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专题五 直线与二次曲线直线与二次曲线问题是高中数学的重点内容，根据对近几年高考试题分析，本专题分值均占全卷的20%—25%，且选择题，填空题，解答题均有涉及到，是高考的重，热点问题。
这一专题在高考中占有一定的地位，主要呈现在以下几个方面：1． 考直线与圆的有关基本概念，基本方法多以选择题或填空题的形式出现，基本属于中，低档题，有时也分散在解答题目中，特别是近年出现的线形规划，解析几何与向量结合等是常考的试题。
2． 考查圆锥曲线的基本概念，标准方程与几何性质等基础知识，以及处理有关问题的基本技能，基本方法，也常以选择题和填空题目形式出现。
3． 直线与二次曲线的位置关系，圆锥曲线与有关知知识综合问题常以压轴题或中难度题目的形式出现，性质，基本概念，基础知识常以新的知识为载体，附以新的情景，考察学生的综合应用知识灵活解决问题的能力。
考点一 （直线与圆）例1：已知坐标平面内，A242m m -+），B （1，2m —6）（m ∈R ），则直线AB 的倾斜角取值范围（ ）例2：设x ，y 满足约束条件 4335251x y x y x -≤-+≤≥ 分别求：（1） Z=y x最大值，最小值。
（2） Z=∣x-4y+1∣的最大值，最小值例3：有定点P （6，4）及定直线L ：y=4x ，点Q 是在直线L 上第一象限内的点，直线P ，Q 交x 轴的正半轴于M ，问点Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小考点二（二次曲线的概念及性质）例1：在平面直角坐标系中，若方程222(21)23m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，求实数m 的取值范围。
例2：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1为顶点，F 2为焦点的抛物线交椭圆第二象限于P ，椭圆离心率为e ，且∣PF 1∣=e ∣PF 2∣，求e 的值。
例3：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(,0)x y m n m n-=>有公共焦点F 1，F 2，P 是它们一个公共点。
认识平面曲线直线抛物线和双曲线认识平面曲线：直线、抛物线和双曲线平面曲线是数学中的一个重要概念，在几何学和微积分等领域有广泛的应用。
平面曲线可以分为不同种类，其中最基本的三种类型是直线、抛物线和双曲线。
本文将详细介绍这三种平面曲线的特点和性质。
一、直线直线是最简单的曲线类型，它的特点是始终保持相同的斜率。
直线可以通过两点或一点和斜率来确定其方程。
直线方程的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
斜率为正表示直线向上倾斜，而斜率为负则表示直线向下倾斜。
斜率为零时，直线为水平线，斜率不存在时，直线为垂直线。
直线具有以下性质：1. 直线是无限延伸的，没有起点和终点。
2. 直线上的两点可以确定一条直线。
3. 直线上的所有点的坐标满足直线方程。
4. 直线的斜率决定了其倾斜方向和程度。
二、抛物线抛物线是一种平面曲线，其形状像一个U或者倒U。
抛物线的方程一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线的开口方向取决于系数a的正负性，当a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是关于y轴对称的，即对于任意点(x, y)，如果点在抛物线上，那么点(-x, y)也在抛物线上。
2. 抛物线的焦点表示为(F, p)，其中p为焦距，具有以下性质：- 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线(y = -(p/2))的距离。
- 抛物线上任意一点到准线的距离等于该点到焦点的距离。
3. 抛物线上的点分布对称，以抛物线的顶点为中心，对称轴为x = -b/2a。
三、双曲线双曲线是一种平面曲线，其形状类似于两个离心率大于1的对称的弯曲线段。
双曲线的方程一般形式为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b 为正常数。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线与两条渐近线无限靠近但永远不会相交。
2. 双曲线具有两个分支，分别呈现对称性。
3. 双曲线的焦点和准线的关系与抛物线相似，其中焦点到双曲线上任意一点的距离与该点到准线的距离之差等于常数。
曲线及其方程知识点总结一、直线的方程1. 斜率和截距法直线的方程可以用斜率和截距来表示。
直线的斜率是指直线上一点的纵坐标和横坐标的变化率，截距是指直线和y轴或x轴相交的坐标。
若直线的斜率为m，截距为b，则直线的方程可以表示为y=mx+b或者x=my+b。
2. 两点式直线的两点式表示了通过两个已知点的直线方程。
若已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2,y2)，则直线的方程可以表示为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
3. 截距式直线的截距式表示了直线和坐标轴的截距关系。
若已知直线的x轴截距为a，y轴截距为b，则直线的方程可以表示为x/a+y/b=1。
二、曲线的方程1. 二次曲线二次曲线的一般方程可以表示为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。
