下载文档原格式
计算机系统的可靠性是制从它开始运行（t=0)到某时刻t这段时间内能正常运行的概率，用R(t)表示．所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的比例，以λ表示，当λ为常数时，可靠性与失效率的关系为：Ｒ（λ）=e-λu(λu为次方）两次故障之间系统能够正常工作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF)如：同一型号的1000台计算机，在规定的条件下工作1000小时，其中有10台出现故障，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次方）千小时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次方）＝0.99平均故障间隔时间MTBF=1/λ=1/10-5=10-5小时．1）表决系统可靠性表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，又称为k/n系统。
图12.8-1为表决系统的可靠性框图。
通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为：这是一个更一般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。
2）冷储备系统可靠性冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s 为理想开关Rs=1,只要一个部件正常,则系统正常。
所以系统的可靠度：图12.8.2 待机贮备系统3）串联系统可靠性串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。
下图为串联系统的可靠性框图。
假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度多数机械系统都是串联系统。
串联系统的可靠度随着单元可靠度的减小及单元数的增多而迅速下降。
图12.8.4表示各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。
显然，Rs≤min(Ri),因此为提高串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。
计算机系统的可靠性是制从它开始运行（t=0)到某时刻t这段时间内能正常运行的概率，用R(t)表示．所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的比例，以λ表示，当λ为常数时，可靠性与失效率的关系为：Ｒ（λ）=e-λu(λu为次方）两次故障之间系统能够正常工作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF)如：同一型号的1000台计算机，在规定的条件下工作1000小时，其中有10台出现故障，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次方）千小时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次方）＝0.99平均故障间隔时间MTBF=1/λ=1/10-5=10-5小时．1）表决系统可靠性表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，又称为k/n系统。
图12.8-1为表决系统的可靠性框图。
通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为：这是一个更一般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。
2）冷储备系统可靠性冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s 为理想开关Rs=1,只要一个部件正常,则系统正常。
所以系统的可靠度：图12.8.2 待机贮备系统3）串联系统可靠性串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。
下图为串联系统的可靠性框图。
假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度多数机械系统都是串联系统。
串联系统的可靠度随着单元可靠度的减小及单元数的增多而迅速下降。
图12.8.4表示各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。
显然，Rs≤min(Ri),因此为提高串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。
![第3章 可靠性数学模型 [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s1/m/62e112b1f121dd36a32d82d1.png)
文老师： 题1：最优化例 1 运输问题设有m 个水泥厂A1,A2, …, Am,年产量各为a1, a2, …,am 吨.有k 个城市B1,B2…, Bk 用这些水泥厂生产的水泥,年需求量b1,b2, …,bk 吨.再设由Ai 到Bj 每吨水泥的运价为cij 元.假设产销是平衡的,即:∑∑===kjj m i i b a 11试设计一个调运方案,在满足需要的同时使总运费最省。
