北京理工大学数学专业偏微分方程期末试题2014级A卷(MTH17178)

北京理工大学数学专业最优化方法期末试题级A卷级B卷MTH课程编号：MTH17171北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级最优化方法期末试题A 卷一、（10分）设()f x 是凸集nS R ?上的凸函数，对12,x x S ∈，实数[]0,1α?，令()121z x x ααα=+-，若z S α∈，证明()()()121f z f x x ααα≥+-。

二、（10分）设数列{}k x 的通项为：22121,2,0,1,!ii i x x x i i +===L ，证明：（1）{}k x 收敛于*0x =；（2）令1,0,1,k k k xx d k +=+=L ，则*lim1k kk x x d →∞-=；（3）{}k x 不是超线性收敛于*x 的。

三、（10分）求解整数规划问题：1212121212min ..14951631,0,,z x x s t x x x x x x x x =-++≤-+≤≥∈Z。

（图解法，割平面法，分枝定界法均可）四、（10分）设f 连续可微有下界，且f ?Lipschitz 连续，即：存在常数0L > ，使得,n x y R ?∈，()()f x f y L x y ?-?≤-，设{}k x 由Wolfe-Powell 型搜索产生，k d 为下降方向，()()cos T k k k kkf xdf x dθ?=-，证明：（1）()220cos kk k f x θ∞=?<∞∑；（2）若0δ?>，使得k ?，cos k θδ≥，则()lim 0k k f x→∞=。

五、（10分）设f 连续可微，序列{}k x 由最速下降法解()min f x ，并做精确搜索产生，证明：0,1,k ?=L ，()()10Tk k f xf x +??=。

六、（10分）已知线性规划：1234123412341234max 2347..23482673,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++--=-+-=-≥。

北京理工大学微积分a期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(2)=0，则c的值为多少？A. 0B. 2C. 4D. 6答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 设函数f(x)=3x^3-2x^2+5x-7，其导数f'(x)为：A. 9x^2-4x+5B. 3x^2-4x+5C. 9x^2-4xD. 3x^2+5x-7答案：A4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程为：A. y=3x-2B. y=3xC. y=xD. y=3x+2答案：B5. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B6. 微分方程dy/dx+y=0的通解为：A. y=e^(-x)B. y=e^xC. y=e^(-2x)D. y=e^(2x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x，其在x=1处的导数为______。

答案：02. 设函数f(x)=x^2+3x+2，其在x=-1处的定积分值为______。

答案：13. 函数y=ln(x)的导数为______。

答案：1/x4. 微分方程dy/dx-2y=0的通解为______。

答案：y=e^(2x)三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

通过二阶导数测试或分析f'(x)的符号变化，可得x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(1到2) (x^3-2x+1) dx。

