下载文档原格式
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
微分方程笔记总结
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述某一变量关于时间的导数或微分满足一定关系的方程。
它通常用于描述自然现象和社会现象的变化规律，如物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程一般形式为：y' = f(x, y) 或 dy/dx = f(x, y)
其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
二、微分方程的解
微分方程的解是指满足方程的函数。
对于给定的微分方程，我们需要找到满足该方程的函数，以便描述某一变量的变化规律。
三、微分方程的分类
根据微分方程中变量的个数和方程的形式，微分方程可以分为以下几类：
1. 常微分方程：只含有一个变量的微分方程。
2. 偏微分方程：含有两个或多个变量的微分方程。
3. 线性微分方程：方程中的未知函数和其导数是线性组合的微分方程。
4. 非线性微分方程：方程中的未知函数和其导数不是线性组合的微分方程。
四、微分方程的解法
对于不同类型的微分方程，解法也不同。
以下是一些常见的解法：
1. 分离变量法：将方程中的变量分离，转化为可求解的一阶常微分方程。
2. 积分因子法：通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为可求解的一阶微分方程组。
3. 参数式解法：通过引入参数，将微分方程转化为参数方程组，从而求解未知函数。
4. 幂级数解法：将未知函数表示为幂级数形式，然后代入微分方程求解未知系数。
5. 数值解法：对于难以解析求解的微分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
云南省考研数学与应用数学复习资料偏微分方程重点题型总结偏微分方程是数学与应用数学考研中的重要知识点之一。
在复习过程中，重点掌握并熟练应用偏微分方程的各类题型是非常关键的。
本文将从常见的偏微分方程题型入手，总结云南省考研中数学与应用数学偏微分方程的重点题型，帮助考生有针对性地进行复习。
一、一阶偏微分方程1. 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程的一般形式为：P(x, y)u_x + Q(x, y)u_y = R(x, y)其中P、Q、R为已知函数，u为未知函数。
解题思路：通过变量分离、常数变易等方法求解。
2. 齐次线性偏微分方程齐次线性偏微分方程的一般形式为：P(x, y)u_x + Q(x, y)u_y = 0其中P、Q为已知函数，u为未知函数。
解题思路：通过变量分离、常数变易等方法求解，并注意到齐次线性偏微分方程的解具有叠加性质。
二、二阶偏微分方程1. 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程的一般形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = G(x, y)其中A、B、C、D、E、F为已知函数，G为已知函数或零函数。
解题思路：通过特征线法、变量分离、常数变易等方法求解。
2. 泊松方程泊松方程的一般形式为：△u = f(x, y)其中△表示拉普拉斯算子，u为未知函数，f为已知函数。
解题思路：通过分离变量、格林函数等方法求解。
三、特殊函数及其应用1. 分离变量法对于具有可分离变量的偏微分方程，可以通过引入新函数的方式将方程进行分离变量，从而得到解法。
2. 格林函数格林函数是求解边界值问题的重要工具，在特定边界条件下，通过格林函数的积分形式可以得到偏微分方程的解。
四、典型题型举例1. 求解一阶线性偏微分方程：例1：求解方程 yu_x - xu_y = 0解：通过变量分离的方法，得到解为 u = c ln|x| + f(y)2. 求解二阶线性偏微分方程：例2：求解方程 u_xx - u_yy = e^x解：通过特征线法，得到解为 u = f(x + y) + g(x - y) + C3. 求解泊松方程：例3：求解方程△u = x^2 + y^2解：通过使用极坐标系和分离变量法，得到解为 u = (r^2 - 2) / 4以上仅为部分偏微分方程的题型总结，考生可根据题目要求和题型特点，灵活运用不同的解题方法。
偏微分方程数值解总复习一、考虑一维经典的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=∈=(0)T )(0, ),(0u u t u t f dt du设函数),(u t f 在G ＝R T *],0[中连续，并且是关于u 满足Lipschitez 条件，即存在一个只依赖区域G ，而与变量t ，u 无关的常数L （称为Lipschitez 常数），使得对任意的（t ，u 1）和（t ，u 2）∈G ，都有2121),(),(u u L u t f u t f -≤-，这里的∙表示R 中的任一种范数。