解：设Ai →Bj 的水泥量为xij,已知Ai →Bj 单价为cij,单位为元,则总运费为:数学模型:1111121201212min ..(,,,)(,,,)(,,,,,,,)km ij ij j i k ij i j mij j i ij c x s t x a i m x b j k x i m j k ====∑∑==∑==∑≥==注:平衡条件∑∑===kj jmi i ba 11作为已知条件并不出现在约束条件中。
例2 生产计划问题设某工厂有m 种资源B 1,B 2, …,B m ,数量分别为: b 1,b 2, …, b m ,用这些资源产n 种产品A 1,A 2, …, A n .每生产一个单位的A j 产品需要消耗资源B i 的量为a ij ,根据合同规定,产品A j 的量不少于d j .再设A j 的单价为c j . 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该厂总收入最多? 数学模型111212max ..(,,,)(,,,)nj j j nij j i j j j c x s t a x b i m x d j n ==∑≤=∑≥=例 3 指派问题设有四项任务B 1,B 2,B 3,B 4派四个人A 1,A 2, A 3,A 4去完成.每个人都可以承担四项任务中的任何一项,但所消耗的资金不同.设A i 完成B j 所需资金为c ij . 如何分配任务,使总支出最少? 设变量则总支出可表示为:4411ij ijj i S c x ===∑∑数学模型:例4 0-1背包问题设有一个容积为 b 的背包，n 个体积分别为，价值分别为的物品，如何以最大的价值装包? 用数学模型表示为其中目标(1.3)欲使包内所装物品的价值最大；(1.4)为包的能力限制；(1.5)表示xi 为二进制变量，xi=1表示装第i 个物品，xi=0表示不装． 4ij j 1s.t.x 1,i 1,2,3,4===∑4ij i 1x 1,j 1,2,3,4===∑44ij ijj 1i 1minS c x ===∑∑ij x {0,1},i,j 1,2,3,4∈=指派A i 完成b j不指派A i 完成b j最优化问题的一般形式为:P: (1.1)(目标函数)(1.2)(等式约束)(1.3)(不等式约束)其中x 是n 维向量.在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取相反数后统一成公式中求最小值的形式.我们总是讨论题二：黄金分割法算法 给定a ,b (a <b )以及e >0,step 1 令x 2=a +0.618(b -a ), f 2=f (x 2); step 2 令x 1=a +0.382(b -a ), f 1=f (x 1);step 3 若|b – a |< e , 则 x *=(a +b )/2,Stop. step 4 若f 1<f 2, 则b =x 2,x 2=x 1,f 2=f 1,转step 2; 若f 1=f 2, 则a =x 1,b =x 2 ,转step 1;若f 1>f 2, 则a =x 2,x 1=x 2,f 1=f 2,转step 5; step 5 令x 2=a +0.618(b – a )，f 2=f (x 2),转step3.例1.4.1 用黄金分割法求函数f(x)=x 2-x+2在区间[-1,3]上的极小值，要求区间长度不大于原始区间长的0.08。
可靠性数学基础知识概率论、数理统计、图论、运筹学是可靠性工程学的最重要的数学基础。
本章简述其中的概率论的部分内容。
2．1 事件和直方图数学、物理中讨论的常量和变量，它们有确定的规律，可以用确定的数学表达式来描述。
然而，在客观世界上有许多参量事先不能完全预测，没有确定的规律，完全是随机的。
概率论就是专门研究这种随机变化现象规律性的一门科学。
在概率论中，我们把随机现象称为事件。
事件：指科研、生产中的任何现象或试验的结果。
事件分为必然事件、不可能事件和随机事件三类。
事件的频率是指若随机事件A在n次观测中出现m次，则称m/n为事件A出现的频数。
如投币试验、扔针试验等。
将事件的频数用平面直角坐标系表示出来，就得到该事件的频数直方图。
2．2 概率的定义、事件的基本运算一、概率的定义设试验的所有可能的结果可以表示为n个互不相容且等可能的事件，其中有且仅有m个事件是包含与随机事件A的（即当且仅当其中的m个事件中任一事件发生时A发生），则随机事件A能包含的事件m与基本事件n的比值叫作随机事件A的概率。
即： P（A）=m/n通俗的讲，就是假定在不变的一组条件下，重复作n次观测，记m为n次观测中事件A出现的次数。
则当m/n在某一值附近摆动时，称该数值为事件A在该条件下发生的概率。
二、事件的基本运算如果事件A发生时，事件B必然发生，则称事件A导致事件B。
称为A包含于B或B包含A。
当事件A导致事件B，事件B也导致事件A，则称事件A、B等价。
记为A=B事件A和事件B的和仍然是事件。
当事件A发生或事件B发生或事件A、B同时发生，则和事件A+B发生。
当A、B都不发生时，和事件也不发生。
事件和运算法则：A+B=B+AA+（B+C）=（A+B）+CA+A=AA+I=IA+φ=AA·B= B·AA·A=AA·I=AA·φ=φA·（B+C）= A·B+A·C其中I为必然事件，φ为不可能事件。
