九年级数学上册第1章反比例函数1.2第3课时反比例函数y=k∕xk≠0的图象与性质课时作业新版湘教版

1.2 第3课时 反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象与性质一、选择题1．如图K －4－1，反比例函数y ＝kx的图象可能是( )图K －4－12．下列关于反比例函数y ＝k －1x的说法，不正确的是 ( ) A ．该反比例函数的图象与坐标轴无交点B ．当k ＞0时，该反比例函数的图象在第一、三象限C ．如果该反比例函数的图象过点(1，3)，那么也一定过点(－1，－3)D ．当在每一象限内，y 随x 的增大而减小时，k ＞13．已知反比例函数y ＝6x ，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是( )A ．0＜y ＜1B ．1＜y ＜2C ．2＜y ＜6D ．y ＞64．如图K －4－2，在平面直角坐标系中，P 是反比例函数y ＝kx (x ＞0)图象上的一点，过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B .若四边形OAPB 的面积为3，则k 的值为( )图K －4－2A ．3B ．－3 C.32 D ．－325．如果k ＜0，那么函数y ＝(1－k )x 与y ＝ kx在同一坐标系中的图象可能是( )图K －4－36．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过A (－1，－4)，B (2，2)两点，P 为反比例函数y ＝kbx图象上一动点，O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则△PCO 的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．不确定二、填空题7．如图K －4－4，反比例函数y ＝kx 的图象经过点A (2，1)．若y ≤1，则x 的取值范围是____________．图K －4－48．已知一次函数y ＝x ＋1的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交，其中有一个交点的横坐标是2，则k 的值为________.9．设函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点坐标为(a ，b )，则1a ＋2b 的值是________．10．如图K －4－5，在平面直角坐标系中，M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 与反比例函数y ＝8x (x >0)和y ＝kx(x >0)的图象分别交于点P ，Q .若S △POQ ＝14，则k 的值为________．图K －4－5 图K －4－611．函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4x (x ＞0)的图象如图K －4－6所示，由有下列结论：①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)；②当x ＞2时，y 2＞y 1；③当x ＝1时，BC ＝3；④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是________．三、解答题12．如图K －4－7，反比例函数y 1＝mx (x >0)的图象与一次函数y 2＝－x ＋b (x >0)的图象交于点A ，B ，其中A (1，2)．(1)求m ，b 的值；(2)若点B 的坐标为(2，y B )，求y B 的值，并写出y 2>y 1时，x 的取值范围.图K －4－713．如图K －4－8，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝ax (a ≠0)的图象在第二象限交于点A (m ，2)，与x 轴交于点C (－1，0)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△ABC 的面积是3.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若直线AC 与y 轴交于点D ，求△ABD 的面积．图K －4－814．反比例函数y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的图象经过点A (1，3)，B (3，m )．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在x 轴上找一点P ，使P A ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．图K －4－9新定义问题：在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“倍点”，例如点(－2，－4)，(1，2)，(3，6)……都是“倍点”，显然这样的“倍点”有无数多个．(1)若点M (2，a )是反比例函数y ＝kx 的图象上的“倍点”，求这个反比例函数的表达式．(2)对于一次函数y ＝3mx －1的图象上是否存在“倍点”，嘉琪说：“当m ＝23时，函数图象上不存在‘倍点’，当m ≠23时，函数图象上存在‘倍点’．”你认为她的说法正确吗？如果正确，请求出存在的“倍点”；如果不正确，请说明理由．详解详析[课堂达标]1．[解析] D A ．∵反比例函数的图象在第一、三象限或第二、四象限，∴选项A 不符合题意．B .k ＝－2×6＝－12，k ＝4×(－2)＝－8.