最新-直线与二次曲线测试题 精品

理科数学复习试题选编31：双曲线一、选择题1 ．（六校联盟高三回头联考理科数学试题）已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF =C ，则该双曲线的离心率为（ ）A 1B ．12C 1D ．12【答案】C2 ．（绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点.若△AOF 的面积为b ，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D3 ．（高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）直线过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线的条数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：因为点(2,1)P 在渐近线上，故旋转直线一周只有2条符合条件.4 ．（杭州高中高三第六次月考数学（理）试题）设双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2.过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （ ）AB ．2C D ．3【答案】A5 ．（高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+【答案】D6 ．（嘉兴市高三上学期基础测试数学（理）试题）已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是（ ）A ．233B ．2C ．5D ．52【答案】B7 ．（杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为 （ ）A ．192B ．11C ．12D ．16【答案】B 解：由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然，AB 最短即通径，2min23b AB a=⋅=，故()22min11BF AF +=8 ．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知21F F 、分别是双曲线:C 12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为： （ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D解析：方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x aby l =:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222222)(b a abc y b a b a c x ， 由⋅1=0可得：0222=++y cx x ，将上式代入化简可得：0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==ace ，故选 D ．方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P ，连接PO ﹑1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，即3600==tan a b ，即2==ace .故选 D ．9 ．（嘉兴市高三第二次模拟考试理科数学试卷）设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C ：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线.10．（【解析】镇海中学高三5月模拟数学（理）试题）已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，12,F F 分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过1F 作一条斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线交于两个点,M N ，则MAN ∠为 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能【答案】答案：B 解析：由离心率为2，可得2c a =，223b a =，则双曲线方程为22233xy a -=.设1122(,),(,)M x y N x y ，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为2x my a =-，与双曲线方程联立得222(31)1290m y amy a --+=，从而有2310m -≠，1221231amy y m +=-，且11．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知F 1、F 2是双曲线C ：)0(12222>>=-b a by a x的两个焦点，过曲线C 的左焦点F 1(-c ，0)和虚轴端点B(0，b )作直线l 交曲线C 左支于A 点，右支与D 点，连接AO 、DF 2，AO∥DF 2 ，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3B ．6C ．36+D ．25+【答案】C 提示 联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1)(2222b y ax c x c b y 削去x 得02322=+-b y c by 221221,2b y y b c y y =⋅=+(*)，由题意的2212y y =代入(*)中，得到⎪⎩⎪⎨⎧==2222223by b c y ，削去y 得4489c b =，可以解得2692+=e .12．（考试院高三上学期测试数学（理）试题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦A ，B 两点.若 | AB | ： | BF 2 | ： | AF 2 |=3：4 ： 5，（ ）．13．15 C ．2D ．3【答案】A13．（“六市六校”联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 2222>=-b a by a 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x 【答案】C14．（海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点(如图)，点N 恰好xy OA B F 1F 2平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ）5B ．2C ．3D ．215．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D16．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2， 则曲线C 的离心率等于 （ ）A ．2332或B ．23或2 C ．12或2 D ．1322或【答案】D17．（嘉兴市第一中学高三一模数学（理）试题）已知双曲线c ： )0(12222>>=-b a b y a x ，以右焦点F为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O)，若|MN|=a 32，则双曲线C的离心率 是（ ）A 2B ．3C ．2D ．13+【答案】COxyA BF 1F 2xyOM NP 1F 2F18．（黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x (0>a ，0>b )上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点O ，若直线PA ，PB 的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C19．（温州中学高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i p i =，使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 （ ）A ．)+∞B ．1,)2+∞C ．1(1,)2D ．1)2【答案】D ．20．（湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b -=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为 （ ）AB C ．2D【答案】C21．（温州市高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知是双曲线14222=-y ax 的左焦点，双曲线右支上一动点P ，且x PD ⊥轴，D 为垂足，若线段PD FP -的最小值为52，则双曲线的离心率为 （ ）A ．53B ．52C ．25D ．5【答案】A22．（杭州市高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b ，A ，B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上.P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2=45，则双曲线的离心率是 （ ）A ．355 B ．94C ．32D ．95【答案】C23．（温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．12+B ．13+C ．215+ D ．2122+【答案】A24．（名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ）A ．95B ．125C ．4D ．5【答案】B 二、填空题25．（永康市高考适应性考试数学理试题 ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若FB AF 4=，则该双曲线的离心率为____;【答案】210526．（乐清市普通高中高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设O 为坐标原点，B A ,是双曲线1322=-y x 的渐近线上异于O 的两点，且2||||==OB OA ，则→→⋅OB OA =_______.【答案】2±，-4 27．（金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是_______【答案】328．（温州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知F 1，F 2分别是双曲线1222=-b y x 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF 2|=2且∠F 1AF 2=450.廷长AF 2交双曲线右支于点B ，则ΔF 1AB 及的面积等于___【答案】429．（建人高复高三第五次月考数学（理）试题）已知A 、B 分别是双曲线22:4C x y -=的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则PBA PAB ∠-∠=__________.【答案】略30．（五校联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为______________.【答案】231．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2332．（诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是____________【答案】33．（温州市高三第一次适应性测试理科数学试题）已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为2y x=，则其离心率为____【答案】34．（五校联盟高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆22420x y x+-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】。