答案：首先求出被积函数的原函数F(x)=1/4x^4-x^2+x，然后计算F(2)-F(1)=5/4-2+2-1/4+1=1。

(2014-2015-1)工科数学分析期末试题(A 卷)解答（2015.1）一．1. )43(7341-=-x y 2. 21 3．⎰+∞+2,)1(x x dx,0⎰+∞-dx xe x4. 1 , 32- 5． )(x f二. .122110dx x x I -=⎰ ……………..(2分)令t x sin = t d t t 22010cos sin 2⎰=π……………..(4分)tdt ⎰=210sin (2π)sin 2012tdt ⎰-π……………..(6分)π102421=……………..(8分)三. )(131⎰⎰+⎰=---dx exe C ey dx xxx dx xx……………..(4分))(ln 3ln ⎰--+=dx e xe C exx x xx ……………..(6分))(3⎰-+=dx xe xe C x e xx x )(2⎰+=dx e C xe x x……………..(8分) )21(2x x e C x e += ……………..(9分)四. (1) 1)0(=y ……………..(1分) y xe e y y y '--=' ……………..(分)e y -=')0( ……………..(3分)y xe y xe y e y e y y y y y ''-'-'-'-=''2)( ………..(4分) 22)0(e y ='' ……………..(5分)(2)由题设, 应有)0()0(y f = )0()0(y f '=' )0()0(y f ''='' ………..(6分)1)0(==f c ……………..(7分)b ax x f +='2)( e f b -='=)0( ……………..(8分) a x f 2)(='' 22)0(2e f a =''= 2e a = ……………..(9分)五. ⎰=34t a n c o sln ππx xd I ……………..(2分) ⎰+=3434t a n c o s s i n ln tan ππππxdx x xsx co x ……………..(5分) ⎰-+-=342)1cos 1(21ln 21ln 3ππdx x ……………..(6分) 34)(t a n 2ln 212ln 3ππx x -++-= ……………..(8分) 12132ln )321(π--+-= ……………..(9分)六. 设 a x x x f --=2ln )(2),0(+∞∈x ……………..(1分) x xx f -='1)( ……………..(2分) 令 0)(='x f 得1=x ……………..(3分)-∞==++→)(lim )00(0x f f x ……………..(4分) -∞==+∞+∞→)(lim )(x f f x ……………..(5分)a f --=21)1( ……………..(6分) 当21-<a 0)1(>f 二曲线有两个交点 ……………..(7分)当21-=a 0)1(=f 二曲线有一个交点 ……………..(8分)当21->a 0)1(<f 二曲线有没有交点 ……………..(9分)七． 设 12)1)(2(142222++++=++--x DBx x A x x x x ……………..(2分) )2)(()1(14222++++=--x D Bx x A x x得 3=A 2-=B 1-=D …（1+1+1）…..(5分)dx x x x x x x x )1223()1)(2(142222++-+=++--⎰⎰C x x x +-+-+=arctan 2)1ln(212ln 32 （每项1分）…..(9分)八. xx ax f x arcsin lim )00(30-=--→ ……………..(1分)2201113l i mx ax x --=-→ ……………..(2分)1113l i m 2220---=-→x x ax x22202113l i m x x ax x --=-→ ……………..(3分)a 6-= ……………..(4分)41lim )00(220x ax x e f ax x --+=++→ ……………..(5分)22l i m 0xax ae ax x -+=+→ ……………..(6分)212l i m 20+=+→ax x e a)2(22+=a ……………..(7分) 由题设得 6)2(262≠+=-a a 2-=a ……………..(9分)九.dx y a g x dW )(2100-⨯⋅=μdx x a a gx )(20022--=μ .……..(3分)⎰--=adx x a a gx 022)(200μ …..…..(4分)⎰-=a axdx g 0(200μ)022⎰-adx x a x …..…..(5分))312(20033a a g -=μ …(1+2)..…..(8分)33100ga μ=(J) ……………..(9分)十. 022=-+r r ……………..(1分) 1=r 2-=r ……………..(3分) x x e C e C y 221-+= ……………..(4分) 设 x e B Ax x y )(*+= ……………..(5分) 代入方程得 x B A Ax 3326=++ ……………..(7分)解得 21=A 31-=B ……………..(9分) 通解为 x x x e x x e C e C y )3121(2221-++=- ……………..(10分)十一. ⎰-=ξξπadx f x f V )]()([221 ……………..(2分)⎰-=bdx x f f x V ξξπ)]()([22 ……………..(4分)令 ⎰⎰---=btt adx x f t f x dx t f x f t F )]()([2)]()([)(22ππ …………..(6分)则)(x F 在],[b a 上连续0)]()([2)(<--=⎰ba dx x f a f x a F π ……………..(7分)0)]()([)(22>-=⎰badx b f x f b F π ……………..(8分)根据介值定理, ),(b a ∈∃ξ, 使0)(=ξF , 即⎰-ξξπadx f x f )]()([220)]()([2=--⎰bdx x f f x ξξπ21V V = ……………..(9分)。

2008级《概率论》期末试题A 卷一、从1到30的整数中，不放回地任取3个数，求所取的3个数之和能被3整除的概率。

二、设袋中有9个红球和6个白球，不放回地任取两次，每次取两个球。

（1）求第二次取出的两个球都是白球的概率；（2）已知第二次取出的两个球都是白球，求第一次恰好取出一个红球和一个白球的概率。

三、设随机变量X 的密度函数为()2,1Af x x R x =∈+。

（1）求A 的值；（2）求21Y X =+的密度函数；（3）求概率()2P X X >。

四、设二维随机变量（X,Y ）在区域(){},|02G x y x y =<<<上服从均匀分布。

（1）写出X ，Y 的联合密度函数(),f x y ；（2）求X,Y 的边际密度函数()(),X Y f x f y ，并判断X,Y 是否独立； （3）求概率()1P X Y +<。

