直线与二次曲线的交点学案

8.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹是双曲线;(2)若a c,则点M的轨迹是两条射线;(3)若a c,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质图形续表2 2−y2b2=1(a>0,b>0)y2a2−x2b2=1(a>0,b>1.过双曲线x2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0xa 2−y 0y b 2=1.2.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (x 0,y 0)为双曲线上任意一点,且不与点F 1,F 2共线,∠F 1PF 2=θ,则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.3.若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)内,则被点P 所平分的中点弦的方程为x 0x a 2−y 0y b 2=x 02a 2−y 02b 2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M (x 0,y 0)为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的弦AB (不平行y 轴)的中点,则k AB ·k OM =b 2a2,即k AB =b 2x0a 2y 0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),当点M (x 0,y 0)在双曲线右支上时,|MF 1|=ex 0+a ,|MF 2|=ex 0-a ;当点M (x 0,y 0)在双曲线左支上时,|MF 1|=-ex 0-a ,|MF 2|=-ex 0+a.6.若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min =a+c ,|PF 2|min =c-a.7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b 2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)双曲线x2m2−y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2−y2n2=0,即xm±yn=0.()(3)关于x,y的方程x2m −y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)与双曲线x2m −y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m−y2n=λ(λ≠0).()(5)若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2−y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.“m>0”是“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程为()A.x212-y2=1 B.x29−y23=1C.x2-y23=1 D.x223−y232=14.(2019北京,5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是√5,则a=() A.√6 B.4C.2D.125.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义【例1】(1)已知点F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,则双曲线C的虚轴长为.(2)已知双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ,B 两点.若△ABF 2的内切圆与边AB ,BF 2,AF 2分别相切于点M ,N ,P ,且|AP|=4,则a 的值为 .解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.对点训练1(1)(2020河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 29=1(a>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M 在双曲线C 上,且|MF 2|=6,则|MF 1|=( )A.2或14B.2C.14D.2或10(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 1的直线交双曲线C 的左支于A ,B 两点,且|AF 2|=3,|BF 2|=5,|AB|=4,则△BF 1F 2的面积为 .考点双曲线的标准方程【例2】(1)已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切,与圆C 2:(x-4)2+y 2=2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22−y 214=1(x ≥√2) B.x 22−y 214=1(x ≤-√2) C.x 22+y 214=1(x ≥√2) D.x 22+y 214=1(x ≤-√2)(2)在平面直角坐标系中,经过点P (2√2,-√2),渐近线方程为y=±√2x 的双曲线的标准方程为( )A.x 24−y 22=1 B.x 27−y 214=1C.x 23−y 26=1D.y 214−x 27=1(3)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线的标准方程可能为( ) A.x 24−y 23=1B.x 23−y 24=1C.x 216−y 29=1D.x 29−y 216=1解题心得1.求双曲线标准方程的答题模板2.利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 (1)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1共渐近线的方程可设为x 2a 2−y 2b 2=λ(λ≠0);(2)若双曲线的渐近线方程为y=±bax ,则双曲线的方程可设为x 2a2−y 2b 2=λ(λ≠0);(3)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x 2m +y 2n=1(mn<0)或mx 2+ny 2=1(mn<0).对点训练2(1)(2020河南安阳模拟)过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (c ,0)作其渐近线y=√32x 的垂线,垂足为M ,若S △OMF =4√3(O 为坐标原点),则双曲线的标准方程为( )A.x 24−y 23=1 B.x 28−y 26=1 C.x 216−y 212=1D.x 232−y 224=1(2)过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线,与双曲线C 的一条渐近线相交于点A.