考点28 双曲线【考点剖析】1.最新考试说明：(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)【2020年高考全国Ⅱ卷理数8文数9】设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D EODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【思路导引】∵()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE ∆的面积为8，可得ab值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案．【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE ∆面积为：1282ODES a b ab =⨯==△．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．【专家解读】本题的特点是注重双曲线的基本应用，本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何性质，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案． 【解析】解法一：5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ， 又∵5==ace ，∴1=a ． 解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ． 【专家解读】本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何性质，考查双曲线焦点三角形的计算，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线的定义以及性质的应用． 【2020年高考山东卷9】已知曲线22:1C mx ny += （ ）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则C C ．若0mn <，则C是双曲线，其渐进线方程为y = D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 【答案】ACD【思路导引】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线．【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=，此时曲线C的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n =，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确．故选：ACD ．【专家解读】本题考查了圆锥曲线的定义及其几何性质，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是圆锥曲线定义的应用．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________． 【答案】(3,0)【解析】∵双曲线22163x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b，∴b =【专家解读】本题考查了双曲线定义、标准方程及其几何性质，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线定义的应用．【2020年高考天津卷7】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【思路导引】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．【专家解读】本题考查了双曲线、抛物线标准方程及其几何性质，考查直线平行与垂直位置关系的应用，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是直线与直线的位置关系的应用．【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 ．【答案】2【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【解析】依题可得，3BFAF =，而2b BF a=，AF c a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得，2320e e -+=，解得2e =或1e =（舍去）．故答案为：2．【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是双曲线的定义及几何性质的应用．【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则C的离心率为 ．【思路导引】根据已知可得ba=,,a b c 的关系，即可求解． 【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线渐近线方程与离心率关系．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ． 【答案】32【解析】由22205x y a -=得渐近线方程为y =，又0a >，则2a =，2259c a =+=，3c =，得离心率32c e a ==． 【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线渐近线方程与离心率关系． (2) 了解双曲线的简单应用，理解数形结合的思想【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数y =图像上的点，则OP =（ ）ABCD【答案】D【思路导引】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103y x x -=> 且点P为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==D ． 【专家解读】本题考查了双曲线的定义、标准方程及其几何性质，考查函数与方程思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是二次曲线的位置关系的应用．【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且2OP =，则12PF F ∆的面积为 （ ）A ．72 B ．3 C ．52D ．2 【答案】B【思路导引】由12PF F ∆是以P 为直角直角三角形得到221216PF PF +=，再利用双曲线的定义得到122PF PF -=，联立即可得到12PF PF ，代入121212F F P P S F PF =△中计算即可． 【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵12112OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ． 【专家解读】本题的特点是注重双曲线的基本应用，本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线的定义的应用．2.命题方向预测：（1）高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. （2）高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.（3）高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，过焦点的直线较多.选择题或填空题抛物线与椭圆、双曲线综合趋势较强，涉及直线与抛物线位置关系的解答题增多.3.课本结论总结：1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离． 4. 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )4.名师二级结论：双曲线： 一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 三个防范(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．双曲线的标准方程中，对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±ba x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±abx . 5.考点交汇展示：（1）与椭圆、圆、抛物线交汇【2020·江苏连云港高三】已知双曲线2214y x -=的左､右顶点为A ､B ，焦点在y 轴上的椭圆以A ､B 为顶点，过A 作斜率为k 的直线交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为______.【答案】3±【解析】对于椭圆，显然1b =，c a =2214y x +=，设()00,N x y ，则由AN NM=得()0021,2M x y +.因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014y x +=，()220042114y x +-=，解得，012x =，0y =，所以1,2N ⎛ ⎝ ,()1,0A - 故直线l的斜率k =. 2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．y x = B ．13y x =±C．y x = D ．12y x =±【答案】C【解析】联立方程222222122222122102x y y ppb y y y a bb a a x py⎧-=⎪∴-+=∴+=⎨⎪=⎩， 2212221||||4||222pb y y p p a b AF BF OF p a +=∴+=++===，故渐近线为y x =。

