解绝对值不等式的几种常用方法以及变形
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绝对值不等式的常见形式及解法
绝对值不等式解法的基本思路是:去掉绝对值符号,把它转化为一般的不等式求解,转化的方法一般有:(1)绝对值定义法;(2)平方法;(3)零点区域法。
常见的形式有以下几种。
1. 形如不等式:
利用绝对值的定义得不等式的解集为:。
在数轴上的表示如图1。
2. 形如不等式:
它的解集为:。
在数轴上的表示如图2。
3. 形如不等式
它的解法是:先化为不等式组:,再利用不等式的性质来得解集。
4. 形如
它的解法是:先化为不等式组:,再利用不等式的性质求出原不等式的
解集。
例如:解不等式:
(1)
(2)
(3)
解:(1)由绝对值的定义得:或解得
(2)两边同时平方得:
(3)令
得。
所以和3把实数分为三个区间,
即:;。
在这三个区间内来讨论原不等式的解集。
以上所举例子,说明在运用上述方法求绝对值不等式的解集时,如能根据已知条件灵活地运用绝对值不等式的常见形式,不仅可以简化运算、简便地求出它的解集,而且有利于培养学生思维灵活性。
因为题是活的,用既得方法去解决具体的问题,还得有灵活多变的大脑,让学生自己去体会数学方法的有效和巧妙,这样才能行万里船、走万里路时,轻松如意。
(初二)。
绝对值不等式的解法有哪些绝对值不等式是数学知识,那么绝对值不等式的解法有哪些呢?为了更好的帮助大家。
下面是由小编为大家整理的“绝对值不等式的解法有哪些”,仅供参考,欢迎大家阅读。
绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法,也是一般情况下最快的方法。
在数轴上把使绝对值为零的点都标出来,根据绝对值的几何意义,绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了),以此解题。
比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间,那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3,而5-3=2,2/2=1,故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7,即(x<2)||(x>7)。
也可以用零点分段法,也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出,然后不用几何意义,而是分段讨论。
把每个绝对值项展开,然后化为普通不等式,将求得的解集与你所分的这一段取交集,得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。
不过这种方法在式中存在多个不等式项时不好使,一般情况下不推荐使用。
比如,你的不等式原来有3项,平方后就成了3*3=9项,使计算复杂化了。
拓展阅读:绝对值有哪些性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性.(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0.(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值七个性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式:(6)|a|*|b|=|ab|(7)|a|/|b|=|a/b|(b≠0)(8)a^2=|a|^2(9)|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|。
绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用,它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。
本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法,并给出相应的例子进行说明。
一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前,我们先来了解一些绝对值的基本性质。
对于任意实数a,有以下三个性质:1. 非负性质:|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离,因此它始终是非负的。
2. 正负性质:如果a > 0,则 |a| = a;如果a < 0,则 |a| = -a这是绝对值的定义,即当a为正时,取a的值;当a为负时,取-a 的值。
3. 三角不等式:对于任意实数a和b,有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式,它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。
有了以上基本性质的了解,我们可以利用它们来解决绝对值不等式。
二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。
例如,对于不等式 |2x - 3| ≤ 5,我们可以通过以下步骤来求解:(1)当2x - 3 ≥ 0时,|2x - 3| = 2x - 3,此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5,解得x ≤ 4。
(2)当2x - 3 < 0时,|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3,此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5,解得x ≥ -1。
综合以上两种情况的解集,最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。
