新教材苏教版必修第二册 11.1 余弦定理 课件(51张)

编号：017 课题:§11.1 余弦定理目标要求1、理解并掌握余弦定理、三角形的元素与解三角形基础知识．2、理解并掌握已知两边及其一角解三角形问题．3、理解并掌握已知三边解三角形问题．4、理解并掌握余弦定理的综合应用问题.学科素养目标解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力，而且还对学生的数学思路的发展有帮助. 重点难点重点：已知三边解三角形问题；难点：余弦定理的综合应用问题．教学过程基础知识点1.余弦定理余弦定理公式表达2a= ,2b= ,2c= .语言叙述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A= ，cos B= ，cos C=(2)本质:把用SAS、SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,即把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.(3)应用:已知三角形的两边及一角求其他边和角或已知三角形的三边,求三角形的三角.【思考】已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定?2.三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的________________和它们的_________________叫作三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的_________________求其他_____________的过程叫作解三角形.【思考】已知三角形的三个角能不能解三角形?【课前小题演练】题1．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )A．4 3 B．7C．7 D．5题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13 ，则b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．13题3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°题4．在△ABC 中，若2a cos B ＝c ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形题5．已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________．题6．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长．【当堂巩固训练】题7．在△ABC 中，若AB ＝13 ，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题8．在△ABC 中，a ＝7，b ＝4 3 ，c ＝13 ，则△ABC 的最小角为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π12题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝3，c ＝13 ，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°题10．在△ABC 中，若a ＝3，c ＝7，C ＝60°，则b 为( ) A ．5B ．8C ．5或－8D ．－5或8题11．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋ 3 bc ，则A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°题12．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13 ，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322 B ．332 C ．32 D ．3 3题13．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________．题14．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝3 3 ，B ＝30°，则角C ＝______.题15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________；sin B ＝______．题16．在点O 的正上方有气球P ，从点O 的正西方A 点，测得气球P 的仰角为30°，同时从点O 南偏东60°的B 点，测得气球P 的仰角为45°.若A ，B 两点的距离为107 m ，则气球P 离地面的距离为________m .题17．在△ABC 中，已知a ＝2 6 ，b ＝6＋2 3 ，c ＝4 3 ，求A ，B ，C .题18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34 ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13 ，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值．【综合突破拔高】题19．已知三角形三边之比为5∶7∶3，则最大角为( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°题20．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120° D ．150°题21．李华要去投放两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走( ) A ．50米 B ．57米 C ．64米 D ．70米题22．(多选．．)在△ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8，则下列角的正弦值等于32的是( ) A ．角B B ．角CC ．角A ＋BD ．角A ＋C题23．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2 3 ，a ＝2，B ＝60°，则边c ＝________．题24．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是________．题25．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝ 2 b ，cos B ＝ 2 cos C ，a ＝ 3 ， 则S △ABC ＝________．题26．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋bc cos C 的值是________．题27．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()a ＋b 2＝c 2＋3ab .(1)求C 的值；(2)若△ABC 的面积为332 ，c ＝7 ，求a ，b 的值．题28．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a cos B . (1)判断△ABC 的形状；(2)若c ＝1，C ＝π6 ，求△ABC 的面积．编号：017 课题:§11.1 余弦定理目标要求1、理解并掌握余弦定理、三角形的元素与解三角形基础知识．2、理解并掌握已知两边及其一角解三角形问题．3、理解并掌握已知三边解三角形问题．4、理解并掌握余弦定理的综合应用问题.学科素养目标解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力， 而且还对学生的数学思路的发展有帮助.重点难点重点：已知三边解三角形问题； 难点：余弦定理的综合应用问题．教学过程基础知识点 1.余弦定理 (1)定理余弦定理公式 表达2222cos a b c bc A = +- ,2222cos b a c ac B = +- ,2222cos c a b ab C = +- . 