可靠性计算公式⼤全计算机系统的可靠性是制从它开始运⾏（t=0)到某时刻t这段时间内能正常运⾏的概率，⽤R(t)表⽰．所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的⽐例，以λ表⽰，当λ为常数时，可靠性与失效率的关系为：Ｒ（λ）=e-λu(λu为次⽅）两次故障之间系统能够正常⼯作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF)如：同⼀型号的1000台计算机，在规定的条件下⼯作1000⼩时，其中有10台出现故障，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次⽅）千⼩时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次⽅）＝0.99平均故障间隔时间MTBF=1/λ=1/10-5=10-5⼩时．1）表决系统可靠性表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，⼜称为k/n系统。
图12.8-1为表决系统的可靠性框图。
通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为：这是⼀个更⼀般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。
2）冷储备系统可靠性冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s为理想开关Rs=1,只要⼀个部件正常,则系统正常。
所以系统的可靠度：图12.8.2 待机贮备系统3）串联系统可靠性串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任⼀单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。
下图为串联系统的可靠性框图。
假定各单元是统计独⽴的，则其可靠性数学模型为式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度多数机械系统都是串联系统。
串联系统的可靠度随着单元可靠度的减⼩及单元数的增多⽽迅速下降。
图12.8.4表⽰各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。
显然，Rs≤min(Ri),因此为提⾼串联系统的可靠性,单元数宜少,⽽且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,⽽且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。
计算机系统的可靠性是制从它开始运行（t=0)到某时刻t这段时间内能正常运行的概率，用R(t)表示．所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的比例，以λ表示，当λ为常数时，可靠性与失效率的关系为：Ｒ（λ）=e-λu(λu为次方）两次故障之间系统能够正常工作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF)如：同一型号的1000台计算机，在规定的条件下工作1000小时，其中有10台出现故障，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次方）千小时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次方）＝0.99平均故障间隔时间MTBF=1/λ=1/10-5=10-5小时．1）表决系统可靠性表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，又称为k/n系统。
图12.8-1为表决系统的可靠性框图。
通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为：这是一个更一般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。
2）冷储备系统可靠性冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s 为理想开关Rs=1,只要一个部件正常,则系统正常。
所以系统的可靠度：图12.8.2 待机贮备系统3）串联系统可靠性串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。
下图为串联系统的可靠性框图。
假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度多数机械系统都是串联系统。
串联系统的可靠度随着单元可靠度的减小及单元数的增多而迅速下降。
图12.8.4表示各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。
显然，Rs≤min(Ri),因此为提高串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。
文老师： 题1：最优化例 1 运输问题设有m 个水泥厂A1,A2, …, Am,年产量各为a1, a2, …,am 吨.有k 个城市B1,B2…, Bk 用这些水泥厂生产的水泥,年需求量b1,b2, …,bk 吨.再设由Ai 到Bj 每吨水泥的运价为cij 元.假设产销是平衡的,即:∑∑===kjj m i i b a 11试设计一个调运方案,在满足需要的同时使总运费最省。
