()ln ln g x f x x x e =⋅=⋅定义域为()0,∞+，则()10g x ex'=>恒成立，故满足条件；对于B ，()()()ln 1ln g x f x x x x =⋅=-⋅定义域为()0,∞+，则()1ln 1g x x x'=-+，又2111ln 10x x x x '⎛⎫-+=+> ⎪⎝⎭，()11ln1101g '=-+=，即当01x <<时()0g x '<，函数()g x 在()0,1上单调递减，当1x >时()0g x '>，函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故不满足条件；对于C ，()1()ln ln x g x f x x x e=⋅=⋅定义域为()0,∞+，()1ln xxx g x e -'=，又2111ln 0x x x x '⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()g x '在定义域上单调递减，且()110ee g e e -'=<，故不满足函数()g x 在定义域上单调递增，故错误；对于D ，()()ln ln xg x f x x e x =⋅=⋅定义域为()0,∞+，()11ln ln x x x g x e x e e x x x ⎛⎫'=⋅+=+ ⎪⎝⎭，令()1ln h x x x =+，()22111x h x x x x -'=-=，则1x >时，()0h x '>；当01x <<时()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值即最小值()()min 110h x h ==>，所以()1ln 0x g x e x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭恒成立，即()g x 在定义域上单调递增，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.计算(23)(23)i i -+=____. 【答案】13 【解析】 【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：()22(23)(23)2313i i i -+=-=. 故答案为：13.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.14.已知函数()tan f x x =，那么4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为______.【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，将4x π=代入导函数的解析式，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，sin ()tan cos x f x x x ==，则22(sin )cos sin (cos )1()x x x x f x cos x cos x'-''==， 则21()244f cosππ'==. 故答案为：2.【点睛】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题． 15.函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围； 【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g === 所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.16.已知函数3334,()32,x x a x af x x x a x a⎧+-≥=⎨-+<⎩，若存在00x >，使得0()0f x =，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(0,1] 【解析】 【分析】分别求得x a <，x a 时()f x 的导数，求得单调性、极值，讨论0a =，01a <≤，1a >，0a <，结合函数()f x 存在正的零点，可得a 的范围．【详解】解：由3()34f x x x a =+-的导数为2()330f x x '=+>， 可得x a ≥为增函数，可得3()f x a a ≥-，且x a <时，3()32f x x x a =-+的导数为2()33f x x '=-，即有11x -<<时，()f x 单调递减；1x >或1x <-时，()f x 单调递增， 可得1x =为极小值22a -+，1x =-处取得极大值22a +，0a =时，0x ≥时，()0f x >；0x <时，()f x 在(1,0)-递减，(,1)-∞-递增，无正的零点；01a <≤时，x a ≥时，()()f x f a ≥，()()3210f a a a a a =-=-≤，故函数()f x 存在正的零点，满足条件；当1a >时，x a ≥时，()f x 递增，()()32()0f x f a a a a a ≥=-=->；当x a <时，()f x 在()1,1-上单调递减，在()1,a 上单调递增，则1x =时函数取得极小值即最小值，()()122210f a a =-=->，故不存在00x >，使得0()0f x =；当0a <时，()f x 在()0,∞+上单调递增，且()040f a =->，故不存在00x >，使得0()0f x =；综上可得01a <≤时，存在00x >，使得0()0f x =；故答案为：(]0,1．【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.已知m R ∈，复数()()229z m m i =-+-. （1）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围；（2）若z 的共轭复数z 与复数8+5i m相等，求m 的值. 【答案】（1）3m >（2）2m =-【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可；（2）首先求出复数z 的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）由题意得22090m m ->⎧⎨->⎩，解得3m >， 所以m 的取值范围是3m >；（2）因为()()229z m m i =-+-，所以2=2(9)z m m i -+-，因为z 与复数8+5i m 相等，所以28295m m m ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得2m =-. 【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．18.已知函数32(),f x x ax a R =-∈且(1)3f '=.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[0,3]上的最大值.【答案】（1）0a =（2）27【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再代入得到方程解得即可；（2）由（1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）因为32(),f x x ax a R =-∈ 2()32f x x ax =-'∴，由(1)3f '=，得323a -=，解得0a =（2）由（1）得3()f x x =，因为2()30f x x '=≥，所以3()f x x =在[0,3]上单调递增， 所以()f x 在3x =时取得最大值，()()max 327f x f ==【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题.19.已知复数12,34z x yi z i =+=-（,x y R ∈，i 为虚数单位）.（1）若2y =且12z z 是纯虚数，求实数x 的值； （2）若复数12=1z z -，求1z 的取值范围.【答案】（1）83x =（2）1||[4,6]z ∈ 【解析】【分析】 （1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出12z z ，再根据复数的类型求出参数的值； （2）根据复数的几何意义得到复数1z 的轨迹，即可得到复数1z 的取值范围；【详解】解：（1）12238(64)38(64)34252525z x i x x i x x i z i +-++-+===+- 由12z z 是纯虚数，得3864002525x x -+=≠，，解得83x = （2）由12=1z z -，得|(3)(4)|1x y i -++=，所以22(3)(4)1x y -++=，即1z 的轨迹是以(3,4)-为圆心，半径为1的圆，可得1||1][4,6]z ∈= 即1||[4,6]z ∈【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题.20.