其中A、B、C、D、E、F为常数。
二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
- 圆的方程圆的一般方程可以表示为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。
其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
- 椭圆的方程椭圆的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。
其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长。
- 双曲线的方程双曲线的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1。
或者(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=-1。
其中(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的半轴长。
- 抛物线的方程抛物线的一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c或者x=ay^2+by+c。
其中a不等于0。
抛物线的开口方向取决于系数a的正负性。
2. 极坐标方程极坐标方程是一种表示曲线的方程，它使用极坐标系下的极径r和极角θ来表示曲线上任意一点的位置。
极坐标方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极坐标方程的极坐标函数。
三、参数方程参数方程是一种用参数的形式表示曲线的方程。
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
直线与二次曲线黄梅县第五中学 李旭东二次曲线是高中数学中的重点和难点内容，还是高考必考内容，且比重大。
下面是我多年任教二次曲线的一点心得。
直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决:一.弦长问题例1.设椭圆6x 2+2y 2=12中有一内接三角形PAB,过O,P 的直线的倾斜角为,0k k BP ,AP ,3BP AP =+π的斜率符合直线 (1)试证过A,B 的直线的斜率是定值; (2)求ΔPAB 面积的最大值.解:).3,1(P ),3,1(P 12y 2x 6x 3y :OP )1(2122--=+=得代入将.3x x y y k :03y 1x 3y 1x ,01x 3y 1x 3y A B AB AB 22112211=--==+++++=--+--相乘得将06b bx 32x 6:,12y 2x 6,b x 3y :AB )2(2222=-++=++=得代入为不妨设|,b |21d :AB P , b 3416|x x |)3(1|AB |2B A 2=-=-+=∴的距离为到 .6b .3b )b 12(63S 22APB ±=≤-=∴∆此时 例2.,2 B ,A C ),0,3(B )0,3(A 值为两点的距离的差的绝对到动点和已知点- 点C 的轨迹与直线y=x －2交于D ，E 两点，求线段DE 的长。
答案：(1)设点C （x ，y ），则|CA|－|CB|=±2根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为： 2b ,1a ,32c 2,2a 2,12y a x 22222=====-得由12y x C 22=-∴的轨迹方程是点6x 4x ,2x y 12y x )2(222=-+⎪⎩⎪⎨⎧-==-得由∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点D 、E ， 设D(x 1，y 1)，E （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=﹣6…54x x 4)x x (2)y y ()x x (|DE |21221221221=-+=-+-=∴二.对称问题例3.在以O 为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为ΔOAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B 的坐标大于零。
初中数学曲线知识点总结一、直线直线是最简单的曲线之一，其方程一般为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
直线的斜率k表示直线上的任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，斜率为正表示直线上升，为负表示下降，斜率为0表示水平直线，而斜率不存在则表示垂直直线。
通过斜率和截距我们可以画出直线的图像，判断直线的方向和位置。
二、抛物线抛物线是一种二次函数的图像，其一般方程为y = ax^2 + bx + c。
抛物线可以向上开口，也可以向下开口，开口方向由二次项系数a的正负决定。
如果a>0，则抛物线向上开口；如果a<0，抛物线向下开口。
抛物线的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得到。
抛物线还有对称轴和焦点等概念，这些都是建立在抛物线的基本方程上。
三、双曲线双曲线是一种具有两个分支的曲线，其一般方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或者x^2/a^2 -y^2/b^2 = -1。