2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时,我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。
例如,对于不等式 |x - 3| > 2,我们可以通过以下步骤来求解:(1)当 x - 3 > 0 时,|x - 3| = x - 3,此时原不等式可以转化为 x -3 > 2,解得 x > 5。
(2)当 x - 3 < 0 时,|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3,此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2,解得 x < 1。
解绝对值不等式的方法绝对值不等式是数学中常见且重要的一种不等式类型。
解绝对值不等式可以帮助我们确定变量的取值范围,从而求解问题。
本文将介绍三种常用的方法来解绝对值不等式。
一、符号法符号法是解绝对值不等式最简单直观的方法之一。
当我们遇到简单的一元一次绝对值不等式时,可以通过考虑绝对值的取正负两种情况来解决。
例如,对于不等式|x-2|<5,我们可以先考虑取正的情况:x-2<5 --> x<7然后再考虑取负的情况:-(x-2)<5 --> x>-3综合两个不等式的解集,我们得到-3<x<7,即解为(-3,7)。
二、区间法区间法是一种更加系统和严谨的方法,适用于更复杂的绝对值不等式。
该方法基于绝对值的定义,将不等式转化为分段函数的形式。
例如,对于不等式|2x-1|≥3,我们可以先将其拆分为两个情况:1. 当2x-1≥0时,不等式变为2x-1≥3,解得x≥2。
2. 当2x-1<0时,不等式变为-(2x-1)≥3,解得x≤-1。
综合两个情况的解集,我们得到解为x≤-1或x≥2。
三、平方法平方法是解决带有二次项的绝对值不等式的常用方法。
该方法的关键是利用平方的非负性。
例如,对于不等式|x^2-4|<3,我们可以先对不等式进行拆分:1. 当x^2-4≥0时,不等式变为x^2-4<3,解得-1<x<3。
2. 当x^2-4<0时,不等式变为-(x^2-4)<3,展开后得到x^2-4>-3,解得-√7<x<√7。
综合两个情况的解集,我们得到解为-√7<x<-1或1<x<√7。
绝对值不等式的解方法还有其他变种,上述仅是其中常用的三种方法。
在解题过程中,我们需要根据不等式的形式和特点选择合适的方法。
此外,需要注意绝对值不等式的符号翻转和取等问题。
总结起来,解绝对值不等式的方法有符号法、区间法和平方法等。
解绝对值不等式的方法总结
1. 分类讨论法:
根据绝对值符号,将条件分为两种情况,分别对式子做处理,最后将解集联合起
来就可以求出绝对值不等式的解集。
例如:解不等式|2x+3|<5,可以写成如下形式:
2x+3<5 且 -2x-3<5,解出两个不等式的解集,解集:x<1 且 x>-2,因此解集为 x<1 U
x>-2,其中U表示并。
2. 代入法:
根据条件可以得到相应绝对值不等式,首先将相关数字代入不等式中,质疑是否
满足不等式,如果满足,表示相应数属于此绝对值不等式解集;如果不满足,表示该数不
属于此绝对值不等式解集。
例如:解不等式|x-5|≤2,x=7时,将x=7代入不等式,可得
|7-5|≤2,满足不等式,因此x=7属于此不等式的解集。
4. 化简法:
根据不等式的特殊性可以将不等式转化为熟悉的不等式,再求其解,最后再转化
回原来的绝对值不等式,以求出解集。
例如:解不等式|5x-6|>10,先将左边绝对值分离,变为 5x-6>10 且 -(5x-6)>10 ,即 5x>16 且 5x<-4,可以写为 x>16/5 且 x<-4/5,再
转化为原来的绝对值表示形式,可得解集:|5x-6|>10,x>3 且 x<-2/5。
绝对值不等式的解法有哪些绝对值不等式是数学知识,那么绝对值不等式的解法有哪些呢?为了更好的帮助大家。
下面是由小编为大家整理的“绝对值不等式的解法有哪些”,仅供参考,欢迎大家阅读。
绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法,也是一般情况下最快的方法。
在数轴上把使绝对值为零的点都标出来,根据绝对值的几何意义,绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了),以此解题。
比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间,那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3,而5-3=2,2/2=1,故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7,即(x<2)||(x>7)。
也可以用零点分段法,也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出,然后不用几何意义,而是分段讨论。
把每个绝对值项展开,然后化为普通不等式,将求得的解集与你所分的这一段取交集,得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。
不过这种方法在式中存在多个不等式项时不好使,一般情况下不推荐使用。
比如,你的不等式原来有3项,平方后就成了3*3=9项,使计算复杂化了。
拓展阅读:绝对值有哪些性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性.(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0.(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值七个性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式:(6)|a|*|b|=|ab|(7)|a|/|b|=|a/b|(b≠0)(8)a^2=|a|^2(9)|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|。