已知函数2()1x a f x x +=+. （1）若()f x 在()1,(1)f 处的切线斜率为1，求a 的值；（2）若()f x 在2x =处取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间.【答案】（1）1a =-（2）8a =；单调增区间为(,4),(2,)-∞-+∞；减区间为(4,1),(1,2)---【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得()11f '=，即可得到参数的值；（2）依题意可得(2)0f '=，从而求出参数a 的值，即可得到2228()(1)x x f x x +-'=+（1x ≠-），再令()0f x '=，解出x ，最后求出函数的单调区间；【详解】解：（1）因为2()1x a f x x +=+ 所以222()(1)x x a f x x +-'=+，又因为()f x 在点()()1,f x 处的切线斜率为1， 所以()11f '=，即314a -=，解得1a =- （2）因为()f x 在2x =处取得极值，所以(2)0f '=，即440a +-=，解得8a =，所以2228()(1)x x f x x +-'=+（1x ≠-）， 令()0f x '=，即22280(1)x x x +-=+，解得4x =-，2x = 当(,4)x ∈-∞-，()0f x '>；当(4,2)x ∈-且1x ≠-，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞，()0f x '>，所以()y f x =的单调递增区间为(,4)-∞-和(2,)+∞；单调递减区间为(4,1)--和(1,2)-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题.21.如图所示，直角梯形公园OABC 中，,//OC OA OA BC ⊥，2OA km =，1OC BC km ==，公园的左下角阴影部分为以O 为圆心，半径为1km 的14圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路EF （点,E F 分别在OA 与BC 上），D 为切点，设DOE θ∠=.（1）试求观光道路EF 长度的最大值；（2）公园计划在道路EF 的右侧种植草坪，试求草坪ABFE 的面积最大值.【答案】（1）2km （2）33(2-平方千米 【解析】【分析】（1）求出42DOF πθ∠=-，分别求出DE ，DF ，从而求出EF 的表达式，求出EF 的最大值即可；（2）求出OABC OEFC S S S =-梯形梯形的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S 的最大值即可．【详解】解：（1）由题意可知0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 在Rt DOE 中，tan DE θ=， 在Rt DOF △中，sin 21tan tan cos cossin 1sin 42222tan()42cos 1tan tan sin cos sin 422221cos 2DF θπθθθθπθθπθθθθθθ----=-====+++， 则1sin 1tan cos cos EF DE DF θθθθ-=+=+=，又因0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当3πθ=时，min 1(cos )2θ=，此时，()max 2EF =故EF 的最长值为2km ；（2）在Rt DOE 中，1cos OE θ=，由（1）得1sincos CF DF θθ-==， 则31()22OABC OEFC S S S CF OE OC =-=-+⋅梯形梯形3sin 2(0)22cos 3θπθθ-=+≤≤ 则212sin ()2cos S θθθ-'=，令()0,S θ'=即212sin 02cos θθ-=，解得6πθ=，当(0,),()0,()6S S πθθθ'∈>单调递增；当(,),()0,()63S S ππθθθ'∈<单调递减，所以6πθ=为函数()S θ的极大值，又函数()S θ在区间[0,]3π极大值唯一，因此这个极大值也是函数()S θ的最大值.max 3()622S S π==-，所以草坪面积最大值3(2平方千米.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，属于中档题．22.已知函数()ln ,()2x f x x ax a g x xe x =-+=-.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，证明：()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对a 分类讨论计算可得；（2）令()()()()ln 10x F x g x f x xe x x x =-=--->，求出函数的导函数，再令()1x h x xe =-，说明函数()h x 的单调性，从而得到函数()F x 的单调性，即可得证；【详解】解：（1）因为()ln f x x ax a =-+，定义域为()0,∞+， 所以()11()0axf x a x x x -'=-=>当0a ≤时，()0f x '>增区间为()0,∞+；当0a >时，令()0f x '>解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a >∴函数的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）令()()()()ln 10x F x g x f x xe x x x =-=---> 则()11()11x x xx F x xe e xe x x +'=+--=-令()1x h x xe =-，则()()10x h x x e '=+>，又(0)0,(1)0h h <>∴函数()h x 在()0,∞+上单调递增，且存在唯一零点()0,1c ∈，使得()0h c = 且()0,x c ∈时，()0h x <；(),x c ∈+∞时，()0h x >即()0,x c ∈时，()0F x '<；(),x c ∈+∞时，()0F x '>∴函数()F x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增()()ln 1c F x F c ce c c ∴≥=---，而()10c h c ce =-=，即1c ce =两边取对数得ln 0c c +=()()0F x F c ∴≥=，故()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于中档题.。

2020～2020学年度第二学期期中调研测试高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合，若，则实数a的值为______．【答案】0【解析】【分析】由并集概念求出实数a．【详解】解：∵集合A＝{2}，B＝{1，a}，A∪B＝{0，1，2}，∴a＝0，解得实数a＝0．【点睛】考查并集定义，是基础题．2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为______．【答案】【解析】【分析】由已知求得z，再由复数模的计算公式求解.【详解】解：∵∴z＝1+i，∴【点睛】本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知幂函数的图象过点，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得m的值．【详解】解：幂函数的图象过点，则2m，m．故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的图象的应用问题，是基础题．4.已知集合，若，则实数a的取值范围是。