五、设随机变量X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，求,ED 。

六、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，Y 服从正态分布()22,3N ，且X,Y 相互独立。

（1）求()2E X Y -；（2）设,3U XY V X ==，求()cov ,U V 。

七、设随机变量X 的分布律为()1,0,1,,1P X k k n n===⋅⋅⋅-，Y 服从[]0,1上的均匀分布，且X,Y 相互独立。

令Z=X+Y ，利用特征函数法证明Z 服从[]0,n 上的均匀分布。

八、设某种电子元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为400小时。

现购买100只这种电子元件，假设它们的寿命相互独立，求这些电子元件的寿命总和在32000小时至48000小时之间的概率。

（1）用切比雪夫不等式计算；（2）用中心极限定理计算。

2010级《概率论》期末试题A 卷一、（10分）从1到9这9个数中，有放回地取3次，每次取一个，求所取的3个数之积能被10整除的概率。

【关键字】数学课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.11.32013级数学专业数学分析Ⅲ阶段测验（一）试题1.设是中的调和函数，S是中任意的分片光滑闭曲面。

求证：，其中和分别表示函数和沿S 外法线方向的方向导数。

2.叙述正项级数敛散性的比较判别法和D’Alembert比值判别法，并利用前者证明后者。

3.判断下列级数的敛散性：（1）（2）（3）（4）（5）4.设。

又设广义极限存在。

求证：当（含）时，级数收敛；当（含）时，级数发散。

5.研究级数的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。

6.设收敛，其中R>0，求证：对一切，绝对收敛。

7.设，且有极限。

求证：数列收敛，且。

8.设存在，又设绝对收敛。

求证：。

课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.112013级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷一、（15分）（1）设数项级数与均绝对收敛，问：是否一定收敛？为什么？如果收敛，绝对收敛，那么是否一定收敛？为什么？（2）设，绝对收敛，又设的n次部分和序列有界，求证：收敛。

2、（10分）设单调递减，且；又设是任意固定的正整数，求证：收敛当且仅当收敛。

三、（15分）设对每一个自然数n，函数在数集E内有定义，（1）用肯定语气叙述函数项级数在数集E内不满足一致收敛的Cauchy准则的严格含义；（2）设存在数列和，满足，都有，且数项级数与均收敛，试利用一致收敛的Cauchy准则证明函数项级数在数集E内一致收敛。

四、（10分）设，求证：收敛。

五、（15分）研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明：（1）函数项级数的和函数在其收敛域内连续；（2）函数项级数在其收敛域内不一致收敛。

六、（10分）设。

（1）求证：函数序列在中内闭一致收敛；（2）用两种方法证明在内不一致收敛。

七、（15分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）求函数的Maclaurin级数展开式并确定收敛区间。

北⼯⼤2013-2014年第⼆学期⾼数期末试卷2013-2014年第⼆学期⾼数期末试卷1.函数Z =y x 在点（1,2）处的梯度gradz=.2.曲⾯xy +e z =3在点（1,2,0）处的切平⾯⽅程3.幂级数（x+1）2n 2∞n =1的收敛域为4.函数f （x ）=e 2x 的麦克劳林级数为5.设函数f （x ）= 0，?π是以2π为周期的周期函数，其傅⾥叶级数的和函数记为S （x ），则S （6π）=6.设D ：x 2+y 2≤1.则⼆重积分 e x 2+y 2D dxdy =7.设曲线L 为y=— 2 x 2+y 2Lds= 8.设∑为球⾯x 2+y 2+z 2=a 2。