∵－12≠－8，∴选项B 不符合题意．C .k ＝4×2＝8，k ＝－2×(－2)＝4.∵8≠4，∴选项C 不符合题意．D .k ＝4×2＝8，k ＝－2×(－4)＝8.∵8＝8，∴选项D 符合题意．故选D .2．[解析] B A ．反比例函数的图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意；B .当k －1＞0，即k ＞1时，该反比例函数的图象在第一、三象限，故错误，符合题意；C .如果该反比例函数的图象过点(1，3)，那么也一定过点(－1，－3)，正确，不符合题意；D .当在每一象限内，y 随x 的增大而减小时，k －1>0，k ＞1，正确，不符合题意．故选B .3．[解析] C ∵k ＝6＞0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小．又∵当x ＝1时，y ＝6，当x ＝3时，y ＝2，∴当1＜x ＜3时，2＜y ＜6.故选C . 4．[答案] A 5．[答案] C6．[解析] A 将A(－1，－4)，B(2，2)代入一次函数表达式，得⎩⎨⎧－k ＋b ＝－4，2k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝－2，∴反比例函数的表达式为y ＝－4x .∵P 为反比例函数y ＝kbx 图象上一动点，O 为坐标原点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，∴△PCO 的面积为12|k|＝2.故选A .7．[答案] x≥2或x ＜0 8．[答案] 6[解析] 把x ＝2代入y ＝x ＋1，得y ＝3，∴这个交点的坐标为(2，3)．把(2，3)代入y ＝kx ，得k ＝6.9．[答案] －2 10．[答案] －20[解析] ∵S △POQ ＝S △OMQ ＋S △OMP ，∴12|k|＋12×|8|＝14，∴|k|＝20.由函数y ＝kx 的图象可知k<0，∴k ＝－20.11．[答案] ①③④[解析] ①将y 1＝x(x≥0)，y 2＝4x(x ＞0)组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝4x ，由于x ＞0，解得x ＝2，y ＝2，故点A 的坐标为(2，2)．②由图可知，当x ＞2时，y 1＞y 2.③当x ＝1时，y 1＝1，y 2＝4，则BC ＝4－1＝3.④当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小．综上，正确的结论为①③④.12．解：(1)∵反比例函数y 1＝m x (x>0)的图象过点A(1，2)，∴2＝m1，解得m ＝2.∵一次函数y 2＝－x ＋b(x>0)的图象过点A(1，2)，∴2＝－1＋b ，解得b ＝3. (2)将点B 的横坐标2代入y ＝2x ，得y B ＝1，∴点B 的坐标为(2，1)．根据图象可得，当1<x<2时，y 2>y 1.13．解：(1)∵一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象与反比例函数y ＝ax (a≠0)的图象在第二象限交于点A(m ，2)，与x 轴交于点C(－1，0)，∴点A(a 2，2)．∵△ABC 的面积是3，∴3＝12·AB·BC.即3＝12×2×(－1－a 2)，解得a ＝－8，∴反比例函数的表达式为y ＝－8x.∴A(－4，2)．把A(－4，2)，C(－1，0)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧2＝－4k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－23，b ＝－23，∴一次函数的表达式为y ＝－23x －23.(2)∵直线AC 与y 轴交于点D ，当x ＝0时，y ＝－23×0－23＝－23，∴D(0，－23)，∴OD ＝23.∴S △ABD ＝S △BCA ＋S △BCD ＝12·BC·(AB ＋OD)＝12×3×(2＋23)＝4.14．解：(1)因为图象经过点A(1，3)，所以3＝k1.∴k ＝3，∴反比例函数的表达式为y ＝3x .当x ＝3时，m ＝33＝1，∴点B 的坐标(3，1)．(2)如图，作点B 关于x 轴的对称点C ，点C 的坐标为(3，－1)．再连接AC 与x 轴交于点P ，此时PA ＋PB 的值最小． 设直线AC 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)．因为图象过(1，3)和(3，－1)两点，可得⎩⎨⎧a ＋b ＝3，3a ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，∴y ＝－2x ＋5.当y ＝0时，x ＝2.5，∴满足条件的点P 的坐标为(2.5，0)．[素养提升]解：(1)∵点M(2，a)是“倍点”， ∴a ＝2×2＝4，∴点M 的坐标为(2，4)． ∵点M(2，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴4＝k2，解得k ＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x .(2)嘉琪的说法是正确的．设函数y ＝3mx －1的图象上存在的“倍点”的坐标为(n ，2n)， 则有2n ＝3mn －1.整理，得(3m －2)n ＝1. ①当3m －2＝0时，m ＝23，此时不存在n 的值，使等式(3m －2)n ＝1成立，∴函数y ＝3mx －1的图象上不存在“倍点”； ②当3m －2≠0时，m≠23，由(3m －2)n ＝1，解得n ＝13m －2，那么2n ＝23m －2，∴当m≠23时，函数图象上存在“倍点”为(13m －2，23m －2)．。

