炎德 英才大联考长沙市长郡中学高三月考试卷(三)

炎德·英才大联考长郡中学201 9届高三月考试卷(三)语文一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。

中国传统文化非常强调“礼”，“礼”曾是中华文化的精髓。

礼节中的许多内容是靠形式来表达的，比如贺卡。

在个人重大事情或公共节日前呈送贺卡，一来形式庄重，二来提早通报对方，于人于己均为方便。

故汉朝以来，贺卡作为传统形式一直延续保留，只是名称有所变化。

贺卡初期叫“名帖”，以介绍自己为主；西汉称为“谒”，今天贵宾相见还在说“拜谒”；东汉后叫“名刺”，名刺一词日本至今仍在使用，就是我们常用的名片。

凡事先通报自己是尊重对方的必需，今天的社会有时并不注意这些传统了。

唐宋以后，贺卡的名称及功能有所进步，称为“门状”或“飞帖”，到了明清，又叫“红单”“贺年帖”等。

听这名字就知功能越来越世俗化，文人之间的文雅逐渐远去。

原因其实简单，古代教育不够普及，识文断字的人少。

贺卡最初都是在达官贵人之间传递，起点颇高，进入商业社会，贺卡就多了一份热情，少了一份酸腐。

据说唐太宗李世民过年时，用赤金箔做成贺卡，御书“普天同庆”，赐予大臣。

由于这一形式由帝王发明，迅速在民间普及。

不过民间没有皇家那么奢侈，不敢使用金箔，改用梅花笺纸，竖写，右上端为受贺者官讳，左下端为贺者姓名。

传说南宋人张世南在著作中记载他家曾藏有北宋名家黄庭坚、秦观等人的贺卡，这绝对是一份经典收藏，如保留到今天也应该是价值连城的国宝了。

说来非常有意思，名帖贺卡一类原是本人亲自呈送，以示郑重，但到了宋朝，商业气息浓厚，人们也日渐繁忙，故不能亲送者，派仆人呈送，逐渐形成风俗。

这样的好处是一人可以多送，如亲自前往，所送数量极为有限，朋友多的人恐有失礼；派人呈送好处多多，省去主人之间见面的繁文缛节，效率大大提高。

明清时期，呈送贺卡名帖等更有一套礼仪，按规定仆人不能亲自用手呈送贺卡，故发明了拜匣。

拜见时仆人所持长方形匣盒，大小正好容纳贺卡名帖，见主人后，仆人不能直接用手持卡或帖，必须打开拜匣，让主人取出。

炎德·英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷(三)数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1.设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B = ，则实数a 的可能取值组成的集合是（）A.{}1,2,3 B.{}2,3,4C.{}1,3,4 D.{}1,2,4【答案】A 【解析】【分析】根据条件4a ≠，分别令12,3，a =代入进行检验，可得出答案.【详解】显然4a ≠，当1a =时，{}1,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当2a =时，{}2,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 当3a =时，{}3,4B =，满足{}1,2,3,4A B = 所以a 的值可以为1,2,3.故选：A【点睛】关键点点睛：该题考查根据两集合的并集求参数，考查集合的并集运算，解决该题的关键是注意集合中元素的互异性，属于基础题目.2.已知()312++=+a i i bi (,a b R ∈，i 为虚数单位)，则实数a b +的值为（）A.3B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+则32,38a b a b -==∴+=故选：D3.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos 2=α（）A.1625B.1625-C.725D.725-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的定义，求得3cos 5α=-，再结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，因为35x =-，由三角函数的定义，可得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=-.故选：D.4.在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数=a （）A.12B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】写出5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项，然后可建立方程求解.【详解】5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式的通项为()()525104155211rr r r r rr r T C ax C a x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1042r -=-，则3r =，所以()33535140C a --=-，解得2a =或2a =-（舍）故选：B5.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（）A.10%B.30%C.50%D.100%【答案】A 【解析】【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.【详解】当1000SN=时，2log (11000)C W =+当2000SN=时，2log (12000)C W =+则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003W W W +-++=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%.故选：A.【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.6.若平面向量a ，b满足2a b a b ==⋅= ，则对于任意实数λ，()1a b λλ+- 的最小值是（）A. B.32C.2D.1【答案】A 【解析】【分析】设向量,a b 夹角为θ，设()a b + 与(1)a b λλ+- 的夹角为γ，利用1cos 2ab a b θ==和()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦ ，得到(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-=，进而得到()1+-λλa b 的最小值【详解】由题意得，设向量,a b 夹角为θ，则1cos 2ab a b θ==，()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，设()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角为γ，∴(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+-= ，222212a b a b a b +=++⋅=，∴(1)cos a b λλγ+-= ，0,2πγ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，(1)a b λλ+-≥ 故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos 2ab a bθ==，得到()(1)46a b a b a b λλ⎡⎤+⋅+-=+⋅=⎣⎦，关键点在于根据()a b + 与(1)a b λλ+-的夹角γ，得出()1+-λλa b 的最小值，难度属于中档题7.为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin 700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A.10米B.9.66米C.9.40米D.8.66米【答案】C 【解析】【分析】在ABC 中，由条件可得10AB BC ==，再在Rt ADB 中，由sin BD AB BAD =∠可得解.【详解】如图所示，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，由10BAC DAC BAD ∠=∠-∠= ，9010ACD CAD ∠=-∠= ，所以10AB BC ==，在Rt ADB 中，sin 10sin 709.40BD AB BAD =∠=≈ .故选：C.8.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+，联立抛物线可得124y y =-，再由中点坐标可得122P y y y +=，从而可得P x ，利用焦半径公式表示AB 和FP 即可得解.【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线l ：1x ty =+（斜率显然不为0）.214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，0∆>显然成立，124y y =-，点M 是线段AB 的中点，所以122M y y y +=，所以122P y y y +=，所以22222212121212()284161616P P y y y y y y y y y x ++++-====，2222121288111616P y y y y FP x +-++=+=+=，2222121212128||||1122444y y y y AB AF BF x x x x ++=+=+++=++=++=，所以22122212844816y y ABy y FPλ++===++.