若以双曲线C 的右焦点F 为圆心,4为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( )A.x 24−y 212=1 B.x 27−y 29=1 C.x 28−y 28=1 D.x 212−y 24=1(3)经过点P (3,2√7),Q (-6√2,7)的双曲线的标准方程为 .考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1 求双曲线的渐近线方程【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F ,点A ,B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB 为直径的圆过点F 且交双曲线C 的左支于M ,N 两点,若|MN|=2,△ABF 的面积为8,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±2xD.y=±12x解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)中a ,b 的值或a 与b 的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为( )A.y=±√33x B.y=±√3x C.y=±√22xD.y=±√2x考向2 求双曲线的离心率【例4】(2020广东汕尾一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),F 为双曲线C 的右焦点,A 为双曲线C 的右顶点,过点F 作x 轴的垂线,交双曲线C 于M ,N 两点.若tan ∠MAN=-34,则双曲线C 的离心率为( )A.3B.2C.43D.√2解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法 (1)求a ,b ,c 的值,由e=ca =√1+b 2a 2直接求出e.(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助b 2=c 2-a 2消去b ,然后转化为关于e 的方程(或不等式)求解.对点训练4(2019全国2,理11)设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( )A.√2B.√3C.2D.√5考向3 与双曲线有关的取值范围问题【例5】已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点,若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是( )A.(-√33,√33) B.(-√36,√36) C.(-2√23,2√23) D.(-2√33,2√33)解题心得与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化为不等式求解.(2)若条件中没有明显的不等关系,则要善于发现隐含的不等关系来解决. 对点训练5已知焦点在x 轴上的双曲线x 28-m+y 24-m=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 .考点双曲线与圆的综合问题【例6】已知点P 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点,F 1,F 2为双曲线C 的左、右焦点,若|PF 1|=|F 1F 2|,且直线PF 2与以双曲线C 的实轴为直径的圆相切,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±43x B.y=±34xC.y=±35xD.y=±53x对点训练6过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点F 作圆O :x 2+y 2=a 2的两条切线,切点为A ,B ,双曲线的左顶点为C ,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±√2x D.y=±√22x8.6 双曲线 必备知识·预案自诊知识梳理1.距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)< (2)= (3)> 3.坐标轴 原点 (-a ,0) (a ,0) (0,-a )(0,a)a2+b22a2b考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.A由“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”得m(m+2)>0,即m>0或m<-2,又“m>0”是“m>0或m<-2”的充分不必要条件,故“m>0”是“方程x 2m −y2m+2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.3.C由双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得{2a2-3b2=1,b a =√3,解得{a=1,b=√3.故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.4.D∵双曲线的离心率e=ca =√5,c=√a2+b2,∴√a2+1a=√5,解得a=12.故选D.5.5 3由题意知直线y=-bax过点(3,-4),所以3ba=4,即ba=43,所以e=ca=√1+b2a2=√1+169=53.关键能力·学案突破例1(1)2√2(2)2(1)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,所以S△AF1F2=2√3,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cosπ3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.又S△AF1F2=12r1r2sinπ3=2√3,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为2√2.(2)由题意知|BM|=|BN|,|PF2|=|NF2|,|AM|=|AP|=4.根据双曲线的定义,知|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|AM|+|AF1|-|NF2|=|AM|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.对点训练1(1)C(2)92(1)由题意知3a=34,故a=4,则c=5.由|MF2|=6<a+c=9,知点M在双曲线C的右支上.由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a=8,所以|MF1|=14.