椭圆与双曲线综合测试题椭圆与双曲线综合测试题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。

）1、以x2/412+y2/16=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）。

A、x2/16+y2/4=1B、x2/4+y2/16=1C、x2/9+y2/16=1D、x2/16+y2/9=12、已知双曲线x2/9-y2/4=1上的一点P为该双曲线的两个焦点，设P到F2的距离为3，到F1的距离为2，则三角形F1PF2的面积是（）。

A、12B、63C、123D、2433、已知以x2/20+y2/16=1为焦点的椭圆C与直线L：x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆C的长轴长是（）。

A、32B、26C、27D、424、已知双曲线C的对称中心在原点，对称轴是坐标轴，且一条渐近线方程是3x+4y=0，双曲线C过点P(2，1)，则双曲线C的方程是（）。

A、9x2/25-4y2/9=1B、4x2/9-9y2/25=1C、9x2/16-4y2/25=1D、4x2/25-9y2/16=15、已知椭圆E:9x2/4+y2/16=1的左右焦点是(-5,0)和(5,0)，点P为E上一动点，当∠EPF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是（）。

A、(-3,3)B、(-5,3)C、(-5,5)D、(3,5)6、若F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1/MF2=2，则椭圆的离心率的取值范围是下列的选项（）。

A、(2/3,1)B、(1/2,1)C、(1,2/3)D、(1,1/2)7、已知椭圆x2/5+y2/4=1(n>2)和双曲线-3y2/5+x2/9=1有相同的焦点F1、F2，P(7，2)是两条双曲线的一个交点且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积是（）。

A、1B、1/2C、2D、3/28、如果已知双曲线的左右焦点分别是F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长是5，若半轴a=5，则三角形ABF2的周长是（）。

2024年江西省南昌市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

I.已知向量a=(1,2). Ii=（一2,3),则石Ii=()A.2B.4C.6D.82．设复数z 满足z+ 1 = (2 + i)z,则团＝（）1-2A 石＿2B C.1 D 迈3已知集合A=(xllnx � O}, B = (xl2x � 2}，则”XEA"是“XE B"的（）A ，充分不必要条件c ．充要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.已知f (x )= { 一x 2-2x ,x < 0lo如(x+l),x�O ，则不等式f(x)< 2的解集是（）A.(-oo, 2)B. (-oo, 3)C.(0,3)D .(3, +oo)5．在三棱锥A -BCD 中，AB l.平面BCD,AB=../3, BC=BD=CD =2, E, F 分别为AC,CD 的中点，则下列结论正确的是（）A. AF, BE 是异面直线，AF l. BEB. AF, BE 是相交直线，AF l. BEC. AF, BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D. AF, BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直6已知2cos(2x＋合）cos(x －台－cos3x= ¼，则sin(�-2x ) =( )1-2A B, －-7-8c7-8D227已知双曲线C:5＿兮＝l(a > O,b > 0)的左、右焦点分别为F 1'Fz,双曲线的右支上有一点A,AF 1与双曲线的左支交于8,线段AF 2的中点为M,且满足F 2,若L片AF 2=f ，则双曲线C 的离心率为（）A 岳B 岳c..f6D 石8．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥P-ABC 的三个侧面沿AB,BC, AC 展开得到面P 1AB,P 2BC, P 3AC,使得平面P 1AB,P 1BC, P 3AC 均与平面ABC 垂直，再将球0放到上面使得p l 'P 2,P 3三个点在球0的表面上，若奖杯的总窝度为6J习，且AB=4,则球0的表面积为（）A. 140n3B. 100n9C. 98兀9D.32兀3cB二、多选题：本题共3小题，共18分。

