可靠性数学基础知识
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可靠性数学基础
的概率 ， 为各个事件概率的总和。
公式 ２乘法定理）若事件 Ａ的出现并不影响事件Ｂ的出现， （ ： 则称事件 Ａ与 Ｂ 是相互独立的， 此时有Ｐ‘ ＾哪 ， （丑 即各个独
北京工 商 大学 陈 锴
立事件同时出 现的事件的概率， 等于各个独立事件的概率之积。 公式３条件概率） （ ： 如果对于 事件 Ａ和事件Ｂ当事件Ａ ， 发生的 概率Ｐ ） ， （＞ 则当Ａ发生的条件 Ｂ ＾０ 下，发生的｛事被表示为 ｜ 【 ， 称
ｌ 概率是用来刻划某一随机事件发生可能性的量， ＰＡ 事件 Ａ的发生概率加以惨正后的条件概率，故称为后验概率。 常用 （）
、
例如， 同一批的４ 个元件中有２个不合格品， ０ 若从中任取 １ ， 为随机变量。 个
当试验条件可重复． 且试验次数充分大时， 如果事件 Ａ发生 规定时间内产品出现故障的次数等． 则称之为离散型随机变量。 ． ２概率密度函数和概率分布列 的频率 ｍ ｎ ／ 稳定地在某数值Ｐ附近摆动， Ｐ 则称 为事件 Ａ的概 ２ 率， 记作ＰＡ ｐ ‘ 。其中ｍ是事件Ａ发生的次数，是试验总数。 ／ １ ｌ． ＿２概率的基本性质及常用运算公式 ２ 概率的基本性质 性质 １０ （】 ， Ａ的概率不能取负值或大于 ｌ ：≤ＰＡ≤１事件 ； 在研究产品寿命 Ｔ在各时间间隔Ａ 内出现的溉率等问题 ｔ 时． 若样本量无限增大， 则可将频率直方图上表示时间间隔的各 矩形宽度△ｔ 无限缩小，பைடு நூலகம்而当△ ｏ时， 卜＋ 直方图上的梯形曲线变为 平滑曲 与此曲线相应的函数， 线． 被称为概率密度函数， 妁。 记为 对离散型随机变量ｘ的 各种取值 ｘ ｔ 的溉率可甩分布列表示， 即
维普资讯
ｈ ｐ／￣ ．ｈａ ｏ ｔ： ／ ｓ ｅ ｒｃ ｔ ｃｎ ｎ
公式 ２乘法定理）若事件 Ａ的出现并不影响事件Ｂ的出现， （ ： 则称事件 Ａ与 Ｂ 是相互独立的， 此时有Ｐ‘ ＾哪 ， （丑 即各个独
北京工 商 大学 陈 锴
立事件同时出 现的事件的概率， 等于各个独立事件的概率之积。 公式３条件概率） （ ： 如果对于 事件 Ａ和事件Ｂ当事件Ａ ， 发生的 概率Ｐ ） ， （＞ 则当Ａ发生的条件 Ｂ ＾０ 下，发生的｛事被表示为 ｜ 【 ， 称
ｌ 概率是用来刻划某一随机事件发生可能性的量， ＰＡ 事件 Ａ的发生概率加以惨正后的条件概率，故称为后验概率。 常用 （）
、
例如， 同一批的４ 个元件中有２个不合格品， ０ 若从中任取 １ ， 为随机变量。 个
当试验条件可重复． 且试验次数充分大时， 如果事件 Ａ发生 规定时间内产品出现故障的次数等． 则称之为离散型随机变量。 ． ２概率密度函数和概率分布列 的频率 ｍ ｎ ／ 稳定地在某数值Ｐ附近摆动， Ｐ 则称 为事件 Ａ的概 ２ 率， 记作ＰＡ ｐ ‘ 。其中ｍ是事件Ａ发生的次数，是试验总数。 ／ １ ｌ． ＿２概率的基本性质及常用运算公式 ２ 概率的基本性质 性质 １０ （】 ， Ａ的概率不能取负值或大于 ｌ ：≤ＰＡ≤１事件 ； 在研究产品寿命 Ｔ在各时间间隔Ａ 内出现的溉率等问题 ｔ 时． 若样本量无限增大， 则可将频率直方图上表示时间间隔的各 矩形宽度△ｔ 无限缩小，பைடு நூலகம்而当△ ｏ时， 卜＋ 直方图上的梯形曲线变为 平滑曲 与此曲线相应的函数， 线． 被称为概率密度函数， 妁。 记为 对离散型随机变量ｘ的 各种取值 ｘ ｔ 的溉率可甩分布列表示， 即
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ｈ ｐ／￣ ．ｈａ ｏ ｔ： ／ ｓ ｅ ｒｃ ｔ ｃｎ ｎ
可靠性资料整理-Read
可靠性整理第一部分：概述（一）可靠性的必要性：1.客户的需要：仪器的使用部门，尤其是实时在线检测仪器的使用部门，强烈地希望所使用的仪器能够长时间连续、无故障得工作。
2.自身的需要：仪器自身可靠性的提高，就意味着自身竞争力的提高，最终的结果不是我们寻求客户，而是客户寻求我们。
（二）可靠性的定义可靠性的经典定义：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力。
该定义明确指出评价一个产品的可靠性，与规定的工作条件和规定的工作时间有关，也与规定产品应完成的功能有关。
产品的可靠性与工作条件的关系极为密切。
“规定的工作条件”是指产品工作时所处的环境条件、负荷条件和工作方式。
环境条件一般分为气候环境和机械环境。
气候环境是指电子元器件所处环境的气候条件，如温度、湿度、气压、气氛、盐雾、霉菌、辐射等；机械环境是指电子元器件是否经常受到外界机械应力的影响，如振动、冲击、碰撞、跌落、离心、摇摆等。
环境对电路所施加的应力可能是恒定的，也可能是变化的和交变的。
负荷条件是指电子元器件所承受的电、热、力等应力的条件，目前主要是指加在电子元器件上的电压、电流和功率等条件。
工作方式一般分为连续工作或间断工作，不工作的情况属于存贮状态。
“规定的时间”是指评价电子元器件的可靠性和规定的时间有关。
可靠性本身就是时间的函数，要保持电子元器件全部性能处于良好的工作状态，时间长比时间短更困难。
在同一工作条件下，保持的时间越长可靠性越高。
所以，在讨论电子元器件可靠性时，必须指明在多长时间内的可靠性。
规定功能：要明确具体产品的功能是什么，怎样才算是完成规定功能。
产品丧失规定功能称为失效，对可修复产品通常也称为故障。
能力：只是定性的理解是比较抽象的，为了衡量检验，后面将加以定量描述。
产品的失效或故障均具有偶然性，一个产品在某段时间内的工作情况并不很好地反映该产品可靠性的高低，而应该观察大量该种产品的工作情况并进行合理的处理后才能正确的反映该产品的可靠性，因此对能力的定量需用概率和数理统计的方法。