给定等距分割：T t t t t n ≤<<<<= 2100，其中步长m m t t h -=+1，1,,1,0-=n m 。
在],[1+m m t t 上作：),(1m m m m u t hf u u +=+，1,,1,0-=n m这一方法称为Euler 方法。
如果记)(m t u 为微分方程在m t t =处的精确解，m u 为差分方程在m t t =处的精确解。
1、在],[h t t +上，定义算子：))(,()()(]);([t u t hf t u h t u h t u L --+=当2),(]);([≥=p h O h t u L p时，称数值方法是相容的。
2、当0→h 时，若)(m m t u u →，],0[T t m ∈，则称该数值方法是收敛的。
3、如果由初值0u 得到精确解m u ；由初值0v 得到精确解m v ，若存在常数C 和充分小的步长0h ，使得00v u C v u m m -≤-，0h h ≤，T mh ≤。
则称数值方法是稳定的。
证明：Euler 方法是相容的、收敛的、和稳定的。
证明1、 将)(h t u +在t 处做Taylor 展开，得2)(21))](,()([]);([h u h t u t f t u h t u L ξ''+-'=2)(21))](,()([h tuu f t f h t u t f t u t ξ=∂∂∂∂+∂∂+-'= )()))(((2122)(h O h t t,u f uft f t t u =∂∂+∂∂==ξ是微分方程的解所以该数值方法是相容的。
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法大学数学易考知识点：偏微分方程的基本理论和解法一、引言数学作为一门基础学科，广泛应用于各行各业。
在大学数学课程中，偏微分方程是一个重要的知识点。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、偏微分方程的基本概念1. 偏微分方程的定义偏微分方程是含有未知函数及其偏导数的方程。
它与常微分方程不同之处在于，偏微分方程中的未知函数不仅依赖于自变量，还依赖于各个自变量的偏导数。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的未知函数的偏导数的阶数和个数，可以分为常系数偏微分方程和变系数偏微分方程；根据方程类型，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型等不同类型的方程。
三、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性对于线性偏微分方程，满足一定的初值条件和边值条件时，解的存在性和唯一性可以得到保证。
这一结论对于求解实际问题具有重要的意义。
2. 偏微分方程的解的性质偏微分方程解的性质包括可微性、连续性以及一定的物理意义。
解的性质可以通过数学推导和物理分析得到。
四、偏微分方程的解法1. 常系数偏微分方程的解法常系数偏微分方程包括常系数线性偏微分方程和常系数非线性偏微分方程。
对于常系数线性偏微分方程，可以使用特征线法、分离变量法等方法求解；对于常系数非线性偏微分方程，可以使用变量分离法等方法求解。
2. 变系数偏微分方程的解法对于变系数偏微分方程，一般的解法是利用变换法将其转化为常系数偏微分方程。
常用的变换方法包括相似变量法、积分因子法等。
五、应用实例1. 热传导方程的求解热传导方程是一个典型的偏微分方程，描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
采用分离变量法或者变量分离法可以求解该方程，从而得到物体内部的温度分布。
2. 波动方程的求解波动方程描述了波动现象的传播规律。
通过变量分离法或者特征线法可以求解波动方程，得到波动的传播速度和波形。
六、总结通过对偏微分方程的基本理论和解法的介绍，我们可以看到偏微分方程是数学中一个重要且广泛应用的知识点。
偏微分方程一．预备知识1．平面凸集定义：若E 是一个平面凸集，则对于E 中任意两点x ，y ，连接这两点的线段也在E 内。