(2)因为|AF2|=3,|BF2|=5,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,所以∠F2AB=90°,所以S△BF1F2=12|BF1||AF2|=12×3×3=92.例2(1)A(2)B(3)D(1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+√2,|MC2|=r-√2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=2√2<|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2√2的双曲线的右支上,所以a=√2,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x22−y214=1(x≥√2).(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±√2x ,所以可设所求双曲线的方程为2x 2-y 2=k (k ≠0).又点P (2√2,-√2)在双曲线上,所以k=16-2=14,所以双曲线的方程为2x 2-y 2=14,所以双曲线的标准方程为x 27−y 214=1.故选B .(3)由(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可知(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|F 2A|=|F 1F 2|=2c.又AF 2的斜率为247,所以cos ∠AF 2F 1=-725.在△AF 1F 2中,由余弦定理得|AF 1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a ,即c a=53,所以a ∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x 29−y 216=1.故选D .对点训练2(1)C (2)A (3)y 225−x 275=1(1)由题意易得|FM|=b ,又|OF|=c ,FM ⊥OM ,所以|OM|=√|OF |2-|FM |2=a.联立{ba =√32,12ab =4√3,解得{a =4,b =2√3, 所以双曲线的标准方程为x 216−y 212=1.故选C .(2)不妨设渐近线y=ba x 与直线x=a 交于点A ,则点A (a ,b ).依题意,c=4,√(4-a )2+b 2=4,a 2+b 2=c 2=16,解得a 2=4,b 2=12,故双曲线的标准方程为F 24−y 212=1.(3)设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1(mn<0).因为所求双曲线经过点P (3,2√7),Q (-6√2,7), 所以{9m +28n =1,72m +49n =1,解得{m =-175,n =125.故所求双曲线的方程为y 225−x 275=1.例3B 不妨设点A ,B 在直线y=b a x 上,点F (c ,0),则设点A (x 0,b a x 0),B -x 0,-bax 0.因为以AB 为直径的圆过点F ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2-x 02−b 2a2x 02=c 2-c 2a2x 02=0,所以x 0=±a.所以S △ABF =12·c·|2bax 0|=bc=8.由{x 2+y 2=c 2,x 2a 2-y 2b 2=1,得y=±b 2c ,则|MN|=2b 2F=2,即b 2=c.所以b=2,c=4,所以a=√c 2-b 2=2√3.所以双曲线C 的渐近线方程为y=±√33x.故选B .对点训练3A 由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12,即x 2a 22−y 2b 22=1的焦点相同,可得a 2-b 2=a 22+b 22,即a 2=3b 2,所以ba =√33.所以双曲线的渐近线方程为y=±√33x.故选A .例4B 由题意可知tan ∠MAN=2tan∠MAF1-tan 2∠MAF =-34,解得tan ∠MAF=3.令x=c ,则y=±b 2a , 可得tan ∠MAF=b 2ac -a =c 2-a 2ac -a=c+a a=3,则e=ca =2.故选B .对点训练4A 如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴.∵|PQ|=|OF|=c ,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心,∴|OA|=c2. ∴Pc 2,c 2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c24+c 24=a 2,即c22=a 2,∴e 2=c2a 2=2,∴e=√2.故选A .例5A 因为点F 1(-√3,0),F 2(√3,0),x 022−y 02=1,所以MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x 0,-y 0)·(√3-x 0,-y 0)=x 02+y 02-3<0,即3y 02-1<0,解得-√33<y 0<√33.对点训练5(0,2) 因为双曲线x 28-m+y 24-m =1的焦点在x 轴上,所以{8-m >0,4-m <0,解得4<m<8.所以焦点到渐近线的距离d=√m -4∈(0,2).例6A 如图.由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|=√c2-a2=b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=bc =(2c)2+(2a+2c)2-(2c)22×2c×(2a+2c),整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得ba=43.所以双曲线C的渐近线方程为y=±43x.故选A.对点训练6A如图,连接OA,OB.设双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),则点C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性,可知点A与点B关于x轴对称,则∠ACO=∠BCO=12∠ACB=12×120°=60°.因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形,所以∠AOC=60°.因为FA与圆O相切于点A,所以OA⊥FA.在Rt△AOF中,因为∠AOC=60°,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,所以b=√c2-a2=√(2a)2-a2=√3a.所以双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±√3x.。