数学建模-系统可靠性分析
2021/3/18
6
1.3 可靠性内涵
(1)可靠性按学科分类： 一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可 靠性物理等。
(2)可靠性的技术基础： 概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学； 基础试验技术；环境技术等。
(3)可靠性学科特点： 可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综 合；反馈和循环(通过反馈与循环不断提高产品的可靠性)。
f(t)d F (t)F '(t)； 或 F (t)tf(x)d x
d t
0
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假设n(t)表示t时刻失效的产品数，△n(t)表示在(t, t+△t)时间内失效的产品数。
累 积 失 效 概 率 为 ： F ˆ(t)= 到 t时 试 刻 验 失 产 效 品 的 总 产 数 品 数 = n N (t)
R (t) 1 F (t) R (t) R (t)
t 0
t
lim P (t T t t) t 0 P (T t) t
lim F (t t) F (t)
t 0
R (t) t
F '(t) R (t)
f (t) R (t)
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系列关系式：
R(t)1F(t)
失 效 率 : (t)F '(t)F '(t)f(t)R '(t)
100
99.90％ 漏导致爆炸，直到2000
1000
99.01％ 年12月完全关闭，14年
1万
90.48%
里乌克兰共有336万人遭
10万
36.79%
到核辐射侵害。
201210/30/1万8
<0.1%
可靠性基础知识介绍
二、可靠性的基本定义
1、可靠性 可靠性定义：产品在规定条件下、规定时间内、 完成规定功能的能力，称产品的可靠性。 产品可靠性分：固有可靠性、使用可靠性；基 本可靠性和任务可靠性。 固有可靠性：是产品在设计、制造中形成的， 是产品自身的一种固有特性，也是可控的特性， 它源于产品的设计、制作者。
使用可靠性：是产品在实际使用中，表现出的 一种性能和保持能力的一种特性。它不仅和产 品设计的固有可靠性有关，还和产品制作、操 作使用、维修保障各因素紧密相关。 基本可靠性：产品在规定条件下无故障的持续 时间或概率，称基本可靠性。在评定产品基本 可靠性时，需统计所有故障。其中所有可维修 故障，决定着对维修人员的合理安排。 任务可靠性：是产品在规定任务剖面内，完成 规定功能的能力。只考虑任务期间影响任务完 成的故障。
0 6 34 71 94 103 108 109 110
110 104 76 39 16 7 2 1 0
1
0
0.945 0.055 0.691 0.309 0.355 0.645 0.145 0.855 0.064 0.936 0.018 0.982 0.009 0.991 0 1
2、累计故障（失效）分布函数F 是度量故障的指标。是产品在规定条件下、规定 时间内、不能完成规定功能的概率，为累计故障 （失效）分布函数，也称不可靠度。也是时间的 函数，一般用F（t）表示。 F（t）=P（T≤t ） 可靠性与故障分布函数是两个对立的事件，其关 系式为： R（t）+ F（t）=1 r (t ) F（t）=
相当于No个新品工作到首次故障，因此： 当产品寿命服从指数分布时，
平均无故障时间MTBF：是衡量一个产品（尤其 是电器产品）可靠性的主要指标。单位为“小 时”。它反映了产品的时间质量，是体现产品在 规定时间内保持规定功能的一种能力。具体来说， 是指相邻两次故障之间的平均工作时间，也称为 平均故障间隔时间。
可靠性数学
文老师： 题1：最优化例 1 运输问题设有m 个水泥厂A1,A2, …, Am,年产量各为a1, a2, …,am 吨.有k 个城市B1,B2…, Bk 用这些水泥厂生产的水泥,年需求量b1,b2, …,bk 吨.再设由Ai 到Bj 每吨水泥的运价为cij 元.假设产销是平衡的,即:∑∑===kjj m i i b a 11试设计一个调运方案,在满足需要的同时使总运费最省。
解：设Ai →Bj 的水泥量为xij,已知Ai →Bj 单价为cij,单位为元,则总运费为:数学模型:1111121201212min ..(,,,)(,,,)(,,,,,,,)km ij ij j i k ij i j mij j i ij c x s t x a i m x b j k x i m j k ====∑∑==∑==∑≥==注:平衡条件∑∑===kj jmi i ba 11作为已知条件并不出现在约束条件中。
例2 生产计划问题设某工厂有m 种资源B 1,B 2, …,B m ,数量分别为: b 1,b 2, …, b m ,用这些资源产n 种产品A 1,A 2, …, A n .每生产一个单位的A j 产品需要消耗资源B i 的量为a ij ,根据合同规定,产品A j 的量不少于d j .再设A j 的单价为c j . 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该厂总收入最多? 数学模型111212max ..(,,,)(,,,)nj j j nij j i j j j c x s t a x b i m x d j n ==∑≤=∑≥=例 3 指派问题设有四项任务B 1,B 2,B 3,B 4派四个人A 1,A 2, A 3,A 4去完成.每个人都可以承担四项任务中的任何一项,但所消耗的资金不同.设A i 完成B j 所需资金为c ij . 如何分配任务,使总支出最少? 