故选：B.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0500.0100k 3.8416.635A.25B.45C.60D.40【答案】BC 【解析】【分析】先设男生人数为5n ，()*n N ∈，列出列联表，利用独立性检验计算观测值，再结合观测值列关系即得答案．【详解】解：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5n ，()*n N ∈，由题意可列出22⨯列联表：男生女生合计喜欢锻炼4n 3n 7n不喜欢锻炼n2n3n合计5n5n10n222()10(423)10()()()()557321n ad bc n n n n n nK a b c d a c b d n n n n -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯．由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以103.8416.63521n<；解得：8.066113.9335n <，因为N*n ∈，故n 的可能取值为：9、10、11、12、13，即男生的人数可以是45，50，55，60，65.则选项中被调查学生中男生的人数可能45或60．故选：BC.10.已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（）A.cb a a < B.c c a b b a+>+ C.log log b c a a< D.b cb ac a>++【答案】CD 【解析】【分析】利用指数函数性质，对数函数性质，不等式的性质判断各选项．【详解】由1a >，01c b <<<，可得b c a a >，故A 错误；1a >，01c b <<<，c c a b b a +-+可得()()()0a c b cb ca bc ba b b a b b a -+--==<++，c c ab b a+<+，故B 错误；由1a >，01c b <<<，1log log b a a b =，1log log ca a c=，而log log 0a a c b <<，则110log log a a b c <<，可得log log b c a a <，故C 正确；由1a >，01c b <<<，()()()()()0a b c b c bc ba cb cab ac a b a c a b a c a -+---==>++++++可得b cb ac a>++，故D 正确．故选：CD ．11.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的最大值为2C.14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D.3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数【答案】ABC 【解析】【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【详解】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-，2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ==2A =，()2sin(23f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin(1423f πππ=+=，所以C 正确；,D (2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k f =++，再求待定系数,,,A w k f ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ¢，再把点((,),(,))P f x y g x y ¢的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.12.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】BCD 【解析】【分析】设O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，在三角形ODO '中，有222OO DO OD ''+=，可求得2R =，可得最大的截面圆；过E 且垂直OE 的截面圆最小，利用222r R OE =-可得解.【详解】如图所示，其中O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心，可得3O B O D BC ''===，3AO '==，设球的半径为R ，在三角形ODO '中，由222OO DO OD ''+=，即()2223R R -+=，解得2R =，故最大的截面面积为24=R ππ，在三角形BEO '中，1162BE BD ==，6EBO π'∠=，由余弦定理得72O E '==，在三角形OO E '中，112OE ==，设过E 且垂直OE 的截面圆的半径为r ，222115444r R OE =-=-=，故最小的截面面积为254r ππ=.所以过点E 作球O 的截面，所以截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.【答案】()2,∞+【解析】【分析】若要直线y =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则直线y =的斜率要小于渐近线by x a=的斜率，建立不等式，即可得解.【详解】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，若直线y =与双曲线有两个交点，则ba>即223b a >，即2223c a a ->，所以224c a >，24e >，即2e >，故答案为：()2,∞+.14.已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.【答案】()*n a n n =∈N 【解析】【分析】根据所给关系，当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，即得递推关系11nn a a nn -=-，即可得解.【详解】()12+=nn n a S 当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，整理可得1(1)0n n n a na ---=，即11n n a a n n -=-，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，故111n a a n ==，所以n a n =，故答案为：()*n a n n =∈N.15.如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.【答案】37【解析】【分析】利用勾股定理和线面角的定义进行求解即可【详解】设AB a =，6OB a =，OA ==，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大；此时直线OA 与平面α3737=故答案为：3716.设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB 的面积的取值范围是________.【答案】()0,1【解析】【分析】因为()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨>⎩，且明显地，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x =1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x -()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈ 且1y x x=+在()0,1上单调递减111112x x ∴+>+=01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】关键点睛：解题的关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元，进而求解的问题；求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；难度属于困难四、解答题(本题共6小题，共70分)17.在①1c =，ABC 的面积为4，②b =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且)cos cos 2sin a C c A b B +=，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】)cos cos 2sin a C c A b B +=，求出B ，然后针对给定的条件利用正弦定理、面积公式选择条件进行求解即可.【详解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B+=22sin B B =，又sin 0B ≠所以3sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为1133sin 2224ABC S ac B a ==⋅= 所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且为等边三角形，所以3C π=，所以3sin 2C =.,选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin 3sin 4c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：5123226sin sinsin sin cos sin .1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据211n n n a S S ++=+写出()212n n n a S S n -+≥，通过作差以及化简说明{}n a 为等差数列，并求解出通项公式；（2）将{}n b 的通项公式变形为()()11114213213n n n b n n -⎡⎤=-⎢⎥-⋅+⋅⎣⎦，采用裂项相消法求解出n T 的结果.