【答案】【解析】因为，所以由数轴知：实数a的取值范围是.5.已知函数那么______．【答案】25【解析】【分析】按照分段函数中自变量的范围代入相应的解析式.【详解】由已知得f（-3）＝2﹣（-3）＝5，从而f（f（-3））＝f（5）＝52＝25．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题．6.为虚数单位，______．【答案】0【解析】分析】直接利用虚数单位i的性质运算．【详解】解：由i2＝﹣1可知，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0．【点睛】本题考查复数的基本概念及运算，是基础题．7.若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．【详解】解：f（x）＝x2﹣2mx-1的对称轴为x，函数f（x）在（﹣∞，]上单调递减，∴函数f（x）＝x2﹣mx+2在区间（﹣∞，2）上是单调减函数，则对称轴．即m的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键．8.已知，则______．【答案】47【解析】【分析】根据完全平方式进行变形即可.【详解】【点睛】考查完全平方式的应用，基础题.9.设，集合，则的值为______．【答案】2【解析】显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.10.有下面四个不等式：① ；②；③；④．其中恒成立的有______个．【答案】2【分析】①使用作差法证明．②利用二次函数的性质．③使用基本不等式证明．④ab＜0时，即可判断出正误.【详解】解：①因为2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正确．②因为，所以②正确．③当a，b 同号时有，当a，b 异号时，，所以③错误．④ab＜0时，不成立.其中恒成立的个数是2个．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的性质及证明，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.若函数是上的奇函数，当时，，则____．【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质，求出f（﹣2）【详解】解：因为f（x）是奇函数，所以所以所以【点睛】本题考查奇函数的概念与性质，基础题.12.已知的三边长为，内切圆半径为，则的面积．类比这一结论有：若三棱锥的四个面的面积分别为，内切球半径为，则三棱锥的体积______．【答案】【解析】【分析】通过面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．【详解】解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三棱锥体积V A﹣BCD R （S1+S2+S3+S4）．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．【点睛】类比推理是一种非常重要的推理方式，可以以这种推理方式发现证明的方向，但此类推理的结果不一定是正确的，需要证明．13.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出|h（x）|的函数图象，根据零点个数判断a的范围．【详解】解：（1）若a＜0，|h（x）|≥0，显然|f（x）|＝a无解，不符合题意；（2）若a＝0，则|h（x）|＝0的解为x＝1，不符合题意；（3）若a＞0，作出y＝|h（x）|的函数图象如图所示：∵|f（x）|＝a有三个解，∴a＞3，【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．14.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，…，如图所示，在宝塔形数表中位于第行、第列的数记为，比如，，．若，则______．【答案】65【解析】【分析】奇数数列b n＝2n﹣1＝2020，从而2020为第1010个奇数．每行的项数记为c m，则c m＝m，其前i项和为个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，从而2020位于第45行，从右到左第20个，由此能求出i+j．【详解】解：∵将正奇数按如图所示的规律排列，在数表中位于第i行，第j列的数记为a i，，a i，j＝2020，∴奇数数列b n＝2n﹣1＝2020，解得n＝1010，即2020为第1010个奇数．j每行的项数记为c m，则c m＝m，其前i项和为：1+2+3+…+i个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，则2020位于第45行，而第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，∴2020位于第45行，从左到右第20个，∴i＝45，j＝20，∴i+j＝45+20＝65．【点睛】本题考查数列的归纳推等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，15~17题每题14分，18~20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设全集，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时确定集合，根据交集的定义求解. （2）由得，画数轴得出的取值范围. 【详解】解：（1）当时，.由所以. （2）由得.所以. 【点睛】本题考查并集、交集的求法，指数不等式的解法,是基础题．16.已知复数，其中是虚数单位，且为纯虚数．（1）求实数的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．【答案】（1）-2；（2）. 【解析】【分析】（1）利用纯虚数的定义，由，，解出即可得出．（2）利用复数的几何意义，由题意得，解出即可得出．【详解】解：(1)．因为为纯虚数，所以，所以．(2)，由已知，解得，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（1）已知，求证：．（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用不等式的性质，即可证明结论．（2）本题考查等差数列的证明、反证法的证题方法，由“不可能成等差数列”自然想到反证法，先假设数列成等差数列，在此基础上进行推理，由推理结果矛盾使问题得证．【详解】（1）证明：因为，所以从而，即．所以．（2）证明：假设成等差数列，则．又成等差数列，所以．则，即．故，即有：，所以．从而．这与公差矛盾．从而假设不成立，所以不可能成等差数列．【点睛】本题考查不等式证明，考查综合法，反证法。

2019-2020年高二（下）期中数学试卷（文科）含解析(II)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．“＞0”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判定即可．解答：解：由＞0⇔x＞0，是充要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次根式的性质，是一道基础题．2．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合法．分析：先判断函数f（x）的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案．解答：解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．3．的导数是（）A．B．C．D．考点：导数的乘法与除法法则．专题：计算题．分析：利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解答：解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题4．复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．﹣D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部．解答：解：化简可得z=====﹣i，∴复数的虚部为：故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．5．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A． 2 B．﹣2 C． D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．6．对于命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx＞1；q：∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，则下列判断正确的是（）A．p假q真B．p真q假C．p假q假D． p真q真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案．解答：解：命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx=sin（x+）＞1；p真，命题q：∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，q假，故选：B．点评：本题考查了复合命题的判断，考查三角函数的性质，是一道基础题．