设变量则总支出可表示为:4411ij ijj i S c x ===∑∑数学模型:例4 0-1背包问题设有一个容积为 b 的背包，n 个体积分别为，价值分别为的物品，如何以最大的价值装包? 用数学模型表示为其中目标(1.3)欲使包内所装物品的价值最大；(1.4)为包的能力限制；(1.5)表示xi 为二进制变量，xi=1表示装第i 个物品，xi=0表示不装． 4ij j 1s.t.x 1,i 1,2,3,4===∑4ij i 1x 1,j 1,2,3,4===∑44ij ijj 1i 1minS c x ===∑∑ij x {0,1},i,j 1,2,3,4∈=指派A i 完成b j不指派A i 完成b j最优化问题的一般形式为:P: (1.1)(目标函数)(1.2)(等式约束)(1.3)(不等式约束)其中x 是n 维向量.在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取相反数后统一成公式中求最小值的形式.我们总是讨论题二：黄金分割法算法 给定a ,b (a <b )以及e >0,step 1 令x 2=a +0.618(b -a ), f 2=f (x 2); step 2 令x 1=a +0.382(b -a ), f 1=f (x 1);step 3 若|b – a |< e , 则 x *=(a +b )/2,Stop. step 4 若f 1<f 2, 则b =x 2,x 2=x 1,f 2=f 1,转step 2; 若f 1=f 2, 则a =x 1,b =x 2 ,转step 1;若f 1>f 2, 则a =x 2,x 1=x 2,f 1=f 2,转step 5; step 5 令x 2=a +0.618(b – a )，f 2=f (x 2),转step3.例1.4.1 用黄金分割法求函数f(x)=x 2-x+2在区间[-1,3]上的极小值，要求区间长度不大于原始区间长的0.08。
可靠性理论基础复习资料
可靠性理论基础复习资料目录第一章绪论第二章可靠性特征量第三章简单不可修系统可靠性分析第四章复杂不可修系统可靠性分析第五章故障树分析法第六章三态系统可靠性分析第七章可靠性预计与分配第八章寿命试验及其数据分析第九章马尔可夫型可修系统的可靠性第一章：可靠性特征量2.1可靠度2.2失效特征量2.3可靠性寿命特征2.4失效率曲线2.5常用概率分布2.1可靠度一、系统的分类：可修系统与不可修系统；可修系统是指系统的组成单元发生故障后，经过维修能够使系统恢复到正常工作状态。
不可修系统是指系统或其组成单元一旦发生失效，不在修复，系统处于报废状态。
二、可靠性定义产品在规定条件下，规定时间内，完成规定功能的能力。
1. 产品：可以是一个小零件，也可以指一个大系统。
2. 规定条件：主要是指使用条件和环境条件。
3. 规定时间：包括产品的运行时间、飞机起落架的起飞着陆次数、循环次数或旋转次数等。
产品可靠性是非确定性的，并且具有概率性质和随机性质。
广义可靠性与狭义可靠性指可修复产品在使用中或者不发生故障(通过预防性维修)，或者发生故障也易于维修，因而经常处于可用状态的能力。
广义可靠性=狭义可靠性+可维修性广义可靠性典型事例：赛车可靠性的分类：固有可靠性和使用可靠性固有可靠性：通过设计、制造、管理等所形成的可靠性(通常体现在产品的固有寿命上)使用可靠性：产品在使用条件影响下，保证固有可靠性的发挥与实现的功能。
(通常体现在产品的实际使用寿命上)使用条件：包括运输、保管、维修、操作和环境条件等。
例1:判断下面说法的正确性：所谓产品的失效，即产品丧失规定的功能。
对于可修复系统，失效也称为故障。
(V)例2：可靠度R(t)具备以下那些性质？ ( BCD) A. R(t)为时间的递增函数B. o w R(t) < 1C. R(0)=1D. R()=0若受试验的样品数是N o个，到t时刻未失效的有Ns(t)个；失效的有N f(t)个。
可靠性工程师考试主要科目概览
可靠性工程师考试主要科目概览可靠性工程师考试涉及的考试科目通常涵盖了可靠性工程领域的多个方面，以确保考生具备全面的可靠性工程知识和技能。
根据中国质量协会（简称中质协）举办的CRE考试认证的相关资料，考试科目可以大致归纳为以下几个主要方面：一、可靠性基础理论●可靠性概论：包括可靠性工程的重要性、发展概况、基本概念、故障及失效的基本概念、产品可靠性度量参数、可靠性要求确定、产品故障率浴盆曲线等。
●可靠性数学基础：涉及概率论基础知识、可靠性常用的离散型分布（如二项分布、泊松分布）和连续型分布（如正态分布、指数分布、对数正态分布、威布尔分布）、可靠性参数的点估计和区间估计等。
二、可靠性设计与分析●可靠性建模：熟悉可靠性建模方法，包括各种可靠性模型的构建和应用。
●可靠性预计与分配：掌握常用可靠性预计和分配方法，确保产品在设计阶段就具备预期的可靠性水平。
●失效模式与影响分析：包括潜在失效模式影响及危害性分析（FMEA）、失效树分析（FTA）等，用于识别产品设计和制造过程中的潜在失效模式及其影响。
●可靠性设计准则：熟悉各种可靠性设计准则，如降额设计、热设计、耐环境设计等，以提高产品的可靠性。
三、可靠性试验与评价●可靠性试验基本概念：了解不同类型的可靠性试验，包括环境应力筛选试验（ESS）、可靠性增长试验（TAAF）、寿命试验和加速寿命试验（ALT）等。
●可靠性鉴定与验收试验：掌握可靠性鉴定试验和验收试验的方法和流程，确保产品满足规定的可靠性要求。
四、软件可靠性与人-机可靠性●软件可靠性：包括软件可靠性的基本概念、失效原因、设计方法及验证等。
●人-机可靠性：涉及人-机可靠性基本概念、人为差错概念及人-机可靠性设计基本方法等。
五、数据收集、处理与应用●数据类型与收集：熟悉数据类型、来源及收集方法。
●数据处理与评估：掌握数据的处理与评估技术，以支持可靠性分析和决策。