【详解】(1)由211n n na S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1所以()11n a a n d n=+-=(2)()()1121213n nn b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()111n n 1n n 1=-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（3）1=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----.19.在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是 AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）77.【解析】【分析】（1）由//FC EA ，另易证得1//O C AD ，即可证得面//EAD 面1FCO ，由面面平行，从而证得线面平行，即1//O F 面EAD .（2）连接AC ，易证AC ⊥面FBC ，可过C 作CH BF ⊥交BF 于H ，连接AH ，则AHC ∠即为二面角A —FB —C 的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆 AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=，又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形.所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE .因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE .又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面，所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠=因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠= ，在601Rt ABC ABC BC ∆∠== 中，，，所以tan 60AC BC =⋅= ，所以在tan301Rt FAC FC AC ∆== 中，因为ACBC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ，又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ，又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥，所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角.在FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆==中，，在90Rt ACH ACH ∆∠= 中，，所以2AH ==，所以cos CH AHC AH ∠==所以二面角A FB C --的余弦值为77.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知F 为椭圆C 的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是，43.【解析】【分析】（1）根据离心率12e =和31,2D ⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，列式即可得解；（2）依题意知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+联立22143x y +=，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634my y m -+=+，122934y y m -=+，结合条件表达11AF BF +，化简即可得解.【详解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F 依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+不妨设10y >，20y <，11AF y y ===，同理22BF y y ==所以121111AF BFy y ⎛⎫+=-⎪⎭211212y y y y -==249334m ==+即1143AF BF +=.【点睛】本题考查了求椭圆方程以及椭圆中的定值问题，考查了转化思想和较高的计算能力，属于较难题.解决本类问题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决大多数直线和圆锥曲线问题的必由之路；（2）化简求值，解析几何计算的特点明显，需要较高的计算技巧.21.设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.【答案】（1）(],2e -∞；（2）3.【解析】【分析】（1）由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x -≥，利用参变分离法得到2ln x a x≤，然后构造函数，利用导数分析实数a 的取值范围（2）求导得到()()()21x a x f x x-+'=，对a 进行分类讨论，然后，利用数形结合进行分析，即可求出最小正整数a 的值【详解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x ax -≥又)x ∈+∞所以1ln 02x ≥>所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞(2)因为()()22ln f x x a x a x=---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==>若0a ≤，则()0f x ¢>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增得()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点则244ln 02a a a a -+-<又0a >所以4ln402aa +->令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=->所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln 30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3【点睛】关键点睛：解题的关键在于：（1）利用参变分离法，得到2ln x a x≤，然后构造函数，求导进行数形结合的分析求解；（2）对()f x 求导，然后对a 分类为：0a ≤和0a >，尤其在0a >时，得到4ln402aa +->，进而构造函数()4ln 42a h a a =+-，利用零点存在定理进行数形结合的分析来求解，本题难度属于困难22.新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率；(2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .【答案】（1）111945105n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）8.6.【解析】【分析】（1）根据题意可得若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k 取1,21n - 时，相加即可得解；（2）根据题意X 的可能取值依次是2，3，…，9，10，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即可得解.【详解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：2311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭24191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用等比数列求和公式即可得：10211114101419119141945941055101051055510559n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅(2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈=X 对应的数学期望为：()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题.解决此类问题的关键点有：（1）全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏；（2）补集思想的应用，根据全概率为1进行求概率。

