绝对值不等式解法问题—7大类型专题

七年级数学的绝对值，是一种让很多同学感到头疼的数学概念。

在七年级数学课程中，涉及到绝对值的分类讨论也是一个重要的内容，影响着同学们对数学的理解和学习。

今天，我们就来深入探讨七年级数学中关于绝对值分类讨论的重点题型，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

1. 绝对值概念的理解我们需要对绝对值的概念进行深入理解。

在七年级数学中，绝对值代表着一个数距离零点的距离，它是一个非负数。

具体地，对于任意实数a，其绝对值记作|a|，如果a大于等于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。

2. 绝对值分类讨论的基本原理在七年级数学中，针对绝对值的讨论通常涉及到正数、负数以及零的情况。

我们需要明确地理解在各种情况下绝对值的计算方法和特点，从而能够准确地解决问题。

3. 绝对值分类讨论的重点题型在七年级数学中，绝对值分类讨论的重点题型包括但不限于以下几种： - 绝对值不等式的求解- 绝对值方程的解法- 含绝对值的复合运算- 实际问题中的应用4. 绝对值不等式的求解对于绝对值不等式的求解，我们需要分情况讨论。

当|a|小于b时，a 和-b之间的数都满足不等式；当|a|大于b时，求解得到两个区间，分别讨论各区间内的情况。

这种分类讨论的方法在解决绝对值不等式时非常重要。

5. 绝对值方程的解法解决绝对值方程时，我们同样需要进行分类讨论。

针对|a|=b和|a|=-b 两种情况，分别求解得到不同的结果。

同学们需要注意分类讨论方法的灵活运用，才能准确地解决绝对值方程的问题。

6. 含绝对值的复合运算在七年级数学中，我们还会遇到含绝对值的复合运算题型，可能涉及加减乘除等多种运算符号。

这时，同学们需要将复合运算的每一步分类讨论，确保在每一种情况下都能准确地应用绝对值的概念和性质。

7. 实际问题中的应用绝对值的分类讨论在解决实际问题时也非常重要。

同学们需要理解绝对值在表示距离、温度差、误差等方面的应用，从而能够准确地将数学知识应用到实际生活中去。

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

一、含有参数的不等式的解法例题当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。

下面举例说明，以供同学们学习。

一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0≠及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 24410x x -+=轴的上方，不等式的解集为。

∅解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为；⎭⎫⎩⎨⎧=21|x x 当m>3时, 原不等式的解集为。

目录目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关：函数中易混问题—11对 (76)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关：抽象函数问题—分类解析 (153)第28关：三次函数专题—全解全析 (157)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关：函数零点问题—求解策略 (194)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关：高考数学选择题—解题策略 (202)第36关：高考数学填空题—解题策略 (211)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴题目5：已知函数与直线交于两点. 求证：【解析】由，，可得：①，②①-②得：③①+②得：④根据对数平均值不等式利用③④式可得：由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