即λ x + (1-λ) y ∈E ( 任意x ， y ∈E ，任意0≤λ ≤ 1)2．空间凸集定义：设X 是线性空间，E 是X 中一个空间凸集，如果λ x + (1-λ) y ∈E ( 任意x ， y ∈E ，任意0≤λ ≤ 1)3．设D 是E 的一个子集，为凸集，泛函 f : D → R ,称为在D 上是凸的 是指任意x ，y ∈D ，t ∈ [0,1]均有f (tx + (1-t ) y )≤t f ( x )+ (1-t ) f ( y ) 若只在x = y 时取等号，则称f 是严格凸的.4．Cauchy 不等式: 2222a b ab ≤+.(,)a b R ∈证明：由于()22202a b a b ab ≤-=+-，可得2222a b ab ≤+.5.带ε的Cauchy 不等式: 2222a b ab εε≤+.(0)ε>证明:在公式2222a b ab ≤+中，令a ，b ，则有2222a b ab εε=≤+6.Young 不等式：设0,0,1,1,a b p q >>>>且111.p q+=则有.p q a b ab p q ≤+证明: 泛函 f : x → x e ,是凸的，因此有(1)(1)tx t yx y e te t e +-≤+-从而有11ln ln ln ln ln ln 11.p q p q p qa b a ba b p qa b ab eee e p q p q++==≤+=+ 7. 带ε的Young 不等式: 设0,0,0,1,1,a b p q ε>>>>>且111.p q+=则有.qpqpqpq pab ab a b pqεεεε--≤+≤+证明:在不等式p qa b ab p q≤+中用1p a ε和1p b ε-代替,a b ，可得11.ppqpqpqpq pab ab a b a b pqεεεεεε---=⋅≤+≤+8.Holder 不等式：设1,1,p q >>且111.p q+=若(),(),p q u L v L ∈Ω∈Ω则1(),u v L ⋅∈Ω且()().p q L L uvdx uvΩΩΩ≤⋅⎰证明：设1()t x 与1()s x 是Ω中这样的可测函数11()1,()1,p qt x dx s x dx ΩΩ==⎰⎰（★）根据Young 不等式有 111111.(0,0)p q t s t s t s p q ≤+>>，111.p q+=对上述不等式两边在Ω上积分得1111p q t s t s dx dx dx p q ΩΩΩ≤+⎰⎰⎰111p q=+= 其次，若(),()p q u L v L ∈Ω∈Ω，则函数1111()()(),()(())(())pqpqu x v x t x s x u x dx v x dx ΩΩ==⎰⎰满足（★）式的条件，故有1111()()()()1(())(())pqpqu x v x t x s x dx dx u x dx v x dx ΩΩΩΩ=⋅≤⎰⎰⎰⎰即 11()()(())(())pqpqu x v x dx u x dx v x dx ΩΩΩ≤⎰⎰⎰也就是()()()()()().p q L L u x v x dx u x v x ΩΩΩ≤⎰推论：（1）若11(),()0,1,u x v x pq≥+=则有11()()(())(()).p q pqu x v x dx u x dx v x dx ΩΩΩ≤⎰⎰⎰（2）若121,,,,m p p p ≤≤∞且121111,mp p p +++= 设(),(1,2,,),kp k u L k m ∈Ω=则有211212()()().p p p m m mL L L u u u dx u u u ΩΩΩΩ≤⋅⋅⋅⎰9.Minkowski ’s 不等式：设1p ≤≤∞，且,().p u v L U ∈则有 ()()().pp p L U L U L U u v uv+≤+证明：()1()p L U ppp UUu vu v dx u vu v dx -+=+≤++⎰⎰而111()p p p UU Uu v u v dx u vu dx u vvdx ---++=+++⎰⎰⎰()()111111, 1.qpqp p pUU Uu vu dx u vdx u dxq p --⎛⎫+≤++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()()111111, 1.qpqp p pUU Uu vvdx u vdx v dxq p--⎛⎫+≤++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰从而有,1pq p =-因此有 ()()11111p p pp p p pp UU Uu vu dx u vdx u dx ----⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()11111p p ppp p pp UU Uu vv dx u vdx v dx----⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰上面两式相加得()()()()111111p p pp pp p ppp UU UUu v u v dx u vdx u dx v dx----⎛⎫⎛⎫ ⎪++≤++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰()1111(()())p ppppppUUUu v dxu dx v dx -⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰=1()()()()pp p p L U L U L U u v uv -++即是： 1()()()()()pp p p p p L U L U L U L U u v u vuv-+≤++，因此()()()()().p p p p L U L U L U L U u vu v u v +≤++10.