解：设Ai →Bj 的水泥量为xij,已知Ai →Bj 单价为cij,单位为元,则总运费为:数学模型:1111121201212min ..(,,,)(,,,)(,,,,,,,)km ij ij j i k ij i j mij j i ij c x s t x a i m x b j k x i m j k ====∑∑==∑==∑≥==L L L L注:平衡条件∑∑===kj jmi i ba 11作为已知条件并不出现在约束条件中。
例2 生产计划问题设某工厂有m 种资源B 1,B 2, …,B m ,数量分别为: b 1,b 2, …, b m ,用这些资源产n 种产品A 1,A 2, …, A n .每生产一个单位的A j 产品需要消耗资源B i 的量为a ij ,根据合同规定,产品A j 的量不少于d j .再设A j 的单价为c j . 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该厂总收入最多? 数学模型111212max ..(,,,)(,,,)nj jj nij j i j j j c x s t a x b i m x d j n ==∑≤=∑≥=L L例 3 指派问题设有四项任务B 1,B 2,B 3,B 4派四个人A 1,A 2, A 3,A 4去完成.每个人都可以承担四项任务中的任何一项,但所消耗的资金不同.设A i 完成B j 所需资金为c ij . 如何分配任务,使总支出最少? 设变量则总支出可表示为:4411ij ijj i S c x ===∑∑数学模型:例4 0-1背包问题设有一个容积为 b 的背包，n 个体积分别为，价值分别为的物品，如何以最大的价值装包? 用数学模型表示为其中目标(1.3)欲使包内所装物品的价值最大；(1.4)为包的能力限制；(1.5)表示xi 为二进制变量，xi=1表示装第i 个物品，xi=0表示不装． 4ij j 1s.t.x 1,i 1,2,3,4===∑4ij i 1x 1,j 1,2,3,4===∑44ij ijj 1i 1minS c x ===∑∑ij x {0,1},i,j 1,2,3,4∈=指派A i 完成b j不指派A i 完成b j最优化问题的一般形式为:P: (1.1)(目标函数)(1.2)(等式约束)(1.3)(不等式约束)其中x 是n 维向量.在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取相反数后统一成公式中求最小值的形式.我们总是讨论题二：黄金分割法算法 给定a ,b (a <b )以及e >0,step 1 令x 2=a +0.618(b -a ), f 2=f (x 2); step 2 令x 1=a +0.382(b -a ), f 1=f (x 1);step 3 若|b – a |< e , 则 x *=(a +b )/2,Stop. step 4 若f 1<f 2, 则b =x 2,x 2=x 1,f 2=f 1,转step 2; 若f 1=f 2, 则a =x 1,b =x 2 ,转step 1;若f 1>f 2, 则a =x 2,x 1=x 2,f 1=f 2,转step 5; step 5 令x 2=a +0.618(b – a )，f 2=f (x 2),转step3.例1.4.1 用黄金分割法求函数f(x)=x 2-x+2在区间[-1,3]上的极小值，要求区间长度不大于原始区间长的0.08。
用0.618法求解例1.4.1的数据表 迭代次数 [a ,b ] x 1 x 2f 1f 2|b -a |<e0 [-1,3] 0.5281.472 1.7512.695 否1 [-1,1.472]-0.056 0.528 2.059 1.751 否2 [-0.056,1.472] 0.528 0.888 1.751 1.901 否3 [-0.056,0.888] 0.305 0.528 1.788 1.751 否4 [0.305,0.888] 0.528 0.665 1.751 1.777 否 5 [0.305,0.665] 0.443 0.528 1.753 1.751 否 6[0.443,0.665]0.5280.580 1.751 1.757 是最优解x *=(0.443+0.665)/2=0.554题三：随机过程的一般概念 • 设(Ω,F,P )为概率空间，T 是参数集。
若对任意t ∈T ，有随机变量X (t ,e )与之对应，则称随机变量族{X (t ,e )，t ∈T }是(Ω,F,P )上的随机过程，简记为{X (t )，t ∈T }或{X t ，t ∈T }。
• X (t )的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I 。
样本：对于固定的)(,t x T t t ∈=称为一个事件（或样本）。
样本空间：样本的集合)}({i t x 称为样本空间。
样本函数：对于x(t)，称为一条轨迹或一个样本函数（或一个实现）。