第2课时 双曲线几何性质的应用学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( × ) 2．直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．( √ )类型一 直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 (1)由e ＝233，可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1.将点P (6，1)代入双曲线C 的方程， 解得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，消去y ，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－－3k2－，1－3k 2≠0，解得－1<k <1且k ≠±33. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 当直线l 的斜率不存在时， 直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0时，k ＝±2，直线l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点； 当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题 例2 双曲线的方程是x 24－y 2＝1.(1)直线l 的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为8311，求直线l 的方程；(2)过点P (3,1)作直线l ′，使其被双曲线截得的弦恰被P 点平分，求直线l ′的方程． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入双曲线方程，得3x 2＋8mx ＋4(m 2＋1)＝0， Δ＝(8m )2－4×3×4(m 2＋1)＝16(m 2－3)>0， ∴m 2>3.设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－83m ，x 1x 2＝m 2＋3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，得 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m 2－m 2＋3＝8311， ∴42×m 2－33＝8311，即m ＝±5，满足m 2>3，∴直线l 的方程为y ＝x ±5.(2)设直线l ′与双曲线交于A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)两点， 点P (3,1)为A ′B ′的中点，则x 3＋x 4＝6，y 3＋y 4＝2. 由x 23－4y 23＝4，x 24－4y 24＝4，两式相减得(x 3＋x 4)(x 3－x 4)－4(y 3＋y 4)(y 3－y 4)＝0， ∴y 3－y 4x 3－x 4＝34，∴l ′的方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2－10y ＋114＝0，满足Δ>0，∴所求直线l ′的方程为3x －4y －5＝0.反思与感悟 (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k 要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．跟踪训练2 设双曲线的顶点是椭圆x 23＋y 24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x －3y ＋6＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)． (1)求此双曲线的方程； (2)求|AB |.考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)已知椭圆的焦点为(0，±1)， 即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y 2－mx 2＝1(m >0)，① 又直线15x －3y ＝－6，②A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①②组成的方程组的两个解．由⎩⎨⎧y 2－mx 2＝1，15x －3y ＝－6，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53－m x 2＋4153x ＋3＝0， 当m ＝53时，显然不满足题意．当m ≠53时，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－415353－m ，x 1x 2＝353－m ，又OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝83x 1x 2＋2153(x 1＋x 2)＋4＝0，∴83×353－m ＋2153×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－415353－m ＋4＝0，∴m ＝13，经验证，此时Δ>0.∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝94，∴|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1532×－152－4×94＝4.类型三 由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)例3 已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2，所以b ＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，可得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，故k 2≠13且k 2<1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2. 又因为y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝－9k 21－3k 2＋12k21－3k2＋2＝3k 21－3k2＋2. 所以－91－3k 2＋3k 21－3k 2＋2>2，所以3k 2－91－3k 2>0.又因为k 2≠13且k 2<1，所以13<k 2<1.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪－1<k <－33或33<k <1. 反思与感悟 当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解． 跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.∴当双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)．由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线上的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜2B ．－1＜k ＜1C ．0＜k ＜2D ．－2＜k ＜0考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 A解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k ＜2.2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，将x ＝－1代入直线方程y ＝x －1得y ＝－2，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的其他问题 答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0， ∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34，此时Δ>0，符合题意，∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 答案 3解析 当直线l 交双曲线于左右两支时，因为2a ＝2，而|AB |＝4，故可有两条．若直线l 交双曲线于同支，当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1D ．y 2－x 24＝1 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 B2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A.2B.3C ．2D ．3 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a .依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1(a >b >0)的一条渐近线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1交于点M ，N ，则|MN |等于( )A ．a ＋b B.2aC.a 2＋b 2 D.a 2－b 2考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 C解析 双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1的一条渐近线方程为y ＝ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝±22a . 所以|MN |＝1＋b 2a 2|x 2－x 1|＝a 2＋b 2a 2·2a＝a 2＋b 24．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( ) A.14B.35C.34D.45 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2 a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 5．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B解析 由双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，点P (1,0)是双曲线的右顶点，则直线x ＝1与双曲线只有一个公共点，过点P (1,0)且平行于渐近线y ＝±2x 时，直线l 与双曲线只有一个公共点，有2条，故满足题意的直线共3条． 6．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 26－y 23＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， 两式相减可得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2.∵线段AB 的中点坐标为N (－12，－15)， ∴－x 1－x 2a 2＝－y 1－y 2b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2.∵直线的斜率为－15－12－3＝1， ∴4b 25a 2＝1. ∵右焦点为F (3,0)，∴a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1. 7．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 考点 双曲线的几何性质题点 双曲线范围的应用答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33. 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B ．4 C.233 D. 3考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，A 为双曲线上一点，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，B 为双曲线上一点，则|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由用余弦定理，得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，即e ＝7.二、填空题 9．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，则其两条渐近线方程为________． 考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 y ＝±34x 解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1，∴b ＝3， 又双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋9a 2＝54， 解得a ＝4， ∴双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x .10．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 3215 解析 双曲线右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是43，则直线FB 的方程是y ＝43(x －5)，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为－3215，故△AFB 的面积为12×|AF ||y B |＝12×2×3215＝3215. 11．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (1，5]解析 由题意可得，双曲线的渐近线的斜率ba≤2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤ 5. 又e >1，则离心率e 的取值范围是(1，5]．12．过P (8,3)作双曲线9x 2－16y 2＝144的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 3x －2y －18＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P (8,3)为弦AB 的中点，可得x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6，又9x 21－16y 21＝144,9x 22－16y 22＝144，两式相减，可得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即为9(x 1－x 2)－6(y 1－y 2)＝0，可得k AB ＝y1－y 2x 1－x 2＝32，则直线AB 的方程为y －3＝32(x －8)，即3x －2y －18＝0.三、解答题13．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且双曲线过点(－3,42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，则设双曲线的方程为x 2－y24＝λ(λ≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，解得λ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y24＝1，整理得3x 2－12x ＋10＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 由弦长公式可知|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42－4×103＝21023， ∴|AB |的值为21023. 四、探究与拓展 14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作一条与其渐近线平行的直线l ，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，求双曲线C 的离心率． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ， 又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b2＝1， 化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a ＝2＋ 3.15．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？ 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.由题意可得3－a 2≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋a 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2＝2＋a 2－a 2|3－a 2|.(2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0.即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.经检验当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．。