带绝对值的不等式解法带绝对值的不等式在数学中是一个常见的问题，它具有一定的挑战性和复杂性。

解决这类问题需要我们掌握一些特定的解法和技巧。

1. 引言带绝对值的不等式是一个重要的数学概念，它出现在许多实际问题中。

了解如何解决这类问题对我们在数学上的学习和解决实际问题上都有很大帮助。

2. 简单的绝对值不等式解法在简单的情况下，我们可以通过将带绝对值的不等式拆分成两个不等式来解决。

对于不等式|2x - 3| > 5，我们可以分别解得2x - 3 > 5和2x - 3 < -5的解。

3. 绝对值函数的图像和性质为了更好地理解带绝对值的不等式，我们需要对绝对值函数有一定的了解。

绝对值函数的图像是一个以原点为对称中心的V形曲线，它的性质包括非负性和不等式性质。

4. 绝对值不等式的绝对值定义法当我们遇到更复杂的带绝对值的不等式时，可以使用绝对值的定义进行求解。

对于不等式|3x - 2| < 10，我们可以通过将绝对值展开为两个不等式，并结合这些不等式的解来得到原不等式的解。

5. 绝对值不等式的符号法在某些情况下，我们可以使用符号法来解决带绝对值的不等式。

符号法通过考虑绝对值的正负性和相对大小来进行推导和求解。

对于不等式|2x - 1| < |3x + 2|，我们可以通过考虑两个绝对值的正负情况，得到不等式的解集。

6. 绝对值不等式的绝对值最大最小法在解决带绝对值的不等式时，绝对值最大最小法可以帮助我们找到不等式的解集。

该方法通过求解不等式中绝对值的最大值和最小值来确定不等式的解集。

对于不等式|5x - 3| + 2 > 7，我们可以通过找到绝对值的最大值和最小值来得到不等式的解。

7. 深入理解带绝对值的不等式通过上述的解法和技巧，我们可以更深入地理解和解决带绝对值的不等式。

我们也可以应用这些思想和方法来解决更复杂的实际问题，例如在经济学、物理学和工程学等领域。

8. 总结带绝对值的不等式是数学中一个重要的概念，它在理论和实际问题中都有广泛的应用。

绝对值不等式考点与题型归纳一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2， 解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解； 当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立； 当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2， 解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|， 两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0， 解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二 绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037， 所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三 绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1， 解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1， 当－1≤x ≤2时，显然满足题意， 当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， 即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6. 解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立； 当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ， 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1； 当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1； 当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2， 解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3， 解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立， 而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.。

绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。

绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。

绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。

绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。

下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。

1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。

我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。

但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。

2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。

上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。

我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。

好的，以下是含绝对值的不等式解法知识点的教案：含绝对值的不等式解法知识点绝对值的定义绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的解法绝对值的定义绝对值是一个数到0的距离，用符号||表示，其中是一个实数。

如果是正数，则||=；如果是负数，则||=−绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的基本形式为：$|x|<a$其中是一个正实数绝对值不等式的解法1.||<的解当是正数时，||=，因此<当是负数时，||=−，因此−<，即>−综上所述，||<的解为−<<2.||>的解当是正数时，||=，因此>或<−当是负数时，||=−，因此−>，即<−或>综上所述，||>的解为<−或>3.||≤的解当是正数时，||=，因此≤当是负数时，||=−，因此−≤，即≥−综上所述，||≤的解为−≤≤4.||≥的解当是正数时，||=，因此≥或≤−当是负数时，||=−，因此−≥，即≤−或≥综上所述，||≥的解为≤−或≥例题和解答解不等式|−2|<3解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|x-2|<3$根据绝对值不等式的解法，得到：$-3<x-2<3$移项得到：$-1<x<5$因此，不等式|−2|<3的解为−1<<5解不等式|+1|>2解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|x+1|>2$根据绝对值不等式的解法，得到：$x+1>2\text{或}x+1<-2$移项得到：$x>1\text{或}x<-3$因此，不等式|+1|>2的解为>1或<−3解不等式|2−1|≤3解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|2x-1|\leq3$根据绝对值不等式的解法，得到：$-3\leq2x-1\leq3$移项得到：$-2\leq2x\leq4$因此，不等式|2−1|≤3的解为−1≤≤2总结：含绝对值的不等式是高中数学中的重要知识点。

