2015-2016学年湖北省武汉二中广雅中学九年级(下)第四次月考数学试卷

2015-2016学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（下）第四次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数+1的值在（）之间．A．0～1 B．1～2 C．2～3 D．3～42．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣23．（3分）运用乘法公式计算（2+a）（a﹣2）的结果是（）A．a2﹣4a﹣4 B．a2﹣2a﹣4 C．4﹣a2D．a2﹣44．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形B．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根C．掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14D．李老师购买了1张彩票，正好中奖5．（3分）下列计算正确的是（）A．x6÷x2=x3B．2x•x=2x2C．3x2﹣2x3=x2D．x2+x2=2x46．（3分）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣10，1）、C（2，6），则点A 的坐标为（）A．（﹣10，12）B．（﹣10，13）C．（﹣10，14）D．（2，12）7．（3分）如图，几何体上半部分为正方体，下半部分为圆柱，其左视图为（）A．B．C．D．8．（3分）二中广雅管乐队队员的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图．根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为（）A．8和6 B．15和14 C．8和14 D．15和13.59．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3…，这样依次得到点A1、A2、A3、A n、…．若点A1（2，2），则点A2016的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，3）C．（1，﹣1）D．（2，2）10．（3分）如图，AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，过C、D的⊙O交AC、BC 分别于E、F．若⊙O的半径为，AC=2+2，则△CEF的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：﹣10﹣6的结果为．12．（3分）2016年湖北武汉中考报名人数为6.3万人，普通高中招生计划约为3.48万人，数34800用科学记数法表示为．13．（3分）武汉二中广雅中学开展“广学雅行”活动，从学生会“监察部”的三名学生干部（2男1女）中随机选两名进行活动督查，恰好选中两名男学生的概率是．14．（3分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP=26°，那么∠APB=．15．（3分）如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为．16．（3分）已知函数y=，将此函数的图象记为P．若直线y=x+b与图形P恰有两个公共点，则b的值为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：3x﹣1=2（x﹣2）18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，连结AC、BD交于点P，求证：AC⊥BD．19．（8分）武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况，随机抽取了部分学生进行阅读时间调查，现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D 四个等级（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m ＜60；单位：小时），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：（1）C组的人数是人，并补全条形统计图．（2）本次调查的众数是等，中位数落在等．（3）国家规定：“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”，如果该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有人．20．（8分）已知双曲线y=和直线y=kx+4．（1）若直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，求k的值．（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M（x1，y1），N（x2，y2）．当x1＞x2，请借助图象比较y1与y2的大小．21．（8分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan∠BCD=（1）求证：AE=CD；（2）求sin∠CPD．22．（10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x 米（1≤x ≤2），矩形EFGH 的面积为S 米2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米2，100元/米2，当x 为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．23．（10分）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N ．（1）当F 为BE 中点时，求证：AM=CE ；（2）若==2，求的值；（3）若==n ，当n 为何值时，MN ∥BE ？24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于O 、A 两点，点P 在抛物线上，过点P 的直线y=x +m 与抛物线的对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是：直线 ，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 度；（2）若S △POQ ：S △PAQ =1：2，求此时的点P 坐标；（3）如图2，点M （1，5）在抛物线上，以点M 为直角顶点作Rt △MEF ，且E 、F 均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF 必然经过定点N ，求点N 坐标．