一、选择题1．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③B解析：B 【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③． 【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点， 方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <， 抛物线与y 轴交于正半轴0c >， 对称轴直线为1x =-， ∴102ba-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >， ∴420a b c -+>，故③正确． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键2．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C 【分析】根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s 从0开始到最大值时停止，可得t 的取值范围，即可得答案． 【详解】∵滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，-1.5＜0， ∴图象的开口向下，∵s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600， ∴顶点坐标为（20，600）， ∵s 从0开始到最大值时停止， ∴0≤t≤20， ∴C 选项符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 3．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y < B ．当1x <时，12y y > C ．当0.5x <时，12y y < D ．当5x >时，12y y >D解析：D 【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解． 【详解】解：当y 1＝y 2， 即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．4．已第二次函数()2240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．132y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．213y y y <<B解析：B 【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可． 【详解】解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4； 当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4； 当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4； ∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4 ∴312y y y << 故选B 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．5．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．C解析：C 【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论． 【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知C 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键． 6．表格对应值：x 1 2 3 4 2ax bx c ++0.5-512.522判断关于x 的方程2ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）A ．01x <<B ．12x <<C ．23x <<D ．34x <<B解析：B 【分析】利用x =1和x =2所对应的函数值可判断抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x 轴的交点问题可判断关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的一个解x 的范围． 【详解】解：∵x =2时，y =5，即ax 2+bx +c ＞0； x =1时，y =-0.5，即ax 2+bx +c ＜0，∴抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间， ∴关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个解x 的范围是1＜x ＜2． 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程． 7．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ） A ．()1,2- B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1B解析：B 【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．8．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22y x =+ B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+C解析：C 【分析】先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）， ∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2）， ∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．9．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ） A ．3a 1-<<- B ．2a 1-<< C ．1a 0-<< D ．2a 4<<C解析：C 【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】 解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -<C解析：C 【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可． 【详解】A 、观察图象，二次函数的开口向下，∴0a <， 与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >， 又∵对称轴为2bx a=-，在x 轴的正半轴上， 故02bx a=->，即0b >． ∴0abc <，故选项A 不正确；B 、观察图象，抛物线对称轴为直线12122x -+== ∴在对称轴右侧，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故选项B 不正确；C 、观察图象，当2x =时，函数值420y a b c =++=，故选项C 正确；D 、∵二次函数与x 轴有两个交点，∴240b ac =->，故D 不正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．二、填空题11．有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线x ＝4；丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．y ＝（x ﹣4）2或y ＝﹣（x ﹣4）2【分析】根据甲乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（40）再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（03）或（0﹣3）然后利用待定系数法求出抛物线解析式解析：y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【分析】根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可． 【详解】解：∵抛物线与x 轴只有一个交点且对称轴是直线x ＝4， ∴抛物线的顶点坐标为（4，0）， ∵抛物线与y 轴的交点到原点的距离为3．∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3）， 设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2， 把（0，3）代入得3＝a （0﹣4）2，解得a ＝316，此时抛物线的解析式为y ＝316（x ﹣4）2；把（0，﹣3）代入得﹣3＝a （0﹣4）2，解得a ＝﹣316，此时抛物线的解析式为y ＝﹣316（x ﹣4）2；综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 故答案为y ＝316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．12．若二次函数26y x x c =-+的图象经过()11,A y -，()22,By ，()33C y +三点，则关于1y ，2y ，3y 大小关系正确的是_______．（用“<”连接）【分析】根据函数解析式的特点其对称轴为x=3图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小可判断根据二次函数图象的对称性可判断于是【详解】根据二次函数图象的对称性可知中在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小因为于是 解析：231y y y <<【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小，可判断21y y <，根据二次函数图象的对称性可判断23y y >，于是231y y y <<. 