湖南长郡中学高三年级第三次月考语文试题一、语言知识及运用（15分，每小题3分）1、下列词语中加点的字，读音全都相同的一组是（）A．创伤／重创桂冠／弹冠相庆爱好／乐善好施B．对峙／嗜好湍急／惴惴不安模仿／装模作样C．联袂／抉择蠕动／耳濡目染辍学/风姿绰约D．竣工／英俊讳言／经天纬地勘察／堪称一绝2、下列句子中没有错别字的一句是（）A．席卷全球的金融危机让许多国家原气大伤，谁能最快地杀出重围，谁就是胜者。

B．万人瞩目的国庆60周年阅兵典礼将在装扮一新的天安门广场震撼登场。

C．电影《梅兰芳》真实再现了京剧大师梅兰芳截然不同的两面人生：舞台上神采飞扬光鲜亮丽，生活中木讷寡言不黯世事。

D．一株枯藤，背倚着一段颓墙，在如血的残阳中，自有一种深遂的力量和静谧的美。

3、下列各句中加点的词语使用不恰当的一句是（）A．中新网北京站消息称，电子邮件已跃升为计算机病毒的主要的传播媒体。

B．有人说日本汽车比德国汽车更舒适，也有人说德国汽车比日本汽车更稳重，但这究竟只是个人的不同感受，购车人还是要亲自驾驶一下才能作出判断。

C．3G手机价格不低廉，信号不稳定，所以目前在我国手机市场方兴未艾，并未得到多数用户的青睐。

D．民营企业的发展总要遇到融资难、准入市场难等难题，这些难题的“根”在思想上。

观念不转变，有好政策，也只能是歪嘴和尚念经——老跑调。

4、下列各句中没有语病的一句是（）A．执法人员在处理杭州富家子飙车案中所反映出来的种种问题，我们不难看到加强公安队伍道德、素质教育的迫切性。

B．《公孙子都》改编自传统剧目《伐子都》，表述了春秋时期郑国的公孙子都因为跟颖考叔争夺帅印失和，在战场上暗施冷箭杀死颖考叔，却逃不过良心谴责的故事。

C．中国石油天然气集团公司2月17日宣布，已分别与俄罗斯有关公司签署了开展长期原油贸易协议和从俄罗斯斯科沃罗季诺到中国边境的管道运营、建设和设计协议。

D．8月22日，北京奥组委举行了一个简短的仪式，正式宣布依法解散，个别未尽事宜将由北京奥组委善后办公室继续处理。

长郡中学2021届高三月考试卷（三）英语本试题卷共10页。

时量120分钟。

满分150分。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他符案标号。

回答非选择题时，将答案写在符题卡上，写在本试卷上无效。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的要答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. £ 19.15.B. £9. 18.C. £9.15.答案是C.1. What does the woman want lo express to her brothers and sisters?A. Love.B. Regret.C. Complaint.2. What can we know about the man?A. He's in poor health.B. He'll have an operation.C. He had the fence painted.3. Who is Murphy?A. A teenager.B. Maggie's hero.C.A soccer star.4. What attitude does the woman hold to her airline?A. Negative.B. Indifferent.C.Optimistic.5. What do the two speakers mainly talk about?A.Real heroines.B. An award ceremony.C. The medical profession.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