-norms p L 内插不等式：设1,s r t ≤≤≤≤∞且有()11,rstθθ-=+若()().s t u L U L U ∈则有(),r u L U ∈且有()()1().rs t L U L U L U uuuθθ-≤证明：我们计算(1)rrrU U u dx uudx θθ-=⎰⎰，因为()11,r s tθθ-=+即是()11,r rstθθ-+=利用赫尔德不等式有()()(1)(1)(1)(1)rr s t s tr rrr rrrUUU Uu dx uudx udx u dx θθθθθθθθ----⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰两边同时1r次方得到：()()1().rs t L U L U L U uuuθθ-≤11.柯西-施瓦茨不等式：,(,).n x y x y x y R ≤∈证明：让0,ε>并注意到222202.x y x x y y εεε≤±=±+从而有下列结果221.22x y x y εε±≤+设,0xy yε=≠时取右边的最小值得到,(,).n x y x y x y R ≤∈ 12.Gronwall ’s 不等式(differential form).(i)Let ()η be a nonnegative, Absolutely continuous function on[0,],T which satisfies for a.e t theDifferential inequality(15) ()()()(),t t t t ηφηψ'≤+Where ()x φ and ()x ψ are nonnegative, summable functions on[0,].T Then(16) 0()0()(0)()tt s ds t es ds φηηψ⎰⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦⎰ For all 0.t T ≤≤(ii)In particular, if on[0,T]and (0)=0,ηφηη'≤then 0on[0,T].η≡ Proof. From (15) we see()000()()()()()()()()sssr dr r dr r dr d s e e s s s e s ds φφφηηφηψ---⎛⎫⎰⎰⎰'=-≤ ⎪⎝⎭For a.e 0.s T ≤≤因此对每一个0,t T ≤≤we have00()()()0()(0)()(0)().(1)ts st t r drr dr r drt e e s ds s ds e φφφηηψηψ---⎰⎰⎰≤+≤+≤⎰⎰This implies inequality(16).13.Gronwall ’s inequality ( integral form ).(i)Let ()t ζ be a nonnegative, summable function on [0,T] which satisfies for a.e. t the integral inequality (17) 120()()tt C s ds C ζζ≤+⎰ For constants 12,0.C C ≥ Then(18) 121()(1)C t t C C te ζ≤+for a.e. 0.t T ≤≤ (ii) In particular, if10()()tt C s ds ζζ≤⎰for a.e 0.t T ≤≤ then ()0..t a e ζ=Proof. Let 120():();()..[0,].tt s ds then t C C a e in T ηζηζη'==≤+⎰According to the differential form of Gronwall ’s inequality above1122()((0))C t C t t e C t C te ηη≤+=Then (17) implies11221()()(1).C t t C t C C C te ζη≤+≤+14.Poincare 不等式(也叫Friedrichs 不等式)符号说明：()(){()}122,,1,2,,n iuR H u L L i n x ∂Ω⊆Ω=∈Ω∈Ω=∂L 这个集合是线性的。