2015-2016学年湖北省武汉二中广雅中学九年级（下）第四次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数+1的值在（）之间．A．0～1 B．1～2 C．2～3 D．3～4【分析】由于1＜3＜4，且3更接近4，则1＜＜2，于是可判断．【解答】解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴2＜+1＜3．故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴x+2≠0，即x≠﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．3．（3分）运用乘法公式计算（2+a）（a﹣2）的结果是（）A．a2﹣4a﹣4 B．a2﹣2a﹣4 C．4﹣a2D．a2﹣4【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：原式=a2﹣4，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形B．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根C．掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14D．李老师购买了1张彩票，正好中奖【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是必然事件；方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根是必然事件；掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14是不可能事件；李老师购买了1张彩票，正好中奖是随机事件，故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（3分）下列计算正确的是（）A．x6÷x2=x3B．2x•x=2x2C．3x2﹣2x3=x2D．x2+x2=2x4【分析】根据同底数幂的除法、单项式乘单项式的法则、合并同类项法则逐一判断即可．【解答】解：A、x6÷x2=x4，故此选项错误；B、2x•x=2x2，故此选项正确；C、3x2与﹣2x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；D、x2+x2=2x2，故此选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查幂的运算及单项式乘单项式的法则、合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．（3分）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣10，1）、C（2，6），则点A 的坐标为（）A．（﹣10，12）B．（﹣10，13）C．（﹣10，14）D．（2，12）【分析】根据两点间距离公式求出BC，再根据菱形的性质即可解决问题．【解答】解：∵B（﹣10，1）、C（2，6），∴BC==13，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=13，∴点A坐标为（﹣10，14），故选：C．【点评】本题考查菱形的性质、两点间距离公式、坐标3图形性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．7．（3分）如图，几何体上半部分为正方体，下半部分为圆柱，其左视图为（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看下边是一个较大的矩形，上边是两个较小的矩形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线用实线画．8．（3分）二中广雅管乐队队员的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图．根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为（）A．8和6 B．15和14 C．8和14 D．15和13.5【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．【解答】解：15岁的队员最多，是8人，所以，众数是15岁，20人中按照年龄从小到大排列，第10、11两人的年龄都是14岁，所以，中位数是14岁．，故选：B．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．9．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3…，这样依次得到点A1、A2、A3、A n、…．若点A1（2，2），则点A2016的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，3）C．（1，﹣1）D．（2，2）【分析】根据伴随点的定义找出部分A n的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A 4n +1（2，2），A 4n +2（﹣1，3），A 4n +3（﹣2，0），A 4n +4（1，﹣1）（n 为自然数）”．依此规律即可得出结论．【解答】解：观察，发现规律：A 1（2，2），A 2（﹣1，3），A 3（﹣2，0），A 4（1，﹣1），A 5（2，2），…，∴A 4n +1（2，2），A 4n +2（﹣1，3），A 4n +3（﹣2，0），A 4n +4（1，﹣1）（n 为自然数）． ∵2016=503×4+4，∴点A 2016的坐标为（1，﹣1）．故选：C ．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是根据坐标的变化找出变化规律“A 4n +1（2，2），A 4n +2（﹣1，3），A 4n +3（﹣2，0），A 4n +4（1，﹣1）（n 为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．