大联考长郡中学2025届高三月考试卷（三）数学本试卷共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{1,2}A =，{2,3}B =，{1,2,3,4}C =，则（ ） A ．A B =∅B ．A BC =C ．A C C =D ．A C B =2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（ ）A ．5B C ．34i −−D ．34i −+3．已知向量a ，b满足3a = ，b = ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 方向上的投影向量为（ ）A ．3B ．3−C ． 3a −D ．a −4．已知函数()f x 的定义域为()(),54,3f f x =+R 是偶函数，12,x x ∀∈[3,)+∞，有()()12120f x f x x x −>−，则（ ） A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π02αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ42ββ <<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △，则B 点的纵坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左顶点为(),,0A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．B ．C ．4+D ．2二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则下列匀选项中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f是()f x 的最小值 C ．()f x 在区间π0,2上的值域为33,22−D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象 10．在长方体1111ABCD A B C D −中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λµ=+，其中[][]0,1,0,1λµ∈∈，则（ ）A ．若1B P 与平面ABCD 所成的角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λµ=时，1B P ∥平面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2µλ=时，1A P DP +11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线()2:20C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90,180,270°°°后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（ ）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x = B ．4AB =C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长的最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．若()523450123451x a a x a x a x a x a x −=+++++，则2a =_____．13．已知函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ++<=+≥ 若函数()2y f x =−有3个零点，则实数a 的取值范围是_____． 14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T为等差数列，则m =_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）记ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +−++=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠=∠=sin B ． 16．（本小题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C −中，11160,,,1,2A AC AC BC A C AB AC AA ∠=°⊥⊥==．（1）求证：1A C ⊥平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面11BCC B ，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战．若开始基础分值为()*m m ∈N 分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得－1分．若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当0X =时，答题也结束，机器人挑战失败．（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望； （2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率． 18．（本小题满分17分）．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3．,A B 是椭圆的左、右顶点，过,A B 分别做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过P ，Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值； （3）求证：IK IA JKJB=．19．（本小题满分17分）对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点．已知0a ≥，且()21ln 12f x x ax a =++−的不动点的集合为A ．以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素．（1）若0a =，求A 的元素个数及max A ； （2）当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B ． （i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足()112,n n nf a a a a +==，集合n C =*141,,3nk k a n = −∈∑N ．求证：*4,max 3n n C ∀∈=N ．长郡中学2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 91011答案CADBCBBDBD BCD ABD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．C 【解析】由题意，{2},{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2}A B A B A C C A C ===== ，对比选项可知只有C 选项符合题意．2．A 【解析】因为复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，所以112i z =−，所以()()1212i 12i 5z z =−+=． 3．D 【解析】因为()a ab ⊥+，则()290a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅= ，故9a b ⋅=− ，所以b 在a 方向上的投影向量为299a b a a a a⋅−⋅=⋅=−．4．B 【解析】因为12,[3,)x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x −>−，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增，又()3f x +是偶函数，则()3f x+的图象关于0x =对称，所以()f x 的图象关于3x =对称，则()()()0654f f f =>=，A 错误；()()154f f ==，故选项B 正确；()()()2454f f f =<=，故选项C 错误；()3f的正负不能确定，故选项D 错误．5．C 【解析】如图，设P 在底面的投影为G ，易知正四棱锥P ABCD −的外接球球心在PG 上， 由题意，球O 的半径5,853PO AO OG ====−=，所以4,8AG PA AB === 故PAB △中，边AB所以该正四棱锥的侧面积为14962××=．6．B 【解析】由e x y =得e xy ′=，又切点为（1，e ），故e k =，切线l 为e y x =， 设l 与曲线ln y a x =+的切点为()001,e ,x x y x ′=，所以01e x =，解得切点为1,1e， 所以1ln11ea a +=−=，解得2a =． 7．