解题宝典含绝对值的不等式问题属于基础题.解答此类问题的关键在于如何去掉绝对值,将含绝对值的不等式等价转化为常规的不等式.一般需灵活运用分类讨论思想来辅助解题.下面，我们结合实例来探讨一下几类常见含绝对值不等式问题的解法.一、||f (x )≤a 或||f (x )≥a 型对于形如||f (x )≤a 或||f (x )≥a 的绝对值不等式，我们一般需根据绝对值不等式的性质来建立关系式，即|f (x )|≤a ⇔-a ≤f (x )≤a ；|f (x )|≥a ⇔f (x )≥a 或f (x )≤-a .这样，便将绝对值不等式转化为常规的不等式，从而求得原不等式的解集.例1.解不等式||||||x -22x -12≤0.1.解析：该绝对值不等式中含有分式，可先将分式化简，然后将其转化为－0.1≤f （x ）≤0.1的形式来进行求解.解：||||||x -22x -12=||||||x -22x -12x =||||||-1x ,则-0.1≤-1x≤0.1,解得x ≥10或x ≤-10.二、||f ()x >g ()x 或||f ()x <g ()x 型对于形如||f ()x >g ()x 的绝对值不等式，我们需分情况进行讨论：（1）当f ()x ≥0时，f ()x >g ()x ；（2）当f ()x <0时，-f ()x >g ()x ，即f ()x <-g ()x ，然后解不等式组即可求出x 的解集.对于形如||f ()x <g ()x 的绝对值不等式，可直接根据绝对值不等式的性质将其转化为-g ()x <f ()x <g ()x 的形式进行求解.例2.求不等式||x -||2x +1>1的解集.解：将不等式变形可得x -||2x +1>1或x -||2x +1<-1，即||2x +1<x -1或||2x +1>x +1，则1-x <2x +1<x -1，或2x +1>x +1或2x +1<-x -1，解得x >0或x <-23，即不等式的解集为{}x |x >0或x <-23.该不等式较为复杂，我们需先将||f (x )>a 的形式进行转化，得到两个不等式，然后将其看作||f ()x >g ()x 或||f ()x <g ()x 型绝对值不等式进行求解.三、||f ()x >||g ()x 或||f ()x <||g ()x 型||f ()x >||g ()x 或||f ()x <||g ()x 型绝对值不等式的解法较为简单，我们可以将不等式两边的式子同时平方，利用a 2=||a 2去掉绝对值符号，再解不等式即可得到原不等式的解集.例3.解不等式||x -1<||x .解：将不等式两边平方可得()x -12<x 2,化简得2x >1，解得x >12，即不等式的解集为{}x |x >12.本题如果采用分类讨论法进行求解较为复杂，通过平方，便可去掉绝对值符号，有效地简化了运算.四、||f (x )-||g (x )<a 或||f (x )-||g (x )>a 型||f (x )-||g (x )<a 或||f (x )-||g (x )>a 型的绝对值不等式较为复杂，我们一般采用零点分段法或根据绝对值的几何意义进行求解.运用零点分段法求解的思路是：（1）分别令f (x )=0、g (x )=0，求得和其对应x 的取值，然后以此作为区间的分界点，将实数分为几个区间段，在每个区间段上讨论f (x )、g (x )的正负，进而去掉绝对值符号，将原不等式转化为常规不等式.绝对值||x 的几何意义为：在数轴上表示x 的点到原点的距离.在解||f (x )-||g (x )<a 或||f (x )-||g (x )>a 型不等式时，只需在数轴上找到其对应的点和不等式所对应的区域，取其交集或并集便可求得x 的取值范围.例4.求不等式||x +1+||x -2<3-x 的解集.解：令x +1=0，x -2=0，则x =-1或2，当x <-1时，不等式可转化为-x -1-x +2<3-x ，解得x >-2，所以-2<x <-1；当-1≤x <2时，不等式可转化为x +1-x +2<3-x ，解得x <0，所以-1≤x <0；当x ≥2时，不等式可转化为x +1+x -2<3-x ，解得x <43，所以解集为∅.因此不等式的解集是{}x |-2<x <0.当遇到含有一次多项式的绝对值不等式时，我们一般采用零点分段法进行求解，将实数分为多个区间段进行讨论.上述几类不等式都是常见的绝对值不等式.无论遇到哪种绝对值不等式，为了去掉绝对值符号，我们都需要对绝对值符号内的式子进行分类讨论，只有在其为正数的情况下才能去掉绝对值符号，否则就需取其相反数，才能将不等式等价转化.（作者单位：江苏省泰州实验中学）邓超41。

不等式专题：分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法一、分式不等式的解法解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。

设A 、B 均为含x 的多项式（1）00>⇔>AAB B（2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB AB B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。