●数据管理及应用：了解数据管理的基本原则和应用场景。
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一、可靠性概论1.1 可靠性工程的发展及其重要性1、可靠性工程起源与第二次世界大战（日本，齐藤善三郎）。
20世纪60年代是可靠性全面发展的阶段，20世纪70年代是可靠性发展步入成熟的阶段，20世界80年代是可靠性工程向更深更广的方向发展。
2、1950年12月，美国成立了“电子设备可靠性专门委员会”，1952年8月，组成“电子设备可靠性咨询组（AGREE），1957年6月发表《军用电子设备可靠性》，标志着可靠性已经成为一门独立的学科，是可靠性发展的重要里程碑。
3、可靠性工作的重要性和紧迫性：①武器装备的可靠性是发挥作战效能的关键，民用产品的可靠性是用户满意的关键②成为参与国际竞争的关键因素③是影响企业盈利的关键④是影响企业创建品牌的关键⑤是实现由制造大国向制造强国转变的必由之路。
4、可靠性关键产品是指一旦发生故障会严重影响安全性、可用性、任务成功及寿命周期费用的产品、价格昂贵的产品。
1.2 可靠性定义及分类1、产品可靠性指产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力。
概率度量成为可靠度。
2、寿命剖面是指产品从制造到寿命终结或退出使用这段时间内所经历的全部事件和环境的时序描述，包含一个或几个任务剖面。
任务剖面是指产品在完成规定任务这段时间内所经历的事件和环境的时序描述。
3、产品可靠性可分为固有和使用可靠性，固有可靠性水平肯定比使用可靠性水平高。
产品可靠性也可分为基本可靠性和任务可靠性。
基本可靠性是产品在规定条件下和规定时间内无故障工作的能力，它反映产品对维修资源的要求。
任务可靠性是产品在规定的任务剖面内完成规定功能的能力。
同一产品的基本可靠性水平肯定比任务可靠性水平要低。
1.3 故障及其分类1、故障模式是指故障的表现形式，如短路、开路、断裂等。
故障机理是指引起故障的物理、化学或生物的过程。
故障原因是指引起故障的设计、制造、使用和维修等有关的原因。
2、非关联故障是指已经证实未按规定的条件使用而引起的故障，或已经证实仅属某项将不采用的设计所引起的故障，关联故障才能作为评价产品可靠性的故障数。
可靠性计算公式大全
所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的比例，以λ表示，当λ为常数时，可靠性与失效率的关系为：Ｒ（λ）=e-λu(λu为次方）两次故障之间系统能够正常工作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF)如：同一型号的1000台计算机，在规定的条件下工作1000小时，其中有10台出现故障，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次方）千小时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次方）＝平均故障间隔时间M TBF=1/λ=1/10-5=10-5小时．1）表决系统可靠性表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，又称为k/n系统。
图为表决系统的可靠性框图。
通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为：这是一个更一般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。
2）冷储备系统可靠性冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s 为理想开关Rs=1,只要一个部件正常,则系统正常。
所以系统的可靠度：图12.8.2 待机贮备系统3）串联系统可靠性串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。
下图为串联系统的可靠性框图。
假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度多数机械系统都是串联系统。
串联系统的可靠度随着单元可靠度的减小及单元数的增多而迅速下降。
图12.8.4表示各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。
显然，Rs≤min(Ri),因此为提高串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。
4）并联系统可靠性并联系统可靠性：并联系统是组成系统的所有单元都失效时才失效的失效的系统。
第二章可靠性的数学基础及系统可靠性
∑ σˆ
2
=
1 n −1
n i =1
(ti
− t)2
∑ σ =
命的数学期望E（T），记作θ。
可靠性特征量-寿命特征量
不可修复产品
设N个不可维修产品在同样条件下试验，测得全部寿命数 据（每次失效时间）为t1，t2，… tn，则平均寿命为：
∑ t = MTTF
=
1 N
n
ti
i =1
4. 寿命特征量
若子样比较大，即N很大，则将数据分成ti为中值的 m组，每组的失效数为 ∆ri ，则
产品的可靠度是时间的函数，随着时间的增长， 产品的可靠度会越来越低，它介于1与0之间，即0≤ R(t) ≤ 1。
R(t) 1
t
0
对于不可修复的产品，可靠度的观测值的计算：
Rˆ (t) = ns (t) = 1 − nf (t)
n
n
♦ 式中，n——开始投入工作产品总数；
♦ ns(t)——到t时刻完成规定功能的产品数，即残存数； ♦ nf(t)——到t时刻未完成规定功能的产品数，即失效
♦ （1）定义的对象 “产品”的具体含义（范围）——零件、元器 件、部件、设备或系统。