则曲⾯积分（sinZ 3+1）dS= 9.由曲⾯Z= x 2+y 2与Z=1+ 1?x 2?y 2所围⽴体体积为10.微分⽅程y‘=xy 满⾜y （0）=1的特解为11.求函数f （x ，y ）=3xy —x 3—y 3的极值。

12.求幂级数 X n +1n ∞n =1的收敛域及和函数13，计算曲线积分I = 2xe y +1 dx +(x 2e y +2x )dy L，其中L 是（x ?1）2+y 2=9的上半圆周逆时针⽅向。

14.计算曲⾯积分I = z ?1 dxdy +xy 2dydz +(x 2?1)ydzdx ,其中∑是曲⾯Z=1?x 2?y 2 0≤Z ≤1 的上侧。

15.求微分⽅程y’’—2y+y=（x 2+2）e x ）的通解16.设⽅程F （x-2z,y-3z ）=0确定了函数Z=Z （x ，y ）。

证明17.设a n +1a n ≤b n +1b n ，（n=1,2,3，…a n >0,b n >0).）证明若级数 b n ∞n =1收敛则级数 a n ∞n =1也收敛。

课程编号：MTH17068 北京理工大学2012-2013学年第一学期2011级离散数学试题A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.下列不是命题的是A.7能被3整除B.5是素数当且仅当太阳从西边升起C.x+7<0D.北京理工大学位于北京市西城区2.设p ：王平努力学习，q ：王平取得好成绩。

命题“除非王平努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为A.p q →B.p q ⌝→C.q p →D.q p ⌝→3.下列4个推理定律中正确的是A.A A B ⇒∨（附加律）B.()A B A B ∨∧⌝⇒（析取三段论）C.()A B A B →∧⇒（假言推理）D.()A B B A →∧⌝⇒（拒取式）4.设解释I 如下：个体域{}()()()()1,2,1,12,20,1,22,11D F F F F =====。

在此解释下，下列各式真值为1的是A.(),x yF x y ∀∃B.(),x yF x y ∃∀C.(),x yF x y ∀∀D.(),x yF x y ⌝∃∃ 5.下列4个命题为真的是 A.Φ∈Φ B.{}a Φ∈ C.{}{}Φ∈Φ D.Φ⊆Φ 6.设{},,A a b c =上的二元关系{},,,,,R a a b b a c =<><><>，则关系R 的对称闭包()s R 为A.A R IB.RC.{},R c a <>D.A R I7.设{},,A a b c =，则下列是A 的划分的是A.{}{}{},,b c cB.{}{}{},,,a b a cC.{}{},,a b cD.{}{}{},,a b c8.下列编码是前缀码的是A.{1,11,101}B.{1,001,0011}C.{1,01,001,000}D.{0,00,000}9.下列图既是Euler 图又是Hamilton 图的是 A.9K B.10K C.2,3K D.3,3K 10.下列图一定是平面图的是A.5KB.,,9,22G V E V E =<>==C.3,3KD.,,10,8G V E V E =<>==二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若对命题P 赋值1，对命题Q 赋值0，则命题P Q ↔的真值为_______________。

课程编号：MTH17059北京理工大学2011-2012学年第一学期2010级数学系常微分方程期终试题A 卷一、选择（本题满分20分，答案写在答题纸上）1.微分方程()()42sin 20y x y x +++=的类型是（A ）四阶线性 （B ）二阶非线性 （C ）四阶非线性 （D ）二阶线性 2.关于初值问题()00y y '==的解正确的是（A ）0y =为唯一解 （B ）仅有3个不同解 （C ）只有两个解 （D ）有无数个解3.方程22cos sin t d x dxet x t dt dt++⋅=的线性无关解的最大个数是 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）无数多4.二阶自治系统32dxx y dtdy y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的平衡点的类型是（A ）不稳定结点 （B ）渐进稳定结点 （C ）稳定中心 （D ）不稳定鞍点 5.已知函数()21y t t =是微分方程2580,0t y ty y t '''-+=>的解，则此方程通解为（A ）()212y t c t c t =+ （B ）()2412y t c t c t =+（C ）()212cos sin t t y t c e t c e t t =++ （D ）()5522212tty t c e c e t =++ 6.关于自治微分方程()21y y y '=-的临界点判断正确的是（A ）1y =-和1y =是稳定的，0y =是不稳定的 （B ）1y =-和1y =是不稳定的，0y =是稳定的 （C ）1y =-和0y =是稳定的， 1y =是不稳定的 （D ）1y =-和0y =是不稳定的，1y =是稳定的7. 如下初值问题()()()()222ln 4331,31d x dx t t t tx t dt dt dx x dt ⎧-++=-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩解的最大存在区间是（A ）()2,+∞ （B ）(),0-∞ （C ）()0,+∞ （D ）()0,3 8.微分方程y a '=是否存在奇解（A ）对所有的a 无奇解 （B ）对所有的a 有奇解 （C ）只有1a =时有奇解 （D ）只有1a ≠时有奇解 9.下列关于自治系统的闭轨的说法正确的有（A ）只有孤立的闭轨才是极限环 （B ）Hamilton 系统无闭轨 （C ）梯度系统无闭轨 （D ）如系统平衡点的某邻域内存在导数定负的Liapunov 函数，则此邻域内不存在闭轨 10.将下列微分方程分别与下图中可能为其解的图像配对。