【详解】根据二次函数图象的对称性可知，33()C y 中，|33||32|1+>-=，1(1,)A y -、2(2,)B y 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，因为112-<<，于是231y y y <<.故答案为231y y y <<. 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.13．公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近似看作抛物线．如图是根据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线26y x x =-+（单位：m ）的一部分，则水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离为________m ．6【分析】根据题意可以得到水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离就是OP 的长度利用配方法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+6x ∴解析：6 【分析】根据题意可以得到水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离就是OP 的长度，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2倍即为本题的答案． 【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+6x ， ∴y=-x 2+6x=-（x-3）2+9， ∴顶点坐标为：（3，9），∴水珠落地点（点P ）到喷水口（点O ）的距离为OP=3×2=6（米）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题． 14．二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2013A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2013B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201220132013A B A △都为等边三角形，则201220132013A B A △的边长=________．2013【分析】分别过B1B2B3作y 轴的垂线垂足分别为ABC 设A0A1=aA1A2=bA2A3=c 则AB1=aBB2=bCB3=c 再根据所求正三角形的边长分别表示B1B2B3的纵坐标逐步代入抛物线解析：2013【分析】分别过B 1，B 2，B 3作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设A 0A 1=a ，A 1A 2=b ，A 2A 3=c ，则AB 1=32a ，BB 2=32b ，CB 3=32c ，再根据所求正三角形的边长，分别表示B 1，B 2，B 3的纵坐标，逐步代入抛物线y=23x 2中，求a 、b 、c 的值，得出规律． 【详解】分别过1B ，2B ，3B 作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ， 设01A A a =，12A A b =，23A A c =，由勾股定理则22101032AB A B AA a =-=，232BB b =，332CB c =， 1111312233AA AB a a ==⨯=，则13,22a B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 2211312233BA BB b b ==⨯=，则23,22b B b a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 3331233CA c ===，则33,2c B a b ⎫++⎪⎪⎝⎭， 在正011A B A △中，13,2a B ⎫⎪⎪⎝⎭， 代入223y x =中，得223234a a =⨯，解得1a =，即011A A =，在正122A B A △中，23,12b B ⎫+⎪⎪⎝⎭，代入223y x =中，得2231234b b +=⨯，解得2b =，即122A A =，在正233A B A △中，33,322c B c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入223y x =中，得2233234c c ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，解得3c =，即233A A =，…，依此类推由此可得201220132013A B A △的边长2013=．故答案为：2013.【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．15．已知点()12,A y -，()23,B y -在二次函数22y x x c =--+的图象上，则1y 与2y 的大小关系为1y ______2y ．（填“>”“<”或“=”）【分析】抛物线开口向下且对称轴为直线x=-1根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大判断即可【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x2-2x+c=-（x+1）2+1+c ∴该抛物线开口解析：>【分析】抛物线开口向下，且对称轴为直线x=-1，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大判断即可．【详解】解：∵二次函数的解析式为y=-x 2-2x+c=-（x+1）2+1+c ，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x=-1．∵点A （-2，y 1），B （-3，y 2）在二次函数y=-x 2-2x+c 的图象上，且-3＜-2＜-1， ∴y 1＞y 2．故答案为＞．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．16．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4∴y=2（x+1）2-1.故答案为：y=2（x+1）2-1.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．已知二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为___________．【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴从而求出m 的值再根据二次函数的解析式即可得出答案【详解】二次函数的顶点在y 轴上此二次函数的对称轴为y 轴即解得二次函数的解析式为其顶点坐标为故答案解析：()0,2【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴，从而求出m 的值，再根据二次函数的解析式即可得出答案．【详解】二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上， ∴此二次函数的对称轴为y 轴，即()2023m x -=-=⨯-， 解得2m =，∴二次函数的解析式为232y x =-+，∴其顶点坐标为()0,2，故答案为：()0,2．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 19．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________．【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵抛物线与y解析：23=--y x【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），∴c=-3．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x 2-3．故答案为：y=-x 2-3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a ＜0，c=-3是解题的关键．20．过点()0,2，()2,2，()2,1--的二次函数图象开口向_______（填“上”或“下”）下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式然后根据二次项系数即可解答【详解】解：设一般式y=ax2+bx+c 由题意得：解得由＜0则该函数图像开口向下故答案为：下【点睛】本题考查了二次函数图像的性质解析：下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式，然后根据二次项系数即可解答．【详解】解：设一般式y=ax 2+bx+c ，由题意得：2=c 2=42142a b c a b c ⎧⎪++⎨⎪-=-+⎩解得3=-83=42a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩由3=-8a ＜0，则该函数图像开口向下． 故答案为：下．【点睛】 本题考查了二次函数图像的性质，根据题意确定二次函数的解析式是解答本题的关键．三、解答题21．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0-，()2,5-．求此抛物线的解析式． 解析：223y x x =--+【分析】将点3,0，2,5代入抛物线23y ax bx =++解方程组求出b 、c 的值即可得答案．