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形一. 前提: 0a >;形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为()()()f x a f x a f x a >⇔><-或; ()()f x a a f x a <⇔-<<()()()f x a f x a f x a ≥⇔≥≤-或; ()()f x a a f x a ≤⇔-≤≤例1. (1) |2x -3|<5解:-5<2x -3<5,得-1<x <4 -------------------------转化为一元一次不等式(2) |x 2-3x -1|>3解:x 2-3x -1<-3 或 x 2-3x -1>3 ---------------------转化为一元二次不等式 即:x 2-3x +2<0 或 x 2-3x -4>0∴不等式的解为1<x <2或x <-1或x >4 (3)2x 3x 2-+>1 解:2x 3x 2-+<-1 或 2x 3x 2-+>1 --------------------绝对值不等式转化为分式不等式 解之得:-2<x <13或 x <-2或x >5∴不等式的解为x <-2或-2<x <13或x >5反思:(1)转化的目的在于去掉绝对值。
(2)规范解答,可以避免少犯错误。
二. 形如|()f x |<()g x ,|()f x |>()g x , ()()f x g x >型不等式 (1)︱f(x)︱<g(x)⇔- g(x)<f(x)<g(x)(2)︱f(x)︱>g(x)⇔ f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)(3)︱f(x)︱>︱g(x)︱⇔f 2(x)>g 2(x);(4)︱f(x)︱<︱g(x)︱⇔f 2(x)<g 2(x) 例2. (1) |x +1|>2-x ;解:(1)原不等式等价于x +1>2-x 或x +1<-(2-x ) ---------------利用绝对值概念转化为整式不等式解得x >12或无解,所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)|2x -2x -6|<3x解: 原不等式等价于-3x <2x -2x -6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 即: 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}(3) 解不等式123x x ->-。
总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式,涉及到绝对值的性质和运算。
解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法,下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。
一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义:对于任意实数x,其绝对值|x|的值分两种情况讨论,当x≥0时,|x|=x;当x<0时,|x|=-x。
2. 绝对值的非负性:对于任意实数x,有|x|≥0。
3. 绝对值的等价关系:对于任意实数x和y,若|x|=|y|,则x=y或x=-y。
4. 绝对值的三角不等式:对于任意实数x和y,有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。
5. 绝对值的运算法则:对于任意实数x和y,有以下运算法则:(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|(其中y≠0)(c) |x^n|=|x|^n(n为正整数)二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限:(a) 若|x|<a,则-a<x<a;(b) 若|x|>a,则x<-a或x>a;(c) 若|x|≤a,则-a≤x≤a;(d) 若|x|≥a,则x≤-a或x≥a。
2. 分情况讨论法:(a) 当x≥0时,将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式,再继续求解;(b) 当x<0时,反号后去掉绝对值符号得到等价不等式,再继续求解。
3. 使用绝对值性质:(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式,例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a;(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式,例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。
4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集:(a) 对于交集,解两个不等式分别得到解集A和B,最后求A和B 的交集;(b) 对于并集,解两个不等式分别得到解集A和B,最后求A和B的并集。
三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合:对于包含绝对值的多项式不等式,可以将其拆分成多个简化的不等式,再求解。
带有绝对值的不等式解法
【实用版】
目录
1.绝对值不等式的基本概念
2.绝对值不等式的解法分类
3.解法一:直接开平方法
4.解法二:分段讨论法
5.解法三:符号法