课程编号：07000233 北京理工大学2011-2012学年第二学期2010级数理统计期末试题A 卷一、设总体()20,X N σ ，12,,,m n X X X +⋅⋅⋅是抽自总体X 的简单随机样本，求常数c 使得随机变量2221222212mm m m n X X X Y c X X X +++++⋅⋅⋅+=⋅++⋅⋅⋅+服从F 分布，指出分布的自由度并证明。

二、设总体()2,X N μσ ，其中220σσ=为已知常数，R μ∈为未知参数。

12,,,nX X X ⋅⋅⋅是抽自总体X 的简单随机样本，12,,,n x x x ⋅⋅⋅为相应的样本观测值。

1.求参数μ的矩估计；2.求参数μ和2EX 的极大似然估计；3.证明1n i i i X X α='=∑，其中11ni i α==∑和11ni i X X n ==∑都是μ的无偏估计；4.比较两个无偏估计X '和X 的有效性并解释结果。

三、设总体X 服从泊松分布()P λ，123,,X X X 是抽自总体X 的简单随机样本，设假设检验问题011:3;:3H H λλ==的否定域为(){}123,,0.5D X X XX =≤。

1.求该检验问题犯第一类错误的概率；2.求该检验问题犯第二类错误的概率和在1H 下的功效函数。

四、设总体X 的概率密度函数为()32,0,20,0xx e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是抽自总体X 的简单随机样本。

1.验证样本分布族是指数族，并写出其自然形式（标准形式）；2.证明()1nii T X X==∑是充分完全（完备）统计量，并求()ET X ；3.利用充分完全统计量法和Cramer-Rao 不等式方法证明113n i i X n =∑是1θ的一致最小方差无偏估计。

五、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是从总体X 抽取的简单随机样本，且X 的密度函数为()()12,2,0,2xx f x x θθθθ-+⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，其中0θ>为未知参数。

课程编号：MTH17171北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级最优化方法期末试题A 卷一、（10分）设()f x 是凸集nS R ⊆上的凸函数，对12,x x S ∈，实数[]0,1α∉，令()121z x x ααα=+-，若z S α∈，证明()()()121f z f x x ααα≥+-。

二、（10分）设数列{}k x 的通项为：22121,2,0,1,!ii i x x x i i +===L ， 证明：（1）{}k x 收敛于*0x =； （2）令1,0,1,k k k xx d k +=+=L ，则*lim1k kk x x d →∞-=；（3）{}k x 不是超线性收敛于*x 的。

三、（10分）求解整数规划问题：1212121212min ..14951631,0,,z x x s t x x x x x x x x =-++≤-+≤≥∈Z。

（图解法，割平面法，分枝定界法均可）四、（10分）设f 连续可微有下界，且f ∇Lipschitz 连续，即：存在常数0L > ，使得,n x y R ∀∈，()()f x f y L x y ∇-∇≤-，设{}k x 由Wolfe-Powell 型搜索产生，k d 为下降方向，()()cos T k k k kkf xdf x dθ∇=-∇⋅，证明：（1）()220cos kk k f x θ∞=∇<∞∑；（2）若0δ∃>，使得k ∀，cos k θδ≥，则()lim 0k k f x→∞∇=。