偏微分方程理论的归纳与总结一、偏微分方程的分类：1.齐次与非齐次：一个偏微分方程中，如果所有出现的偏导数项的次数相同，且不含常数项，则称其为齐次方程；如果存在常数项，则称其为非齐次方程。
2.线性与非线性：一个偏微分方程中若只包含未知函数及其偏导数的一次项，并且未知函数的系数不依赖于未知函数自身及其偏导数，则称其为线性方程；反之，则是非线性方程。
3.定常与非定常：一个偏微分方程中，如果未知函数及其偏导数的系数不依赖于自变量，则称其为定常方程；反之，则是非定常方程。
4.高阶与低阶：一个偏微分方程中，若最高阶偏导数的阶数大于1，则称其为高阶方程；若最高阶偏导数的阶数为1，则称其为一阶方程。
二、偏微分方程的求解方法：1.分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，可以通过分离变量的方式将其转化为一阶常微分方程进行求解。
2.特征线法：对于一些具有特殊形式的偏微分方程，可以通过特征线法来求解。
该方法将方程中的自变量替换为新的变量，使得方程在新的变量系综下变得简单。
3.变换法：通过适当的变量代换，将原方程转化为形式简单的方程或标准的数学物理方程进行求解。
5.数值解法：对于一些复杂的偏微分方程，可以采用数值解法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
三、偏微分方程的应用：1.物理学：偏微分方程在物理学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
2.工程学：偏微分方程在工程学中也有重要应用，如电磁场方程、流体力学方程、固体力学方程等。
3. 经济学：偏微分方程在经济学中的应用主要用于建模和分析经济系统的动态变化，如Black-Scholes方程、Hamilton-Jacobi-Bellman方程等。
4. 生物学：偏微分方程在生物学中的应用主要用于描述群体的扩散、生物图像处理和生物电传导等问题，如Fisher方程、Gray-Scott方程等。
综上所述，偏微分方程理论是数学中的重要分支之一、通过对偏微分方程的分类、求解方法及其应用的归纳与总结，不仅可以帮助我们更好地理解偏微分方程的本质与特点，还能够为我们解决实际问题提供一个有效的数学工具。
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程(双曲型方程)U tt -a 2U xx 二f (x,t)(一)初值问题(柯西问题)< 2 U tt—a U xx = f(x,t)1、一维情形Ut t^a(x)(1) 解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，* 2 * 2 U tt—a U xx =o U tt —a U xx = f (x,t)(i) J U t^=<p (x)(n) «U tm = 0i U t t z0= V (x)i U t t 仝=0其中，问题(I )的解由达朗贝尔公式 给出：④(x —at)+®(x +at)1 /烈 u(x,t)( )d22a 2 、)t由齐次化原理，问题(n)的解为：u (x,t ) W(x,t ； )d .W tt -&昵=0其中，W(x,y,z,t;.)是下述初值问题的解：W t 二=0 Wtf f(x,)从而问题(n)的解为:f ( , )d d综上所述，原初值问题的解为：U (x,t 」(x—at)"x at)丄22a(2) 依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：① 依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：［x-at , x+at ］;利用达朗贝尔公式得W(x,t;) 1 2ax 亠a(t _ .)[X -a(t 亠)(,)dx ，( )d 去t X a(t T) 0 x 」(t_)f(，)d d②决定区域：区间［x1，X2】的决定区域为：{(x,t)|捲• at込x込X2-at}SM4 a tS -M4 ar iat尸r,,t ——)乳dV r③影响区域：区间［为，乂2］的影响区域为：{(x,t)|捲一at 乞x 乞x 2 at } ④特征线：x=x °_at (3)解的验证：见课本 P10, P14< 2U tt —a (U xx +U yy +U zz) = f (X,y, z,t)2、三维情形」uy=®(x, y,z)Ut(x,y,z)(1)解法(球面平均法)：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,其中，问题(I )的解由泊松公式给出:t由齐次化原理，问题(n)的解为： U(x, y,z,t) W(x, y,z,t ； )df2W tt -a 2(W xx+W yy +W zz) = 0 其中，W(x,y,z,t;i)是下述初值问题的解：<W