下载文档原格式
第十一讲 余弦定理一、教学目标1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系。
二、知识点梳理余弦定理三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即：余弦定理的变形公式： 222222222cos ,cos ,cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-=== 要点三：利用余弦定理解三角形1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角。
要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.三、典型例题类型一：余弦定理的简单应用例1．已知ABC ∆中，3AB =、BC =4AC =，求ABC ∆中的最大角。
思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.总结升华1.ABC ∆中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.变式练习：1.已知ABC ∆中3a =, 5b =, 7c =, 求角C .2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c =2:1），求ABC ∆的各角的大小．3.在ABC ∆中，若222a b c bc =++，则角A 等于（ ）. A.3π B. 6π C.23π D. 3π或23π 类型二：利用余弦定理判断三角形的形状例2．在△ABC 中， sin sin sin cos cos B C A B C+=+，判断这个三角形的形状. 思路点拨：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.总结升华恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键. 若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.变式练习：1.在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是______．2.三角形ABC 中满足下列条件1cos 1cos A a B b-=-；试判断三角形的形状。
1. 1. 2 余弦定理I .知识归纳1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与他们夹角的余弦的积的 2倍，即：c 2a 2b 2 2ab cos Cb 2 a 2c 2 2ac cos Ba 2b 2c 2 2bc cos A2.理解定理：⑴从余弦定理的三个等式中，可得到它的变形，即余弦定理的推论:由余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的 角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；由此可知, 余弦定理可以看作勾股定理的推广。
⑵余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具。
在一个三 角形中，如果知道了两边及其夹角的值，由余弦定理就可以求出第三边⑶余弦定理的每一个等式中包含四个不同的量，他们分别是三角形的三边和一个角，知 道其中三个量，便可求得第四个量。
由余弦定理的结构可知，应用余弦定理，我们可以利用 已知的两边和夹角，计算出三角形的第三边，在结合三角形的正弦定理及内角和定理，可求 出其他的角，即已知两边和他们的夹角，可求第三边和其他两个角。
由余弦定理的推论可 知，利用三角形的三边可以计算出三角形的三个角。
⑷余弦定理的推导应牢牢抓住勾股定理： c 2 a 2 b 2，并依此为思考线索得出结论(推导过程见课本)n .重难点知识讲解1 •余弦定理证明的其他方法 (1) 用坐标法证明余弦定理如图：以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A （0，0）、B （c ， 0）、C （bcosA ，bsinA ），1.1.2余弦定理cosA .2 2 2b c a2bccosB2 2 . 2a cb 2accosC由两点间距离公式得B C= b2cos2A—2bccosA+ c2+ b2sin 2A,即a2= b2+ c2—2bccosA.2 2 2 2 2 2同理可证：b = a + c —2accosB, c = a + b —2abcosC.(2) 用勾股定理证明余弦定理①当三角形为锐角三角形时，如图，AA bsinC ,BD= BC—CD= a—bcosC.在Rt△ ABD中，根据勾股定理AB= AD+ BD,2 2 2所以c = (bsinC) + (a —bcosC).整理得c2= a2+ b2—2abcosC.②当三角形为钝角三角形时，如图AD= bsinC，D BD= CD- BC= bcosC—a，在Rt△ ABD中，根据勾股定理，2 2 2整理得c = a + b —2abcosC.同理可证：a = b + c —2bccosA,.2 2 2b = a +c —2accosB.2.余弦定理与勾股定理之间的联系(1) 对于余弦定理c2= a2+ b2—2abcosC中，若C= 90°,则fe2= a2+ b2,此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况.(2) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具.有A B=A D+B D,2 2 2即c = (bsinC) + (bcosC —a),①在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.②余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.特别提示：在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.3•解三角形问题的类型解三角形的问题可以分为以下四类：(1) 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形.此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数.(2) 已知三角形的两角和任一边，解三角形.此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边•若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.(3) 已知两边和它们的夹角，解三角形.此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角.(4) 已知三角形的三边，解三角形.此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角.要解三角形，必须已知三角形的一边的长•若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解.川.例题分析题型一余弦定理的简单运用例1 .在ABC中，已知 a 2.3 , c 6 2 , B 600，求b 及A⑴解：I b2 a2 c2 2accosB =(2 3)2 ( 6 ,2)2 2 2 3( 6=12 ( 6 .2)2 4、3(. 3 1)=8 • b 2 2求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法二：•••sin A 壽E0,评述：解法二应注意确定A的取值范围。
1.1.2 余弦定理【选题明细表】基础达标1.(2014济南西城高二期末)在△ABC中,a2-c2+b2=错误!未找到引用源。
ab,则C等于( A )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解析:cos C=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,∴C=30°.故选A.2.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( A )(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)不能确定解析:由正弦定理及sin2A+sin2B<sin2C,可知a2+b2<c2,在△ABC中,cos C=错误!未找到引用源。
<0,所以C为钝角,三角形为钝角三角形.故选A.3.在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于( A )(A)32-16错误!未找到引用源。
(B)32+16错误!未找到引用源。
(C)16 (D)48解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=42+42-2×4×4×错误!未找到引用源。
=32-16错误!未找到引用源。
.4.(2014新余高二期末)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
等于( D ) (A)-错误!未找到引用源。
(B)-错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
解析:cos A=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,∴错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=|错误!未找到引用源。
||错误!未找到引用源。
|·cos A=3×2×错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.故选D.5.(2014莱州高二期末)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg错误!未找到引用源。
余弦定理证明过程余弦定理证明过程=a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina…………①-aos=osa-b……②由①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由②得aos=b-osa，平方得：a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2-2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明:mb=m=ma=√^2-a*osb)=√由b^2=a^2+^2-2a*osb得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=√=√同理可得：mb=m=4ma=√^2-a*osb)=√由b^2=a^2+^2-2a*osb得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=√=√证毕。
第五篇：余弦定理的多种证明余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质a^2=b^2+^2-2*b**osab^2=a^2+^2-2*a**osb^2=a^2+b^2-2*a*b*osos=2abosb=2aosa=2b证明：如图：∵a=b-∴a^2=^2 （证明中前面所写的a,b,皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+^2-2b再拆开，得a^2=b^2+^2-2*b**osa同理可证其他，而下面的osa=2b就是将osa移到右边表示一下。
人教版数学必修 5 § 1.1.2 余弦定理的教学设计一、教学目标解析1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。
2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。
3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。
4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。
二、教学问题诊断分析1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。
所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。
2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。
如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。
3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。
三、教学支持条件分析为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。
当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。
但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。
四、教学过程设计1、教学基本流程:① 从一道生活中的实际问题的解决引入问题， 如何用已知的两条边及其所夹的角来 表示第三条边。