7．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A． 2 B． 3 C． 6 D．9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式．专题：计算题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解答：解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．8．函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数的一个充分不必要条件是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m≤1 D． m＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：问题转化为只需f′（x）≤0即可，结合二次函数的性质，从而求出m的范围．解答：解：∵f′（x）=3mx2﹣1，若函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数，则只需f′（x）≤0即可，若m=0，则f′（x）=﹣1＜0，成立，若m＜0，则函数f′（x）是二次函数，根据二次函数的性质得m＜0，∴当m≤0时，f′（x）＜0，而m＜0是m≤0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．9．在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；导数的概念及应用；空间位置关系与距离．分析：设这个圆柱的高为h，可得这个圆柱的体积V=π（﹣h3+R2h）．利用导数研究函数的单调性，得V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数，由此可得当h=R 时，圆柱的体积的最大值是πR3．解答：解：设这个圆柱的高为h，底面半径为r，可得h2+r2=R2，所以r=∴这个圆柱的体积V=πr2h=π（﹣h3+R2h）∵V'=π（﹣3h2+R2）=﹣3π（h+R）（h﹣R）V'＞0，得h＜R；V'＜0，得h＞R∴V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数因此，当h=R时，圆柱的体积的最大值V max=π[﹣（R）3+R2×R）=πR3故选：A点评：本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．10．函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）A．（，e）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．解答：解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故选：B．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．考点：点到直线的距离公式．专题：转化思想．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．12．函数f（x）=x4﹣x3﹣6的极值点是x=2．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，从而求出函数的极值点．解答：解：f′（x）=x3﹣2x2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴x=2是函数的极值点，故答案为：x=2．点评：本题考查了函数的极值点的问题，考查导数的应用，要注意x=0不是函数的极值点，本题是一道基础题．13．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则=3﹣5i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则z的共轭复数可求．解答：解：由z（2﹣i）=11+7i，得，∴．故答案为：3﹣5i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．14．已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t的取值范围为t≥5．考点：平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用；平面向量及应用．分析：由数量积可得f（x），求导数可化问题为t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论．解答：解：∵=（x2，x+1），=（1﹣x，t），∴f（x）=•=x2（1﹣x）+t（x+1）=﹣x3+x2+tx+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t，∵函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t≥0在（﹣1，1）上恒成立，∴t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，而函数y=3x2﹣2x，x∈（﹣1，1）的值域为[，5）∴t≥5故答案为：t≥5点评：本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题．15．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a ＜1＜10﹣a2；从而解得．解答：解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（Ⅰ）计算（）2（Ⅱ）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．考点：复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（Ⅰ）根据复数的基本运算即可求解即可计算（）2（Ⅱ）利用待定系数法先求出z，然后进行化简．解答：解：（Ⅰ）（）2==﹣1．（Ⅱ）设z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i﹣z即则，则，即z=﹣4+3i，则====3+4i．点评：本题主要考查复数的基本运算，考查学生的运算能力．分母实数化是解决复数除法的基本方法．17．已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m．（1）由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．（2）由“非P”是“非Q”的充分不必要条件，知由此能求出实数m的取值范围．解答：解：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m（1）∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．∴∴m≥9．∴实数m的取值范围为m≥9．（2）∵“非P”是“非Q”的充分不必要条件，∴Q是P的充分不必要条件．∴∴0＜m≤3．∴实数m的取值范围为0＜m≤3．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．18．已知函数f（x）=ax3+bx2，在x=1时有极大值3；（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数的导数，得到方程组，解出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出极值，结合函数的端点值，进而求出函数的最值．解答：解：f′（x）=3ax2+2bx，（1）由题意得：，解得：a=﹣6，b=9 …（6分）（2）由（1）得：f（x）=﹣6x3+9x2，∴f′（x）=﹣18x2+18x，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，∴函数f（x）在[﹣1，0），（1，2]递减，在（0，1）递增，∴f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（1）=3，而f（﹣1）=15，f（2）=﹣12，∴函数f（x）的最大值f（﹣1）=15，最小值f（2）=﹣12．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．19．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，求实数b的值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（Ⅱ）利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，得到关于b的方程，从而求实数b的值．