五、（10分）设f 连续可微，序列{}k x 由最速下降法解()min f x ，并做精确搜索产生，证明：0,1,k ∀=L ，()()10Tk k f xf x +∇∇=。

六、（10分）已知线性规划：1234123412341234max 2347..23482673,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++--=-+-=-≥。

课程编号：A073003 北京理工大学2014-2015学年第一学期线性代数A 试题 B 卷一、（10分）已知矩阵211121112A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，101011111B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且11*2A X A X A B A --=+，求X .解：由11*2AXA XA BA --=+知2||AX X A B =+，而||4A =, 所以14(2)X A I B-=-A I A I 101111112101,(2)1112110111--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=∴-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故而,111101042141110114022111111002X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=⋅-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、（10分）已知1234(2,2,4,6), (2,1,0,3), (3,0,2,1), (1,3,2,4)T T T T αααα=-=-=-=-（1）求向量组1234,,,αααα的秩和一个极大无关组; （2）用所求的极大无关组线性表出剩余向量。

解: (1)22312231100210301320101402200110011631400000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以求向量组1234,,,αααα的秩为3, 123,,ααα为极大无关组.(2)4123αααα=--.三、（10分）在4][x F 中，求自然基321x x x ,,,到基3221111x x x x x x ++++++,,,的过渡矩阵，以及231()h x x x x =-+-在后一个基下的坐标。

解：过渡矩阵1111011100110001A ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭3132h x x x =-++()在后一个基下的坐标111111110012011110110120011100111200110111y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（10分）设V 是由实数域上的全体2阶矩阵构成的线性空间，在V 上定义映射σ：σX AX XA =-[]，其中X 为任意矩阵，a b A c d ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭为V 中某一取定矩阵。