B 【解析】由A 点的纵坐标为1213，得125sin ,cos 1313αα==，显然ππ42α<<， 而()111sin 2AOB S αβ=×××+=△()sin αβ+，又ππ42β<<， 因此ππ2αβ<+<，3π4αβ+=，有3π4βα=−，)3π512sin sin cos sin 41313βααα=−=+=+=显然B 点在第四象限，所以B 点的纵坐标为 8．D 【解析】如图，设直线2x c =与x 轴交于点,H PH m =， 则tan ,tan 2m mPFH PAH c a c∠=∠=+． 因为APF PFH PAH ∠=∠−∠，所以()tan tan tan tan 1tan tan PFH PAHAPF PFH PAH PFH PAH∠−∠∠=∠−∠=+∠⋅∠()22222212m m m a c a c c a c m m ac c ac c m m c a c m−+++==++++⋅++．因为22ac c m m++≥m =时，等号成立，所以tan APF ∠≤，整理得22430c ac a −−=，则2430e e −−=，解得2e =+．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）9．BD 【解析】∵()()3sin f x x ωϕ=+，由题图知33π44T =，∴πT =，2ω=，故A 错误； ∵π2π623T +=，∴可得2π3f是()f x 的最小值，故B 正确； ∵ππ3sin 2366f ϕ=×+=，∴πsin 13ϕ+=，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ， 又π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π3sin 26f x x =+，∵π0,2x∈ ，∴ππ7π2,666x +∈ ， ∴()π33sin 2,362f x x=+∈−，故C 错误； 将()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象为πππ3sin 23sin 212126f x x x−=−+=，故D 正确．10．BCD 【解析】对于A 中，连接BP ，在长方体1111ABCD A B C D −中，可得1BB ⊥平面ABCD ，所以1B PB ∠即为1B P 与平面ABCD 所成的角，即1π4B PB ∠=，在直角1BB P △中，可得11BP BB ==，所以点P 的轨迹为以B 为圆心，半径为1的14圆，其周长为1π2π142××=，所以A 错误；对于B 中，当λµ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+，所以点P 在线段AC 上，连接11,,AC AB B C ，在长方体1111ABCD A B C D −中，可得1111,AC A C B C A D ∥∥，因为AC ⊄平面11AC D ，且11A C ⊂平面11A C D ，所以AC ∥平面11AC D ，同理可证1B C ∥平面11A C D ，又因为1AC B C C = ，且1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ∥平面11A C D ，因为1B P ⊂平面1AB C ，所以1B P ∥平面11A C D ，所以B 正确；对于C 中．当12λ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+ ，取,AB CD 的中点,E F ，过接,,EF AF BF ，可得点P 在线段EF 上运动，若1A P BP ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD 且BP ⊂平面ABCD ，所以111111,,,AA BP A P A A A A P A A ⊥=⊂ 平面1A AP 、故BP ⊥平面1A AP ，又AP ⊂平面1A AP ，故BP AP ⊥，所以点P 在以AB 为直径的圆上，又因为22AB AD ==，可得线段EF 与以AB 为直径的圆只有一个交点F ，所以当点P 与F 重合时，即当且仅当P 为CD 的中点时，能使得1A P BP ⊥，所以C 正确；对于D 中，当2µλ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+ ，取,AB CD 的中点,E F ，连接,AF EF ，可得点P 在线段AF 上运动，沿着AF 将直角1AA F △和平面ADF △展开在一个平面上，如图所示，在1AA D △中，113π1,1,4AA AD A AD ==∠=，由余弦定理得2221113π2cos24A D AA AD AA AD =+−⋅=+，所以1A D =1A P DP +的最小值为，所以D 正确．11．ABD 【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11,02F，将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为210,2F，则其方程为22x y =，即212y x =，故A 正确； 对于B ，根据A 项分析，由222,2y x x y = =可解得0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =， 由图象对称性，可得()()2,2,2,2A B −，故4AB =，即B 正确； 对于C ，如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点,M N ，由2,2,y x t y x =−+ =解得11,M M x t y =+− =− 由2,2,y x t x y =−+ =解得1,1N N x y t = =+− ，即得()11,1,1M t N t +−−+， 则弦长为2MN =−由图知，直线x y t +=经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0，即在第一象限部分满足04t <<， 不妨设u=13u <<，且212u t −=，代入得，)()222113MNu =+−−−<<， 由此函数的图象知，当2u =时，MN取得最大值为，即C 错误；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值．如图：在抛物线()2102yx x ≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行，由1y x ′==可得切点坐标为11,2P，因为:0OA l x y −=，则点P 到直线OA的距离为d =于是1122OPA S ==△，由图知，半个花瓣的面积必大于12，故原图中的阴影部分面积必大于1842×=，故D 正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．10−【解析】()51x −的展开式通项是：()55C 1kk k x −−，依题意，得52k −=，即3k =，所以()3325C 110a =−=−． 13．（－3，6）【解析】函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ++<=+≥ 当1x ≥时，方程ln 12x +=，解得e x =，函数()2y f x =−有一个零点，则当1x <时，函数()2y f x =−须有两个零点，即242x x a ++=在1x <时有两个解．设()242g x x x a =++−，对称轴为()2,x g x =−在(),2−∞−上单调递减，在()2,−+∞上单调递增，∴()10g >，且()20g −<，即1420,4820,a a ++−> −+−< 解得36a −<<，所以a 的取值范围是（－3，6）．14．1或2【解析】当2n ≥时，111,11n n n n n n n n m mT a T a a m a T m a −−−+=+===++−， 所以()1211111111111121n n n n n n n n a n m T T m a m a m a m ma m m a −−−−−−−−=−=−=≥−−−−−+−．由数列1n T为等差数列，则1211n n a m ma −−−−为常数d ，①若0d =，则()112n a n −=≥恒成立，即()11n a n =≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则2111n n a dm dma −−−=−，∴21,1,dm dm = = 解得1,1,m d = =综上所述，1m =或2m =．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1）()()()222222b c a b c a b c a b bc c a bc +−++=+−=++−=，则222b c a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−，因为0πA <<，所以2π3A =． （2）由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠，所以π6CAD ∠=，如图，在ACD △中，由余弦定理，得2222cos 31647CD AD AC AD AC DAC =+−⋅∠=+−=，即CD =，在ACD △中，由正弦定理sin sin CD AD DAC C =∠=，所以sin C =，因为π03C <<，故cos C ，在ABC △中，()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=−．