直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。

设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。

【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。

初二函数专题11--直线与双曲线交点处理【例1】 （2009湖北荆门）直线()0y ax a =>与双曲线3y x=交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -=_____________．【补充】已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式．【例2】 （2002全国数学竞赛辽宁预赛）若一次函数3y x b =+和反比例函数3b y x-=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6.【例3】 （2009湖北武汉）如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x=向右平移92个单位后，与双曲线()0k y x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AOBC=，则k =_________．【例4】 一个一次函数的图象与直线59544y x =+平行，与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，并且通过()125--，，则在线段AB 上（包括端点A ，B 两点），横纵坐标都是整数的点有_______个．【补充】（2008年芜湖市）在平面直角坐标系xoy中，直线y x=向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数kyx=的图象的一个交点为()2A a，，则k的值等于．【例5】 (06年北京课改卷)在平面直角坐标系xOy中，直线y x=-绕点O顺时针旋转90o的到直线l.直线l与反比例函数kyx=的图象的一个交点为A(a，3)，试确定反比例函数的解析式.【例6】 (06年成都中考题)已知反比例函数kyx=(0k<)的图像经过点A(m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且AOB∆⑴求k和m的值.⑵若一次函数1y ax=+的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求:AO AC的值.【例7】（2007四川乐山中考）如图，反比例函数kyx=的图像与一次函数y mx b=+的图像交于(13)A，，(1)B n-，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【补充】（2007四川资阳）如图，已知()()424A B n--，，，是一次函数y kx b=+的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.【例8】利用图象解一元二次方程230x x+-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x=和直线3y x=-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程230x x+-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y=和直线y x=-，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6yx=-的图象（如图9所示），利用图象求方程630xx-+=的近似解（结果保留两个有效数字）．BOAyx（图9）（图9）。