课程编号：MTH17003 北京理工大学2013-2014学年第一学期工科数学分析期末试题(A 卷)班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________(本试卷共6页, 十一个大题. 解答题必须有解题过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 设)(x p 是多项式, 且,2)(lim 23=-∞→x x x p x ,3)(lim 0=→xx p x ，则=)(x p ____________________.2. 曲线θρcos 1-=在4πθ=处的切线斜率等于__________________.3. 已知点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点, 则_,__________=a .______________=b4. 设⎰⋅+-=102)(arctan 1)(dt t f x x x f , 则=)(x f _________________________________.5. 质量为m 的降落伞从跳伞塔下落, 所受空气阻力与速度成正比(比例系数为0>k ), 则降落伞的位移)(t y 所满足的微分方程为___________________________________. 二. (8分) 求极限 .1)1ln(lim2tan 0--+→xx ex x三. (8分) 设e xy e y=-确定函数)(x y y =, 求22,dxyd dx dy .四. (9分) 设⎰+∞∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-+082lim dx e x a x a x x xx ),0(≠a 求常数a 的值.五. (9分) 求微分方程4yx ydx dy +=的通解.六. (9分) 已知x x a x f 3sin 31cos )(-=在3π=x 处取得极值, 求a 的值, 并判断)3(πf 是极大值还是极小值.七. (9分) 求曲线x y =2与直线2-=x y 所围成平面图形的面积A, 以及此平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V .八. (9分) 求不定积分.11⎰+dx xxx九. (9分) 一圆锥形贮水池, 深3m, 直径4m, 池中盛满了水, 如果将水抽空, 求所作的功. (要求画出带有坐标系的图形)十. (12分) 设0)()()(0=-++⎰-xx dt t f x t e x f , 其中)(x f 是连续函数, 求)(x f 的表达式.十一. (8分) 设)(x f 在]1,0[上非负连续, 试证存在)1,0(∈ξ, 使得区间]1,[ξ上以)(ξf 为高的矩形面积等于区间],0[ξ上以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积.(2013-2014)工科数学分析第一学期期末试题(A 卷)解答（2014.1）一．1. x x x 3223++2.12+3． ,23- 294. x x arctan 2ln 2412+-+-ππ5． dt dyk mg dt y d m -=22二. 原式 x x x x 20tan )1ln(lim-+=→20)1ln(lim xx x x -+=→ ……………..(2分) x x x 2111lim 0--+=→ ……………..(6分) )1(21lim0x x --=→ ……………..(7分)21-= ……………..(8分)三. 0=--dx dy x y dx dy e y……………..(3分) x e ydx dy y-= ……………..(4分) 222)()1()(x e dx dy e y x e dx dy dx y d y y y ----⋅= ……………..(6分) 2)()1()(x e x e y e y x e x e y y yyy y -----⋅-= ……………..(7分) 32)(22x e e y ye xy y yy --+-= ……………..(8分)四. x x a x a x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→2lim a x axa a x x a x a --∞→-+=33])31[(lim ……………..(2分) a e 3= ……………..(3分)⎰+∞08dx ex x ⎰+∞-=08dx xe x ⎰+∞--=08xxde ……………..(4分) ⎰+∞-∞+-+-=088dx e xe x x ……………..(6分)880=-=+∞-xe ……………..(8分)83=a e 2ln =a ……………..(9分)五.31y x y dy dx += 31y x ydy dx =- ……………..(2分) )(131⎰⎰+⎰=---dy ey C ex dyy dyy……………..(4分))(ln 3ln ⎰-+=dy e y C e y y ……………..(6分) )1(3⎰+=dy yy C y ……………..(8分) 431y Cy += ……………..(9分) 六. x x a x f 3cos sin )(--=' ……………..(3分)由 0123)3(=+-='a f π 得 32=a ……………..(5分)x x a x f 3s i n 3c o s )(+-='' ……………..(7分)因为031)3(<-=''πf 故 )3(πf 是极大值 ……………..(9分)七.抛物线与直线的交点为)2,4(),1,1(- ……………..(1分)⎰--+=212])2[(dy y y A ……………..(3分)29)322(2132=-+=-y y y ……………..(5分)⎰--+=2142])2([dy y y V ππ ……………..(7分)ππ572]51)2(31[2153=-+=-y y ……………..(9分)八. 令 x x t +=1 即 112-=t x ……………..(2分) ⎰--=dt t t I 1222……………..(3分)⎰-+-=dt t )111(22 ……………..(4分) ⎰+--+-=dt t t )1211211(2 ……………..(6分)C t t t +--++-=1ln 1ln 2 ……………..(8分) C xx xx xx +-+-++++-=11ln11ln12 ……………..(9分)九. dx x gx dx x gx dx y g x dW 222)3(94)31(4-=-⋅=⋅=πμπμπμ ……..(3分)⎰-=302)3(94dx x gx w πμ ……………..(5分)⎰+-=3032)69(94dx x x x g πμ30432)41229(94x x x g +-=πμ ……………..(8分)g g ππμ30003==(J) ……………..(9分)十. ⎰⎰-+-=-xxx dt t tf dt t f x e x f 0)()()( ……………..(1分)⎰+='-xx dt t f e x f 0)()( ……………..(2分))()(x f e x f x +-=''- x e x f x f --=-'')()( ……………..(3分) 1)0(-=f 1)0(='f ……………..(5分) 012=-r 1±=r ……………..(6分) x x e C e C x f -+=21)( ……………..(7分)设 xA x e x f -=)(* ……………..(8分)代入微分方程得 1=A x xe x f -=1)(* ……………..(9分)通解为 xx x xe e C e C x f --++=21)(21 ……………..(10分) 由初值得 411-=C 432-=Cx x x xe e e x f --+--=214341)( ……………..(12分)十一. 令 ⎰-=tdx x f t t F 0)()1()( ……………..(2分)则)(t F 在]1,0[连续, 在)1,0(可导, 又 0)1()0(==F F由罗尔定理, )1,0(∈∃ξ, 使 0)(='ξF ……………..(6分)0)()1()(0=-+⎰ξξξf dx x f ……………..(7分)即 ⎰=-ξξξ0)()()1(dx x f f 得证 ……………..(8分)。