16．【解析】（1）在1A AC △中，由余弦定理可得2221111cos 2AC A A A C A AC AC A A +−∠=⋅⋅，则222112cos 60212A C +−°=××，解得213A C =， 由22211A C AC A A +=，则在1A AC △中，1A C AC ⊥，因为1,,A C AB AC AB ⊥⊂平面,ABC AC AB A = ，所以1A C ⊥平面ABC ．（2）易知1,,A C AC BC 两两相互垂直，分别以1,,CA CB CA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设BC k =，则(()()(11,0,,0,0,0,0,,A B k C C −(()(110,,0,,0,,BA k CB k CC −=−设平面11BCC B 的法向量(),,n x y z = ，则10,0,n CB n CC ⋅= ⋅=可得0,0,ky x = −+=令x =0,1y z ==，所以平面11BCC B的一个法向量)n =， 设直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为θ，则11sin BA n BA n θ⋅=⋅，可得=1k =，易知(11BB CC ==−，设平面11A BB 的法向量()000,,m x y z = ，则110,0m BA m BB ⋅=⋅=可得00000,0,y x −+= −+=令01z =，则00x y =， 所以平面11A BB的一个法向量)m =，设平面11A BB 与平面11BCC B 的夹角为α，则cos n m n mα⋅==⋅17．【解析】（1）当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，()()()1111111114,32,2,224222224P X P X P X ==×===××===×=所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：所以()1114323424E X =×+×+×=． （2）当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为： 情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分； 情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得—1分的有1轮，第5、6轮都得1分，所以()3232335411111111C C 4244441024P A =××+××= ． 18．【解析】（1）由题意：22222,2,3, 1.a b a a c bc a b c ==+=⇒= = =+ 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．4分（2）设过点R 的切线方程为()21y k x −=−，即()2y kx k =+−， 由()222,1,43y kx k x y =+− += 消去y ，整理得()()()222438242120k x k k x k ++−+−−=， 由()()()222206424434212kk k k ∆=⇒−=+−− ，整理得23410k k +−=，所以1213k k =−．（3）设()()000,0,R x y y RK >的延长线交x 轴于K ′点，如图：因为AI K K JB ′∥∥，则022IKAK x JKBK x ′+==′−． 设P ，Q 两点处切线斜率分别为12,k k ，过R 点的椭圆的切线方程为()00y y k x x −=−，即()00y kx y kx =+−，由()0022,143y kx y kx x y =+−+= 消去y ，化简整理，得()()()22200004384120kx k kx y x kx y +−−+−−=，由0∆=，得()()()2222000064443412kkx y k kx y −=+−−，化简整理，得()22200004230x k x y k y −−+−=， 由韦达定理，得20001212220023,44x y y k k k k x x −+==−−，所以()()1002002,2l J y k x y y k x y =−−+=−+， 所以要证明IK IA JKJB=，只需证明()()100002002222k x y x x k x y −−++=−−+，即()()()()()()()()22222000100012001201200042424242,k x y x k x y x k k x y k k x k k x x y −++=−+−⇔++=+⇔+−=因为00122024x y k k x +=−，所以上式成立，即IK IA JK JB =成立． 19．【解析】（1）当0a =时，()1ln 12f x x =+，其定义域为()0,+∞． 由()f x x =得1ln 102x x −+=． 设()1ln 12g x x x =−+，则()122xg x x −′=， 当10,2x∈ 时，()0g x ′>；当1,2x ∈+∞ 时，()0g x ′<， 所以()g x 在10,2上单调递增；在1,2 +∞上单调递减， 注意到()10g =，所以()g x 在 +∞上恰有一个零点1x =，且()1102g g>=， 又()22e e 0g −−=−<，所以()21e 02g g −<，所以()g x 在10,2 上恰有一个零点0x ， 即()f x 在1,2 +∞上恰有一个不动点1,x =在10,2上恰有一个不动点0x x =， 所以{}0,1A x =，所以A 的元素个数为2，又因为01x <，所以max 1A =． （2）（i ）当0a =时，由（1）知，A 有两个元素，不符合题意； 当0a >时，()21ln 12f x x ax a =++−，其定义域为()0,+∞， 由()f x x =得21ln 102x ax x a +−+−=． 设()()21ln 1,0,2h x x ax x a x =+−+−∈+∞，则()214212122ax x h x ax x x −+′=+−=， 设()2421F x ax x =−+，则416a ∆=−，①当14a ≥时，()()0,0,0F x h x ′∆≤≥≥，所以()h x 在()0,+∞上单调递增， 又()10h =，所以()h x 在()0,+∞上恰有一个零点1x =， 即()f x 在()0,+∞上恰有一个不动点1x =，符合题意； ②当104a <<时，0∆>，故()F x 恰有两个零点()1212,x x x x <． 又因为()()010,1410F F a =>=−<，所以1201x x <<<， 当()10,x x ∈时，()()0,0F x h x ′>>； 当()12,x x x ∈时，()()0,0F x h x ′<<； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0F x h x ′>>，所以()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，注意到()10h =，所以()h x 在()12,x x 上恰有一个零点1x =，且()()()()1210,10h x h h x h >=<=， 又0x →时，()h x →−∞，所以()h x 在()10,x 上恰有一个零点0x ′，从而()f x 至少有两个不动点，不符合题意；所以a 的取值范围为1,4 +∞ ，即集合1,4B=+∞ ．（ii ）由（i ）知，1,4B=+∞ ，所以1min 4aB =， 此时，()()22113113ln ,ln 244244f x x x h x x x x +++−+， 由（i ）知，()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，当1x >时，()()10h x h >=，所以()f x x >，即()1f x x>，故若1n a >，则11n a +>，因为，若存在正整数N 使得1N a ≤，则11N a −≤，从而21N a −≤，重复这一过程有限次后可得11a ≤，与12a =矛盾，从而，*,1n n a ∀∈>N ， 下面我们先证明当1x >时，()3ln 12x x <−， 设()()33ln ,1,22G x x x x =−+∈+∞，所以()1323022x G x x x ′−=−=<， 所以()G x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10G x G <=，即当1x >时，()3ln 12x x <−，从而当1x >时，2211311ln 24444x x x x x ++−<−， 从而()2113ln 1244114xx x x x ++−<−，即()()1114f x x x −<−，故()()1114n nn f a a a −<−， 即()11114n n a a +−<−，由于11,1n n a a +>>， 所以110,10n n a a +−>−>，故11114n n a a +−<−，故2n ≥时，121211111111114444n n n n n a a a a −−−−−<−<−<<−= ，所以*1111114144,111434314n n nk k n k k n a −==− ∀∈−≤==−< −∑∑N ，故4max 3n C =．。