t 斗=0W t tf (x, y, z,)利用泊松公式得 W(x, y,乙t; J 一 --------------- ,―,—,— dS4；1花趴_厂 r 」=a(t4从而问题(n )的解为：1丄)U(x,y,z,"苻」dV综上所述，原初值问题的解为:- 2 U tt—a (U xx +U yy +U zz ) =0(I)如7 =纨人y,z)U t 7=屮(x,y,z)‘U t —a 2(U xx +U yy + U zz )(n) < u t m = 0U t t±=0f (x,y, z,t)U(x,y, z,t)SaMdS右 JOS（2） 依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：① 依赖区域（球面）：点（x 0,y 0，z ）,t ）的依赖区域为（x —x 。
）2 （y -y 。
）2 （z —z o ）2 =a 2t ：；② 决定区域（锥体）：球面（x - X 。
）2 • （y - y 0）2 （z -z 。
）2二ah ：决定区域为：2 2 2 2 2（X-X 。
）（^ - y 0） ■ （^ - z 0） a（t0-t ） （t_t 。
）；③ 影响区域（锥面）：点（X °,y 。
，z 。
,。
）的影响区域为：（X -X 。
）2 （y - y 。
）2 （z - z 。
）2 =a 2t 2 （t 0）④ 特征锥：（x-X 。
）2 • （y-y 。
）2 • （z-z 。
）2 =a 2（t 。
-t ）2 惠更斯原理（无后效现象）见课本 P35 （3） 解的验证：见课本 P29, P32产2U tt —a (U xx +U yy ) = f (x, y,t)3、二维情形」U tT=®(x, y)Ut 7=屮&,丫)(1)解法(降维法)：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，L2卢2U tt —a (U xx +U yy ) =。
U tt —a (U xx +U yy)= f(x, y,t)(l )』U tm = ®(x, y)(n) *U tm=。
U t t T(X, y)l U t t 3。
= 0其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：1 \U （X , y,t ）= -- ---- 17 r --------------------------------2兀a L "丈 J （at ）2 —（匕―x ）2 —巴—y ）2t由齐次化原理，问题（n ）的解为：U （x, y,t ） W （x,y,t ； ）d -“ 2d dd dS M J (at )2 一(亍—x)2 -(口 一 y)2W tt _a2(W xx+W yy)=。
」W==。
W ttn= f(x,y「)其中，W（x,y,t;）是下述初值问题的解:-1利用泊松公式得 W(x, y,t;i)=--------------------------------------------- [f |-综上所述，原初值问题的解为:r 2 -( -x)2 -( - y)2r =a (t q（2） 依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：① 依赖区域（圆饼）：点（x 0,y o ，t ）的依赖区域为（x -X o ）2 （y - y 。
）2 乞 a 2# ；② 决定区域（锥体）：圆饼（x -X 。
）2 • （y - y 。
）2 _ a 2t ：决定区域为：（x —x 。
）2 • （y — y 。
）2 乞a 2（t —t 。
）2 （t —t 。
）；③ 影响区域（锥体）：点（X o ，y 。
,。
）的影响区域为：（x -x 。
）2 （y - y 。
）2 乞 a 2t 2 （t 0）④ 特征锥：（x-x 。
）2 • （y - y 。
）2 =a 2（t 。
-1）2 后效现象见课本P35、36（3） 解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
1 u(x,y,t):-]白玄 J(at)2 —G —x)2 —(口■-(,)()肓 dW£j (at )2_(J x)2-—y)2-1 atf (肿,t-丄)1af( , ,t-—)a22 兀a 左(J _(匕 _x)2 _严 _ y)r=a (tq从而问题（n ）的解为:1 u(x, y,t) 2at2：a10W r 2 —G —X )2 —(□ -y)用齐次化原理得到（n ）的解:（2）解的验证、相容性条件（见课本 P19）、热传导方程（抛物型方程）u t -a 2U xx 二f （x,t ）d - aS = f (x,t) Uy =®(X )(二)初边值问题—U t t 」a (x)（1）解法（分离变量法）： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,(I)-2 