♦ （2）规定的条件
规定的条件是指： ① 使用和维护条件，动力、负载条件，使用方法，使
用频次，操作人员的技术水平，维修方法；
② 环境条件；
③ 贮存条件包括运输、保管条件等。
♦ （3）规定的时间
♦ 规定的时间是以时间为尺度度量产品的可靠性 特性，它是可靠性区别于产品其他特性的重要 特征。
♦ 寿命是可靠性的基本概念，对不可修复的产品 指失效前的工作时间，而对可修复的产品而言 指相邻两故障间的工作时间。
可靠性基础知识
第一章 可靠性基础知识●可靠性的概念。
●可靠性参数体系、常用可靠性参数及可靠性常用分布。
当你准备购买一件电子产品时，你关注的是它的哪些方面？其中最关注的是什么？我们除关注产品的功能和性能外，在谈论某品牌的产品“好”的时候，所隐含的意思就是该品牌产品的质量与可靠性高。
质量与可靠性是我们最为关注的产品质量特性。
随着新材料、新技术的发展与应用使得产品性能得到迅速提高，但随着产品性能的提高，其复杂程度也增加，故障频繁。
出厂检验合格的产品，在使用寿命期内保持其产品质量指标的数值而不致失效，这就是可靠性问题。
本章将在介绍可靠性的基本概念、可靠性术语、可靠性参数体系及常用可靠性参数、可靠性常用分布等知识的基础上，讲解造成产品故障的主要原因，以及可靠性的重要意义。
第一节 可靠性基本概念1．可靠性的概念可靠性的概念，可以说，自从人类开始使用工具起就已经存在。
然而可靠性理论作为一门独立的学科出现却是近几十年的事情。
可靠性归根结底研究的还是产品的可靠性，而通常所说的“可靠性”指的是“可信赖的”或“可信任的”。
一台仪器设备，当人们要求它工作时，它就能工作，则说它是可靠的；而当人们要求它工作时，它有时工作，有时不工作，则称它是不可靠的。
最早的可靠性定义由美国AGREE在1957年的报告中提出，1966年美国又较正规地给出了传统的或经典的可靠性定义：“产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力”。
它为世界各国的标准所引用，我国的可靠性定义也与此相同。
这里的产品是泛指的，它可以是一个复杂的系统，也可以是一个零件。
出厂检验合格的产品，在使用寿命期内保持其产品质量指标的数值而不致失效，这就是可靠性问题。
因此，可靠性也是产品的一个质量指标，而且是与时间有关的参量。
只有在引进了可靠性指标后，才能和其他质量指标一起，对产品质量做全面的评定。
所谓产品是指作为单独研究和分别试验对象的任何元件、设备或系统，可以是零件也可以是由它们装配而成的机器，或由许多机器组成的机组和成套设备，甚至还把人的作用也包括在内。
可靠性测试的计算方法
可靠性测试的计算方法一、概率与统计1、概率；这里用道题来说明这个数学问题题一、从含有D个不良品的N个产品中随机取出n个产品（做不放回抽样），求取出d个不良品的概率是多少？解：典型的超几何分布例题，计算公式如下超几何分布：（最基本的了）：最精确的计算，适用比较小的数据其中：N——产品批量D——N中的不合格数d——n中的合格数n——抽样数另外的概率计算的常用算法还有：二项分布：（最常用的了，是超几何分布的极限形式。
用于具备计件值特征的质量分布研究）：只是估算，当N≥10n后才比较准确其中：n——样本大小d——n中的不合格数ρ——产品不合格率泊松分布：（电子产品的使用还没有使用过，只是在学习的时候玩过一些题目，我也使用没有经验）具有计点计算特征的质量特性值其中：λ——nρn——样本的大小ρ——单位不合格率(缺陷率)e=2.7182812、分布；各种随机情况，常见的分布有：二项分布、正态分布、泊松分布等，分位数的意义和用法也需要掌握；较典型的题目为：题三、要求电阻器的值为80+/-4欧姆；从某次生产中随机抽样发现：电阻器的阻值服从正态分布，其均值80.8欧姆、标准差1.3欧姆，求此次生产中不合格品率。
公式好麻烦的，而且还要查表计算，555555555555，我懒得写了，反正我也没有做过电阻。
3、置信区间：我们根据取得样品的参数计算出产品相应的参数，这个“计算值”到底跟产品的“真实值”有什么关系？一般这样去描述这两个量：把“计算值”扩充成“计算区间”、然后描述“真实值有多大的可能会落在这个计算区间里”，从统计学上看，就是“估计参数”的“置信区间”；较典型的题目为：题四、设某物理量服从正态分布，从中取出四个量，测量/计算后求得四个量的平均值为8.34，四个量的标准差为0.03；求平均值在95%的置信区间。
解：因为只知道此物理量服从正态分布，不知道这个正态分布对应的标准差，所以只能用样品的标准差来代替原物理量的标准差。
可靠性理论 第二章
R(1000) R(1000)
95 0.95 100
F (1000) F (1000)
f (1000 ) f (1000 )
5 0.05 100
1 5 10 5 / h 100 200
(1000 ) (1000 )
1 5.26 10 5 / h 95 200
（2-1-22）
式中的 R(t )1 (r ) 是R(t)的反函数。 当R＝0.5时产品的寿命称为中位寿命，即:
t (0.5) R 5 (0.5)
（2-1-23）
当只0.368时产品的寿命称为特征寿命，即:
t (0.368) R 1 (0.368)
（2-1-24）
从定义可看出，产品工作到可靠寿命t(r)，大约有100(1—r)％的产品 失效；产品工作到中位寿命t(0.5)，大约有一半失效；产品工作到特 征寿命，大约有63.2％的产品失效，对于失效规律服从指数分布的一 批产品而言，其特征寿命就是平均寿命，因此约有63.2％的产品将在 达到平均寿命前失效，就是说，能够工作到平均寿命的产品仅占36.8 ％左右。