一、现代文阅读（30分）阅读下面的文章，完成下面小题。

【甲】近年来，随着互联网的普及，越来越多的年轻人沉迷于网络，导致学业荒废、身心健康受损。

为了解决这一问题，我国政府和社会各界纷纷采取措施，呼吁青少年远离网络，回归现实生活。

然而，网络并非洪水猛兽，它既有积极的一面，也有消极的一面。

如何看待网络，如何正确使用网络，已成为当下青少年教育的重要课题。

网络具有强大的信息传播功能，可以让我们随时随地获取各种知识。

通过网络，我们可以了解到世界各地的新闻动态、科技发展、文化传承等，拓宽了我们的视野。

同时，网络也为我们提供了便捷的交流平台，让我们能够与朋友、家人保持紧密联系。

然而，网络也存在诸多问题，如网络暴力、虚假信息、网络成瘾等，给青少年身心健康带来严重危害。

面对网络，我们应该如何正确看待和使用呢？首先，我们要树立正确的网络观念。

网络并非万能，它不能代替现实生活中的亲情、友情和爱情。

我们要认识到，网络只是生活的一部分，不能完全依赖网络来满足自己的需求。

其次，我们要提高网络素养。

学会辨别网络信息的真伪，自觉抵制不良信息，做到文明上网。

同时，要学会保护个人隐私，避免泄露个人信息。

再次，我们要合理安排时间，避免沉迷网络。

将网络作为辅助工具，而不是生活的全部。

在学习、工作和生活中，我们要学会自我约束，合理安排时间，确保网络与生活相互促进。

最后，我们要加强家庭教育。

家长要关注孩子的网络使用情况，引导孩子正确看待和使用网络。

同时，家长要树立良好的网络榜样，以身作则，为孩子营造一个健康、向上的网络环境。

总之，网络是把双刃剑，正确看待和使用网络，才能让网络为我们的生活带来更多便利和快乐。

【乙】在当今社会，随着科技的发展，人工智能逐渐成为人们关注的焦点。

人工智能技术的广泛应用，使得我们的生活发生了翻天覆地的变化。

然而，人工智能的崛起也引发了一系列伦理问题，如隐私泄露、就业压力等。

如何平衡人工智能的发展与伦理道德，已成为一个亟待解决的问题。