二、高次不等式的解法如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式；2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如()()()120--->…n x x x x x x 的形式，其中各因式中未知数的系数为正；3、求根：求如()()()120---=…n x x x x x x 的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间三、含绝对值不等式1、绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．4、绝对值不等式：（1）(0)<>x a a 的解集是{|}-<<x a x a ，如图1．（2）(0)>>x a a 的解集是{|}<->或x x a x a ，如图2．（3）(0)+<>⇔-<+<ax b c c c ax b c ．（4）(0)+>>⇔+>ax b c c ax b c 或ax b c+<-题型一解分式不等式【例1】不等式02xx ≤-的解集为（）A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(,0)[2,)-∞+∞ D ．[0,2)【答案】D【解析】原不等式可化为()2020⎧-≤⎨-≠⎩x x x ，解得02≤<x ．故选：D ．【变式1-1】不等式2112x x +≥-的解集为（）A ．[3,2]-B ．[3,2)-C ．(,3][2,)-∞-⋃+∞D ．(,3](2,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】∵21310022++-⇒--x x x x ，解得：2>x 或3-x ，∴不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞U ，故选：D.【变式1-2】解下列分式不等式：（1）123x x +-≤1；（2）211x x+-<0.【答案】（1）{3|2x x <或4x ≥}；（2）{1|2x x <-或1x >}.【解析】（1）∵123x x +-≤1，∴123x x +-－1≤0，∴423x x -+-≤0，即432x x --≥0.此不等式等价于(x －4)32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.∴原不等式的解集为{3|2x x <或4x ≥}（2）由211x x +-<0得121x x +->0，此不等式等价于12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为1{|2x x <-或1x >}.【变式1-3】解不等式：2121332x x x x ++≥--【答案】21332⎧⎫><≠-⎨⎬⎩⎭或且x x x x 【解析】通分整理，原不等式化为：2(12)0(3)(32)+>--x x x ，它等价于：(3)(32)0210-->⎧⎨+≠⎩x x x ，得到：3>x 或23<x 且12≠-x 【变式1-4】不等式()2131x x +≥-的解集是（）A ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭U D ．(]1,11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】因为()2131x x +≥-，所以213(1)x x +≥-且10x -≠，所以23720x x -+≤且10x -≠，所以123x ≤≤且1x ≠，所以不等式的解集为(]1,11,23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，故选：C题型二解高次不等式【例2】不等式()()()21350x x x ++->的解集为___________.【答案】1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【解析】不等式()()()()()()2135021350++->⇔++-<x x x x x x ，由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为1(,3),52⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.故答案为：1(,3),52⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭⋃.【变式2-1】解不等式（x +2）（x -1）9（x +1）12（x -3）≥0.【答案】[][)-213⋃+∞,,.【解析】根据不等式标根所以原不等式的解为[][)-213⋃+∞，，.故答案为：[][)-213⋃+∞,,.【变式2-2】不等式()()1203x x x +-≥-的解集为（）A ．{1x x ≤-或}23x ≤<B ．{1x x ≤-或}23x ≤≤C ．{3x x ≥或}12x -≤≤D ．{3x x >或}12x -≤≤【答案】A【解析】不等式(1)(2)03x x x +-≥-，化为：(1)(2)0330x x x x +-⎧≤⎪-⎨⎪-≠⎩，由穿根法可知：不等式的解集为：{1x x ≤-或}23x ≤<.故选：A.【变式2-3】解下列分式不等式：（1）23221x x x -+≥-;（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+;（3）2256034x x x x ++≤--;（4）222232x x x x x +-<+-．【答案】（1）[4,)+∞；（2）12(,11)[,)[2,)23-∞-+∞ ；（3）4[3,2](1,)3--- ；（4）(1,2)(3,)-⋃+∞．