【详解】由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩解得，12a b =-⎧⎨=-⎩， 则二次函数的解析式为223y x x =--+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键．22．已知二次函数2y ax =与22y x c =-+．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a =______；若抛物线2y ax =沿y 轴向下平移2个单位就能与22y x c =-+的图象完全重合，则c =______． （3）二次函数22y x c =-+中x 、y 的几组对应值如下表：解析：（1）见解析；（2）2±，2-；（3）p m n <<【分析】（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．（2）由于函数图像形状相同，可以得到2a =±；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数22y ax =-，再由题意就可得到c =-2． （3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m 、n 、p 含未知数c 的代数式，比较大小即可．【详解】（1）二次函数2y ax =的图像随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数22y x c =-+的图像随着c 的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．（2）由于函数2y ax =与函数22y x c =-+的形状相同，所以2a =-，即2a =±．抛物线2y ax =沿y 轴向下平移两个单位，即得到抛物线22y ax =-．因为该抛物线与22y x c =-+的图像完全重合所以2c =-故答案为2±；2-（3）表中数值代入二次函数22y x c =-+可得; 8m c =-+,2n c =-+,50p c =-+因为50c -+<8c -+<2c -+所以p m n <<．故答案为p m n <<【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）2a =时两个函数图像形状相同．23．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解析：（1）函数关系式为y =-1000x +36000；（2）函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【分析】（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y 与x 之间的函数解析式. （2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w 与x 之间的函数解析式. （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.【详解】（1）解：由题意得y =（30-x ）×1×1000+6000=-1000x +36000.∴每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y =-1000x +36000. （2）解：由题意得w =（x -20）（-1000x +36000）=-1000x 2+56000x -720000.∴每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000. （3）解：w =-1000x 2+56000x -720000=-1000（x -28）2+64000.∵a =-1000＜0∴当x =28时，w 有最大值为64000.答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．24．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值；（2）已知点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴． 解析：（1）94a =；（2）2x = 【分析】 （1）由根的判别式进行计算，即可求出答案；（2）先求出k 的值，然后代入计算，即可求出对称轴．【详解】解：（1）抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，0∴∆=，即940a -=， ∴94a =． （2）点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上， ()203333k k ∴=-⨯++-，9k ∴=， ∴抛物线的解析式为：23129y x x =-+-，∴对称轴为：1222(3)x =-=⨯-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出参数的值．25．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23922S t t =-+；②92P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形 =22111(233)(3)(23)33222t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -+(t ＞0)； ②由S=23922t t -+= 23327()228t --+，且32-＜0，得： 当t= 32时，S 有最大值，最大值为278， ∵OB=3，OC=3，∴2232OB OC +=∵当t=32时，223t t -++=23315()23224-+⨯+= ∴点P 到直线BC 27292832⨯=，此时，点P 的坐标为（32，154）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．26．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-．（1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．解析：（1）()214y x =--或223y x x =--； （2）1x <-或3x > 【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得 ()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x−1）2−4，解得：1x ＝3，2x ＝−1，故抛物线与x 轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x 轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．27．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=．（1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．解析：（1）12；（2）27y -≤< 【分析】 （1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++= ∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12． （2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤ ∴10ab -=∴1ab =∴函数242y a a ab =++为：()224222y a a a =++=+-∵51a -<<-∴可画出函数图象，如图：∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．28．某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）的若干数据，如下表所示：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 滑行时间/s t 0 1.07 1.40 2.08 2.46 2.79 3.36 滑行距离/m s51015202535为观察s 与t 之间的关系，建立坐标系，以t 为横坐标，s 为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数()20s at bt c t =++≥来近似地表示s 与t 的关系．（1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是_________； （2）当0t =时，0s =，所以c =________；（3）当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为________s （结果保留一位小数）． 解析：（1）3；（2）0；（3）3.1 【分析】（1）由图像及表格可直接进行解答； （2）把t=0代入求解即可；（3）从表格选两个点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：（1）由表格及图像可得：出现故障的位置编号可能是位置3； 故答案为3；（2）把t=0，s=0代入()20s at bt c t =++≥得：c=0；故答案为0；（3）由（2）可得：把t=1.07，s=5和t=2.08，s=15代入()20s at bt t =+≥得：221.07 1.0752.08 2.0815a b a b ⎧+=⎨+=⎩，解得： 2.511.98a b ≈⎧⎨≈⎩， ∴二次函数的解析式为：()22.51 1.980s t t t =+≥，把s=30代入解析式得：()230 2.51 1.980t t t =+≥，解得：123.1, 3.9t t ≈≈-（不符合题意，舍去）， ∴当此滑雪者滑行距离为30m 时，用时约为3.1s ； 故答案为3.1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．。