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论 222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-= ，222cos 2a b c C ab+-= (2)本质:把用SAS 、SSS 判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,即把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.(3)应用:已知三角形的两边及一角求其他边和角或已知三角形的三边,求三角形的三角. 【思考】已知三角形的两边及其夹角,三角形的其他元素是否唯一确定?提示:当已知两边及其夹角时,不妨设a ,b 边和其夹角C 已知,由余弦定理可知, 2222cos c a b ab C =+-，c 唯一,222cos 2a c b B ac+-=,因为0B π<<,所以B 唯一,从而A 也唯一,所以三角形其他元素唯一确定. 2.三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的____ 三个角A ,B ,C _____和它们的____对边 a ,b ,c ___叫作三角形的元素. (2)解三角形已知三角形的____几个元素_____求其他__元素___的过程叫作解三角形. 【思考】已知三角形的三个角能不能解三角形?提示:根据余弦定理知,已知三角形的两边及一角或已知三角形的三条边,可以解三角形,根据三角形的三个角,无法解三角形. 【课前小题演练】题1．在△ABC 中，已知B ＝120°，a ＝3，c ＝5，则b 等于( ) A ．4 3 B ．7 C ．7D ．5【解析】选C .b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以b ＝7(负值舍去). 题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13 ，则b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．13【解析】选A .由余弦定理知(13 )2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1(负值舍去).题3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°【解析】选C .由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，所以c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以cos C ＝－12 ，所以C ＝120°.题4．在△ABC 中，若2a cos B ＝c ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形【解析】选C .因为2a cos B ＝c ，所以2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ，所以a 2＝b 2，所以a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．题5．已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________．【解析】由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c ＝ 3 . 答案： 3题6．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长． 【解析】5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0， 所以x 1＝35 ，x 2＝－2，所以cos C ＝35.根据余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35 ＝16，所以c ＝4，即第三边c 的长为4. 【当堂巩固训练】题7．在△ABC 中，若AB ＝13 ，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】选A .由余弦定理得，AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos C ，将各值代入得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去).题8．在△ABC 中，a ＝7，b ＝4 3 ，c ＝13 ，则△ABC 的最小角为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π12【解析】选B .由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋（43）2－（13）22×7×43＝32 ，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6. 题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝3，c ＝13 ，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°【解析】选C .由题可知cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝42＋32－（13）22×4×3 ＝12 ，因为C ∈()0，π ，故C ＝60°.题10．在△ABC 中，若a ＝3，c ＝7，C ＝60°，则b 为( ) A ．5B ．8C ．5或－8D ．－5或8【解析】选B .由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即49＝9＋b 2－3b ，所以(b －8)(b ＋5)＝0. 因为b >0，所以b ＝8.题11．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋ 3 bc ，则A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 【解析】选D .在△ABC 中，因为a 2＝b 2＋c 2＋ 3 bc 所以b 2＋c 2－a 2＝－ 3 bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32 .又因为A ∈(0，π)，所以A ＝150°.题12．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13 ，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322 B ．332 C ．32D ．3 3【解析】选B .由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12 .因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3 ，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32 ＝332.题13．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________． 【解析】由题意得：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19 . 答案：19题14．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝3 3 ，B ＝30°，则角C ＝______. 【解析】由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(3 3 )2－2a ×3 3 ×cos 30°， 所以a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，所以C ＝120°. 当a ＝6时，因为32＋(3 3 )2＝9＋27＝36＝62. 所以A ＝90°，所以C ＝60°. 答案：60°或120°题15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________；sin B ＝______．【解析】因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以c os B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34 ，sin B ＝1－cos 2B ＝1－916 ＝74. 答案：34 74题16．