偏微分方程习题精练1

（5） （6）
求固有值问题（5）（6）： 得固有值与固有函数分别为
kπ λk = , l kπ X k ( x) = Bk sin x, l
2
k = 1, 2,3,L.
T '(t ) + a 2 λT (t ) = 0,
（4）
将 λk 代入方程（4），得 2 akπ T '(t ) + T (t ) = 0, l 其通解为
X ''( x) + λ X ( x) = 0,
X '(0) = X '(l ) = 0.
（5） （6）
T '(t ) + a 2 λT (t ) = 0,
（4）
求固有值问题（5）（6）, 得固有值与固有函数分别为 2 kπ k π 将 λk 代入方程（4），得 其通解为
x, λk = , X k ( x) = Bk cos l l
2
u
x =0
=u
x =l
= 0.
又冲量未作用前，弦上各点处在平衡位置。当 冲量作用使得弦开始振动的那一瞬间（即初始时刻）， 弦上各点仍保持在平衡位置，所以 u
t =0
= 0.
冲量的作用使弦产生初速度，在弦上取一小区间 x − c ≤ ε , 由冲量定理有 2 ρε ut t =0 = k . 在小区间外， 因未受冲量作用，所以初速度为零。故
习 题 讲 解
习题一、1 1
长为 l 的弦两端固定，开始时在 x = c 处受到冲 量 k 的作用，试写出相应的定解问题。
解 由于冲量的作用使弦产生振动，因此弦的
位移函数 u( x, t ) 应满足

1.偏微分方程的阶数由什么决定？o A. 方程中未知函数的最高阶导数o B. 方程中未知函数的个数o C. 方程中自变量的个数o D. 方程中常数的个数参考答案: A解析: 偏微分方程的阶数由方程中未知函数的最高阶偏导数决定。

2.下列哪个方程是二阶线性偏微分方程？o A. u x+u y=0o B. u xx+u yy=0o C. u x2+u y2=1o D. u xy+u=0参考答案: B解析: 二阶线性偏微分方程包含未知函数的二阶偏导数，且未知函数及其偏导数的系数为常数或仅依赖于自变量。

3.偏微分方程u t=u xx描述的是什么物理现象？o A. 弹性振动o B. 热传导o C. 流体动力学o D. 电磁波传播参考答案: B解析: u t=u xx是热传导方程，描述热量在均匀介质中的扩散。

4.以下哪个方程是波动方程？o A. u t=u xxo B. u tt=c2u xxo C. u xx+u yy=0o D. u x+u y=0参考答案: B解析: 波动方程通常形式为u tt=c2∇2u，其中c是波速。

5.偏微分方程u xx+u yy=0是哪种类型的方程？o A. 抛物型o B. 双曲型o C. 椭圆型o D. 非线性参考答案: C解析: u xx+u yy=0是拉普拉斯方程，属于椭圆型偏微分方程。

6.以下哪个是偏微分方程的初值条件？o A. u(x,0)=f(x)o B. u(x,y)=f(x,y)o C. u(0,y)=f(y)o D. u(x,1)=f(x)参考答案: A解析: 初值条件通常设定在时间变量的初始时刻，如u(x,0)=f(x)。

7.以下哪个是偏微分方程的边界条件？o A. u(x,0)=f(x)o B. u(x,y)=f(x,y)o C. u(0,y)=f(y)o D. u(x,1)=f(x)参考答案: C解析: 边界条件通常设定在空间变量的边界上，如u(0,y)=f(y)。

一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。

二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。

（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。

试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。

1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。

思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。

思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。

复习课
一、基本概念
1. 偏微分方程的定义P1 2. 偏微分方程的阶数，线性、拟线性、完全非线性 偏微分方程的定义P10 3. 偏微分方程的适定性P23
二、方程的导出，分类与化简
三、公式的直接应用题
1. 2. 3. 4. 5. 达朗贝尔公式P36 公式P42 傅里叶（逆）变换P106 P110例 4.1.7结论 泊松公式P112
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at x a ( t ) 1 t d f ( , )d x a ( t ) 2a 0
1 2 u ( x t ) 3t xt 2
1 1 xa t C f1 ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x0 2 1 1 xa t C f 2 ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2 a x0 2
1 1 xat u [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x a t
1 u ( x t ) x (1 a )t cos x sin at a
2 2 2
1 （ 7）
解：
2
1 22 1 x at x at x u ( x t ) 5 x t a t 2 (e e 2e ) 3 2a
1 （ 6）
解：
2 2u u 2 1 a f ( x , t ), x R ,t 0 2 2 t x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x R1. t
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at x a ( t ) 1 t d f ( , )d x a ( t ) 2a 0