cU tt _a U xx =0U yhF (X ) U t tFT x)比 _a 2U xx= f(x,t)ut 』=04 t=0 = 0u XA = U XA = 0用分离变量法（过程请脑内补完）得到（I ）的解为:oOU (X,t)八kiA k COS^tB k Sin^t sin^xl ll其中B klk 0 ( )sin-p d；-()si 吟 dk ■:u(x,t)oO k =1tB k (i)sinsin-px从而原初边值问题的解为:u(x,t)八kmcos k _a t B k sin"k _at sinl k ll □Ci tx 亠 1 i B k ( )sin(t 一 •)d • sin kd 0l注：非齐次边界条件的情形见课本P21、 22相容性条件：函数（x^ C 3「（x ）・C 2，并且（0） =护（1）=驴"（0）=护"（l ）=即（0）='-： (l)=02门U t —a U xx =0（一）初边值问题如7 = ^&）、U x 』= U ^±=0（注：由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题，估计不会考；但是边界条件有可能给第一、第二、第 三类边界条件，这里的解法仅一第一类齐次边界条件为例）（1）解法（分离变量法） 用分离变量法（过程请脑内补完）得到原方程的解为:一 2.2詈knu(x,t)二C k esin xkAl其中 C k = 2 ： '（ ）sin 牛 d 注：非齐次边界条件的情形见课本（2）解的验证、相容性条件（见课本P51、52）产2』U t —a U xx = f (x,t)u|yN(x)（1）傅里叶变换（必考的重点） ①一维情形：■be. n傅里叶变换：F[f]=g （，）=f （x ）e _L ，xdx傅里叶逆变换：F [g]二 f （x ） - g （ ■ ）e ' x d ■ 2兀q②高维情形：设X=（X 1，…，X n ），■二（’1,…，’n ）傅里叶变换：F[ f ] = g （丸）=f f （x ）e"x dxR n傅里叶逆变换：F昕f（x ）=（2押严屮"③傅里叶变换的性质：P21、 22（二）柯西问题性质 1 F[: f4f2] = ：F[fJ ：F[ f2] 性质 2 F[f< f z] =F[f1】Ft]1性质 3 F[f1 f2] F[fJ F[f2]2兀性质 4 F[ f'(x)]」F[f (x)]-J性质 5 F^ixf (x)U — F[f(x)] dk（2）解法：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,' 2 门U t -a U xx =0 u 7=叫)其中问题（I）的解由泊松公式给出:_(x_52心)Ja1「)e F(x』2-:f(，)e石E d从而原柯西问题的解为:（3）解的验证（见课本P58、59）（三）极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性（见课本P60~65）2极值原理热传导方程U t - a U xx = f（X,t）（f乞0）的解u（x,t）在抛物边界上取得极大、极小值。
三、调和方程（椭圆型方程）3=0（一）拉普拉斯算子、梯度与散度1、几个常用的关系式：①二u = divC u）；②u n = — , n为单位向量;：n2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式：①直角坐标系:②球面坐标系:2A1 , 2 CU、丄 1 c Uu2(r )2 2 一 2 r :r r sin 门-:r r 2sin(sin :-22U t -a U xx = f(x,t)u t = 0(I)用齐次化原理得到问题（n）的解:1 U(xt^2^：t24a 2t(x_))e③ div(V、u)二2 u - v u‘ ‘ 2 2A 1“ 和、1 d u d u u(r ) 22r & & r 胡czP71、72）（算是难点，但期末考估计不会涉及，此处从略）（三）格林公式及其应用1、格林公式： HI div(F)dxdydz= F ndS2、格林第一公式：••、v!!!>.-：vd ^ Iiu dS ・ Iii 『、vd 「 「 2汕 二3、格林第二公式：.•、v 匚 uill (u. ：v -v. ：u)d'」=(uv )dS 门 「n汕4、调和函数的基本积分公式:1 c U "I卄亠— -I —丄亠dlS =』2兀u （M 0）,右M 0在『上 J 丿r內」_____8、极值原理、第一边值问题的唯一性及稳定性（略）④极坐标系:S —rr &③柱面坐标系:（二）变分原理（见课本①若 u =0，则 u(M 0)=1 - 小”、c / 、 —ff u(M)——41 口 cn i rM °M j.:u(M) ：：n dS M 0,若M 0在。