在点O 的正上方有气球P ，从点O 的正西方A 点，测得气球P 的仰角为30°，同时从点O 南偏东60°的B 点，测得气球P 的仰角为45°.若A ，B 两点的距离为107 m ，则气球P 离地面的距离为________m .【解析】依题意可得图形，且∠OAP ＝30°，∠AOB ＝150°，∠OBP ＝45°，AB ＝107 ，∠AOP ＝∠POB ＝90°，设OP ＝x ，则OB ＝x ，AO ＝ 3 x ，在△AOB 中由余弦定理可得AB 2＝AO 2＋BO 2－2AO ·BO ·cos ∠AOB ， 即(107 )2＝( 3 x )2＋x 2－2· 3 x ·x ·cos 150°， 解得x ＝10或x ＝－10(舍去). 答案：10题17．在△ABC 中，已知a ＝2 6 ，b ＝6＋2 3 ，c ＝4 3 ，求A ，B ，C .【解析】根据余弦定理的推论得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（6＋23）2＋（43）2－（26）22×（6＋23）×43 ＝32 .因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6 ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（26）2＋（6＋23）2－（43）22×26×（6＋23） ＝22 ，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.所以B ＝π－A －C ＝π－π6 －π4 ＝7π12 ，所以A ＝π6 ，B ＝7π12 ，C ＝π4.题18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34 ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13 ，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值． 【解析】(1)由(a －c )2＝b 2－34 ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58 ，即cos B ＝58 .(2)因为b ＝13 ，cos B ＝58，由余弦定理得b 2＝13＝a 2＋c 2－54 ac ＝(a ＋c )2－134 ac ，又a ＋c ＝2b ＝213 ，所以13＝52－134 ac ，解得ac ＝12.【综合突破拔高】题19．已知三角形三边之比为5∶7∶3，则最大角为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°【解析】选B .因为三角形三边之比为5∶7∶3， 所以设三边长分别为5a ，7a ，3a ，所以长为7a 的边对的角最大，设这个角为α， 由余弦定理得cos α＝25a 2＋9a 2－49a 22×5a×3a ＝－12 ，因为α是三角形的内角，所以α＝120°.题20．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】选B .因为(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12 .因为0°<A <180°，所以A ＝60°.题21．李华要去投放两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走( ) A ．50米 B ．57米 C ．64米 D ．70米【思路导引】画出图形，在△ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案． 【解析】选D .由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ， 则李华的行走路线，如图所示在△ABC 中因为AB ＝80，BC ＝30，B ＝60°，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC cos 60° ＝802＋302－2×80×30×12＝70米，即李华回到自家楼下至少还需走70米．题22．(多选．．)在△ABC 中，a ＝5，b ＝7，c ＝8，则下列角的正弦值等于32的是( ) A ．角B B ．角CC ．角A ＋BD ．角A ＋C【解析】选AD .cos B ＝82＋52－722×8×5 ＝12 ，则B ＝60°，A ＋C ＝120°，则sin B ＝32 ，sin (A ＋C )＝32 .题23．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2 3 ，a ＝2，B ＝60°，则边c ＝________．【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋c 2－2c ＝12，解得c ＝－2(舍去)或c ＝4. 答案：4题24．在△A BC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是________．【解析】cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac 2ac ＝（a －c ）22ac ＋12 ≥12 ，因为0<B <π，所以B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 .答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，π3题25．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝ 2 b ，cos B ＝ 2 cos C ，a ＝ 3 ， 则S △ABC ＝________．所以a 2＋c 2－b 22ac ＝2()a 2＋b 2－c 22ab ，结合c ＝ 2 b ， 化简得a ＝ 3 b ，从而有b 2＋c 2＝a 2，即△ABC 为直角三角形，将c ＝ 2 b ，a ＝ 3代入b 2＋c 2＝a 2，得b ＝1，于是c ＝ 2 ，所以S △ABC ＝12 bc ＝22. 答案：22 题26．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋bc cos C 的值是________．【解析】因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， 所以bc cos A ＝12 (b 2＋c 2－a 2)，同理ac cos B ＝12 (a 2＋c 2－b 2)，ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)， 所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12 (a 2＋b 2＋c 2)＝612. 答案：612题27．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()a ＋b 2＝c 2＋3ab . (1)求C 的值；(2)若△ABC 的面积为332，c ＝7 ，求a ，b 的值． 【解析】(1)将等式(a ＋b )2＝c 2＋3ab 变形为a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 因为0<C <π，故C ＝π3 . (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧12ab ×32＝332，a 2＋b 2－ab ＝7，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6，a 2＋b 2＝13， 题28．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)若c ＝1，C ＝π6，求△ABC 的面积．所以c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac， 所以a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2＝b 2，所以a ＝b ，△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知a ＝b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2a 2－12a 2 ＝32， 解得a 2＝2＋ 3 ，所以S △ABC ＝12 ab sin C ＝12 a 2sin C ＝2＋34.。