6.解法四:几何法
7.总结
正文
一、绝对值不等式的基本概念
绝对值不等式是代数学中的一种重要不等式,它涉及到了绝对值的概念。
绝对值是一个数到原点的距离,因此它总是非负的。
绝对值不等式可以分为两大类:一类是绝对值大于等于零的不等式,另一类是绝对值小于零的不等式。
二、绝对值不等式的解法分类
解绝对值不等式有四种常见的方法:直接开平方法、分段讨论法、符号法和几何法。
三、解法一:直接开平方法
直接开平方法是最直接的方法,适用于大多数情况。
它的步骤是:首先将绝对值符号去掉,然后平方,最后开平方。
这种方法简单易懂,但需要注意开平方后的结果可能有两个解。
四、解法二:分段讨论法
分段讨论法适用于绝对值大于等于零的不等式。
它的步骤是:先根据绝对值的定义,将不等式分为两个部分,然后分别解出每一部分的解集,最后将两个解集合并。
五、解法三:符号法
符号法适用于所有绝对值不等式。
它的步骤是:先将绝对值符号去掉,然后将每一项的符号取出来,最后根据符号的规则解出解集。
六、解法四:几何法
几何法适用于带有绝对值的几何问题。
它的步骤是:先将绝对值符号去掉,然后将问题转化为几何问题,最后用几何方法解出解集。
七、总结
解绝对值不等式需要根据具体情况选择合适的方法。
不同的方法有各自的优点和适用范围,需要灵活运用。
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点,同时也是考试中时常出现的考点。
下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。
绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|,|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立,ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方,比如,|x|=3,可化为x^2=9,绝对值符号没有了;
2、讨论,即x≥0时,|x|=x;x<0时,|x|=-x,绝对值符号也没有了,令绝对值中的式子等于0,分出x的段,然后根据每段讨论得出的x值,取交集,综上所述即可。
多种方法解绝对值不等式例1、解不等式412<-++x x . 分析: 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式,为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式,要进行分类讨论.解:法一 由代数式2+x ,1-x 知,-2,1把实数集分为三个区间:2-<x ,12<≤-x ,1≥x .当2-<x 时,原不等式变为412<+---x x ,即225-<<-x ; 当12<≤-x 时,原不等式变为412<+-+x x ,即12<≤-x ; 当1≥x 时,原不等式变为412<-++x x ,即231<≤x . 综上,知原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2325x x . 小结: 解这类绝对值符号里是一次式的不等式,其一般步骤是:(1)令每个绝对值符号里的一次式为零,求出相应的根;(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间;(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.分析二: 不等式412<-++x x 的几何意义是表示数轴上与)2(-A 及B (1)两点距离之和小于4的点.而A ,B 两点距离为3,因此线段AB 上每一点到A ,B 的距离之和都等于3.如下图,要找到与A ,B 的距离这和为4的点,问题就迎刃而解了.解:法二 如上图,要找到与A ,B 距离之和为4的点,只需由点B 向右移动21个单位,这时距离之和增加1个单位,即移到点⎪⎭⎫⎝⎛231B .或由点A 向左移动21个单位,即移到点⎪⎭⎫ ⎝⎛-251A . 可以看出,数轴上点⎪⎭⎫ ⎝⎛231B 向左的点或者⎪⎭⎫ ⎝⎛-251A 向右的点到A ,B 两点的距离之和均小于4.所以,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2325x x .分析三:从函数的角度思考,可分别画出函数121-++=x x y 和42=y 的图象.观察即得. 解法三 如右图.⎪⎩⎪⎨⎧>+<≤--<--=-++=.112123212121x x x x x x x y ,,,,, 42=y .不难看出,要使21y y <,只须2325<<-x . 所以,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2325x x . 小结:对于解法一,要熟记c b x a x <-+-或)0(>>-+-c c b x a x 两种类型的解法,关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式;对于解法二,要搞清它的几何意义是什么,并注意结论是否包括端点;对于解法三,关键是正确画出两个函数的图象,并准确写出它们交点的坐标.三种方法都比较直观、简捷,不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法,各有千秋,都是我们应该熟练掌握的解题通性通法.。
解绝对值不等式的几种常用方法以及变形
前提:a 0;
形式:f (x ) =a ; f(x ) ca ; f (x )∣κa , f (x) Wa 等价转化为
f(x) >a = f(x )〉a 或f (x)<—a ; f(x) va= -a<f(x )<a
f(x ) ^a f(x )启 a 或f (x)≤-a ; f(x ) ≤a 吕 一a≤f(x )≤a
例 1. (1) |2x — 3∣v 5
解:—5v 2x — 3v 5,得—KX V 4 ----------------------- 转化为一元一次不等式