双曲线图像的特点是两个分支分别朝两个方向无限延伸，两个分支之间有一个对称中心。
双曲线的焦点、渐近线等概念可以通过双曲线的方程计算得到。
四、椭圆椭圆是一种闭合曲线，其一般方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
椭圆的图像是一个圆形，长轴和短轴可以通过方程中a和b的取值计算得到。
椭圆的焦点和离心率等概念都可以通过椭圆的方程来计算确定。
五、其他曲线除了上述几种常见的曲线外，还有一些其他类型的曲线，如圆、双曲线、悬链线等。
这些曲线都有各自的方程和特点，需要通过数学方法进行计算和分析。
总结：初中数学曲线知识点涉及到多种曲线的方程、图像和特点，掌握这些知识可以帮助学生解决数学问题，理解数学原理。
通过对直线、抛物线、双曲线、椭圆等曲线的学习，可以提高学生对数学的认识和理解能力，为高中数学学习打下坚实的基础。
因此，初中学生应该认真学习这些数学曲线知识，多做练习，深入理解曲线的性质和特点。
直线与二次曲线黄梅县第五中学 李旭东二次曲线是高中数学中的重点和难点内容，还是高考必考内容，且比重大。
下面是我多年任教二次曲线的一点心得。
直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决:一.弦长问题例1.设椭圆6x 2+2y 2=12中有一内接三角形PAB,过O,P 的直线的倾斜角为,0k k BP ,AP ,3BP AP =+π的斜率符合直线 (1)试证过A,B 的直线的斜率是定值; (2)求ΔPAB 面积的最大值.解:).3,1(P ),3,1(P 12y 2x 6x 3y :OP )1(2122--=+=得代入将.3x x y y k :03y 1x 3y 1x ,01x 3y 1x 3y A B AB AB 22112211=--==+++++=--+--相乘得将06b bx 32x 6:,12y 2x 6,b x 3y :AB )2(2222=-++=++=得代入为不妨设 |,b |21d :AB P , b 3416|x x |)3(1|AB |2B A 2=-=-+=∴的距离为到 .6b .3b )b 12(63S 22APB ±=≤-=∴∆此时 例2.,2 B ,A C ),0,3(B )0,3(A 值为两点的距离的差的绝对到动点和已知点- 点C 的轨迹与直线y=x －2交于D ，E 两点，求线段DE 的长。
答案：(1)设点C （x ，y ），则|CA|－|CB|=±2根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为：2b ,1a ,32c 2,2a 2,12y a x 22222=====-得由12y x C 22=-∴的轨迹方程是点6x 4x ,2x y 12y x )2(222=-+⎪⎩⎪⎨⎧-==-得由∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点D 、E ， 设D(x 1，y 1)，E （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=﹣6…54x x 4)x x (2)y y ()x x (|DE |21221221221=-+=-+-=∴二.对称问题例3.在以O 为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为ΔOAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B 的坐标大于零。
; )1(的坐标求向量(2)求圆x 2-6x+y 2+2y=0关于直线OB 对称的圆的方程；(3)是否存在实数a, 使抛物线y=ax 2-1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在， 说明理由；若存在，求a 的取值范围。
答案：10)3y (1)-(x (2) }8,6{AB )1(22=-+=则对称的两点为抛物线上关于直线设,OB )y ,x (Q ),y ,x (P )3(2211⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+2212121212121a 2a 25x x a 2x x 2x x y y 02y y 22x x 得的两个相异实根为方程即0a 2a25x a 2x x ,x 2221=-++故存在得于是,23a ,0a 2a 254a 422>>--=∆例4.给定椭圆C:x 2+4y 2= 4.(1)若A,B 是曲线C 上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两点的对称轴L 在x 轴上的截距t 的取值范围;(2)对于(1)中的t 的取值范围内的t o ,过点M (t o ,0)作直线L,设L 是曲线C 上关于坐标轴不对称的两点A,B 的对称轴,求直线L 的斜率k 的取值范围. 解:)2x x x (y y x x 2y y y :L ),y ,x (B ),y ,x (A )1(211212212211+----=+-的方程为则设23t 23),4,4()x x (83 t ,0y 21<<--∈+==故得令).t 3k,t 34P(AB 0),(k )t x (k y :L )2(o o o 的中点为的方程为设直线≠-=)0 t ( 0k ,R k t t 49k ,4)t 3k(4)t 34(o 2o2o 22o 2o =≠∈-<<+且或即则 .23|t |,0(k |t |t 49k |t |t 49, 0t ;0k ,R k ,0t o o 2o o 2o o o <≠-<<--≠≠∈=∴时当且时当三.