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f′（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得x＞或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间为（﹣1，）；（Ⅱ）因为函数f（x）的图象与直线y=ax恰有2个不同的公共点，所以方程x3+x2+ax+b﹣ax=0恰有2个不同的解，即函数g（x）x3+x2+b的图象与x轴恰有2个交点，g′（x）=3x2+2x，令g′（x）=3x2+2x=0，所以x1=0，x2=﹣，可列表：∴g（x）在x1=0处取得极小值b，在x2=﹣取得极大值+b，要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，只需g（x）极小值=0，或g（x）极大值=0，∴b=0或b=﹣．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想20．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（I）做出辅助线，连接OE，由条件可得SA∥OE．根据因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，得到SA∥平面BDE．（II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直．（III）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置．解答：解：（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE．因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，则O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）．所以=（﹣20，0），=（0，，0）．设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．所以E（﹣+a，0，a），=（﹣+，﹣，）．设平面BDE法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量．因为n•=（，0，1）•（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（8分）（Ⅲ）设CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为n=（，0，1）．因为SO⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面BDC的一个法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1．所以点E是SC的中点．点评：本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对．21．已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx，其中p∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，0）点的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式方程求出切线方程并化为一般式方程；（Ⅱ）由导数与函数单调性的关系将条件转化为：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再分离常数p，利用基本不等式求出p的范围；（Ⅲ）将条件转化为：不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，再构造函数F（x）=f （x）﹣g（x），求出F′（x）化简后利用已知条件判断出符号，得到F（x）的单调性，求出F（x）在[1，e]的最大值，即可求出实数p的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=p+=，∴在（1，0）点的切线d斜率k=2p﹣2，∴在（1，0）点的切线方程是：y=（2p﹣2）（x﹣1）…（Ⅱ）由（I）得f′（x）=，且定义域是（0，+∞），∵f（x）在其定义域内的单调递增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立即可，∵=≤=1，当且仅当，即x=1时取等号，∴p≥1，∴实数p的取值范围是[1，+∞）…（9分）（Ⅲ）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵p＞0，x∈[1，e]，∴F′（x）=p++=＞0，∴F（x）在[1，e]上的增函数，F（x）的最大值是F（e）=，依题意需＞0，解得p＞，∴实数p的取值范围是（，+∞）…点评：本题考查了导数的几何意义及切线方程，利用导数研究函数的单调性、最值，考查构造函数法，分离常数法，转化思想，以及化简、计算能力，属于中档题．。

2019-2020年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。

试卷满分150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）1．曲线y ＝13x 3－2在点(1，－53)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150° 2．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32 D ．33 3．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2 4．曲线y ＝cos x 与坐标轴所围成图形面积是( ) A ．4B ．2C ．52D ．35．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减C ．减函数D ．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增6．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除7．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )．A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 8．设a >0，b >0，则以下不等式中不一定成立的是( )A ． a 2＋b 2＋2≥2a ＋2bB ．ln(ab ＋1)≥0C ．b a ＋ab≥2 D ．a 3＋b 3≥2ab 29．在平行六面休ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若'23'AC xAB yBC zC C =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r， 则x ＋y ＋z 等于( )A ．B ．76C ．56D ．2310．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20B ．18C ．3D ．011．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f(n) (n≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k变到n ＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项B ．k 项C ．2k－1项 D ．2k 项12．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于0B ．一定等于0C ．一定小于0D ．正负都有可能第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为 ． 14．则常数T 的值为 ．15．在12221111,,;Rt ABC CA CB h h CA CB∆⊥=+中，斜边上的高为则类比此性质，如下图，在四面体P －ABC 中，若PA 、PB 、PC 两两 垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为__________________________． .16．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是．hP三、解答题：（本大题共6小题，满分70分） 17．（本题满分10分） 若，求证：33222()()()a b a b a b ++≥+ .18．（本题满分12分） 已知函数在处取得极值－2. （1）求函数的解析式； （2）求曲线在点处的切线方程；19．（本题满分12分）用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．20．（本题满分12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。