圆锥曲线单元复习题一、选择题：在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、F 1、F 1是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ）A 椭圆B 直线C 线段D 圆2、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ）A 、双曲线B 、双曲线左支C 、一条射线D 、双曲线右支3、已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，x=1及x 轴的交点K ，点A 在C 上且|AK|=2|AF|，则△AFK 的面积为（ ） A 8 B 4 C 2 D 14、抛物线y=x 2上到直线2x —y=4距离最近的点的坐标是（ ）A )45,23( B (1，1) C )49,23( D (2，4)5、设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF •=，则12PF PF +=（A B ． C D ．6.已知椭圆的焦点)1,0(),1,0(21F F -，P 为椭圆上一点，且2121PF PF F F 2+=,则椭圆的方程为（ ） A.13422=+y x B.14322=+y x C.1322=+y xD.1322=+y x7．过椭圆22ax +22b y =1（0<b<a ）中心的直线及椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 28、过定点P(0,2)作直线l ，使l 及曲线y 2=4x 有且仅有1个公共点，这样的直线l 共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线AA 1和BC 的距离相等，则动点P 的轨迹是 （ ）A.线段B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分10，. 若抛物线22y px =的焦点及双曲线22162x y k k+=--的右焦点重合，则p 的值为（ ） A.2- B.2 C.4- D.411、 已知椭圆)0,0(1)0(122222222>>=->>=+n m ny m x b a b y a x 与双曲线有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0），若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2及c 2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A.33 B.22 C.41 D.21 12. θ是任意实数，则方程x 2+y 2sin θ＝４的曲线不可能是（ ） Ａ.椭圆Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线Ｄ.圆13、 的取值范围是则有两个不同的交点与曲线若直线 ,112k y x kx y +=+=（ ） 15、某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A )32,2(-,B )5,23(-，则（ ）A.曲线C 可为椭圆也可为双曲线B.曲线C 一定是双曲线有C.曲线C 一定是椭圆D.这样的曲线C 不存在16、设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ） A.41 B.31 C.91 D.53 17、 1cos sin ,21cos sin ,22=-=+αααα∆αy x ABC 则方程且的一个内角是已知表示的曲线方程是（ ）A.焦点在x 轴上的双曲线B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的椭圆. 18、.则的离心率和分别为圆锥曲线已知, 1x 1,,02222222221=-=+>>by a b y a x e e b a lge 1+lge 2的值（ ）A.一定是正数B.一定是零C.一定是负数D.以上答案均不对19、 设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是（ ）A.两条直线B.圆C.抛物线D.双曲线的一支20、 已知点A(t 2,2t )(t ∈R)、B(3,0)，则｜AB ｜的最小值为 （ ）A.2 22.B C.3 D.821、 已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）A.21 B.23 C.27 D.522、 关于方程x 2sinα＋y 2cosα＝tanα(α是常数且α≠kπ2，k ∈Z )，以下结论中不正确的是（ ）A .可以表示双曲线B .可以表示椭圆C .可以表示圆D .可以表示直线23、 抛物线x y 42-=上有一点P ，P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为（ ）A.32B.2+3C.3D.32-25、 设21,e e 分别为具有公共焦点F 1及F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为（ ）A.1B.21C.2D.不确定26、 二次曲线1422=+my x ，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.[2，2] B.[2，2] C.[2，2] D.[2，227、直线2y k =及曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.428、 若关于x 、y 的二次方程1||2522=-+-k y k x 的轨迹存在，则它一定表示（ ）A. 椭圆及圆B. 椭圆或双曲线C. 抛物线D. 双曲线30、 函数()a f x ax x=+（0a >）的图像具有的特征：①原点是它的对称中心；②最低点是(1,2)a ；③y 轴是它的一条渐近线。