成比例线段例5.E L )0,1(C ,32e ,x ,O E 与椭圆的直线过点其离心率轴上焦点在中心在原点椭圆-= 相交于A 、B 两点，且C 分有向线段AB 的比为2. （Ⅰ）用直线l 的斜率k (k ≠0)表示△OAB 的面积; （Ⅱ）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程.答案：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为1by a x 2222=+(a ＞b ＞0)，由e =32a c =∴a 2=3b 2 故椭圆方程x 2+3y 2=3b 2 1分设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由于点C （－1，0）分有向线段AB 的比为2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x 即⎩⎨⎧-=+-=+21212)1(21y y x x 由⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2－3b 2=0 由直线l 与椭圆E 相交于A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+-=13331360)23)(13(4362222122212224k b k x x k k x x b k k k Δ而S △OAB |1x ||k |23|)1x (k |23|y |23|y y 2|21|y y |212222221+=+==--=-=⑥由①④得:x 2+1=－1322+k ，代入⑥得：S △OAB =)0k (1k 3|k |32≠+（Ⅱ）因S △OAB =23323|k |1|k |331k 3|k |32=≤+=+,当且仅当,33k ±=S △OAB 取得最大值 此时x 1+x 2=－1,又∵3x 2x 21+=－1 ∴x 1=1,x 2=－2 将x 1,x 2及k 2=31代入⑤得3b 2=5∴椭圆方程x 2+3y 2=5例6..c ,|x 3c3|y )c x (:M 22为正常数其中的点所组成是由方程已知曲线+=++ (1)判断曲线的形状, 简单说明理由 ；,21x ,R ,Q ,P M )c x (322y )2(R -=+=且它们的中点为于不同两点交若直线 求曲线M 的方程;于交直线于的直线交过点中所求的曲线对于29x ,C ,B M )0,2(A ,M )2()3(-=-.0:,, D ,A ,D 2121=λ+λλλ求证所成的比分别为分点点 解:,0y M ,3c ,3c|c9x |y )c x (:)1(22===+++为直线时当原方程可化为 当c>3时,为双曲线;当0<c<3时,为椭圆.18y 9x :M )2(22=+方程为此时曲线(3)略.四.与向量有关例7.设x 、y ∈R ， i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量 a =xi+(y+2)j,b=xi+ (y-2)j,｜a ｜+｜b ｜=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C 的方程； (2)过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设,OB OA OP +=是否存在 这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形?若存在，求出直线l 的方程； 若不存在，试说明理由.答案：(1)解法一：∵a =xi+(y+2)j, b =xi+(y-2) j ，且｜a ｜+｜b ｜=8，∴点M(x,y)到两个定点 F1(0，-2)，F2(0，2)的距离之和为8.116y 12x :,F F C 2221=+∴方程为为焦点的椭圆为以轨迹(2)∵l 过y 轴上的点(0，3)，若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点. ∵=0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在， 设l 方程为y=kx+3，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).k 3421x x ,k 34k 18x x 021kx 18x )k 34(:116y 12x 3kx y 2212212222+-=+-=+∴=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=消去得由此时，Δ=(18k)2-4(4+3k 2)(-21)＞0恒成立， OB OA OP += ∵∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即0=⋅ ∵OA=(x 1,y 1)，OB=(x 2,y 2)，x 1x 2+y 1y 2=0 3x 45y :,45k 09)x x (k 3x x )k 1(21212+±=±==++++故存在直线为得即例8.椭圆x 2+2y 2=8和点P(4,1),过P 作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),在AB 上点的轨迹方程式求适合条件取点Q ,AQ PB QB AP :Q ∙-=∙ 解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λ-λ-=λ-λ-λ=1y y y 1x x x 11y y 41x x ,),y ,x (Q 21212121则令设 y 1y y ,x 41x x ,222221222221=λ-λ-=λ-λ-得对应式相乘.8)88(11)y 2x y 2x (11y 2x 42222222221212=λ-λ-=⋅λ-λ-+λ-=+∴ 即Q 点轨迹方程是:2x+y=4 (在椭圆内部的部分,不含端点)练习1．