2019-2020年高二（下）期中数学试卷（理科）含解析(IV)一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是﹣1﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：把给出的等式的分母乘到右边，然后采用单项式乘以多项式化简复数z，则z的共轭复数可求．解答：解：由，得z=i（1+i）=﹣1+i．所以复数z的共轭复数是﹣1﹣i．故答案为﹣1﹣i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有74种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：代表中没有女生的选法共有=10种，所有的选法共有=84种，由此求得代表中必须有女生时不同的选法种数．解答：解：代表中没有女生的选法共有=10种，所有的选法共有=84种，故代表中必须有女生，则不同的选法有84﹣10=74种，故答案为74．点评：本题主要考查组合问题、组合数公式的应用，用间接解法求解，属于中档题．3．（5分）若，则x=3或6．考点：组合数公式的推导；组合及组合数公式．专题：计算题．分析：由组合数公式，由C18x=C183x﹣6，找到其与x与3x﹣6的关系，即可得答案．解答：解：利用组合数的性质易得若C18x=C183x﹣6，则：x=3x﹣6或x+3x﹣6=18，则x=3或6故答案为：3或6．点评：本题考查组合数公式的运用本题主要考查组合数的性质的运用，属于基础题，须准确记忆公式．4．（5分）由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有48个（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：由题意，末尾数字为5或3，其余位置任意排列，从而可得结论解答：解：由题意，末尾数字为5或3，其余位置任意排列，所以奇数共有2×=48个故答案为：48点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）设n为奇数，则除以9的余数为7．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：所给的式子即（9﹣1）n﹣1 的展开式，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．解答：解：由于n为奇数，=（1+7）n﹣1=（9﹣1）n﹣1=+++…++﹣1，显然，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．而最后2项的和为﹣2，它除以9的余数为7，故答案为7．点评：本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．6．（5分）已知复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的坐标为．考点：旋转变换；复数乘法的棣莫弗公式．专题：计算题．分析：根据复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，即可得所求点的坐标．解答：解：复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的对应的复数为：（6+4i）（cos+isin）=（6+4i）（+i）=．∴得到的点的坐标为．故答案为：．点评：考查点的旋转问题；根据复数乘法的棣莫弗公式是解决本题的关键．7．（5分）展开式中有理项共有3项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：先求出展开式通项公式，当项为有理项时，x的次方应该为整数，由此得出结论．解答：解：展开式通项公式为T r+1==若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项，故答案为：3点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）已知一个关于正整数n的命题P（n）满足“若n=k（k∈N*）时命题P（n）成立，则n=k+1时命题P（n）也成立”．有下列判断：（1）当n=2013时命题P（n）不成立，则n≥2013时命题P（n）不成立；（2）当n=2013时命题P（n）不成立，则n=1时命题P（n）不成立；（3）当n=2013时命题P（n）成立，则n≥2013时命题P（n）成立；（4）当n=2013时命题P（n）成立，则n=1时命题P（n）成立．其中正确判断的序号是（2）（3）．（写出所有正确判断的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题： 探究型．分析： 利用归纳法的证明过程进行推理判断． 解答： 解：（1）根据条件只有命题成立时，才能推导出下一个命题成立，当命题不成立时，则不一定成立，所以（1）错误．（2）若n=1时，命题P （n ）成立，则一定能推出当n=2013时命题P （n ）成立，与当n=2013时命题P （n ）不成立，所以（2）正确．（3）根据条件可知当n=2013时命题P （n ）成立，则n ≥2013时命题P （n ）成立．（4）当n=2013时命题P （n ）成立，只能推出n ≥2013时命题P （n ）成立，无法推出n=1时命题P （n ）是否成立． 所以正确的是（2）（3）． 故答案为：（2）（3）．点评： 本题主要考查学生的归纳与推理能力，综合性较强． 9．（5分）已知复数z 满足，则|z+i|（i 为虚数单位）的最大值是 ．考点： 复数求模． 专题： 计算题．分析： 由复数模的几何意义可得复数z 对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，由此可得|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径．解答： 解：由，所以复数z 对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，所以|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径， 等于． 故答案为．点评： 本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题． 10．（5分）已知扇形OAB ，点P 为弧AB 上异于A ，B 的任意一点，当P 为弧AB 的中点时，S △OAP +S △OBP 的值最大．现有半径为R 的半圆O ，在圆弧MN 上依次取点（异于M ，N ），则的最大值为 2n ﹣1R 2sin．考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列． 分析： 利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出． 解答： 解：=，设∠MOP 1=θ1，∠P 1OP 2=θ2，…，．则．∵0＜θi ＜π，∴sin θi ＞0， 猜想的最大值为．即⇔sin θ1+sin θ2+…+≤（）．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP 的值最大，可知成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即sinθ1+sinθ2+…+≤．成立．（θ1+θ2+…+，θi＞0）则当n=k+1时，左边=即sinθ1+sinθ2+…+++…+∵，当且仅当θi=θi+1时取等号．∴左边++…+==右边，当且仅当θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）时取等号．即不等式对于∀n∈N*都成立．故答案为．熟练掌握三角形的面积计算公式和数学归纳法是解题的关键．点评：11．（5分）从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有432种（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，数字之和为14的情况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；再依次求得每种情况下的排法数目，进而由加法原理，相加可得答案．