2
(2) |x — 3x — 11 〉 3
解:x 2— 3x — 1V — 3或x 2
— 3x - 1〉3 ----------- 转化为一元二次不等式 即:x 2 — 3x+ 2V 0 或 x 2
— 3x - 4〉0 1 V X V 2 或 X V — 1 或 X 〉 4
IX 3
反思:(1)转化的目的在于去掉绝对值。
(2)规范解答,可以避免少犯错误 二形如 | f (x ) |<g (x ) , | f(x ) |>g(x ), f (x) Ig(X )型不等式
(1)
I f (X) I Vg (X )= — g (x )vf (x )〈g(x ) (2)
I f(X ) I 〉g (x)u f(x)〈-g (x )或 f (x)>g (x) (3)
1 f (x) I > I g (x) I= f 2(x )〉g 2(x); (4) ∣ f(x) I V I g (x ) I =
f 2(x )V
g 2(x) 例 2。
(1) |X +1|〉2— X ;
•••不等式的解为 绝对值不等式转化为分式不等式 解之得:
- 1 、 、 -2V X V-或 X V — 2 或 X > 5
解:栄V T 或 I > 1
X +
2 •••不等式的解为X V — 2或一2V X V -或X >5
3
解:(1)原不等式等价于
x +1>2— X 或x +1< — (2— x ) ------ 利用绝对值概念转化为整式不等式
解得x >1或无解,所以原不等式的解集是{x ∣x >1}
2 2
(2) | x 2 - 2 X — 6∣<3 X
解:原不等式等价于—3x <x 2 - 2x - 6<3x
X -2x -6 -3x X X - 6 O (X 3)(^-2) 0 x ::
—3或X 2
即 2 = 2 ■ :
X —2x-6:::3X X -5x-6:::0 (x 1)(x -6) :: O
-^: X - 6
即:2〈x <6
所以原不等式的解集是{x ∣2<x 〈6}
⑶解不等式x —1 >2x-3
解:原不等式=(X -1)2 ∙(2x-3)2= (2x-3)2—(x-1)2 ::: O
U (2x —3+x —1)(2x —3-x+1)Vo u (3x-4)(x —2)Vo U | :: ^::
2。
说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜
前提:a,b O
例3。
解不等式1 ≤ | 2x-1 | V 5
]2x —1∣v5 一! —5〈2x-1〈5
J2x —1庄1 D 〔2x —1 王 1或2x —1≤—1
-2 X 3
x -1或 X 乞 O
•••原不等式的解集为 {x | —2〈 X 〈O 或1 ≤x〈3}
四。
含有两个绝对值的不等式 ----------- (常常采用零点分段法来讨论)
形如: a <∣ f (x)∣ vb Q x cb
--------- 转化为不等式组来解决
解:原不等式等价于
例 4 :解不等式:∣x—3∣—∣x+1∣〈1
解:原不等式等价于
① X —1
= ―3)+(χ+1)〈d
③ x-3 二 x —3=x_3
(x —3) —(x 1) :1 —4 :1 综上 原不等式的解集为{x ∣x —} 2
练习.不等式∣x+3∣—∣2x —1∣〈—+1的解集为 2
五.含有参数的不等式 例5 (1)解关于X 的不等式①Xc a(a € R ),②XA a (a R ) 解:∙。
∙ a R ,分类讨论如下
①I 。
当a 岂0寸,解集为•一,
□当 a O 时,解集为{x ∣ —a :: X :: a},
② I ,当a :::0时,解集为R I
□当a =O 时,解集为{x ∣x=0},
In 当a • 0时,解集为{x ∣ X ” —a 或X - a},
⑵+解关于X 的不等式2x 3 -1 : a (a R) +
解:原不等式化为:2x + 3<a+1,在求解时由于a+1的正负不确定,需分情况讨论*
① 当a+仁0即a^-1时,由于任何实数的绝对值非负,•••解集为 —-
a + 4
a — 2 ② 当 a+1〉0 即 a 〉 -1 时,-(a+1)<2x+3< a+1 => V X V
2 2 综上得:①a — —1时,解集为.一;
a 亠 4 a — 2
② a ∙ -1时,解集为{x ∣ — 一 :::x ::: —}
2 2
六:含有绝对值不等式有解.解集为空,与与恒成立问题
② X ::3 - 厂(X —3)—(X+1) £1 -1 :: X :: 3 \ 1 二
X -
例6:若不等式|x - 4∣+∣3—X lV a的解集为空集,求a的取值范围。
[解题]解法一
(1)当a ≤0寸,不等式的解集是空集。
⑵当a>0时,先求不等式|x — 4|+|3—x∣<a有解时a的取值范围.
令X — 4=0 得x=4 ,令 3—X =0 得X =3
① 当X ≥4时,原不等式化为X — 4+x - 3<a ,即2x - 7〈a
解不等式组F’4=⅛4≤xv^a,二 a〉1
2x—7<a 2
②当3<x〈4时,原不等式化为4—x + x — 3〈a得a>1
③当X ≤3寸,原不等式化为 4—x+3—x<a即7 - 2x〈a
解不等式 X上3= 匚芒:::X乞3= 匚兰:::3,二a 〉1
|7—2XCa 2 2
综合①②③可知,当a>1时,原不等式有解,从而当0<a ≤1时,原不等式解集
为空集。
由(1)(2)知所求a取值范围是a ≤1
方法二
∙。
∙ a〉∣x — 4|+|3—X | ≥X — 4+3 —X |=1
•••当a>1 时,|x - 4|+|3—x∣〈a 有解
从而当a ≤1时,原不等式解集为空集。
总结
(1) : f X ::a有解一 a ■ f X min; f X a解集为空集一a≤ f X min ;这两者互补.f X a恒成立=a f X max.
⑵f X a有解=^ f X maX; f X ■ a解集为空集=a乞f X max;这两者互补。
f X a恒成立=^fX min。