第1章 反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质第3课时 反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象与性质知识点 1 反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象与性质1．反比例函数y ＝a 2＋1x (a 是常数)的图象分布在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限2．若函数y ＝m ＋2x 的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．m ＜－2B ．m ＜0C ．m ＞－2D ．m ＞03．下列关于反比例函数y ＝21x的三个结论：①它的图象经过点(7，3)；②在其图象所在的每一个象限内，y 随x 的增大而减小；③它的图象在第二、四象限内．其中正确的是________(填序号)．知识点 2 反比例函数表达式的确定4．已知反比例函数y ＝k x 的图象经过点(3，－4)，把点(3，－4)代入y ＝kx ，得____________，解得k ＝________，所以这个反比例函数的表达式为________．5．如图1－2－6，反比例函数y ＝kx的图象经过点M ，则此反比例函数的表达式为( )图1－2－6A ．y ＝－12xB ．y ＝12xC ．y ＝－2xD ．y ＝2x6．已知变量x ，y 满足下面的关系，则x ，y 之间的函数表达式为( )x … －3 －2 －1 1 2 3 … y…11.53－3－1.5－1…A.y ＝3x B ．y ＝－x 3C ．y ＝－3xD ．y ＝x 3知识点 3 反比例函数表达式中k 的几何意义图1－2－77．如图1－2－7，过反比例函数y ＝kx的图象上一点P (x ，y )分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，所得的矩形PMON 的面积为3，由于矩形PMON 的面积S ＝PM ·PN ＝|y |·|x |＝|xy |＝3.又∵y ＝kx，k <0，∴k ＝xy ＝________．8．如图1－2－8，点A 是反比例函数图象上任意一点，AM ⊥x 轴，垂足为M ，O 是原点．若△AOM 的面积为3，求这个反比例函数的表达式．图1－2－8知识点 4 反比例函数与一次函数的综合9．正比例函数y ＝－2x 的图象与反比例函数y ＝－2x 的图象的交点位于( )A ．第一、二象限B ．第二、四象限C ．第二、三象限D ．第一、三象限10．函数y ＝x 与y ＝2x在同一坐标系中的大致图象是( )图1－2－9 图1－2－1011．已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)与反比例函数y ＝kx (k ≠0)在同一直角坐标系中的大致图象如图1－2－10所示，则k ，b 的取值范围是( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＜0，b ＞0C ．k ＜0，b ＜0D ．k ＞0，b ＜012．2019·永州在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x ＋k 与y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的图象大致是( )图1－2－1113．2019·宁夏如图1－2－12，正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝k 2x 的图象相交于A ，B 两点，其中点B 的横坐标为－2，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是图1－2－12A ．x ＜－2或x ＞2B ．x ＜－2或0＜x ＜2C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．－2＜x ＜0或x ＞214．在平面直角坐标系中，落在第一象限的等腰直角三角形的两底角的顶点坐标分别为(1，1)，(5，1)，它的底边与反比例函数y ＝kx的图象始终有交点，则k 的取值范围是________．15．如图1－2－13，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象相交于A (2，3)，B (－3，n )两点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC .图1－2－1316．2019·泸州一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点A (2，－6)，且与反比例函数y ＝－12x的图象交于点B (a ，4)．(1)求一次函数的表达式；(2)将直线AB 向上平移10个单位后得到直线l ：y 1＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，l 与反比例函数y 2＝6x的图象相交，求使y 1＜y 2成立的x 的取值范围． 17．如图1－2－14，已知直线y ＝12x 与反比例函数y ＝kx (k >0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4.