对某不可修设备，投人100台进行试验，试验到1000h有5台 失效，继续试验到1200h，又有1台失效，至试验结束时所有 设备失效，总的工作时间为106h，试求R(1000)，F(1000)， 1000)，f(1000)以及设备的平均寿命。 解：由题意知：N=100, n(1000)=5，t =1200—1000=200h， n(1000)=1，T=106h。 根据前面所讲的公式得:
dt
0
F(t)的估计值
到t时刻失效的产品数 n（t） F ＝ 试验的产品总数 N
95 0.95 100
F (1000) F (1000)
f (1000 ) f (1000 )
5 0.05 100
1 5 10 5 / h 100 200
(1000 ) (1000 )
1 5.26 10 5 / h 95 200
（2-1-22）
式中的 R(t )1 (r ) 是R(t)的反函数。 当R＝0.5时产品的寿命称为中位寿命，即:
t (0.5) R 5 (0.5)
（2-1-23）
当只0.368时产品的寿命称为特征寿命，即:
t (0.368) R 1 (0.368)
（2-1-24）
从定义可看出，产品工作到可靠寿命t(r)，大约有100(1—r)％的产品 失效；产品工作到中位寿命t(0.5)，大约有一半失效；产品工作到特 征寿命，大约有63.2％的产品失效，对于失效规律服从指数分布的一 批产品而言，其特征寿命就是平均寿命，因此约有63.2％的产品将在 达到平均寿命前失效，就是说，能够工作到平均寿命的产品仅占36.8 ％左右。
对某不可修设备，投人100台进行试验，试验到1000h有5台 失效，继续试验到1200h，又有1台失效，至试验结束时所有 设备失效，总的工作时间为106h，试求R(1000)，F(1000)， 1000)，f(1000)以及设备的平均寿命。 解：由题意知：N=100, n(1000)=5，t =1200—1000=200h， n(1000)=1，T=106h。 根据前面所讲的公式得:
dt
0
F(t)的估计值
到t时刻失效的产品数 n（t） F ＝ 试验的产品总数 N
2012-02 可靠性数学-常见的失效分布
2）正态概率纸的用法
a.整理数据,得到数据表
失效数 i ti F(ti) 1 t1 F(t1) 2 t2 F(t2) … … … n tn F(tn)
b. 估计累积分布函数F(ti)
当产品数n≤20时,F(ti)=i/(n+1)(平均秩),
F(ti)=(i-0.3)/(n+0.4) 当产品数n>20时 (中位秩) F(ti)=i/n
对数正态分布
若X是一个随机变量,且随机变量Y=lnX，服从正 态分布N(μ,σ),则称随机变量X服从对数正态分布。 对数正态分布 （1）用于由于裂痕扩展而引起的失效分布， 如疲劳、腐蚀等；恒应力寿命试验，样品的失效时 间分析； （2）随机变量由许多的微小偶然因素组成， 其关系非和而是积的关系。
对数正态失效分布的描述函数和特征量分别为
(3)求可靠度为80％的可靠寿命t（ R＝0.8 ） 因已知R＝0.8 ，故F＝1-0.8＝0.2，在上图 的F(t)轴上由F(t)＝20％刻度点引水平线与分布 直线相交，再由此交点作t轴的垂线，交于t轴的 点即为可靠度为80％的可靠寿命t(R)的估计值。 由该图得6.4kh。
正态分布Matlab函数
f (t )
1 ln t 2 exp[ ( ) ] 2 2 t 1
t 0
F (t ) P(T t ) (
ln t
ln t
)
R(t ) P(T t ) 1 (
)
(t ) f (t ) / R(t )
1 ln t 2 exp[ ( ) ] 2 2 t ln t 1 ( ) 1
Wibull分布产生
一环断裂，系统失效，串联模型： 可靠度：[P(T>t)]^n=[1-F(t)]^n 每环的可用度： R(t)=exp(-φ(t)) 系统可靠度 [R(t)]^n=exp(-nφ(t))
可靠性计算公式大全
计算机系统的可靠性是制从它开始运行（t=0)到某时刻t这段时间内能正常运行的概率，用R(t)表示．所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的比例，以λ表示，当λ为常数时，可靠性与失效率的关系为：Ｒ（λ）=e-λu(λu为次方）两次故障之间系统能够正常工作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF)如：同一型号的1000台计算机，在规定的条件下工作1000小时，其中有10台出现故障，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次方）千小时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次方）＝0.99平均故障间隔时间MTBF=1/λ=1/10-5=10-5小时．1）表决系统可靠性表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，又称为k/n系统。
图12.8-1为表决系统的可靠性框图。
通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为：这是一个更一般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。
2）冷储备系统可靠性冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s 为理想开关Rs=1,只要一个部件正常,则系统正常。
所以系统的可靠度：图12.8.2 待机贮备系统3）串联系统可靠性串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。
下图为串联系统的可靠性框图。
假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度多数机械系统都是串联系统。