已知抛物线C ：ｙ=-0.5x 2+6,点P （2，4），A 、B 在抛物线上，且直线PA 、PB 的 倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB（Ⅱ）当直线AB 在ｙ轴上的截距为正数时，求△P AB 的面积S 的最大值及此时 直线AB 的方程.答案：(Ⅰ)易知点P 在抛物线C 上,设PA 的斜率为k ,则直线PA 的方程是ｙ-4=k (x -2))1k (4kx 2x :, 6x 21y 22=+-++-=整理得中代入此时方程应有根x A 及2，由韦达定理得：2x A =-4(k +1)x A =-2(k +1)∴ｙA =k (x A -2)+4=-2k 2-4k +4A (-2(k +1),-2k 2-4k +4)由于PA 与PB 的倾斜角互补，故PB 方程的斜率为-k . 同理可得：B (-2(-k +1),-2k 2+4k +4)k AB =2(Ⅱ)由（Ⅰ）得∴直线AB 的方程为：ｙ=2x +b ,b ＞0，6b x 2x 21:, 6x 21y 22=-+++-=整理得中代入)b 216(52)]6b (24)[21(2|AB |2-=--+=b b )b 216(5b )b 216(5221d AB 21S ⋅⋅-=⋅-⋅==∴3162x y : 9364)3b b b 216( 3+==++-≤此时方程为2．.如图点F (a ，0),(a>0),点P 在y 轴上运动,M 在x 轴上,N 为动点,,=+=⋅且(1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F （a ，0）的直线l （不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，.20:, KB KA ),0,a (K π<θ<θ-求证的夹角为与设点答案：（1）（方法一),MN P ),y ,x (N 的中点是即设=+1a 2yx 2y ,PF PM ,0),2y,0(P ),0,x (M -=-⋅∴⊥∴=⋅-∴∴y 2=4ax 即为所求.(方法二）设N （x ，y ），M （x 0，0），P （0，y 0） 则).y y ,x (),y ,a (),y ,x (0000-=-=-=,0)y 2y ,x x (,0PM PN ,0y ax ,0PF PM o 2o o =-+=+=+=⋅得由得由即为所求代入得即,ax 4y :,2y y ,x x ,0y 2y ,0x x 20000=⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=+（2）设l 的方程为y =k （x －a ），.0a 4y k a4y x ),a x (k y ,ax 4y 222=--⎩⎨⎧-==得：消去由设A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),则y 1y 2=－4a 2，21212211y y )a x )(a x (KB KA ),y ,a x (KB ),y ,a x (KA +++=⋅+=+= 222221222212122121a 4a )a 4ya 4y (a )a 4(y y y y a )x x (a x x -++⋅+=++++=0a 2a 421a 2|)y y |2(41a 2)y y (412222122221=-⨯=->-+=.20,0cos π<θ<∴>=θ∴3．如图，A 、B 为两个定点，且 | AB | =23，动点M 到A 的距离为4，线段MB 的垂直平分线L 交MA 于点P ，请你建立适当的直角坐标系. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线x-y+1=0与曲线C 交于E 、F 两点，O 为坐标原点，试求△OEF 的面积.答案：（1）以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则A （-3，0），B （3，0），∵| AP | + | PB | = | PA | + | PM | =4＞23， ∴P 点的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（4分） ∴2a=4，2c=23，∴a=2，c=3，b=1，∴P 点的轨迹方程为4x 2+y 2=1.（6分）（2）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2） 04y 4)1y (1y 4x 01y x 2222=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-得由即5y 2-2y-3=0.解得y 1=-53，y 2=1，设直线x-y+1=0与x 轴的交点为P （-1，0）∴S △OEF =S △OPE +S △OPF =21| OP | | y 1 | +21| OP | · | y 2 |=21| OP | ·（| y 1 | + | y 2 |）=21×1×5458=. 4.已知曲线C 的方程为：)R k (1k y )k 4(kx 22∈+=-+（Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x-1对称， 若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。