样本函数空间（随机过程）：所有样本函数x(t)的集合就称为样本函数空间χ，即χ={x(t),t ∈T} 随机过程的例子• 以X(t)表示某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼叫次数，则{X(t)，t ∈[0,∞)}是随机过程； • 以X(t)表示某地区第t 天的最高气温，则{X(t), t =0,1,…}是随机过程；• 以X(t)表示某固定点处在时刻t 的海面相对于平均海平面的高度，则{X(t)，t ∈[0,∞)}是随机过程； • X(t)=acos(ωt+Θ)， t ∈(- ∞,∞)，其中a ，ω是常数，Θ是随机变量。
则{X(t), t ∈(-∞,∞)}是随机过程。
• 从数学上看，随机过程{X (t , e )， t ∈T }是定义在T ⨯Ω上的二元函数。
• 对固定的t ，X (t , e ) 是(Ω, F,P )上的随机变量；• 对固定的e ，X (t , e ) 是定义在T 上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。
• 函数：x →f(x)• 随机变量： e→X (e )• n 维随机变量：(X 1(e), X 2(e),…,X n (e)) • 随机变量序列：(X 1(e), X 2(e),…) • 随机过程：X (t , e )题4：转移矩阵例 赌博问题。
甲乙二人进行一系列赌博，甲有a 元，乙的赌本无限，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，如果甲输光，再输则赌本为负。
设在每一局中，甲赢的概率为p ，输的概率为q=1-p 。
设X n 表示第n 次赌博结束后甲的赌本，则X n ，n≥1是马尔科夫链，求X n 的转移矩阵 一步转移概率: 2||,0,011,1,≥-==-===-+j i p p pq p pp ij ii i i i in 步转移概率:i 经过k 步进入j ,向右移了x 步,向左移了y 步，则⎩⎨⎧-+-+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=⇒⎩⎨⎧-=-=+为奇数)(，0为偶数)(,2)(2)()(i j k i j k q p C p i j k y i j k x i j y x k y x y x x k k ij吸收壁：以概率1停留在该位置叫吸收壁。
反射壁：以概率1返回上一位置叫反射壁例 赌徒输光问题甲有赌资a 元，乙有赌资b 元，赌一局输者给赢者1元，无和局。
甲赢的概率为p ， 乙赢的概率为q =1-p ，求甲输光的概率。
设u i 表示甲从状态i 出发转移到状态0的概率，求u a显然u 0 =1，u c =0(u 0表示已知甲输光情形下甲输光的概率，u c 表示已知乙输光情形下甲输光的概率) u i =pu i+1 + qu i-1 (i =1,2,⋯,c -1)1,,2,1)()()()(111111-=-=--=-+=+-+-+-+c i u u pqu u u u q u u p qu pu u q p i i i i i i i i i i i Λ α=-==-=-=-===---+ˆ21即,1(1)012111u u u u u u u u q p p q i i i i i i Λba a ub a bc a u cii u cc u i i u u i u u i u u u u u u u u b a i c i i i i i i i i +=+=-=-=+=-=⇒=+=++=++=+=-+=-++-+-+-++---+同理可得,111101)1(1)1()1(即)1()()()()(010*******αααααααΛrr r u u u r u u r u u u u r u u r p q q p p q ck c ki i i i c ki k c i i i i ---=-=-=--=-=≠≠∑∑-=--=-+1)1( )()()(设,即,1(2)10111111c cb c b b c ca c a a c ck c k k c cc r r r r r r u u r r r r r r u u r r r r r r u u r ru rr r u u u k --=----=--=----=--=----=---=----=-=11)1(11)1(11)1(111从而1)1(则0,令1111010例4.3 天气预报问题RR 表示连续两天有雨，记为状态0NR 表示第1天无雨第2天有雨，记为状态1 RN 表示第1天有雨第2天无雨，记为状态2 NN 表示连续两天无雨，记为状态3p 00=P {R 今R 明| R 昨R 今}=P {R 明| R 昨R 今}=0.7p 03=P {N 今N 明| R 昨R 今}=0 类似地得到其他转移概率， 于是转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.002.006.004.0005.005.003.007.033323130232221201312111003020100p p p p p p p p p p p p p p p p P 若星期一、星期二均下雨，求星期四下雨的概率一 二 三 四 R RR R0 0 R R N R 01星期四下雨的概率61.012.049.0 )2(01)2(00=+=+=p p p 2步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==64.010.016.010.048.020.012.020.030.015.020.035.018.021.012.049.02)2(P P马老师： 一二题三：。