串联系统的可靠度随着单元可靠度的减小及单元数的增多而迅速下降。
图12.8.4表示各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。
显然，Rs≤min(Ri),因此为提高串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。
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可靠性数学基础知识重庆大学周家启1 集合与事件概率是事件的一定属性，事件可以通过集合(简称“集”)来描述。
因之在研究概率之前，讨论一下集合的基本概念。
1.1集合的定义和符号具有某种规定性质的事物的总体称为集(合)。
组成集合的这些事物的每一个体称为集的元素或成员。
只有有限个元素的集称为有限集，具有无限个元素的集称为无限集。
例如，“A城中18岁及以上的全体公民”是一个有限集，“所有正整数的全体”则是一个无限集。
集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示，如果某一个体x是集A 的元素，则记为x∈A读作“x属于A”。
而x∉A则表示x不属于A。
如果集A和集B具有完全相同的元素，即集A的每个元素都是B的元素，集B的每个元素也都是A的元素，则说A等于B，记为A=B。
有限集A中元素的数目叫A的基数，记为|A|。
一个集S可以用列举出它的全部元素的方式来表示，例如]7,5,3,2[=S与括号中元素的排列次序无关。
一个集P也可以按照它的元素某种特定的属性来表示，例如xP=x][是质数|括号中垂直线左右的记号代表集的典型元素。
于是前面列出的集S也可写成Px=xS且x∈|]8[<或]8xSP[<=x|∈有两个集A和B，如果B的每个元素都是A的元素，则说B是A的子集，记为A B ⊆ 或 B A ⊇有时读成A 包含B 。
一个集A 也总是它本身的一个子集，A A ⊆。
集A 中任何一个不等于A 的子集B 称为A 的真子集，记为A B ⊂ 或 B A ⊃如果 B A ⊆且A B ⊆， 则A=B 。
1.2 集合的基本组合规则通过集的运算可以将某些集合组合形成新的集合，一般有如下一些运算规则。
如果A 和B 是两个集，则它们的并B A 定义为]|[AB x B x A x x B A ∈∈∈=或或它们的交B A 定义为]|[B x A x x B A ∈∈=且例1 如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3]，则T S =[1、2、3、5、7]；T S =[2、3]如果集A 和集B 没有公共元素，则称它们为不相交的集。
这两个不相交集之交得到一个不包含任何元素的集。
称其为空集，以φ表示。
因之φ=B A ，而且φ也是任意一个集N 的子集。
集的并和交的运算服从以下规则1. 幂等律A A A = ，A A A =2. 交换律A B B A =，A B B A =3. 结合律)()(C B A C B A =，)()(C B A C B A =4. 分配律)()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =集A 和集B 的差A –B 定义为]|[B x A x x B A ∉∈=-且如果B 是A 的一个子集，则有时称A –B 为B 在A 中的补集。
例2 如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3]，则S –T = [5、7]；T –S = [1]1.3 集的集合的概念在可靠性评估技术中常会碰到集中的元素本身也是一个集的情况。
以下用所谓的幂集来说明这个概念。
定义任意集A 的幂集p (A)为A 的全部子集的集合，即)](|[)(A x x A ⊆=p例3 令A=[x, y, z]，则]],,][,[],,[],,[],[],[],[,[)(z y x z y z x y x z y x A φ=p对于集的集合，其并和交的定义是：令ϕ为任意集的集合，则并],|[成立对于至少一个ϕϕ∈∈=A A x x而交],|[均成立对于所有ϕϕ∈∈=A A x x如果ϕ是有限个集的集合，例如][21n ，A ，，A A =ϕ，则常可写出 n k k A1=或n A A A 21 n k k A1=或n A A A 21例4 令ϕ=[A 、B 、C]，其中A=[2，3，5，7]，B=[1，3，5]，C=[1，2，3]，则ϕ =[1、2、3、5、7]，]3[=ϕ还可以由其它的方式构成集的集合。
如果集A 的每一个元素至少属于集ϕ中的一个成员，即A =ϕ ，则称集A 的非空子集的集合ϕ为A 的覆盖。
如果A 的一个覆盖ϕ还具有如下性质：ϕ的全部成员都是两两互不相交的，则称 是A的一个划分。
例5如果S=[a、b、c、d、e]，则可以有如下覆盖{[a、b]，[b、c、d]，[b、c、e]}；{[a、b]，[c、d、e]}；{[a]、[b]、[c]、[d]、[e]}并且上面第二及第三个覆盖又是A的两个划分。
1.4事件及其集合表达1.4.1 样本空间人类的生产和科研活动、或观察到的自然现象，都存在着相互联系与制约的因素，有其一定的内在必然发展规律，但它们同时又受着各种各样外在偶然因素的影响，呈现出现象发生的“随机性”。
概率论和统计学就发端于对这些“随机”现象的研究。
随机现象的基本特征是，这些现象在一定条件下可能发生，也可能不发生，需要通过对现象的统计实验来研究其发生的规律。
统计方法往往是在一定条件下进行试验或现场观测，将其结果记录下来，作为研究和推断的依据。
按原始形式收集的观察记数或试验的测量记录，一般称为原始数据。
在统计学中常用“实验”一词来统称产生原始数据的过程。
抛掷硬币观察其出现正面或反面的现象，是最常用的统计实验例子。