10．（3分）如图，AC ⊥BC ，AC=BC ，点D 是AB 中点，过C 、D 的⊙O 交AC 、BC 分别于E 、F ．若⊙O 的半径为，AC=2+2，则△CEF 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】要求△CEF 的面积，关键是求出CE 和CF 的乘积，根据题目中条件可以证明△EDC ≌△FDB ，得到CE 和BF 的关系，再根据勾股定理和⊙O 的半径为，AC=2+2，可以求得CE 和CF 的乘积，本题得以解决． 【解答】解：连接CD 、ED 、DF 、EF ，如右图所示，∵AC ⊥BC ，AC=BC ，点D 是AB 中点，∴CD=DA=DB ，∠CDB=90°，∠ECD=∠FBD=45°，又∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EDF=90°，∴∠EDC +∠CDF=∠CDF +∠FDB=90°，∴∠EDC=∠FDB，在△EDC和△FDB中，，∴△EDC≌△FDB（ASA），∴CE=BF，又∵AC=BC，AC=2+2，∴BC=2+2，即BF+FC=2+2，∴CF+CE=2+2，又∵∠ECF=90°，⊙O的半径为，∴CE2+CF2=EF2，EF=2，解得，CE•CF=4，∴△CEF的面积为：，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形全等和勾股定理解答．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：﹣10﹣6的结果为﹣16．【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：﹣10﹣6=﹣16．故﹣10﹣6的结果为﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．12．（3分）2016年湖北武汉中考报名人数为6.3万人，普通高中招生计划约为3.48万人，数34800用科学记数法表示为 3.48×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：34800用科学记数法表示为：3.48×104．故答案为：3.48×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（3分）武汉二中广雅中学开展“广学雅行”活动，从学生会“监察部”的三名学生干部（2男1女）中随机选两名进行活动督查，恰好选中两名男学生的概率是．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出选中两名男学生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中恰好选中两名男学生的结果数为2，所以恰好选中两名男学生的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．14．（3分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP=26°，那么∠APB=32°．【分析】根据轴对称的性质和矩形的性质可以得出AB=DP，AP∥BD，进而得出∠APB的度数．【解答】解：∵△BDC与△BDE关于BD对称，∴△BDC≌△BDP，∴BP=BC，DP=DC，∠DBP=∠DBC．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=DP，AD=BC=BP，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠PBD=∠ADB，∴BF=DF，∴BP﹣BF=AD﹣DF，∴AF=PF，∴∠FAP=∠FPA，∵∠AFP=∠BFD，∴2∠PAF=2∠ADB，∴∠PAF=∠ADB，∴AP∥BD，∴∠APB=∠PBD，∵∠ABP=26°，∴∠CBD=∠DBP=（90°﹣26°）=32°，则∠APB=32°．故答案为：32°．【点评】本题考查了矩形的性质的运用、轴对称的性质的运用、平行线的性质的运用、等腰三角形的性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．15．（3分）如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为．【分析】首先证明△ACE≌△DCB，再证明PC平分∠APB，且∠APB=90°，作△APB 的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于点Q，可以发现当PQ⊥AB时，PC最大．【解答】解：如图，∵△ACD与△BCE都为等边三角形，∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=BD；过C作CG⊥AE，CH⊥BD，∵△ACE≌△DCB，=S△DCB，即AE•C G=BD•CH，∴S△ACE∵AE=BD，∴CG=CH，∴KC平分∠AKB，∵∠CDB=∠EAC，∴∠ACP=∠DPA=60°，∴∠APB=120°，∠APQ=∠BPQ=60°，作△APB的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于Q，∵∠APB=120°是定值，∠APQ=∠BPQ=60°，∴QA=QB，点Q是定点，∴当PQ⊥AB时，PC的长最大，此时PA=PB，AC=BC，PC=AC•tan30°=3×=．故答案为．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．（3分）已知函数y=，将此函数的图象记为P．若直线y=x+b与图形P恰有两个公共点，则b的值为0或．【分析】根据题意可以分别得到两段函数的图象，这是一道填空题，根据题意画出相应的图象，即可解答本题．【解答】解：当直线y=x+b与y=﹣x2+2x（x≥0）有一个交点，与y=x2﹣2x（x＜0）有一个交点时，﹣x2+2x=x+b，则x2﹣x+b=0，△=（﹣1）2﹣4×1×b=0，得b=，当直线y=x+b与y=﹣x2+2x（x≥0）有两个交点，与y=x2﹣2x（x＜0）没有交点时，则b=0，故答案为：0或．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：3x﹣1=2（x﹣2）【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去括号得：3x﹣1=2x﹣4，解得：x=﹣3．