2.1.4 两条直线的交点学习目标1.会求直线和直线的交点以及它与二元一次方程组的解之间的关系;2.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法;3.通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的联系.能够用辩证的观点看问题.学习重点 判断两直线是否相交,求交点坐标.学习难点 两直线相交与二元一次方程的关系.学习过程 自主学习指导问题1.平面上两直线的位置关系?能否通过方程去研究直线的相交问题?问题2.由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那么如果两直线相交于一点,这一点与两条直线的方程有何关系?问题3.如果两条直线相交,交点坐标与二元一次方程组有什么关系?问题4.若二元一次方程组有唯一解,两直线 ,若二元一次方程组无解,两直线 ,若二元一次方程组有无数解,两直线 .问题5.直线和直线的交点以及它与二元一次方程组的解之间的关系问题6.直线1111:A 0l x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=是否有交点的一般性结论:若 ,则直线1l 和直线2l 相交;若 ,则直线1l 和直线2l 重合;若 ,则直线1l 和直线2l 平行. ☞课前自主练习1. 分别判断下列直线1l 和直线2l 是否相交,若相交,求出它们的交点.(1) 12:27,:3270l x y l x y -=+-=;(2) 12:2640,:41280l x y l x y -+=-+=;(3) 12:4240,:23l x y l y x ++==-+.2.直线l 经过原点,且经过另两条直线 2380,10x y x y ++=--=的交点,求直线l 的方程.3.若3条直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点,则k 的值等于 .☞课堂检测训练1. 已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=.当m 为何值时, 1l 与2l :(1)相交? (2)平行? (3)垂直?2. 已知直线l 经过两条直线2330,20x y x y --=++=的交点,且与直线310x y +-=平行,求直线l 的方程.课后巩固训练1.两直线320x y -+=与320x y +-=的位置关系是 .2.已知直线210x y +-=与直线(1)30m x y --+=相交,则实数m 的取值范围是 .3.已知点(0,1)M -,点N 在直线10x y -+=上,若直线MN 垂直于直线230x y +-=,则点N 的坐标是 .4.求经过两条直线78380x y +-=和320x y -=的交点,且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程.。

直线与双曲线渐近线的交点问题
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的性质。

直线是一种简单且容易理解的图形，其方程通常可以用斜率和截距来描述。

而双曲线则是一种曲线，其方程通常可以用二次方程来描述，具有两个分支，分别向两个方向无限延伸。

双曲线还有一个重要的性质，就是它的渐近线。

渐近线是一条直线，它与曲线在无穷远处相交，并且在该点处的切线与渐近线平行。

对于双曲线来说，它有两条渐近线，分别与两个分支相交。

现在，让我们考虑直线与双曲线的渐近线的交点问题。

假设我们有一条直线和一条双曲线，它们的方程分别为y=mx+b和
y=±sqrt(a^2 + x^2)，其中a为双曲线的参数。

我们的问题是找出直线与双曲线的渐近线的交点坐标。

为了解决这个问题，我们可以利用微积分的知识来求解。

首先，我们需要找出双曲线的渐近线的方程。

对于双曲线
y=±sqrt(a^2 + x^2)，当x趋向正无穷时，y也趋向正无穷，因此双曲线的渐近线是y=±a。

现在我们可以将直线和渐近线的方程代入，解出它们的交点坐标。

这涉及到方程的求解和代数运算，最终我们可以得到交点的坐标。

通过以上的分析，我们可以看到直线与双曲线的渐近线的交点
问题涉及到了多个数学领域的知识，包括代数、微积分和解析几何。

这个问题不仅具有理论意义，还可以应用到实际问题中，例如在工
程和物理学中的应用。

因此，研究直线与双曲线渐近线的交点问题
不仅可以增进我们对数学的理解，还可以拓展我们对实际问题的解
决能力。