解答：解：数字之和为10的情况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；取出的卡片数字为4，4，3，3时；有A44种不同排法；取出的卡片数字为2，2，5，5时；有A44种不同排法；取出的卡片数字为2，3，4，5时；每个数字都有两种不同的取法，则有24A44种不同排法；所以共有2A44+24A44=18A44=432种不同排法．故答案为：432．点评：本题考查排列的应用，解题时注意数字可能来自一种卡片还是两种卡片．12．（5分）（2011•延安模拟）若，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：通过对x分别赋值1，﹣1，求出各项系数和和正负号交替出现的系数和，两式相乘得解．解答：解：对于，令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4令x=﹣1得=a0﹣a1+a2﹣a3+a4两式相乘得1=（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2故答案为1点评：本题考查解决展开式的系数和问题的重要方法是赋值法．13．（5分）数列{a n}满足a n=，其中k∈N*，设f（n）=，则f（2013）﹣f（2012）等于42012．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：先计算前几项的值，根据所求的值寻求规律，即可求解解答：解：由题意可得，f（2）﹣f（1）=a1+a2+a3+a4﹣（a1+a2）=a3+a4=3+1=4f（3）﹣f（2）=a5+a6+a7+a8=5+3+7+1=42f（4）﹣f（3）=a9+a10+…+a16=9+5+11+3+13+7+15+1=64=43…f（2013）﹣f（2012）=42012故答案为：42012点评：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是利用已知递推公式准确求出数列的项，进而发现项的规律14．（5分）我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）2n=（1+x）n （1+x）n可得，左边x n的系数为，而右边，x n的系数为，由（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n恒成立，可得．利用上述方法，化简=．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：根据题意，构造等式（x﹣1）2n•（x+1）2n=（x2﹣1）2n，分别从等式的左边和等式的右边求得x2n 的系数，令其相等，即可求得原式的值．解答：解：根据题意，构造等式（x﹣1）2n•（x+1）2n=（x2﹣1）2n，由等式的左边可得x2n的系数为C2n2n•（﹣1）2n C2n0+C2n2n﹣1•（﹣1）2n﹣1C2n1+C2n2n﹣2•（﹣1）2n﹣2C2n2+…+C2n0•（﹣1）0C2n2n，即（C2n0）2﹣（C2n1）2+（C2n2）2﹣（C2n3）2+…+（C2n2n）2，由右等式的右端可得x2n的系数为（﹣1）n C2n n，故有（C2n0）2﹣（C2n1）2+（C2n2）2﹣（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（﹣1）n C2n n，故答案为（﹣1）n C2n n．点评：本题考查组合数公式的应用，涉及二项式定理的应用，关键要根据题意，充分利用组合数的性质，属于中档题．二、解答题（共6大题，共90分）15．（15分）设实部为正数的复数z，满足，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线，求复数z．考点：复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：设出复数z，由，复数（1+2i）z的实部和虚部相等联立方程组即可求得复数z．解答：解：设z=a+bi，a，b∈R，a＞0，由题意：a2+b2=10①（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=a﹣2b+（2a+b）i，得a﹣2b=2a+b②①②联立，解得a=3，b=﹣1得z=3﹣i．点评：本题考查了复数的模，考查了复数的代数表示法和几何意义，是基础的运算题．16．（15分）4个男同学，3个女同学站成一排．（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题．分析：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序（3）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔（4）先把甲乙排好顺序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序解答：（本题满分15分）解：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排：；…（3分）（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有，共有…（7分）（3）先把4个男生排练有种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有=1440…（11分）（4）先把甲乙排好顺序有种排序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，有种，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序，有，共有．…（15分）点评：本题主要考查了排练中常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用．17．（15分）已知（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．（1）求m，n的值；（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；（3）求的展开式中含x2项的系数．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）由题意可得2n=256，由此解得n=8．再根据含x项的系数为，求得m的值．（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为，再根据二项式系数的性质求得结果．（3），可得含x2的系数为，运算求得结果．解答：解：（1）由题意可得2n=256，解得n=8．…（3分）含x项的系数为，…（5分）解得m=2，或m=﹣2（舍去）．故m，n的值分别为2，8．…（6分）（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为．…（9分）（3），…（11分）所以含x2的系数为．…（15分）点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．18．（15分）（2007•天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．考点：等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．分析：（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的．（3）ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ可能的取值为0，1，2，3．结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望．解答：解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（A•B）=P（A）•P（B）=．（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=．ξ的分布列为ξ的数学期望．点评：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．19．（15分）已知a i＞0（i=1，2，…，n），考查①；②；③．归纳出对a1，a2，…，a n都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：证明题．分析：依题意可归纳出：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2；下面用数学归纳法证明：①当n=1时易证；②假设当n=k时，不等式成立，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可，需注意归纳假设的利用与基本不等式的应用．