第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．【梳理自测】一、双曲线的概念已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x 29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4◆此题主要考查了以下内容：考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2.答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。

百色市重点中学2024年高三第二次诊断性测试数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．343．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．33B 3C ．2或233D ．234．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．35．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．（0，1）6．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A ．68B ．64C ．32π D ．23π 7．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种9．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-10．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 11．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．3412．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

函数测试题（二） 姓名___________学号__________一、填空题 1、函数3+=x y 的自变量的取值范围为___________。

2、已知一次函数5+=kx y 过点P （1-，2），则__________=k 。

3、已知反比例函数的图象经过点（2-，3），则这个反比例函数的解析式为__________________。

4、二次函数2)2(3+=x y 的顶点坐标为__________，二次函数5622++=x x y 的顶点坐标为__________。

5、函数22x y -=的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到的图象的解析式为_______________。

6、抛物线322--=x x y 与x 轴的交点坐标为_______________。

7、已知抛物线142-+-=m x x y 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为_____________8、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为 ___ 。

9、如图8，若点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，A M x ⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则k =____________。

二、解答题10、如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于M 、N 两点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.11、已知二次函数的图象经过点（0，3-），（1-，0），（3，0），（1）求二次函数的解析式；（2）求出二次函数的顶点，并指出当x 在什么范围内y 随x 的增大而增减小。

12、某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x （天）之间的函数关系式如图10所示． （1）当x ≥20时，求y 与x 之间的函数关系式． （2）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？13、如图，已知直线y x m =-+与双曲线k y x=（0x >）相交于C 、D 两点，且点C 的坐标为(3,1).（1）求m 的值和双曲线的解析式；（2）观察直线的图象写出: 当1y ≥时，x 的取值范围； （3）观察双曲线的图象写出：当1x ≥时，y 的取值范围.14、某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：（1）若日销售量y 是销售价x 的一次函数，求出y 与x 的函数关系式；（2）要获得最大利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少？图10天)。