(1)求k 的值；(2)若反比例函数y ＝kx(k >0)的图象上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积．图1－2－141．B2． A [解析] ∵函数y ＝m ＋2x 的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴m ＋2＜0，解得m ＜－2.故选A.3．①② [解析] ①∵7×3＝21，∴它的图象经过点(7，3)，故①正确．②∵k ＝21＞0，∴在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，故②正确．③它的图象应在第一、三象限，故③错误．故答案为①②.4．－4＝k 3 －12 y ＝－12x5.C6．C [解析]设x ，y 之间的表达式为y ＝kx (k ≠0)．把x ＝－3，y ＝1代入得k ＝－3， 故x ，y 之间的函数表达式为y ＝－3x .将其他各组数据代入，均符合． 故选C. 7．－38．解：∵点A 在反比例函数的图象上， ∴S △AOM ＝12|k |，∴3＝12|k |，∴|k |＝6.又∵反比例函数的图象经过第二象限，∴k ＝－6.故这个反比例函数的表达式为y ＝－6x.9．B [解析] ∵正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝－2x 的比例系数均为－2，－2＜0，∴两函数的图象都经过第二、四象限，∴两函数的图象的交点有两个，分别位于第二、四象限．故选B.10．D11． C [解析] ∵一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过第二、三、四象限，∴k ＜0，b ＜0.又∵反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象经过第二、四象限，∴k ＜0.综上所述，k ＜0，b ＜0.故选C. 12．B 13． B [解析] ∵正比例函数的图象和反比例函数的图象均关于原点O 对称，且点B 的横坐标为－2，∴点A 的横坐标为2.观察函数图象，发现：当x ＜－2或0＜x ＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，∴当y 1＜y 2时，x 的取值范围是x ＜－2或0＜x ＜2.故选B.14．1≤k ≤5 [解析] 当反比例函数y ＝kx 的图象经过点(1，1)时，得k ＝1，当反比例函数y ＝kx的图象经过点(5，1)时，得k ＝5，∴k 的取值范围是1≤k ≤5.故答案为1≤k ≤5.15．解：(1)∵点A (2，3)在函数y ＝mx 的图象上，∴m ＝6，∴反比例函数的表达式为y ＝6x ，∴n ＝6－3＝－2.∵点A (2，3)，B (－3，－2)在函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k ＋b ，－2＝－3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1， ∴一次函数的表达式为y ＝x ＋1.(2)设直线AB 交x 轴于点D ，则点D 的坐标为(－1，0)， ∴CD ＝2，∴S △ABC ＝S △BCD ＋S △ACD ＝12×2×2＋12×2×3＝5.16．[解析] (1)根据点B 的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的函数表达式．(2)根据“上加下减”求出直线l 的表达式，联立直线l 和反比例函数的表达式组成方程组，解方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y 1＜y 2成立的x 的取值范围．解：(1)∵反比例函数y ＝－12x 的图象过点B (a ，4)，∴4＝－12a，解得a ＝－3， ∴点B 的坐标为(－3，4)．将A (2，－6)，B (－3，4)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－6，－3k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－2， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x －2.(2)将直线AB 向上平移10个单位后得到直线l ：y 1＝－2x ＋8. 联立直线l 和反比例函数的表达式组成方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋8，y ＝6x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴直线l 与反比例函数图象的交点坐标为(1，6)和(3，2)． 画出函数图象，如图所示．观察函数图象可知：当0＜x ＜1或x ＞3时，反比例函数图象在直线l 的上方， ∴使y 1＜y 2成立的x 的取值范围为0＜x ＜1或x ＞3.17．解：(1)∵点A 的横坐标为4，当x ＝4时，y ＝12×4＝2，∴点A 的坐标为(4，2)．∵点A 是直线y ＝12x 与反比例函数y ＝kx 的图象的交点，∴k ＝8.(2)∵点C 在函数y ＝8x 的图象上，当y ＝8时，x ＝1，∴点C 的坐标为(1，8)．如图，过点A 作AM ⊥x 轴，过点C 作CN ⊥y 轴，垂足分别为M ，N ，延长MA ，NC 相交于点D ，得矩形ONDM ，S 矩形ONDM ＝32，S △ONC ＝4，S △CDA ＝9，S △OAM ＝4，S △AOC ＝S 矩形ONDM －S △ONC －S △CDA －S △OAM ＝32－4－9－4＝15.。