气象观测、水文观测、电站运行记录、产品质量检验记录等，也都是生产和科研工作中的统计实验方法。
通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为“样本空间”，或者用集合的术语描述为：一个项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间，并常用S表示。
例6将一枚硬币抛掷两次，可能出现的全部结果是，{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，则样本空间S = {{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}}例7在足够长的统计时期内，“一年出现1次故障”的全部可能结果，即其样本空间S = { 0，1，2，3，…}1.4.2 事件事件总是与某些实验的结果相关联，理论研究中一般作出以下假设：(1) 在相同条件下重复进行；(2) 实验的结果可能不只一个；(3) 不可能预先判定每一次实验将出现的结果。
工程研究中的事件一般都可以用集合来描述为：样本空间中的一个子集称为事件。
例8 设某种电子元件使用寿命的样本空间为{}0|≥=t t S ，式中t 为该元件的寿命，则{}5|≤=t t A 是该元件寿命等于或小于5年的事件。
为研究和叙述问题方便，还常常定义以下事件：如果一个事件只包含样本空间集合中的一个元素，则称这个事件为基本事件，或简单事件；如果一个事件在某个实验中一定会发生，则称这个事件为必然事件；如果一个事件在某个实验中一定不会发生，则称这个事件为不可能事件；如果一个事件在某个实验中可能发生也可能不发生，则称这个事件为随机事件。
概率论就是研究随机事件规律的一门数学分支。
例9 在对电网的事故统计中，如果说，“某一条供电线路一年内可能发生故障的所有次数”，则这是一个必然事件；如果说，“某一条供电线路一年内发生 −2 次故障”，则这是一个不可能事件；如果说，“某一条供电线路一年内发生 1 次故障”，则这是一个随机事件。
为了能更易于理解所要讨论的问题，可利用图形来对概念进行描述。
通常所用的是一种所谓的凡恩图。
凡恩图通常画成一个矩形来表示全部样本空间S ，如图1所示。
面积S 包含了要讨论的整个空间，其中可能存在着两个或两个以上的事件。
图1是只包含两个事件A 和B 的特殊情况。
如果事件A 被完全包含在事件B 中（可用符号A ⊂B 表示），则事件A 由属于事件B ，且只由属于事件B 的元素构成，如图1a 所示。
一般的关系则是部分重合(图1b )或者完全不重合(图1c )。
图1 凡恩图 事件既然可以用集合来描述，则前述其集合的基本组合规则完全适用于事件的运算。
A BS (a ) (b ) (c)2 概率基本概念2.1 定义概率是一种科学的“机会测度”，它从定量的角度定义了事件发生的可能性。
这种测度在不可能事件的零概率值和必然事件的1概率值之间的范围内取值。
2.1.1 概率的古典定义如果某一试验的全部可能结果为n 个，且每个结果都具有等可能性和互不相容性，而其中对应于A 的结果是m 个，则事件A 发生的概率为nm A P =)( (1) 例10 有50件产品，合格品数是48件，令从这批产品中“任取一件是合格品”为事件A ，则在这批产品中任取一件是合格品的概率为P(A)=48/50=96%此外，由于必然事件包括了所有基本事件，设其用U 表示，则可用概率的观点作如下解释：1)(==nn U P 而不可能事件不包含任何基本事件，设其用V 表示，也可用概率的观点作如下解释：00)(==n V P 随机事件A 所含基本事件数m 必然满足不等式0≤m ≤n ，所以0≤P(A)≤12.1.2 概率的统计定义由概率的古典定义可见，它要求事件数是有限的，且要求事件的发生是等可能的。
但许多实际问题不具备这种性质。
例如英文书籍中26个字母出现的可能性就很不相同，字母“e ”就比字母“z ”出现的可能性大得多。
又如某流域的年降雨量可以取某一区间的任意实数值，这就不能满足有限结果的要求。
但是这些事件仍有其本身的规律性。
只要进行大量重复的试验，就会发现许多随机事件是随着试验次数的不断增加而趋近于某一稳定值。
由此可引入概率的统计定义。
设n 次重复试验中，事件A 出现f 次，则称f 为事件A 出现的频数，称n f 为事件A 出现的频率：定义：当试验次数n 足够大时，事件A 出现的频率渐趋于一个稳定值P(A)，则称这一稳定值P(A)为事件A 发生的统计概率，记为⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→n f A P n lim )( (2)2.2 概率的基本运算规则依据前一节有关事件和概率的基本概念，本节按性质分类对事件及其概率运算的基本规则加以概述。
2.2.1 事件分类1. 独立事件如果某一事件的发生不影响另一事件发生的概率，则这两个事件称为独立事件，例如抛一枚硬币和掷一枚骰子是独立事件，因为骰子出现的点数并不影响抛硬币的结果。
实际工程中，只要相关程度不大时，都假设是独立事件，例如一个发电厂中不同的主设备的故障事件。
但如果已知具有一定的相关性时，则必须在评估中将相关性考虑进去。
事件独立性的假设可能导致可靠性的偏高估计。
2. 互斥事件如果两个事件不可能同时发生，则称它们是互斥事件，或称不相交事件。
前一节的图1c 就表示这种情况。
当然，在A 和B 事件以外也可能发生其它事件，因为A 和B 并没有充满整个样本空间。
例如一个设备的成功运行和事故退出工作这两种状态就不可能同时存在，因而是互斥事件。
当然，该设备还可能处于非故障停运的第三种状态。
3. 对立事件如果一个事件只存在两种可能结果，其中一种结果不发生，另一种结果就必然发生，则称它们是对立事件,或称互补事件，如图2所示。