解答：结论：（a1+a2+…+a n）（++…+）≥n2…（3分）证明：①当n=1时，显然成立；…（5分）②假设当n=k时，不等式成立，即：（a1+a2+…+a k）（++…+）≥k2…（7分）那么，当n=k+1时，（a1+a2+…+a k+a k+1）（++…++）=（a1+a2+…+a k）（++…+）+a k+1（++…+）+（a1+a2+…+a k）+1≥k2+（+）+（+）+…+（+）+1≥k2+2k+1=（k+1）2即n=k+1时，不等式也成立．…（14分）由①②知，不等式对任意正整数n成立．…（15分）点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，着重考查归纳假设的利用与基本不等式的应用，考查推理证明的能力，属于难题．20．（15分）试用两种方法证明：（1）；（2）．考点：二项式定理的应用；组合数公式的推导．专题：证明题．分析：（1）方法1：在等式中，令x=1，可得成立．方法2：用数学归纳法进行证明．（2）方法1：根据组合数的计算公式可得k=n，所以，=n（++…+）=n2n﹣1．方法2：由（1+x）n=1+x+x2+…+x n（n≥2，且n∈N*），对等式两边求导，再令x=1，可得．解答：（1）证明：方法1：由令x=1，得．…（3分）方法2：数学归纳法：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，，则当n=k+1时，由，=+，=，所以，+++…+=+（）+（）+…+（）+=2（+…+=2•2k=2k+1，由①②，等式对于任意n∈N*恒成立．…（7分）（2）方法1：由于k=k=，n=n=，∴k=n，…（9分）所以，=n+n+…+n=n（++…+）=n2n﹣1．…（11分）方法2：由（1+x）n=1+x+x2+…+x n（n≥2，且n∈N*），两边求导，得n（1+x）n﹣1=1+2x+3•x2+…+n x n﹣1，…（14分）令x=1，得．…（15分）点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式、用数学归纳法证明等式，属于中档题．。

沭阳县2018—2019学年度第一学期期中调研测试高二数学试题2018～2019学年第一学期期中调研测试高二数学试题参考答案一、填空题：1．1 2．10 3． x R ∀∈,210x x -+≠ 4．2 5．200 6．充分不必要7． 0.3 8． 1 9． (),1-∞ 10．2115 11．10 12．2π 13． 120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦14． [)7,-+∞ 二、解答题：15．解：（1）由10(0.0050.020.040.005)1m ⨯++++=，解得0.03m = ………4分（2）学生成绩在[90,100]之间的频率为0.05，故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为12000.0560⨯=人 …………8分（3） 平均分的估计值为：550.05650.2750.4850.3950.0576⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分………………………………………………………………………………………………14分16．解：（1）由对应方程的判别式240a ∆=-≤， 解之得：22a -≤≤…………6分（2）1q a ≥真：，………………………………………………………………………8分因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p 与q 一真一假，①p 真q 假：221a a -≤≤⎧⎨<⎩解得： 21a -≤<．…………………………………10分 ②p 假q 真：221a a a <->⎧⎨≥⎩或解得：2a >．…………………………………12分综上：21 2.a a -≤<>或 …………………14分17． 解： 将骰子抛掷一次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这六种结果．先后抛掷2次骰子，第一次骰子向上的点数有6种可能的结果，对于每一种，第二次又有6种可能出现的结果，于是基本事件一共有 6636⨯=（种） …………………4分（1）记“5x y +=”为事件A ，则A 事件发生的基本事件有4个，所以所求的概率为 41()369P A == …………………8分 （2）记“2210x y +≤”为事件B ，则B 事件发生的基本事件有6个，所以所求的概率为61()366P B == …………………12分 答：事件A 发生的概率为19，事件B 发生的概率为16． …………………14分 18．解：（1）样本数据的平均数8915161824156x +++++==． ………………4分（2）样本中优秀服务站有2个，概率为2163=，由此估计这600个村级服务站中有16002003⨯=个优秀服务站． ………………8分（3）样本中优秀服务站有2个，分别记为12,a a ，非优秀服务站有4个，分别记为1234,,,b b b b ，从随机抽取的6个村级服务站中再任取2个的可能情况有：()()()()()()()()()()()()()()()121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b共15种，且它们是等可能的． ……………………12分 记“至少有1个是优秀服务站”为事件A ，则事件A 包含的可能情况有：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b a b a b ，共9种情况， ……………………14分 所以93()155P A ==答：至少有1个是优秀服务站的概率为35. ……………………16分19．解： (1) 22(2)(2)5x y -+-=. …………… 6分（方法较多）(2) （ⅰ）法一：依题意设直线l 的方程为：2(3)y k x -=+， 即320kx y k -++= 由圆心M 到直线l的距离d ==<， 即有：214k <，解得1122k -<<． ……………………10分法二：由222(3)(2)(2)5y k x x y -=+⎧⎨-+-=⎩消去y 得：2222(1)(64)910k x k x k ++-+-=，所以22222(64)4(1)(91)20800k k k k ∆=--+-=->，解得： 11.22k -<< ……………………10分（ⅱ）NP NQ ⋅是定值，20NP NQ ⋅=.…………………………………………12分 证明如下：法一：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122(3,2),(3,2)NP x y NQ x y =+-=+-则：221212226491,.11k k x x x x k k --+=-=++所以1212(3)(3)(2)(2)NP NQ x x y y ⋅=+++--[]212122121222222222(3)(3)(3)(3)(1)3()9913(64)=(1)911913(64)9(1)20.x x k x x k x x x x k k k k k k k k =+++++=++++⎛⎫--+-+ ⎪++⎝⎭=---++=所以20NP NQ ⋅=为定值. ……………………16分 法二：（几何法）设NT 为切线长，由切割线定理得220.NP NQ NP NQ NT ⋅=⋅== （根据情况酌情给分）20.解：（1）设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=， 解之得：40,5m m ==，故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P ． …………………4分（2）设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD=， 解得，1k =-或17k =-，故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=． …………………10分（未讨论斜率不存在情况的扣1分）（3）取EF 中点N ，由垂径定理得：MN EF ⊥,所以12MN ==,所以点N 在以M 为圆心，半径为12的圆上． …………………12分连结PN ,()()()()PE PF PN NE PN NF PN NE PN NE ⋅=++=+-2222234PN NE PN NE PN =-=-=-． …………………14分因为点M 到直线l的距离d ==．所以1,2PN ≥- 所以PE PF ⋅的取值范围是2710⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． ………16分。