【解析】（1）23221x x x -+≥-，所以232201x x x -+-≥-，所以()2322101x x x x -+--≥-，即()()24154011x x x x x x ---+=≥--，解得4x ≥，故原不等式的解集为[4,)+∞；（2）22520(32)(11)x x x x -+≥-+，所以()()2120(32)(11)x x x x --≥-+等价于()()()()()()2123211032110x x x x x x ⎧---+≥⎪⎨-+≠⎪⎩，解得2x ≥或1223x ≤<或11x <-，故原不等式的解集为12(,11)[,[2,)23-∞-+∞ （3）2256034x x x x ++≤--，所以()()()()230341x x x x ++≤-+，等价于()()()()()()2334103410x x x x x x ⎧++-+≤⎪⎨-+≠⎪⎩，解得32x --≤≤或413x -<<，故原不等式的解集为4[3,2](1,)3--- ；（4）222232x x x x x +-<+-，所以2222032x x x x x +--<+-，即()2222232032x x x x x x x +--+-<+-，即()()()()201231x x x x x -+++>-,因为210x x ++>恒成立，所以原不等式等价于()()2031x x x ->-+，即()()()2310x x x --+>，解得12x -<<或3x >，故原不等式的解集为(1,2)(3,)-⋃+∞【变式2-4】关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【解析】因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩，则原式化为：()()()()()()()10061106161-->⇔>⇔-+->-+-+ax a x x x x x x x x 所以不等式的解为11x -<<或6x >.故选：A.题型三解绝对值不等式【例3】解不等式：（1）3<x ；（2）3>x （3）2≤x 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）{|33}<->或x x x （3）{|22}-≤≤x x 【变式3-1】解不等式：（1）103-<x ；（2）252->x ；（3）325-≤x ；【答案】（1）{|713}<<x x ；（2）73{|}22><或x x x ；（3）{|14}-≤<x x 【解析】（1）由题意，3103-<-<x ，解得713<<x ，所以原不等式的解集为{|713}<<x x ．（2）由题意，252->x 或252-<-x ，解得72>x 或32<x ，所以原不等式的解集为73{|}22><或x x x ．（3）由题意，5325-<-≤x ，解得14-≤<x ，所以原不等式的解集为{|14}-≤<x x ．【变式3-2】不等式1123x <-≤的解集是___________【答案】[)(]1,01,2- 【解析】不等式可化为1213x <-≤，∴1213x <-≤，或3211x --<-≤；解之得：12x <≤或10x -≤<，即不等式1123x <-≤的解集是[)(]1,01,2- .故答案为：[)(]1,01,2- .【变式3-3】不等式111x x +<-的解集为（）A ．{}{}011x x x x <<⋃>B ．{}01x x <<C ．{}10x x -<<D ．{}0x x <【答案】D 【解析】不等式()()221111111101+<⇔+<-≠⇔+<-≠⇔<-x x x x x x x x x .故选：D.【变式3-4】解不等式：4321->+x x 【答案】1{|2}3<>或x x x 【解析】方法一：（零点分段法）（1）当34≤x 时，原不等式变为：(43)21-->+x x ，解得13<x ，所以13<x ；（2）当34>x 时，原不等式变为：4321->+x x ，解得2>x ，所以2>x ；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．方法二：43214321->+⇔->+x x x x 或43(21)-<-+x x ，解得13<x 或2>x ，所以原不等式的解集为1{|2}3<>或x x x ．【变式3-5】不等式125-+-<x x 的解集为【答案】(1,4)-【解析】当1x ≤时，1251x x x -+-<⇒>-，故11x -<≤；当12x <<时，12515x x -+-<⇒<恒成立，故12x <<；当2x ≥时，1254x x x -+-<⇒<，故24x ≤<综上：14x -<<故不等式的解集为：(1,4)-。

绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。

常利用绝对值的代数意义和几何意义。

2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。

3、绝对值三角不等式等号成立的条件：①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一：含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（1）；（2）；（3）解析：（1）由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是；（2）原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是；（3）由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华：不等式的解集为；不等式的解集为.举一反三：【变式】（2011山东，4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析：原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）.举一反三：【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是（-∞,-5）∪(-3,-1)∪(1, +∞）3、解不等式1|2x-1|<5.解析：法一：原不等式等价于①或②解①得：1x<3 ；解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二：原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三：【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4＜|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1)，(2)的解的交集：∴原不等式的解集为：4、解不等式：|4x-3|>2x+1.思路点拨：关键是去掉绝对值符号。