【点评】此题考查了一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，连结AC、BD交于点P，求证：AC⊥BD．【分析】由SSS证明△ABC≌△ADC，得出对应角相等即可，再根据等腰三角形的三线合一即可证明AC⊥BD．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAP=∠DAP，∵AB=AD，∴AC⊥BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．19．（8分）武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况，随机抽取了部分学生进行阅读时间调查，现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D 四个等级（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m ＜60；单位：小时），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：（1）C组的人数是50人，并补全条形统计图．（2）本次调查的众数是100等，中位数落在C等．（3）国家规定：“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”，如果该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有2975人．【分析】（1）根据A的人数除以A所占的百分，可得调查的总人数，根据有理数的减法，可得C的人数；（2）根据众数的定义，中位数的定义，可得答案；（3）根据样本估计总体，可得答案．【解答】解：（1）调查的总人数40÷20%=200人，C组的人数=200﹣40﹣100﹣10=50，补充如图；（2）本次调查的众数是100，即B等，中位数是=75，落在C等；（3）3500×=3325人，答：该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有3325人．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．20．（8分）已知双曲线y=和直线y=kx+4．（1）若直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，求k的值．（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M（x1，y1），N（x2，y2）．当x1＞x2，请借助图象比较y1与y2的大小．【分析】（1）解两函数组成的方程组，得出一个医院二次方程，根据根的判别式即可求出答案；（2）分为三种情况，结合图形比较即可．【解答】解：（1）把①代入②得：=kx+4，kx2+4x﹣6=0，∵直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，∴方程kx2+4x﹣6=0有唯一一个解，即△=42﹣4k•（﹣6）=0，解得：k=﹣；（2）当x1＞x2＞0时，y1＜y2；当x2＜x1＜0时，y1＜y2；当x2＜0＜x1时，y1＞y2．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根的判别式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用，能理解两函数有唯一公共点的意义是解此题的关键，数形结合思想的应用．21．（8分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan∠BCD=（1）求证：AE=CD；（2）求sin∠CPD．【分析】（1）连接AD，根据垂径定理得出CE=DE=CD，然后你赶紧圆周角定理和三角函数即可求得结论；（2）作直径CE，连接ED，根据圆周角定理和已知条件求得AB=CD，即可求得=，得出sin∠CED=，进而求得sin∠CPD=．【解答】（1）证明：连接AD，∴∠BAD=∠BCD，∵tan∠BCD=，∴tan∠BAD=，∴=，∴DE=AE，∵⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，∴CE=DE=CD，∴AE=CD；（2）解：作直径CE，连接ED，∴∠CDE=90°，∵tan∠BCD=，AB⊥弦CD，∴CE=2BE，∵AE=CD，∴AB=CD，∴=，∵CE=AB，∴=，∴sin∠CED=，∵∠CED=∠CPD，∴sin∠CPD=．【点评】本题考查了垂径定理的应用，圆周角定理的应用，直角三角函数的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．22．（10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式；（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米2，100元/米2，当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．【分析】（1）连接AC、BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF 为等边三角形，从而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式．（2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W 关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可．【解答】解：（1）连接AC、BD，∵花坛为轴对称图形，∴EH∥BD，EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．同理，得到△BEF是等边三角形，∵AB==2，∴EF=BE=AB﹣AE=（2﹣x）m，在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，则EM=AEcos∠AEM=x，∴EH=2EM=x，故可得S=x（2﹣x）=﹣x2+6x；（2）∵菱形ABCD的面积为2×3=6，矩形EFGH的面积为﹣x2+6x，∴四个三角形的面积为6+x2﹣6x，设总费用为W，则W=200（﹣x2+6x）+100（6+x2﹣6x）=﹣100x2+600x+600=﹣100（x﹣）2+900，∵1≤x≤2，∴当x=时，W取得最大值，最大值为900，答：当x=时，购买花卉所需的总费用最低，最低总费用900．【点评】本题考查了二次函数的应用，首先需要根据花坛为轴对称图形，得出EH∥BD，EF∥AC，重点在于分别得出EF、EH关于x的表达式，另外要掌握配方法求二次函数最值的应用．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若==2，求的值；（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？【分析】（1）如图1，易证△BMF≌△ECF，则有BM=EC，然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC；（2）如图2，设MB=a，易证△ECF∽△BMF，根据相似三角形的性质可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到AN=a，从而可得ND=AD﹣AN=a，就可求出的值；（3）如图3，设MB=a，依据相似三角形的性质可得BC=2a，CE=na．由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值．【解答】解：（1）当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．在△BMF和△ECF中，，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC=DC，∴BM=EC=DC=AB，∴AM=BM=EC；（2）如图2所示：设MB=a，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，∴△ECF∽△BMF，∴==2，∴EC=2a，∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a．∵=2，∴BC=AD=2a．∵MN⊥MC，∴∠CMN=90°，∴∠AMN+∠BMC=90°．∵∠A=90°，∴∠ANM+∠AMN=90°，∴∠BMC=∠ANM，∴△AMN∽△BCM，∴=，∴=，∴AN=a，ND=AD﹣AN=2a﹣a=a，∴==3；（3）当==n时，如图3：设MB=a．∵△MFB∽△CFE，∴=，即，解得EC=an．∴AB=2an．又∵=n，∴，∴BC=2a．∵MN∥BE，MN⊥MC，∴∠EFC=∠HMC=90°，∴∠FCB+∠FBC=90°．∵∠MBC=90°，∴∠BMC+∠FCB=90°，∴∠BMC=∠FBC．∵∠MBC=∠BCE=90°，∴△MBC∽△BCE，∴=，∴=，∴n=4．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、同角的余角相等、三角形外角的性质等知识，利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解决本题的关键．24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于O 、A 两点，点P 在抛物线上，过点P 的直线y=x +m 与抛物线的对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是：直线 x=3 ，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是 45 度；（2）若S △POQ ：S △PAQ =1：2，求此时的点P 坐标；（3）如图2，点M （1，5）在抛物线上，以点M 为直角顶点作Rt △MEF ，且E 、F 均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF 必然经过定点N ，求点N 坐标．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可，根据直线y=x +m 与直线y=x 平行可得结论．（2）如图1中，作直线y=x 交对称轴于H ，连接AH ，延长AH 交直线PQ 于M ，作ON ⊥PQ 于N 则四边形ONMH 是矩形．△AOH 是等腰直角三角形．由S △POQ ：S △PAQ =1：2，推出AM=2ON ，ON=MH=AH ，由点A （6，0），H （3，3），推出点M （0，6），再求出直线PQ ，利用方程组即可解决问题．（3）如图2中，过点M 作GH ∥OA ，过点E 作EG ⊥GH 于G ，过点F 作FH ⊥GH于H ．由△EMG ∽△MFH ，得=，设E （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），直线EF 的解析式为y=mx +n ，得=，由y 1=﹣x 12+6x 1，y 2=﹣x 22+6x 2代入上式整理得到x 1x 2﹣5（x 1+x 2）+26=0，列出方程组，利用根与系数关系求出m 、n 的关系即可解决问题．【解答】解：（1）抛物线y=﹣x 2+6x 的对称轴x=﹣=3，∵直线PQ ：y=x +m 与直线y=x 平行，直线y=x 是一、三象限的平分线，∴直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=3，45．（2）如图1中，作直线y=x 交对称轴于H ，连接AH ，延长AH 交直线PQ 于M ，作ON ⊥PQ 于N 则四边形ONMH 是矩形．△AOH 是等腰直角三角形．∵S △POQ ：S △PAQ =1：2，∴AM=2ON ，∴ON=MH=AH ，∵点A（6，0），H（3，3），∴点M（0，6），∴直线PQ的解析式为y=x+6，由解得或，∴点P坐标（2，4）或（3，3）．（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH 于H．∵∠EMF=90°，∴∠EMG+∠FMH=90°，∵∠FMH+∠MFH=90°∴∠EMG=∠MFH，∵∠G=∠H=90°，∴△EMG∽△MFH，∴=，设E（x1，y1）、F（x2，y2），直线EF的解析式为y=mx+n，∴=，∵y1=﹣x12+6x1，y2=﹣x22+6x2代入上式整理得到x1x2﹣5（x1+x2）+26=0由消去y得到x2+（m﹣6）x+n=0，∴x1+x2=6﹣m，x1x2=n，∴n﹣5（6﹣m）+26=0，∴n=4﹣5m，∴直线EF解析式为y=mx+4﹣5m=（x﹣5）m+4，当x=5时，y=4，∴直线EF过定点N（5，4）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、根与系数关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。